평균만 보면 속는다: 분포, 평균과 중앙값, 흩어짐

화요일 아침, 하린의 책상에 어제 받은 보도자료가 놓여 있습니다. 하린은 밤새 댓글을 읽었습니다. "선배, 댓글이 다 '나는 410 못 받는다'예요. 조사가 잘못된 거 아니에요?"

강 선배가 보도자료를 끝까지 넘깁니다. 마지막 장 부록에 월급 구간별 인원표가 있습니다. "숫자는 맞을 거야. 평균은 계산만 하면 나오니까. 문제는 평균이 '보통 사람'을 말해 주느냐야. 부록 맨 아래 봐." 표 아래 작은 글씨로 '중앙값 320만 원'이라고 적혀 있습니다.

문 데스크가 지나가다 묻습니다. "평균이 맞으면 기사 안 되는 거 아냐?" 강 선배가 답합니다. "평균은 맞고, 댓글도 맞아요. 둘 다 맞는 이유를 쓰면 기사가 됩니다."

이번 교시에서는 숫자 여러 개를 한눈에 보는 그림(분포)부터 그립니다. 그다음 평균과 중앙값이 어떻게 다른지, 흩어진 정도를 어떤 숫자로 말하는지 직접 점을 끌어 보며 익힙니다.

2-1. 숫자 하나 대신 점 그림 (6분)

평균은 숫자 여러 개를 하나로 줄인 값입니다. 줄이면 편하지만 반드시 무언가를 버립니다. 그래서 요약하기 전에 먼저 숫자 전체를 그림으로 봅니다.

예를 들어 편집국 기자 15명의 통근 시간(분)이 이렇다고 합시다.

이 숫자들을 수직선 위에 사람마다 점 하나로 찍은 것이 점 그림(dot plot) 입니다. 값이 비슷한 점은 위로 쌓습니다. 점이 수백, 수천 개가 되면 값을 구간으로 묶어 구간마다 몇 명인지 막대로 세운 히스토그램(histogram) 을 씁니다. 통근 시간이라면 0–10분, 10–20분처럼 10분 단위로 묶을 수 있습니다.

두 그림이 보여 주는 것을 분포(distribution) 라고 합니다. 값들이 어디에 몰려 있고, 어디까지 퍼져 있고, 어느 쪽으로 꼬리를 끄는지입니다. 평균 하나로는 이 모양을 알 수 없습니다. 평균이 45분인 자료는 위의 15명일 수도 있고, 10분 걸리는 7명과 70분 걸리는 8명일 수도 있습니다.

숫자 기사를 읽을 때 첫 번째 습관은 이것입니다. 요약값을 보기 전에 분포를 상상하라. 원자료나 구간별 표가 있으면 직접 그려 봅니다.

2-2. 평균은 시소의 받침점, 중앙값은 가운데 사람 (9분)

가장 많이 쓰는 요약값 두 가지입니다.

• 평균(mean): 모두 더해서 개수로 나눈 값.
• 중앙값(median): 크기 순으로 줄 세웠을 때 가운데 사람의 값. 개수가 짝수면 가운데 두 사람의 평균.

다섯 명의 월급(만 원)으로 계산해 봅시다. 250, 280, 300, 320, 850입니다. 다섯 값을 모두 더하면 2,000입니다.

중앙값은 세 번째 사람의 300입니다. 다섯 명 중 네 명이 평균 400보다 적게 받습니다. 850을 받는 한 사람이 평균을 끌어올렸기 때문입니다.

평균에는 그림으로 보는 뜻이 있습니다. 수직선을 시소 판으로, 점을 같은 무게의 추로 생각하면 평균은 시소가 수평을 이루는 받침점입니다. 실제로 각 값에서 평균을 뺀 차이를 모두 더하면 언제나 0입니다.

왼쪽 네 명의 차이를 합한 −450을 오른쪽 한 명의 +450이 혼자 버팁니다. 받침점에서 멀리 앉은 사람일수록 시소를 세게 누르기 때문입니다. 반면 중앙값은 순서만 봅니다. 850이 8,500이 되어도 가운데 사람은 여전히 300입니다.

아래 실습대에서 점 하나가 한 사람입니다. 남색 점을 끌어 옮기거나, 점을 누르고 키보드 ←→로 움직일 수 있습니다. 주황 실선과 판 아래 주황 삼각형이 평균(받침점), 청록 점선이 중앙값, 연한 주황 띠가 '평균 ± 1 표준편차'입니다(띠는 2-5절에서 다룹니다). 오른쪽 '모양' 칩으로 자료를 바꾸면 점들이 새 자리로 미끄러져 갑니다.

실습대에서 본 것을 정리합니다.

• 고르게 퍼진 자료(좌우가 대략 대칭)에서는 평균과 중앙값이 거의 같습니다. 이럴 때는 어느 것을 써도 '보통'을 잘 말해 줍니다.
• 한쪽으로 치우친 자료에서는 평균이 꼬리 쪽으로 끌려갑니다. 치우침 모양의 통근 시간은 중앙값 28분, 평균 약 36.7분입니다. 75분과 110분 두 사람이 받침점을 오른쪽으로 옮겼습니다.
• 두 무리로 나뉜 자료에서는 평균(약 45.1분)이 아무도 없는 빈 곳을 가리킵니다. 평균에서 가장 가까운 사람도 17분쯤 떨어져 있습니다. 걸어서 오는 사람과 먼 도시에서 오는 사람을 한데 섞은 평균입니다. 이럴 때는 평균도 중앙값도 아니라 "두 무리가 있다"는 사실이 핵심입니다.

2-3. 치우친 분포와 이상값: 평균 410만 원의 정체 (10분)

강 선배가 부록의 구간별 인원표와 같은 모양이 되게 21명짜리 축소판을 만들었습니다. 숫자는 이 강의를 위해 지어낸 것이지만, 월급 자료가 흔히 보이는 모양을 그대로 따릅니다.

모두 더하면 8,610만 원이고, 21로 나누면 평균은 정확히 410만 원입니다. 가운데인 11번째 사람은 320만 원입니다. 그리고 평균보다 적게 받는 사람이 21명 중 15명(약 71%) 입니다. 보도자료의 숫자도, "나는 410 못 받는다"는 댓글도 모두 맞습니다.

이런 모양을 오른쪽으로 치우친 분포(right-skewed distribution) 라고 합니다. 대부분이 왼쪽에 몰려 있고, 오른쪽으로 긴 꼬리가 뻗습니다. 월급은 0보다 작을 수 없지만 위로는 끝이 없어서 이런 모양이 되기 쉽습니다. 자산, 집값, 회사 매출, 유튜브 조회 수도 그렇습니다. 실제 임금 통계에서도 평균은 대개 중앙값보다 높습니다.

다른 점들과 동떨어진 값을 이상값(outlier) 이라고 합니다. 이상값은 잘못 적힌 값일 수도 있고, 진짜로 드문 값일 수도 있습니다. 1,240만 원을 받는 사람은 실수가 아니라 실제로 있는 사람입니다. 그러니 함부로 지우면 안 됩니다. 대신 이상값에 덜 흔들리는 요약값을 함께 봅니다. 중앙값이 그런 값입니다.

아래 실습대는 이 21명입니다. 위와 같은 색 약속(주황 받침점 = 평균, 청록 점선 = 중앙값)에 따라 그려집니다. 가로축은 월급(만 원)이고 2,400만 원까지 있습니다. '고소득자 한 명 추가'를 누르면 월 2,000만 원 이상을 받는 사람이 오른쪽 끝에서 미끄러져 들어옵니다.

고소득자 한 명이 더해지자 평균이 72만 원 넘게 올랐습니다. 원래 있던 21명의 월급은 한 푼도 바뀌지 않았는데도요. 평균은 모든 값을 반영한다는 장점이 있지만, 바로 그 때문에 이상값 하나에 크게 흔들립니다. 중앙값은 순서만 보므로 흔들림이 작습니다.

그렇다고 중앙값이 언제나 더 좋은 것은 아닙니다. 쓰임이 다릅니다.

보도자료가 평균을 쓴 것은 틀리지 않았습니다. 다만 "직장인은 보통 410만 원을 받는다"고 읽게 만든 것이 문제입니다. 강 선배가 정리한 기사 제목은 이렇습니다. "평균 월급 410만 원, 하지만 열에 일곱은 그보다 적게 받는다." 중앙값 320만 원을 함께 쓰면 독자의 감각과 숫자가 만납니다.

2-4. 흩어짐 ①: 범위, 사분위, 상자 그림 (7분)

가운데가 어디인지만큼 중요한 것이 얼마나 흩어져 있는지입니다. 평균 월급이 같은 두 회사라도, 모두 비슷하게 받는 회사와 몇 명만 아주 많이 받는 회사는 전혀 다릅니다.

가장 쉬운 흩어짐은 범위(range), 즉 가장 큰 값 − 가장 작은 값입니다. 21명 월급의 범위는 1,240 − 190 = 1,050만 원입니다. 하지만 범위는 양 끝의 두 사람만 봅니다. 고소득자 한 명이 들어오면 범위는 곧장 1,810만 원으로 늘어납니다.

그래서 양 끝을 잘라 내고 가운데 절반이 얼마나 퍼져 있는지를 봅니다. 줄 세운 값을 네 토막으로 나누는 세 지점을 사분위수(quartile) 라고 합니다.

• Q1(제1사분위수): 아래쪽 절반의 중앙값. 줄의 4분의 1 지점입니다.
• Q2: 전체의 중앙값.
• Q3(제3사분위수): 위쪽 절반의 중앙값. 줄의 4분의 3 지점입니다.
• 사분위 범위(IQR, interquartile range) = Q3 − Q1. 가운데 절반의 폭입니다.

21명이면 가운데 11번째를 빼고 아래 10명, 위 10명으로 나눕니다. 아래 10명(190–315)의 가운데 두 값은 265와 280이므로 Q1 = 272.5입니다. 위 10명(330–1,240)의 가운데 두 값은 420과 480이므로 Q3 = 450입니다. 사분위 범위는 450 − 272.5 = 177.5만 원입니다. 사분위수를 나누는 방법은 프로그램마다 조금씩 달라서, 다른 계산기로 하면 소수점 아래가 조금 다를 수 있습니다.

이 다섯 숫자(최솟값, Q1, 중앙값, Q3, 최댓값)를 그린 것이 상자 그림(box plot) 입니다. 상자가 가운데 절반이고, 상자 안의 선이 중앙값, 양옆의 수염이 나머지 값의 범위입니다. 흔히 상자에서 사분위 범위의 1.5배보다 더 떨어진 값은 수염에 넣지 않고 이상값으로 따로 찍습니다. 21명이면 450 + 1.5 × 177.5 = 716.25를 넘는 820과 1,240이 이상값으로 찍힙니다. 앞의 실습대에서 '상자 그림 (사분위)'를 켜면 바로 이 그림이 판 아래에 나옵니다.

상자 그림을 보면 치우침이 한눈에 보입니다. 중앙값 선이 상자 왼쪽에 붙어 있고(320은 272.5 쪽에 가깝습니다), 오른쪽 수염과 이상값이 길게 뻗습니다.

2-5. 흩어짐 ②: 분산과 표준편차 (8분)

범위와 사분위는 몇몇 위치만 봅니다. 모든 값을 써서 흩어짐을 하나의 숫자로 말하는 방법이 표준편차(standard deviation) 입니다. 한마디로 "값들이 평균에서 보통 얼마나 떨어져 있나" 의 대표값입니다.

평균이 똑같이 40분인 두 팀의 통근 시간으로 계산해 봅시다.

순서는 이렇습니다. 평균과의 차이를 구합니다. 차이를 그냥 더하면 2-2절에서 본 대로 언제나 0이 되므로, 제곱해서 부호를 없앱니다. 제곱의 평균을 분산(variance) 이라고 합니다. 분산은 단위가 '분의 제곱'이라 읽기 어려우므로, 제곱근을 씌워 원래 단위로 돌려놓은 것이 표준편차입니다. 식으로 쓰면 다음과 같습니다.

A팀은 평균에서 보통 7분쯤, B팀은 23분쯤 떨어져 있습니다. 평균은 같아도 B팀은 "40분쯤 걸린다"는 말이 잘 맞지 않는 팀입니다. 표본으로 모집단을 추정할 때는 $n$ 대신 $n-1$로 나누기도 합니다. 사람이 많으면 둘의 차이는 아주 작습니다.

앞의 실습대의 연한 주황 띠가 '평균 ± 1 표준편차'입니다. 고르게 퍼진 통근 시간 15명은 평균 45분, 표준편차 약 12.8분입니다. 띠(32.2–57.8분) 안에 15명 중 9명이 들어 있습니다. 점 하나를 멀리 끌면 띠가 눈에 띄게 넓어집니다. 표준편차도 평균처럼 모든 값을 쓰므로, 이상값에 민감합니다. 21명 월급의 표준편차는 약 240만 원인데, 고소득자 한 명을 더하면 약 406만 원으로 뜁니다.

표준편차는 3교시의 주인공입니다. 종 모양 분포에서는 "평균 ± 1 표준편차 안에 약 68%"처럼 표준편차가 곧 자(ruler)가 됩니다.

2-6. 백분위: 나는 몇 번째쯤인가 (3분)

백분위(percentile) 는 "나보다 작은 사람이 몇 %인가"입니다. 백분위 90이면 아래에 90%, 위에 10%가 있다는 뜻이고, 흔히 "상위 10%"라고 말합니다. 중앙값은 백분위 50, Q1과 Q3는 각각 백분위 25와 75입니다.

21명 월급에서 320만 원(중앙값)보다 적게 받는 사람은 10명, 약 48%입니다. 평균인 410만 원보다 적게 받는 사람은 15명, 약 71%입니다. 즉 평균 월급을 받는 사람은 백분위로 70쯤, 상위 30% 언저리에 있습니다. "평균은 받아야 중간은 간다"는 말은 치우친 분포에서는 틀립니다. 실습대에서 점 하나를 누르면 그 점보다 작은 점이 몇 개인지와 백분위가 나옵니다.

기호 읽는 법

기사에서는

"평균 ○○"를 보면 세 가지를 물어봅니다. 중앙값은 얼마인가? 평균과 중앙값이 많이 다르면 분포가 치우친 것입니다. 평균보다 적은 사람은 몇 %인가? 흩어짐은 어떤가? 같은 평균이라도 모두 비슷한지, 몇 명이 끌어올린 것인지가 다릅니다. 하린이 쓴 기사의 첫 문장은 이렇게 됐습니다. "직장인 평균 월급은 410만 원이지만, 가운데에 선 직장인의 월급(중앙값)은 320만 원이다. 소수의 고소득자가 평균을 끌어올려, 직장인 열 명 중 일곱은 평균보다 적게 받는다."

자주 하는 착각 (3분)

• "평균은 보통 사람의 값이다." 치우친 분포에서는 대부분이 평균보다 아래에 있습니다. 보통 사람의 값은 중앙값입니다.
• "이상값은 틀린 값이니 지운다." 진짜로 드문 값일 수 있습니다. 지우기 전에 원인을 확인하고, 지우지 않을 때는 중앙값·사분위처럼 덜 흔들리는 요약값을 함께 씁니다.
• "평균이 같으면 비슷한 집단이다." 흩어짐이 다르면 전혀 다른 집단입니다. 평균 40분인 A팀과 B팀의 표준편차는 세 배 넘게 차이 납니다.
• "표준편차는 평균에서 가장 멀리 떨어진 거리다." 아닙니다. '보통' 떨어진 거리의 대표값입니다. 많은 값이 평균 ± 1 표준편차 밖에도 있습니다.
• "평균 근처에 사람이 가장 많다." 두 무리로 나뉜 자료에서는 평균 근처에 아무도 없을 수 있습니다. 분포부터 보세요.

연습 문제 (4분)

1. 다섯 명의 월급이 230, 260, 300, 340, 370만 원입니다. 평균과 중앙값은? 370만 원인 사람이 1,370만 원으로 바뀌면 평균과 중앙값은 각각 어떻게 될까요?
2. 두 반의 수학 점수 평균이 똑같이 70점입니다. 1반의 표준편차는 3점, 2반은 15점입니다. 50점 아래인 학생이 있을 법한 반은 어느 반일까요?
3. "가구 평균 자산 5억 원, 중앙값 2억 원"이라는 기사가 있습니다. 자산 분포는 어떤 모양일까요? 자산이 2억 원 이하인 가구는 대략 몇 %일까요?
4. 40명이 시험을 봤는데 내 점수보다 낮은 사람이 30명입니다. 내 점수의 백분위는? 흔히 무엇이라고 말할까요?

풀이

1. 처음: 합 1,500 ÷ 5 = 평균 300만 원, 중앙값도 300만 원입니다. 바뀐 뒤: 합 2,500 ÷ 5 = 평균 500만 원으로 200만 원 오르지만, 중앙값은 그대로 300만 원입니다. 한 사람의 변화가 평균만 크게 움직였습니다.
2. 2반입니다. 1반은 대부분 70 ± 3점, 즉 67–73점 언저리에 몰려 있어 50점은 평균에서 표준편차 6배 넘게 떨어진 아주 드문 점수입니다. 2반은 70 ± 15점, 55–85점이 '보통 범위'라서 50점 아래도 드물지 않습니다.
3. 평균이 중앙값보다 훨씬 크므로 오른쪽으로 긴 꼬리를 가진 치우친 분포입니다. 소수의 큰 자산가가 평균을 끌어올렸습니다. 중앙값이 2억 원이므로 자산이 2억 원 이하인 가구는 약 50%입니다.
4. 30 ÷ 40 = 75%이므로 백분위 75입니다. 흔히 "상위 25%"라고 말합니다.

수요일 아침, 문 데스크가 휴대폰 화면을 내밉니다. 육아 앱 알림을 찍은 캡처들입니다. "맘카페에 이런 글이 수백 개야. '우리 아이 키가 또래 상위 3%래요!' 다들 상위 3%래. 앱이 부모들 기분 좋으라고 숫자를 부풀리는 거 아냐?" 하린이 웃습니다. "다 상위 3%면 말이 안 되죠." 강 선배는 캡처 하나를 확대합니다. "상위 3%를 어떻게 계산했는지부터 보자. 키는 종 모양이거든." 3교시에서는 그 종 모양, 정규분포가 어디서 오는지와 '상위 몇 %'를 계산하는 법을 다룹니다.