우연은 생각보다 울퉁불퉁하다: 확률과 큰 수의 법칙

월요일 아침, 하린은 숫자 데스크로 첫 출근을 합니다. 자리에 앉기도 전에 문 데스크가 출력한 제보 메일을 내밉니다. "10년에 1등 11번이래. 줄 서는 사진도 있어. 이거 기사 돼, 안 돼? 오늘 안에."

하린은 메일을 읽고 고개를 끄덕입니다. "11번이면 많은 거잖아요. 다른 가게는 한 번도 안 나오는 데가 대부분일 텐데요." 맞은편 자리의 강 선배가 모니터에서 눈을 떼지 않고 묻습니다. "그 가게, 한 주에 몇 장 팔아?"

하린은 대답하지 못합니다. 강 선배가 의자를 돌립니다. "숫자 기사를 보면 늘 두 가지를 물어. 몇 장 중에? 그리고 우연이면 얼마나 자주 나와? 오늘은 그 두 질문을 몸에 익히는 날이야. 동전부터 던져 보자."

이번 교시에서는 확률이 무엇인지, 우연이 실제로 어떤 모양으로 나타나는지 직접 던지고 세어 보며 익힙니다. 마지막에 명당 제보로 돌아와 판정을 내립니다.

1-1. 확률은 '아주 많이 되풀이할 때의 비율' (8분)

"동전 앞면이 나올 확률은 1/2이다." 누구나 아는 문장입니다. 그런데 이 말은 정확히 무슨 뜻일까요? 두 번 던지면 반드시 한 번은 앞면이 나온다는 뜻은 아닙니다. 두 번 다 뒷면인 일은 흔합니다.

이 강의에서는 확률을 이렇게 읽습니다.

동전을 1만 번 던지면 앞면은 5,000번 언저리로 나옵니다. 정확히 5,000번은 아니지만, 4,900번과 5,100번 사이에 들 가능성이 약 96%입니다. 이 "많이 되풀이하면 비율이 자리를 잡는다"는 성질 덕분에 한 번의 결과는 알 수 없어도 비율은 말할 수 있습니다.

확률은 0과 1 사이의 수로 씁니다. 퍼센트(%)로 바꿔 말해도 됩니다.

로또 1등 확률은 45개 번호 중 6개를 고르는 방법의 수에서 나옵니다. 고르는 방법이 모두 8,145,060가지이고, 그중 당첨 조합은 하나뿐입니다. 이 숫자는 어느 가게에서 샀든 똑같습니다. 추첨기는 표를 어디서 샀는지 모릅니다. 이 사실을 기억해 두세요. 1-4절에서 명당 제보의 열쇠가 됩니다.

기호 읽는 법

1-2. 큰 수의 법칙: 비율은 모이고, 개수 차이는 모이지 않는다 (10분)

정말 많이 던지면 비율이 0.5로 모일까요? 직접 던져 봅시다.

아래 실습대의 가로축은 던진 횟수, 세로축은 지금까지 나온 앞면의 비율입니다. 가로축은 로그 눈금이라서 1, 10, 100, 1,000, 10,000이 같은 간격으로 놓입니다. 처음 몇십 번과 마지막 몇천 번을 한 그림에서 함께 보기 위해서입니다. 남색 선이 지금 동전이고, 회색 점선이 절반(0.5)입니다. '새 동전으로 다시'를 누르면 지금 선은 회색으로 남고 새 동전을 처음부터 던집니다. 그래프 아래에는 최근 40번의 결과가 동그라미로 나옵니다.

실습대에서 본 것을 정리하면 이렇습니다.

1. 적게 던지면 비율이 크게 출렁인다. 동전 10번을 던지면 앞면이 2번 이하이거나 8번 이상, 즉 비율이 0.2 이하나 0.8 이상으로 나올 확률이 약 11%입니다. 열 사람이 해 보면 한 명쯤은 그런 결과를 받습니다.
2. 많이 던지면 비율이 자리를 잡는다. 100번이면 비율이 0.4–0.6 사이일 확률이 약 96%, 1만 번이면 0.49–0.51 사이일 확률이 약 96%입니다. 이것을 큰 수의 법칙(law of large numbers) 이라고 합니다.
3. 그래도 앞면과 뒷면의 개수 차이는 줄지 않는다. 1만 번을 던지면 앞면과 뒷면의 개수 차이는 보통 수십 개입니다(평균적으로 약 80개). 비율로는 80/10,000 = 0.8%밖에 안 되니 비율은 모이지만, 개수 자체는 맞춰지지 않습니다.

세 번째가 중요합니다. 동전은 "지금까지 뒷면이 많이 나왔으니 이제 앞면을 내서 맞춰야지" 하고 기억하지 않습니다. 앞으로 던질 횟수가 워낙 많아서 지금까지의 차이가 묽어질 뿐입니다. 큰 수의 법칙은 "균형을 맞춰 준다"가 아니라 "차이를 희석한다"입니다.

비율이 얼마나 빨리 모이는지도 대략 말할 수 있습니다. 비율의 출렁임은 던진 횟수의 제곱근에 반비례해 줄어듭니다.

$n = 100$이면 $0.5/10 = 0.05$, $n = 10{,}000$이면 $0.5/100 = 0.005$입니다. 100배 많이 던졌는데 출렁임은 10배만 줄었습니다. 정확도를 10배 올리려면 100배 많이 모아야 한다. 이 '제곱근의 법칙'은 4교시(표본)와 5교시(오차범위)에서 다시 주인공이 됩니다. 지금은 "많이 모으면 정확해지지만, 생각보다 훨씬 많이 모아야 한다"는 감만 가져가세요.

1-3. 우연은 뭉쳐서 온다: 연속과 도박사의 오류 (8분)

강 선배가 하린에게 종이 한 장을 줍니다. "동전을 던졌다고 치고 앞, 뒤를 100개 적어 봐. 진짜 무작위처럼 보이게." 하린이 적은 줄을 받아 든 강 선배는 3초 만에 말합니다. "지어낸 거네. 같은 면이 다섯 번 넘게 이어진 데가 한 군데도 없잖아."

사람은 무작위를 상상할 때 앞뒤를 너무 자주 바꿉니다. "앞앞앞앞앞앞"은 무작위처럼 보이지 않으니까요. 그런데 진짜 동전 100번에는 같은 면이 6번 이상 이어지는 곳이 있을 확률이 약 81%, 7번 이상일 확률도 절반이 넘습니다(약 54%). 가장 긴 연속이 4번 이하일 확률은 3%도 안 됩니다. 앞뒤가 바뀌는 횟수도 진짜 동전은 평균 약 50번인데, 사람은 60번 넘게 바꾸곤 합니다.

아래 실습대는 이 차이를 놀이로 만든 것입니다. 두 칸에 동전 100번의 결과가 있습니다(채운 원은 앞면, 빈 원은 뒷면). 하나는 컴퓨터가 정말 무작위로 던진 것이고, 하나는 사람의 버릇대로 지어낸 것입니다.

이 버릇은 실제 판단을 망칩니다. 룰렛에서 빨강이 다섯 번 연속 나오면 사람들은 "이제 검정 차례"라며 검정에 겁니다. 이것이 도박사의 오류(gambler's fallacy) 입니다. 동전과 룰렛은 앞의 결과를 기억하지 않습니다. 앞면이 다섯 번 연속 나온 뒤에도 다음 앞면의 확률은 그대로 1/2입니다.

"앞면이 다섯 번 연속 나올 확률은 1/32로 아주 작지 않나요?" 하린이 묻습니다. 맞습니다. 아직 던지기 전에 다섯 번 연속을 맞힐 확률은 1/32(약 3%)입니다. 하지만 이미 네 번 연속 앞면이 나온 뒤라면, 다섯 번째가 앞면일 확률은 그냥 1/2입니다. 앞의 네 번은 이미 일어난 일이라 확률에 더 이상 들어가지 않습니다.

반대 방향의 오류도 있습니다. 연속을 보고 "흐름을 탔다", "손이 뜨겁다"며 의미를 찾는 것입니다. 우연은 원래 뭉쳐서 오기 때문에, 뭉침 하나만 보고 원인을 찾으면 대개 헛짚습니다. 같은 지역에서 같은 병이 몇 건 몰려 나왔다는 기사, 어떤 펀드가 3년 연속 1등을 했다는 기사도 먼저 "우연이면 얼마나 자주 나와?"를 물어야 합니다.

1-4. 명당의 비밀: 분모를 물어라 (10분)

이제 제보로 돌아갑니다. 강 선배가 복권 판매 자료를 찾아 계산을 보여 줍니다. 제보 속 가게는 한 주에 약 15만 장을 팝니다. 동네 평범한 가게가 한 주에 수천 장을 파는 것과 비교하면 수십 배입니다.

10년은 약 520주이니, 이 가게가 10년 동안 판 표는

입니다. 한 장이 1등일 확률은 $1/8{,}145{,}060$이므로, 이 가게에서 나올 1등의 기댓값(평균적으로 기대되는 횟수) 은

입니다. 평범한 확률로 계산해도 10번 가까이 나와야 정상입니다. 실제로 나온 11번은 기댓값보다 조금 많을 뿐이고, 우연만으로 11번 이상이 나올 확률도 약 36%로 흔한 일입니다. 반대로 한 주에 3,000장을 파는 작은 가게는 10년에 156만 장을 팔아 기댓값이 약 0.19번입니다. 대부분 10년 동안 1등을 한 번도 못 냅니다.

1등이 많이 나온 가게는 잘 맞는 가게가 아니라 많이 파는 가게입니다. 줄이 길어서 더 많이 팔고, 많이 팔아서 1등이 더 나오고, 1등이 더 나와서 줄이 더 길어집니다. 그 가게에서 산 표 한 장의 1등 확률은 동네 가게와 똑같이 814만분의 1입니다.

아래 실습대는 가게 200곳을 10년 동안 흉내 냅니다. 점 하나가 가게 하나이고, 가로축은 그 가게의 한 주 판매량(로그 눈금), 세로축은 지금까지 나온 1등 횟수입니다. 매주 추첨에서 1등 표는 팔린 표 중에서 무작위로 정해지므로, 표를 많이 판 가게일수록 걸릴 기회가 많습니다. 남색 점은 방금 1등이 나온 가게, 주황 점은 지금까지 1등을 가장 많이 낸 다섯 곳입니다.

실습대의 두 번째 보기가 바로 강 선배의 첫 질문, "몇 장 중에?" 입니다. 1등 횟수(분자)만 보면 큰 가게가 명당처럼 보입니다. 판매량(분모)으로 나누면 모든 가게가 같아집니다. 숫자 기사에서 분모가 빠진 숫자를 보면 반드시 분모를 찾으세요.

• "○○에서 사고 1,200건": 몇 명 중에? 이용자가 많으면 사고 건수도 많습니다.
• "△△ 앱 사용자 중 범죄자 30명": 사용자가 300명인가요, 3,000만 명인가요?
• "위험이 두 배로": 1만 명 중 1명이 2명으로 늘었다면 두 배지만, 늘어난 사람은 1만 명 중 1명입니다. 상대적 증가(두 배)와 절대적 증가(0.01%p)를 함께 봐야 합니다.

기사에서는

명당 기사를 쓰려면 이렇게 써야 정확합니다. "이 가게는 1등이 11번 나왔지만, 판매량을 고려하면 평범한 확률로 기대되는 횟수(약 10번)와 비슷하다. 이 가게에서 산 표의 1등 확률은 다른 가게와 같다." 문 데스크는 "그럼 기사가 안 되네"라고 했지만, 강 선배의 생각은 다릅니다. "'명당은 없다'도 기사야. 사람들이 매주 그 줄에 서 있으니까."

1-5. 작은 표본은 극단을 만든다 (6분)

실습대의 '1천만 장당' 보기에서 가장 높이 튄 점들은 모두 왼쪽의 작은 가게였습니다. 판매량이 적으면 1등이 한 번만 나와도 비율이 엄청나게 커지고, 한 번도 안 나오면 0이 됩니다. 작은 표본은 양쪽 끝의 극단을 모두 만듭니다.

학교로 예를 들어 봅시다. 어느 시험의 합격률이 학생마다 30%로 똑같다고 합시다. 즉 학교의 실력 차이는 전혀 없습니다.

작은 학교가 100곳이면 그중 5곳쯤은 합격률 50%를 넘겨 "명문"으로, 3–4곳은 10% 아래로 떨어져 "문제 학교"로 보도될 수 있습니다. 실력 차이가 하나도 없는데도요. 큰 학교는 우연이 서로 상쇄되어 늘 30% 근처에 머뭅니다.

그래서 "합격률 1위 학교", "암 발생률이 가장 높은 군", "1인당 ○○가 가장 많은 마을" 같은 순위 기사를 보면 1위와 꼴찌가 작은 곳들인지 먼저 확인하세요. 1위도 꼴찌도 작은 곳이라면 원인보다 표본 크기가 먼저 의심됩니다.

자주 하는 착각 (4분)

• "확률이 1/2이면 두 번 중 한 번은 꼭 나온다." 아닙니다. 두 번 다 안 나올 확률이 1/4입니다. 확률은 아주 많이 되풀이할 때의 비율입니다.
• "뒷면이 연달아 나왔으니 이제 앞면이 나올 차례다." 도박사의 오류입니다. 동전은 기억이 없습니다. 큰 수의 법칙은 균형을 맞춰 주지 않고, 차이를 희석할 뿐입니다.
• "1등이 많이 나온 가게에서 사면 당첨 확률이 높다." 1등 횟수는 판매량에 비례합니다. 한 장의 확률은 어디서나 1/8,145,060입니다.
• "연속으로 일어났으니 이유가 있을 것이다." 우연은 원래 뭉쳐서 옵니다. 100번 던지면 같은 면이 6번 이상 이어질 확률이 80%가 넘습니다.
• "비율이 가장 높은 곳이 가장 위험하다(또는 가장 좋다)." 작은 표본은 양쪽 극단을 모두 만듭니다. 크기를 함께 보세요.

연습 문제 (4분)

1. 동전을 10번 던져 앞면이 7번 나왔습니다. 하린은 "이 동전은 앞면이 잘 나오는 동전"이라고 말합니다. 공정한 동전을 10번 던져 앞면이 7번 이상 나올 확률은 약 17%입니다. 하린의 결론에 대해 무엇이라고 말할 수 있을까요?
2. 매주 로또 5장을 30년 동안 산다면 모두 몇 장을 사는 걸까요? 그동안 1등이 한 번이라도 나올 확률은 대략 얼마일까요? (힌트: 아주 작은 확률에서는 "장 수 × 한 장의 확률"이 좋은 어림입니다.)
3. 어떤 질병의 위험이 "50% 증가"했다는 기사가 나왔습니다. 원래 위험이 1만 명 중 2명이었다면, 늘어난 뒤에는 1만 명 중 몇 명일까요? 절대적으로는 몇 %p 늘어난 걸까요?
4. 동전을 이미 4번 던져 모두 앞면이 나왔습니다. 다음 한 번이 앞면일 확률은? 처음 던지기 전에 "다섯 번 모두 앞면"일 확률은?

풀이

1. 공정한 동전으로도 열 번에 두 번꼴(약 17%)로 나오는 결과이므로, 이것만으로 동전이 치우쳤다고 말할 수 없습니다. 10번은 비율이 크게 출렁이는 작은 표본입니다. 판단하려면 훨씬 많이 던져 봐야 합니다. 6교시에서 이 "우연이면 얼마나 자주 나와?"를 p값이라는 이름으로 정식으로 다룹니다.
2. 5 × 52 × 30 = 7,800장입니다. 1등 확률은 약 7,800 / 8,145,060 ≈ 0.00096, 즉 약 0.1%입니다. 30년 동안 매주 사도 1,000명 중 한 명꼴로만 1등을 경험합니다.
3. 2명의 50%는 1명이므로 1만 명 중 3명이 됩니다. 절대적 증가는 1만 명 중 1명, 즉 0.01%p입니다. "50% 증가"와 "0.01%p 증가"는 같은 사실을 다르게 말한 것입니다. 기사에는 둘을 함께 쓰는 것이 공정합니다.
4. 다음 한 번이 앞면일 확률은 그대로 1/2입니다. 던지기 전에 "다섯 번 모두 앞면"일 확률은 1/2을 다섯 번 곱한 1/32(약 3.1%)입니다. 이미 일어난 네 번은 더 이상 확률에 들어가지 않습니다.

하린이 명당 판정 기사의 초고를 넘기고 퇴근 준비를 할 때, 문 데스크가 보도자료를 한 장 더 내려놓습니다. "내일 아침 거. '직장인 평균 월급 410만 원'. 댓글에 '나만 못 받냐'가 수천 개야." 강 선배가 자료를 힐끗 보고 말합니다. "평균이네. 내일은 평균이 어떻게 사람을 속이는지 보자." 2교시에서는 숫자 여러 개를 하나로 요약하는 법, 그리고 그 요약이 감추는 것을 다룹니다.