일차결합과 생성(span)

2교시에 벡터를 늘이고(스칼라배) 더하는(덧셈) 법을 배웠습니다. 이번 교시에는 이 두 가지를 섞어서 씁니다. 벡터 두 개를 각각 원하는 만큼 늘인 뒤 더하면, 어디까지 갈 수 있을까요?

버튼 두 개로만 움직이는 로봇을 떠올려 보세요. 버튼 A를 한 번 누르면 u만큼, 버튼 B를 한 번 누르면 w만큼 움직이고, 버튼을 반 번이나 −2번 누르는 것도 허용됩니다. 이 로봇이 평면의 모든 곳에 갈 수 있을지, 아니면 한 직선 위에 갇히게 될지는 u와 w가 어떤 방향을 보느냐에 달려 있습니다.

이 질문은 선형대수 전체를 꿰는 질문입니다. 8교시의 연립방정식은 "이 점에 갈 수 있는가, 간다면 버튼을 몇 번씩 눌러야 하나"이고, 9교시의 계수(rank)는 "갈 수 있는 곳이 몇 차원인가"입니다. 이번 교시에는 그 바탕이 되는 말들을 익히고, NumPy로 처음 행렬을 만들어 봅니다.

4-1. 일차결합: a·u + b·w (8분)

벡터 u와 w에 숫자 a, b를 곱해 더한 것을 u와 w의 일차결합(linear combination) 이라고 합니다.

a와 b는 아무 실수나 됩니다. 이름은 거창하지만 2교시의 스칼라배와 덧셈을 한 번씩 한 것뿐입니다. 예를 들어 $\mathbf{u} = (2, 1)$, $\mathbf{w} = (-1, 1)$이고 $a = 1$, $b = 1$이면

입니다. a와 b를 바꾸면 도착하는 점이 바뀝니다. $a = 2$, $b = -1$이면 $(4, 2) + (1, -1) = (5, 1)$입니다.

아래 실습대에서 슬라이더 a, b를 움직여 보세요. 청록 점선이 $a\,\mathbf{u}$이고, 그 끝에 이어 붙인 진홍 점선이 $b\,\mathbf{w}$, 그리고 검정 점이 도착한 곳 $a\,\mathbf{u} + b\,\mathbf{w}$입니다. 2교시에서 본 "이어 붙이기"가 그대로 쓰였습니다.

'목표 점 T에 도착해 보기'를 켜면 노랑 원 T = (−2, 3)이 나타납니다. 슬라이더로 검정 점을 T에 맞춰 보세요. a를 0.3, b를 2.7 근처로 맞추면 "도착했습니다!"가 뜹니다.

사실 정확한 답은 a = 1/3, b = 8/3입니다. 슬라이더가 0.1 간격이라 1/3 = 0.333…에 딱 맞출 수는 없어서, 실습대는 T에 충분히 가까우면 도착한 것으로 칩니다. 이런 a, b를 손으로 정확히 구하는 법은 8교시에서 연립방정식으로 배웁니다. 지금 중요한 것은 "a, b를 잘 고르면 T에 갈 수 있다"는 사실입니다.

4-2. 생성(span): 갈 수 있는 곳 전부 (8분)

a와 b를 모든 실수에 걸쳐 바꿀 때 $a\,\mathbf{u} + b\,\mathbf{w}$가 닿는 점을 모두 모은 것을 u와 w의 생성(span) 이라고 합니다. "u와 w가 만들어 내는 곳 전부"라는 뜻입니다.

처음 보면 기호가 많지만 하나씩 읽으면 어렵지 않습니다. 중괄호 $\{\ \}$는 "이런 것들의 모임(집합)", 세로줄 $\mid$는 "단,", 그 뒤는 조건입니다. 통째로 읽으면 "a와 b가 아무 실수일 때 $a\,\mathbf{u} + b\,\mathbf{w}$ 모양으로 쓸 수 있는 벡터들의 모임"입니다.

실습대의 '지나간 곳 남기기'(기본으로 켜져 있음)는 검정 점이 지나간 자리에 남색 점을 찍습니다. 슬라이더를 오래 움직일수록 흔적이 퍼져 나가는데, 기본값 u = (2, 1), w = (−1, 1)에서는 평면 전체가 옅게 칠해져 있고 상태 문구도 "평면 전체에 갈 수 있습니다"입니다. 슬라이더 범위(−3에서 3까지)가 한정되어 있어 화면 끝까지 다 칠하지는 못하지만, a와 b를 더 크게 키울 수만 있다면 어떤 점이든 닿을 수 있습니다.

이번에는 진홍 w의 끝점을 (4, 2)로 끌어 보세요. w가 u = (2, 1)의 정확히 두 배가 되면서 두 벡터가 한 직선 위에 놓입니다. 평면의 옅은 색이 사라지고 노랑 직선이 나타나며, "그 직선 위만 갈 수 있습니다"라는 경고가 뜹니다. w = 2u이니

가 되어, 결국 u 하나의 스칼라배밖에 만들 수 없습니다. 2교시에서 "스칼라배로는 방향을 돌릴 수 없다"고 한 것이 여기서 쓰입니다. 슬라이더를 아무리 움직여도 검정 점은 노랑 직선을 벗어나지 못합니다. 이때 T = (−2, 3)은 직선 위에 있지 않아서 어떤 a, b로도 도착할 수 없습니다.

정리하면 2차원에서 두 벡터의 생성은 세 가지 중 하나입니다.

어떤 경우든 생성에는 원점이 꼭 들어 있습니다. a = b = 0으로 두면 언제나 영벡터가 나오기 때문입니다.

4-3. 일차독립과 일차종속 (8분)

4-2의 첫째 경우와 둘째 경우를 가르는 말이 있습니다.

• 일차독립(linearly independent): 어느 벡터도 다른 벡터들의 일차결합으로 만들 수 없다. 두 벡터라면 "한 직선 위에 있지 않다".
• 일차종속(linearly dependent): 적어도 하나가 다른 벡터들의 일차결합으로 만들어진다. 두 벡터라면 "한쪽이 다른 쪽의 스칼라배다".

종속인 벡터는 생성에 아무것도 보태지 못합니다. w = 2u라면 w는 u가 이미 갈 수 있는 곳을 다시 가리킬 뿐이라, 새 방향을 열어 주지 못합니다. 버튼 두 개짜리 로봇의 두 번째 버튼이 사실 첫 번째 버튼을 두 번 누르는 것과 같다면, 버튼이 하나뿐인 로봇과 다를 바 없습니다.

책에서는 같은 뜻을 이렇게 적기도 합니다. u와 w가 일차독립이라는 것은

라는 뜻입니다. 종속이면 0이 아닌 a, b로도 원점에 돌아올 수 있습니다. w = 2u라면 $2\,\mathbf{u} - 1\,\mathbf{w} = \mathbf{0}$입니다. 실습대에서 w를 (4, 2)로 두고 a = 2, b = −1로 맞추면 검정 점이 원점에 앉는 것을 볼 수 있습니다.

2차원에 벡터가 셋이면?

u = (2, 1), w = (−1, 1)은 이미 평면 전체를 생성합니다. 여기에 셋째 벡터 v = (4, 5)를 보태면 어떻게 될까요? v도 평면 위의 점이니 u와 w로 이미 갈 수 있는 곳입니다. 실제로

이므로 v = 3u + 2w입니다. 셋째 벡터는 새 방향을 열어 주지 못하니 세 벡터는 일차종속입니다. 이것은 v를 무엇으로 고르든 마찬가지입니다. 2차원에서는 벡터가 셋 이상이면 언제나 일차종속입니다. 평면에는 서로 독립인 방향이 둘밖에 없기 때문입니다. 3차원이라면 독립인 방향이 셋까지 있을 수 있고, 넷째부터는 반드시 남습니다.

4-4. 기저 맛보기: î와 ĵ (5분)

평면 전체를 생성하면서 일차독립인 벡터 묶음을 기저(basis) 라고 합니다. "평면 전체에 갈 수 있으면서, 쓸데없이 겹치는 벡터가 없다"는 뜻입니다. 2차원에서 기저는 언제나 벡터 두 개입니다. 위의 u = (2, 1), w = (−1, 1)도 기저입니다.

가장 흔히 쓰는 기저는 x축 방향으로 한 칸, y축 방향으로 한 칸인 두 벡터입니다.

이 둘을 표준기저라고 하고 "아이 햇", "제이 햇"이라고 읽습니다. 책에 따라 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$로 쓰기도 합니다. 1교시부터 써 온 좌표가 사실 표준기저의 일차결합이었습니다.

"오른쪽으로 3칸, 위로 2칸"이 곧 "î를 3번, ĵ를 2번"입니다. 그렇다면 다른 기저를 자로 삼아 좌표를 잴 수도 있겠지요. 이 이야기는 10교시 '기저 바꾸기'에서 이어 갑니다. 그리고 5교시에는 î와 ĵ를 다른 곳으로 옮기는 것만으로 평면 전체가 움직이는 모습을 보게 됩니다.

새 기호를 정리합니다.

4-5. NumPy: 열을 쌓아 행렬 만들기 (12분)

실습대의 "NumPy로 확인하기" 칸을 처음부터 따라가 봅시다. 새 함수가 하나 등장합니다.

>>> import numpy as np
>>> u = np.array([2, 1])
>>> w = np.array([-1, 1])
>>> M = np.column_stack([u, w])
>>> M
array([[ 2, -1],
       [ 1,  1]])

np.column_stack은 벡터들을 세로 기둥(열, column)으로 세워 나란히 붙입니다. 1열은 u = (2, 1), 2열은 w = (−1, 1)입니다. 이렇게 숫자를 가로세로 표 모양으로 늘어놓은 것을 행렬(matrix) 이라고 합니다. 가로줄을 행(row), 세로줄을 열(column) 이라고 부릅니다.

화면에 찍힌 모양은 대괄호가 두 겹입니다. 바깥 대괄호 안에 행 두 개 [ 2, -1]과 [ 1, 1]이 들어 있다고 읽으면 됩니다. 행으로 적혀 있으니 열(u, w)은 세로로 읽어야 합니다: 첫 열은 2와 1, 둘째 열은 −1과 1.

2차원 배열의 shape과 인덱싱

1교시의 벡터는 숫자가 한 줄로 늘어선 1차원 배열이었습니다. 행렬은 축이 두 개인 2차원 배열입니다.

>>> M.shape
(2, 2)
>>> M.ndim
2

(2, 2)는 "2행 2열"입니다. 언제나 (행 수, 열 수) 순서입니다. 성분 하나를 꺼낼 때도 M[행, 열] 순서로 적고, 1교시처럼 0부터 셉니다.

>>> M[0, 1]
np.int64(-1)
>>> M[1, 0]
np.int64(1)

M[0, 1]은 0번 행(첫째 행), 1번 열(둘째 열)의 성분, 책의 표기로는 $M_{12}$입니다. 행이나 열을 통째로 꺼낼 수도 있습니다. 콜론 :는 "그 축은 전부"라는 뜻입니다.

>>> M[:, 0]
array([2, 1])
>>> M[:, 1]
array([-1,  1])
>>> M[1]
array([1, 1])

M[:, 0]은 "모든 행의 0번 열", 즉 1열을 꺼내는 것이라 u가 그대로 돌아옵니다. M[1]처럼 숫자 하나만 적으면 그 행을 꺼냅니다. 열을 꺼낼 때는 늘 M[:, j]를 쓴다고 기억해 두세요.

M @ [a, b]가 곧 a·u + b·w

실습대 NumPy 칸의 다음 두 줄은 같은 결과를 서로 다른 방법으로 계산합니다.

>>> M @ np.array([1, 1])
array([1, 2])
>>> 1 * u + 1 * w
array([1, 2])

3교시에서 @는 1차원 배열 두 개 사이에서 내적이었습니다. 왼쪽이 행렬이고 오른쪽이 벡터이면 @는 행렬-벡터 곱이 되는데, 그 결과는 행렬의 열들을 벡터의 성분만큼 늘여서 더한 것, 즉 일차결합입니다.

M의 열이 u와 w이니 두 줄은 같은 계산입니다. 이것이 행렬을 읽는 가장 중요한 방법인 열 결합 해석이고, 5교시에서 이 해석으로 행렬이 공간을 움직이는 모습을 보게 됩니다. 실습대의 슬라이더 a, b는 결국 M @ [a, b]의 [a, b]를 고르는 손잡이였던 셈입니다.

4-1의 목표 점 T = (−2, 3)도 확인해 봅시다. 정확한 답 a = 1/3, b = 8/3과 슬라이더로 맞춘 a = 0.3, b = 2.7을 비교합니다.

>>> M @ np.array([1/3, 8/3])
array([-2.,  3.])
>>> np.allclose(M @ np.array([1/3, 8/3]), [-2, 3])
True
>>> M @ np.array([0.3, 2.7])
array([-2.1,  3. ])

1/3은 소수로 끝없이 이어지는 수라 계산 결과에 아주 작은 부동소수점 오차가 숨어 있을 수 있으니, 3교시에서 배운 np.allclose로 확인했습니다.

계수(rank): 갈 수 있는 곳의 차원

NumPy 칸의 마지막 줄은 np.linalg.matrix_rank입니다.

>>> np.linalg.matrix_rank(M)
np.int64(2)

이 숫자를 행렬의 계수(rank) 라고 합니다. 지금은 "열들이 생성하는 곳이 몇 차원인가"로 이해하면 충분합니다. 2이면 평면 전체(일차독립), 1이면 직선 하나(일차종속), 0이면 원점 하나입니다. 실습대에서 w를 (4, 2)로 옮겼을 때와 같은 행렬을 만들어 보면 계수가 1로 떨어집니다.

>>> M2 = np.column_stack([u, np.array([4, 2])])
>>> M2
array([[2, 4],
       [1, 2]])
>>> np.linalg.matrix_rank(M2)
np.int64(1)
>>> np.linalg.matrix_rank(np.zeros((2, 2)))
np.int64(0)

np.zeros((2, 2))는 모든 성분이 0인 2×2 행렬입니다. 모양을 튜플 (2, 2)로 넘긴다는 점에 주의하세요. 계수는 9교시에서 다시 자세히 다룹니다.

벡터 셋: 2×3 행렬

4-3의 세 벡터를 열로 쌓으면 2행 3열 행렬이 됩니다.

>>> v = np.array([4, 5])
>>> M3 = np.column_stack([u, w, v])
>>> M3
array([[ 2, -1,  4],
       [ 1,  1,  5]])
>>> M3.shape
(2, 3)
>>> np.linalg.matrix_rank(M3)
np.int64(2)
>>> M3 @ np.array([3, 2, -1])
array([0, 0])

열이 셋이어도 계수는 2입니다. 2차원 평면에서는 2보다 커질 수 없습니다. 마지막 줄은 3u + 2w − v를 계산한 것으로, 0이 아닌 계수들로 영벡터가 만들어졌으니 세 벡터가 일차종속이라는 증거입니다(4-3의 정의).

표준기저로 만든 행렬

î와 ĵ를 열로 쌓으면 대각선에만 1이 있는 행렬이 나옵니다. 이 행렬에 어떤 벡터를 곱해도 그대로 돌아옵니다. "3 × î + 2 × ĵ = (3, 2)"이기 때문입니다.

>>> I = np.column_stack([np.array([1, 0]), np.array([0, 1])])
>>> I
array([[1, 0],
       [0, 1]])
>>> I @ np.array([3, 2])
array([3, 2])

이 행렬은 6교시에서 항등행렬이라는 이름으로 다시 만납니다.

4-6. 자주 하는 실수 (4분)

np.array([u, w])로 열을 쌓았다고 착각하기. 벡터 목록을 np.array에 넘기면 각 벡터가 행이 됩니다. 열로 세우는 np.column_stack과 결과가 다릅니다.

>>> R = np.array([u, w])
>>> R
array([[ 2,  1],
       [-1,  1]])
>>> R @ np.array([1, 1])
array([3, 0])

u + w = (1, 2)를 기대했는데 (3, 0)이 나왔습니다. R의 열은 (2, −1)과 (1, 1)이라 전혀 다른 일차결합을 계산한 것입니다. 행렬을 만들고 나면 화면에 찍어 열을 세로로 읽어 확인하는 습관을 들이세요.

행과 열 순서 헷갈리기. M[0, 1]은 "0번 행, 1번 열"입니다. 첫 숫자가 행(가로줄), 둘째 숫자가 열(세로줄)입니다. 열을 꺼낸다고 M[0]을 쓰면 첫 열이 아니라 첫 행이 나옵니다.

>>> M[0]
array([ 2, -1])
>>> M[:, 0]
array([2, 1])

연습 문제 (5분)

1. u = (2, 1), w = (−1, 1)일 때 a·u + b·w = (0, 3)이 되는 a, b를 찾아 보세요. 실습대의 슬라이더로 먼저 찾아본 뒤 M @ np.array([a, b])로 확인하세요.
2. (1, 2)와 (−2, −4)는 일차독립인가요? 계수로 확인해 보세요.
3. 행렬 K = np.column_stack([np.array([1, 4]), np.array([2, 5]), np.array([3, 6])])에서 2열 전체와, 1행 3열 성분(책의 표기로 K₁₃)을 꺼내 보세요.
4. 2차원 벡터 세 개는 왜 언제나 일차종속일까요? 한 문장으로 설명해 보세요.

풀이

>>> M @ np.array([1, 2])
array([0, 3])
>>> np.linalg.matrix_rank(np.column_stack([np.array([1, 2]), np.array([-2, -4])]))
np.int64(1)
>>> K = np.column_stack([np.array([1, 4]), np.array([2, 5]), np.array([3, 6])])
>>> K
array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6]])
>>> K[:, 1]
array([2, 5])
>>> K[0, 2]
np.int64(3)

1번은 a = 1, b = 2입니다. 2·1 − 2 = 0, 1 + 2 = 3이 되어 (0, 3)에 도착합니다. 2번은 (−2, −4) = −2 × (1, 2)라서 한 직선 위에 있으니 일차종속이고, 계수도 1입니다. 3번의 책 표기 K₁₃은 1부터 세니 파이썬에서는 K[0, 2]입니다. 4번은 "평면에서는 서로 다른 두 방향만으로 이미 모든 점에 갈 수 있으니, 셋째 벡터는 늘 앞의 둘의 일차결합으로 만들어진다"입니다(앞의 둘이 한 직선 위에 있는 경우에는 그 둘부터가 이미 종속입니다).

다음 교시에는 행렬을 "벡터를 쌓아 둔 표"가 아니라 공간 전체를 옮기는 규칙으로 봅니다. 오늘 본 M @ [a, b]의 열 결합 해석이 그 출발점입니다.