똑같이 나누면 분수

9월 5일 토요일 오후 2시입니다. 아파트 단지 앞 상가 1층의 작은 피자 가게 '반달 피자'는 점심 장사가 막 끝났습니다. 테이블은 네 개뿐이고, 손님은 대부분 포장이나 배달로 피자를 가져갑니다. 저녁 장사가 시작되는 5시까지는 가게가 한가합니다.

사장인 엄마(윤지현)는 반죽 그릇을 씻고 있습니다. 5학년 서윤은 주말마다 가게 일을 돕습니다. 지금은 계산대 옆에서 피자 상자를 접는 중입니다. 3학년 동생 서준은 4번 테이블에 학습지를 펴 놓고 연필을 굴리고 있습니다. 분수를 더 배우기 전에 담임 선생님이 내 준 복습 숙제입니다. 첫 문제는 이렇습니다. "똑같이 나눈 도형을 모두 찾아 ○표 하시오."

전화벨이 울립니다. 엄마가 주문을 받아 적습니다. "라지 페퍼로니 한 판, 22,000원. 3시 포장이요. …셋이서 공평하게요? 네, 알겠습니다." 전화를 끊은 엄마가 벽에 걸린 8등분 가이드 판을 쳐다봅니다. 라지는 늘 이 판을 대고 8조각으로 자릅니다.

"8조각을 셋이…. 두 개씩 주면 두 개가 남고, 세 개씩 주면 하나가 모자라네."

서윤이 상자를 접다 말고 말합니다. "그냥 셋으로 자르면 되잖아. 와이(Y) 자로." 서윤은 빈 상자 뚜껑에 매직으로 동그라미를 그리고, 가운데에서 선 세 개를 쭉 긋습니다. 서준이 학습지에서 고개를 듭니다. "누나, 그거 아래 조각이 제일 커! 공평하게 해야지!"

그때 문에 달린 종이 딸랑 울립니다. 오 선생님(오영자)입니다. 35년 동안 초등학교에서 아이들을 가르치다 은퇴한 선생님으로, 토요일마다 라지 고르곤졸라(18,000원) 한 판을 포장해 가는 단골입니다. 고르곤졸라가 구워지는 20분 동안 선생님은 늘 4번 테이블에 앉습니다. 오늘은 그 자리에 서준의 학습지와 서윤의 상자 뚜껑이 있습니다.

선생님이 상자 뚜껑을 한참 들여다보더니 웃습니다. "조각이 세 개면 셋이 똑같이 나눈 걸까?" 서윤이 어깨를 으쓱합니다. "세 개니까 3분의 1씩이죠. 그냥 공식 알려 주세요." 선생님은 대답 대신 계산대의 피자 칼(롤러)을 가리킵니다.

"칼 줘 봐, 잘라 보자."

이번 교시에서는 '똑같이 나눈다'는 말이 무슨 뜻인지부터 확인합니다. 그다음 똑같이 나눈 조각에 분수라는 이름을 붙이고, 조각 하나의 이름인 단위분수를 비교합니다. 마지막에 삼 남매의 피자를 어떻게 잘랐는지 봅니다. 초등학교 3학년 분수 단원에서 처음 배우는 내용입니다.

1-1. 똑같이 나눈다는 것 (9분)

피자 한 판처럼 나누기 전의 것을 전체, 나눈 조각 하나하나를 부분이라고 합니다. 분수는 "전체를 나눈 것 중 얼마"를 나타내는 수입니다. 그런데 아무렇게나 나누면 안 되고, 똑같이 나눠야 합니다.

'똑같이'는 조각의 크기가 모두 같다는 뜻입니다. 조각 수가 같다는 뜻이 아닙니다. 서윤이 상자 뚜껑에 그린 그림은 조각이 셋이지만, 아래 조각이 다른 두 조각보다 큽니다. 이렇게 나눈 것은 "셋으로 나눴다"고 할 수는 있어도 "셋으로 똑같이 나눴다"고 할 수는 없습니다. 그래서 그 큰 조각을 3분의 1이라고 부를 수도 없습니다.

피자는 가운데에서 바깥으로 칼집을 넣어 자릅니다. 이때 조각의 크기는 가운데 모인 뾰족한 끝이 얼마나 벌어져 있는지로 정해집니다. 끝이 넓게 벌어진 조각이 큰 조각입니다. 8등분 가이드 판은 이 벌어진 정도가 여덟 조각 모두 같도록 홈이 파여 있습니다.

아래 실습대는 둥근 피자 한 판입니다. 처음에는 라지처럼 8조각으로 잘려 있고, 위에서부터 3조각이 빨갛게 칠해져 있습니다. 조각을 누르면 칠하거나 지울 수 있고, 오른쪽에 칠한 양이 분수로 적힙니다. 칼집 끝의 흰 동그라미를 끌면 그 칼집이 돌아가서 조각 크기가 달라집니다(맨 위 칼집은 고정입니다). 조각 크기가 하나라도 다르면 분수 대신 **"똑같이가 아니에요"**가 뜹니다. '−', '+' 단추로 조각 수를 2부터 12까지 바꿀 수 있습니다.

실습대에서 두 가지를 확인할 수 있습니다.

1. 조각 수가 그대로여도 크기가 다르면 똑같이 나눈 것이 아닙니다. 칼집 하나만 옮겨도 8조각은 8조각이지만, 더 이상 "8분의 1짜리 조각 여덟 개"가 아닙니다.
2. 셋으로 똑같이 나누는 방법은 있습니다. 다만 8등분 칼집으로는 안 됩니다. 칼집을 처음부터 다르게 넣어야 합니다.

엄마가 처음에 한 계산도 다시 보겠습니다. 8조각을 세 사람에게 똑같이 나눠 주려면 한 사람에 몇 조각씩 주면 될까요? 두 조각씩 주면 $2 \times 3 = 6$조각이 나가고 2조각이 남습니다. 세 조각씩 주면 $3 \times 3 = 9$조각이 필요한데 8조각밖에 없습니다. 8을 3으로 나누면 몫이 2이고 나머지가 2입니다. 나머지가 생기니까 조각을 쪼개지 않고는 셋이 똑같이 나눌 수 없습니다.

남은 2조각을 다시 셋으로 자르면 어떨까요? 그러면 한 사람이 큰 조각 두 개와 작은 조각 몇 개를 받게 되어 양은 맞출 수 있습니다. 하지만 아이들 손에 든 조각 모양이 제각각이라 "공평하다"고 느끼기 어렵고, 피자 위의 토핑도 엉망이 됩니다. 가게에서 쓸 방법은 아닙니다.

1-2. 분수로 이름 붙이기 (9분)

오 선생님이 서준의 학습지 뒷면에 동그라미를 그리고 칼집 8개를 넣은 다음, 세 조각을 색칠합니다. "서준아, 피자 한 판을 똑같이 8조각으로 나눴어. 그중 칠한 건 몇 조각이야?" "세 조각요." "그걸 이렇게 써." 선생님이 가로선을 긋고, 아래에 8, 위에 3을 씁니다.

전체를 똑같이 8로 나눈 것 중의 3을 $\frac{3}{8}$이라 쓰고 8분의 3이라고 읽습니다. 이런 수를 분수라고 합니다.

우리말로 읽을 때는 분모를 먼저 말합니다. "8분의 3"은 "8로 나눈 것 중의 3"이라는 뜻을 순서 그대로 담고 있습니다. 쓸 때도 가로선을 먼저 긋고, 분모를 쓰고, 분자를 씁니다. 무엇으로 나눴는지 정해야 몇 개인지 셀 수 있으니까요.

설거지를 하던 엄마가 고개를 돌립니다. "엄마 때는 위가 분자, 아래가 분모라고 그냥 외웠는데. 읽는 순서에도 뜻이 있었네."

분모(分母)의 '모'는 어머니, 분자(分子)의 '자'는 아들이라는 한자입니다. 아래에서 받쳐 주는 것이 분모, 위에 올라앉은 것이 분자라고 기억하면 헷갈리지 않습니다.

칠하지 않은 부분과 한 판 전체

$\frac{3}{8}$을 칠하면 칠하지 않은 조각은 5조각, 곧 $\frac{5}{8}$입니다. 칠한 3조각과 칠하지 않은 5조각을 합치면 8조각, 한 판 전체입니다. 실습대에서 8조각을 모두 칠하면 $\frac{8}{8}$이 적히고 그 옆에 "= 1 (한 판 전체)"가 나옵니다.

분모와 분자가 같은 분수는 언제나 전체 하나, 곧 1입니다. 2조각으로 나눈 피자를 다 먹어도 $\frac{2}{2} = 1$판, 12조각으로 나눈 피자를 다 먹어도 $\frac{12}{12} = 1$판입니다. 조각 수는 달라도 먹은 양은 한 판으로 같습니다.

거꾸로 하나도 칠하지 않으면 $\frac{0}{8}$이고, 이것은 0입니다. 실습대에서 '칠한 것 지우기'를 누르면 $\frac{0}{8}$이 보입니다.

1-3. 단위분수: 한 조각의 이름 (9분)

$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}$처럼 분자가 1인 분수를 단위분수라고 합니다. 똑같이 나눈 조각 하나의 이름입니다. 다른 분수는 모두 단위분수가 몇 개 모인 것입니다. $\frac{3}{8}$은 $\frac{1}{8}$ 조각이 3개, $\frac{5}{12}$는 $\frac{1}{12}$ 조각이 5개입니다.

여기서 서준이 학습지의 둘째 문제를 들고 옵니다. "$\frac{1}{2}$과 $\frac{1}{8}$ 중 더 큰 것에 ○표 하시오." 서준은 벌써 $\frac{1}{8}$에 동그라미를 쳤습니다. "8이 2보다 크니까 8분의 1이 더 크지!"

오 선생님이 묻습니다. "라지 한 판을 너랑 누나 둘이 나눠 먹을 때랑, 우리 반 친구 여덟 명이 나눠 먹을 때랑, 언제 네 조각이 더 커?" 서준이 잠깐 생각합니다. "…둘이 먹을 때요." "그럼 $\frac{1}{2}$ 조각이랑 $\frac{1}{8}$ 조각 중에 어느 게 커?"

분모는 몇으로 나눴는지입니다. 같은 한 판을 더 많은 조각으로 나눌수록 한 조각은 작아집니다. 그래서 단위분수는 분모가 클수록 작습니다. 자연수에서는 8이 2보다 크지만, $\frac{1}{8}$은 $\frac{1}{2}$보다 작습니다.

아래 실습대의 위 그림은 피자 한 판 위에 고른 단위분수 조각을 모두 12시 방향에서 시작해 겹쳐 그린 것입니다. 큰 조각이 뒤에, 작은 조각이 앞에 놓입니다. 아래 그림은 같은 길이의 띠를 분모만큼 칸으로 나누고 첫 칸만 칠해 나란히 놓은 것입니다. 오른쪽 단추로 $\frac{1}{2}$부터 $\frac{1}{12}$까지 넣고 뺄 수 있고, '차례로 보기'는 $\frac{1}{2}$부터 $\frac{1}{12}$까지 하나씩 더해 갑니다.

실습대의 띠 그림에서 보이듯, 단위분수의 크기 순서는 분모의 순서와 거꾸로입니다.

몇 배 차이인지도 셀 수 있습니다. $\frac{1}{2}$ 조각 하나를 다시 똑같이 4조각으로 자르면 한 판이 $2 \times 4 = 8$조각으로 나뉜 것과 같으므로, 그 작은 조각 하나가 $\frac{1}{8}$입니다. 그래서 $\frac{1}{2}$ 한 조각에는 $\frac{1}{8}$ 조각이 4개 들어갑니다. 실습대의 '1/2 한 조각 = 1/8 조각 4개'가 이것입니다.

같은 피자에서만 비교한다

서윤이 끼어듭니다. "그럼 레귤러 한 조각이 라지 한 조각보다 커? 레귤러는 6조각이니까 $\frac{1}{6}$이고 라지는 $\frac{1}{8}$이잖아." 엄마가 웃습니다. "레귤러는 판 자체가 작잖아."

$\frac{1}{6}$이 $\frac{1}{8}$보다 크다는 말은 같은 전체를 나눴을 때만 맞습니다. 레귤러 한 판과 라지 한 판은 전체부터 크기가 다릅니다. 분수는 "전체의 얼마"라서, 전체가 다르면 분수만 보고는 어느 조각이 큰지 알 수 없습니다. 두 피자의 조각을 비교하려면 판의 크기까지 알아야 합니다. 이 강의에서 분수끼리 비교할 때는 따로 말하지 않으면 같은 크기의 판을 나눈 것으로 생각합니다.

1-4. 삼 남매의 피자: 6조각으로 자르기 (6분)

이제 주문으로 돌아갑니다. 페퍼로니가 오븐에서 나오자 오 선생님이 피자 칼을 받아 듭니다. "8등분 판은 치워 두자. 이 피자를 시계라고 생각해 봐." 선생님은 12시 자리에서 가운데를 지나 6시 자리까지 칼을 한 번 굴립니다. 그다음 2시에서 8시까지, 4시에서 10시까지 굴립니다. 칼을 세 번 굴리니 같은 크기의 조각이 6개 생겼습니다.

"한 시간이 $\frac{1}{12}$판이니까, 두 시간짜리 조각은 몇 판일까?" 서윤이 손가락을 꼽습니다. "12시간이 한 판이고, 두 시간씩 끊으면 6조각…. 한 조각이 $\frac{1}{6}$판이요."

이제 삼 남매에게 두 조각씩 주면 됩니다. $2 \times 3 = 6$이라 남는 조각이 없습니다. 한 사람이 받는 양은 6조각 중 2조각, 곧 $\frac{2}{6}$판입니다. 세 사람 몫이 모두 $\frac{2}{6}$로 같으니 공평합니다.

엄마는 6조각을 골랐습니다. 아이들이 한 손으로 들기 좋은 크기이기 때문입니다. 표의 아래 세 줄은 모두 셋이 똑같이 나눈 방법입니다. 그러면 $\frac{1}{3}$판, $\frac{2}{6}$판, $\frac{4}{12}$판은 서로 같은 양일까요? 이름은 다른데 한 사람이 먹는 양은 그대로입니다. 이 질문은 다음 주 2교시에서 칼집을 더 넣는 실습대로 확인합니다.

3시 정각, 102동 손님이 삼 남매와 함께 피자를 찾으러 왔습니다. 막내가 상자를 열자마자 조각을 두 개씩 집어 들고 셋이 나란히 겹쳐 봅니다. "똑같아!" 서준이 계산대 뒤에서 작게 말합니다. "그거 6분의 2야."

자주 하는 오해 (4분)

• "셋으로 나눴으니까 한 조각은 3분의 1이다." 조각이 셋이어도 크기가 다르면 3분의 1이 아닙니다. 분수는 똑같이 나눈 것에만 붙이는 이름입니다. 서윤의 상자 뚜껑 그림이 그 예입니다.
• "분모가 크면 더 큰 수다." 단위분수끼리는 거꾸로입니다. 분모는 몇으로 나눴는지라서, 클수록 한 조각은 작습니다. 1/8은 1/2보다 작습니다. 자연수에서 "큰 수 = 많다"를 3년 가까이 배워 온 아이에게 가장 흔한 오해입니다.
• "3/8은 3과 8, 두 개의 수다." 3/8은 피자 한 판의 8분의 3이라는 하나의 양입니다. 위와 아래의 수가 함께 하나의 크기를 나타냅니다. 2교시에서는 이 양을 수직선 위의 한 점으로 찍어 봅니다.
• "1/2은 언제나 같은 양이다." 분수는 전체의 얼마입니다. 라지 반 판과 레귤러 반 판은 둘 다 1/2판이지만 양이 다릅니다. 분수끼리 비교할 때는 같은 전체를 나눴는지 먼저 봅니다.
• "8조각 피자는 몇 명이든 나눌 수 있다." 조각을 쪼개지 않으려면 사람 수로 8이 나누어떨어져야 합니다(1, 2, 4, 8명). 셋이 나눌 때는 칼집부터 다시 넣습니다.

집에서 해 보기

• 종이 접시를 반으로 접고, 다시 반으로 접고, 한 번 더 접어 펼칩니다. 접힌 선을 따라 칼집을 그리면 8등분 피자가 됩니다. 세 조각을 색칠하고 "8분의 3"이라고 써 봅니다.
• 색종이를 셋으로 똑같이 접어 봅니다. 반으로 접기보다 훨씬 어렵다는 것을 느끼면 성공입니다. 접은 세 칸을 겹쳐서 크기가 같은지 확인합니다.
• 12칸짜리 초콜릿 판을 셋이 나눠 먹습니다. 한 사람에 몇 칸인지, 그것이 전체의 몇 분의 몇인지 말해 봅니다(4칸, 12분의 4).

연습 문제 (4분)

1. 라지 피자 한 판(8조각) 가운데 5조각을 먹었습니다. 먹은 부분과 남은 부분을 분수로 쓰고 읽으세요.
2. 사각 초콜릿 판이 똑같은 12칸으로 되어 있습니다. 그중 7칸을 먹었다면 먹은 것은 전체의 얼마일까요? 남은 것을 모두 먹으면 전체의 얼마를 먹은 것일까요?
3. 같은 크기의 피자 한 판을 나눈 조각입니다. 1/4, 1/10, 1/6 가운데 가장 큰 것과 가장 작은 것을 고르고, 그 이유를 "몇으로 나눴는지"를 넣어 설명하세요.
4. 친구 다섯 명이 라지 한 판을 똑같이 나눠 먹으려고 합니다. 8조각으로 자르면 왜 안 될까요? 오 선생님의 시계 칼집(12조각)으로는 될까요? 칼집을 몇 개 넣어 몇 조각으로 자르면 될까요?

풀이

1. 전체를 8로 나눈 것 중 5조각을 먹었으니 먹은 부분은 5/8(8분의 5), 남은 것은 3조각이라 **3/8(8분의 3)**입니다.
2. 먹은 것은 **7/12(12분의 7)**입니다. 남은 5칸까지 다 먹으면 12칸 모두이므로 12/12 = 1, 곧 판 전체입니다.
3. 셋 다 단위분수이므로 분모만 비교합니다. 4로 나눈 것이 가장 적게 나눈 것이라 조각이 가장 크고, 10으로 나눈 것이 가장 많이 나눈 것이라 조각이 가장 작습니다. 가장 큰 것 1/4, 가장 작은 것 1/10.
4. 8을 5로 나누면 몫 1, 나머지 3이라 3조각이 남습니다. 12를 5로 나누면 몫 2, 나머지 2라 시계 칼집으로도 남습니다. 5명이 남김없이 나누려면 조각 수가 5, 10, 15처럼 5로 나누어떨어지는 수여야 합니다. 가운데에서 바깥쪽으로만 칼집 5개를 같은 간격으로 넣어 5조각으로 자르면 한 사람에 1조각(1/5판)입니다. 10조각으로 자르면 한 사람에 2조각(2/10판)입니다. 피자 칼(롤러)로 가운데를 지나게 굴리면 한 번에 칼집이 두 개 생기므로, 5조각은 칼로 굴리기보다 칼집을 하나씩 넣어야 합니다.

고르곤졸라 상자를 받아 든 오 선생님이 문을 나서다 돌아봅니다. "서준아, 아까 그 $\frac{1}{3}$이랑 $\frac{2}{6}$ 말이야. 이름이 다른데 같은 양일까? 다음 주에 칼 들고 다시 보자." 다음 주 토요일(9월 12일)에는 "반 판만 따로 싸 주세요"라는 주문에 서윤이 4조각을 담았다가 "반 판이랑 똑같아요?"라는 질문을 받습니다. 2교시에서는 칼집을 더 넣어도 양이 그대로인 크기가 같은 분수와 수직선 위의 분수를 봅니다.