같은 크기, 다른 이름

9월 12일 토요일 오후 2시 반입니다. 반달 피자의 4번 테이블에는 오늘도 서준의 학습지가 펼쳐져 있습니다. 지난주에 복습한 '똑같이 나누기'에 이어, 이번 주 숙제는 분수의 크기 비교입니다.

문이 열리고 동네 단골 할아버지 한 분이 들어옵니다. 혼자 사시는 분이라 라지 한 판을 시키면 늘 반은 가게에서 드시고 반은 저녁으로 싸 가십니다. "라지 페퍼로니 한 판, 22,000원이요." 엄마가 피자를 8등분 가이드 판으로 자르고, 서윤이 그중 4조각을 포장 상자에 담아 할아버지 앞에 놓습니다.

할아버지가 상자를 열어 보고 장난스럽게 묻습니다. "반 판 달랬는데 네 조각이네? 반 판이랑 똑같아요?"

서윤이 대답하기도 전에 서준이 학습지에서 고개를 듭니다. "네 조각이 더 많아요! 반은 1이고, 네 조각은 4잖아요." 할아버지가 껄껄 웃습니다. 엄마가 서준의 머리를 쓰다듬으며 서윤에게 작게 말합니다. "엄마 때는 분모랑 분자에 같은 수를 곱하면 같은 분수라고 그냥 외웠는데…. 왜 그런지 물어보면 할 말이 없네."

종이 딸랑 울리고 오 선생님이 들어옵니다. 고르곤졸라 한 판을 주문하고 4번 테이블에 앉으면서 할아버지의 상자를 넘겨다봅니다. "좋은 질문이네요. 서윤아, 칼 줘 봐. 반 판을 직접 잘라 보자."

이번 교시에서는 반 판과 네 조각이 정말 같은 양인지 확인합니다. 그 까닭을 칼집으로 설명하고, 크기가 같은 분수를 만드는 규칙을 찾습니다. 그다음 분수를 수직선 위의 한 점으로 찍어 보고, 분수끼리 크기를 비교합니다. 3~4학년 분수 단원의 크기 비교와 1보다 큰 분수, 그리고 5학년에서 정식으로 이름을 붙여 배우는 '크기가 같은 분수'를 그림으로 먼저 봅니다.

2-1. 반 판과 네 조각 (8분)

오 선생님이 새 페퍼로니 대신 빈 상자 뚜껑을 하나 집어 듭니다. 지난주처럼 동그라미를 그리고, 12시에서 가운데를 지나 6시까지 선을 하나 긋습니다. 오른쪽 절반을 칠합니다. "이게 반 판, $\frac{1}{2}$이야."

다음에는 3시에서 9시까지 선을 하나 더 긋습니다. 칠한 부분은 손대지 않았는데 조각이 4개가 됐고, 칠한 조각은 2개입니다. 선을 두 개 더 그어 8조각으로 만들면 칠한 조각은 4개입니다.

"서준아, 선을 그을 때 칠한 부분이 넓어졌어, 좁아졌어?" "…그대로예요." "그럼 반 판이랑 네 조각은?" "똑같아요." 서준이 할아버지를 슬쩍 봅니다. 할아버지가 고개를 끄덕입니다. "똑같구나. 그럼 됐다."

칼집을 더 넣는 것은 조각을 쪼개는 일입니다. 피자를 더하거나 덜어 내지 않습니다. 그래서 칠한 넓이는 그대로이고, 바뀌는 것은 조각 수와 그 이름뿐입니다.

이렇게 나타내는 양이 같은 분수를 크기가 같은 분수라고 합니다. 서준이 "4가 1보다 크다"고 한 것은 분자만 본 것입니다. $\frac{4}{8}$의 한 조각은 $\frac{1}{8}$판이라서 $\frac{1}{2}$판짜리 조각보다 훨씬 작습니다. 작은 조각 4개가 큰 조각 1개와 같습니다. 1교시에 실습대에서 본 "1/2 한 조각 = 1/8 조각 4개"가 바로 이것입니다.

아래 실습대에서는 칠한 조각을 그대로 두고 칼집만 더 넣습니다. '칼집 2배'를 누르면 조각마다 가운데에서 새 칼집(남색)이 자라 나와 조각 하나가 둘로 갈라집니다. '칼집 3배'는 조각 하나를 셋으로 가릅니다. 오른쪽에는 지금까지 나온 이름이 "="로 이어지고, 그 아래에 분자와 분모가 각각 몇 배가 됐는지 적힙니다. 조각은 24개까지 자를 수 있습니다. '처음 분수' 단추로 처음 분수를 $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}$으로 바꿀 수 있습니다.

2-2. 칼집을 더 넣으면 분모와 분자가 같이 커진다 (9분)

할아버지가 돌아가고 가게가 다시 조용해지자, 엄마가 남매에게 레귤러 치즈 피자 한 판(6조각)을 간식으로 내옵니다. "반씩 나눠 먹어." 서준이 재빨리 3조각을 자기 접시로 옮깁니다. 서윤은 남은 3조각을 피자 칼로 하나씩 반으로 자릅니다.

"나는 6조각이다. 내가 너보다 두 배 많네." 서준이 소리칩니다. "그런 게 어딨어! 공평하게 해!" 그러다 누나 접시를 들여다보고 멈춥니다. "…누나 조각이 내 거 반만 해." 서윤이 웃습니다. "그러니까 똑같지. 아까 네가 할아버지한테 한 말이랑 같은 거야."

서윤이 한 일을 숫자로 적어 봅니다. 레귤러 한 판은 6조각이니 서윤의 몫은 처음에 $\frac{3}{6}$이었습니다. 조각마다 칼집을 하나씩 넣었으니, 한 판 전체를 그렇게 잘랐다면 조각은 $6 \times 2 = 12$개가 됩니다. 서윤의 조각도 $3 \times 2 = 6$개가 됩니다.

조각 하나를 똑같이 $k$조각으로 자르면, 전체 조각 수도 $k$배, 칠한 조각 수도 $k$배가 됩니다. 그래서 분모와 분자에 같은 수를 곱한 분수는 처음 분수와 크기가 같습니다. 엄마가 외웠던 규칙의 까닭이 이것입니다. 곱하는 수는 칼집을 몇 배로 넣었는지를 뜻합니다.

표의 둘째 줄을 보세요. 지난주 삼 남매가 받은 $\frac{2}{6}$판은 $\frac{1}{3}$판과 같습니다. 오 선생님이 1교시 끝에 낸 질문의 답입니다. 셋이 나눌 때 3조각으로 자르든($\frac{1}{3}$), 6조각으로 자르든($\frac{2}{6}$), 12조각으로 자르든($\frac{4}{12}$) 한 사람이 먹는 양은 같습니다.

더하면 안 되고, 곱해야 한다

서준이 신이 나서 학습지 빈칸에 씁니다. "$\frac{2}{3} = \frac{3}{4}$. 위에도 1 더하고 아래에도 1 더했어. 똑같이 했으니까 같지?" 오 선생님이 고개를 젓습니다. "칼집을 넣는 건 몇 배로 자르는 거였지? 위아래에 1을 더하는 건 어떤 칼질이야?"

1을 더하는 칼질은 없습니다. 분자와 분모에 같은 수를 더하면 양이 달라집니다. $\frac{2}{3}$와 $\frac{3}{4}$을 비교하는 방법은 예제 2-2에서 봅니다. 크기가 같은 분수를 만드는 것은 곱하기(칼집을 몇 배로 넣기)뿐입니다. 곱셈을 거꾸로 하는 나누기(조각을 묶기)도 같은 분수를 만드는데, 그것은 3교시의 약분입니다.

2-3. 수직선 위의 분수 (9분)

오 선생님이 학습지 뒷면에 동그라미 대신 길쭉한 줄을 하나 긋습니다. "피자를 동그랗게 말고 길게 편 띠라고 생각해 보자. 여기 왼쪽 끝이 0, 오른쪽 끝이 1. 한 판의 길이야." 선생님은 그 줄을 네 칸으로 똑같이 나누는 짧은 눈금을 긋습니다.

이렇게 0과 1 같은 수를 같은 간격으로 적은 직선을 수직선이라고 합니다. 0에서 1까지를 똑같이 4칸으로 나누면 한 칸의 길이가 $\frac{1}{4}$이고, 0에서 3칸 간 곳이 $\frac{3}{4}$입니다. 분수가 피자 조각처럼 양일 뿐 아니라, 줄 위의 한 점, 곧 하나의 수라는 것이 보입니다.

수직선은 1에서 끝나지 않습니다. 1 오른쪽에 두 번째 판의 띠를 이어 붙이면 1에서 2까지가 생깁니다. 0에서 5칸 간 곳은 한 판을 넘어 두 번째 판의 첫 칸, $\frac{5}{4}$입니다.

수직선에서 자주 하는 실수가 있습니다. 눈금을 세지 말고 칸을 세야 합니다. 0에 있는 눈금부터 하나, 둘, 셋 하고 세면 $\frac{3}{4}$ 자리에 가지 못하고 $\frac{2}{4}$ 자리에서 멈춥니다. 0은 출발점이고, 분자는 0에서 몇 칸 걸어갔는지입니다.

아래 실습대의 가로줄이 0부터 2까지의 수직선입니다. 1부터 2까지는 연한 노란색으로 칠해 두었습니다. 아래 칸의 분수 카드를 끌어다 수직선 위 맞는 자리에 놓으세요(카드를 누른 다음 수직선을 눌러도 됩니다). 놓은 곳은 가장 가까운 눈금에 붙습니다. 맞으면 카드가 초록색으로 꽂히고, 같은 자리에 선 카드는 위로 쌓입니다. 틀리면 놓은 곳에 빨간 ×가 생기고, 그 자리의 이름과 찾는 방법이 나옵니다. 오른쪽에서 카드 묶음과 '0과 1 사이 눈금' 칸 수(2, 3, 4, 6, 8, 12칸)를 바꿀 수 있고, '눈금에 분수 쓰기'를 켜면 눈금마다 이름이 적힙니다.

실습대에서 본 것을 정리합니다.

1. 크기가 같은 분수는 수직선의 같은 점에 섭니다. $\frac{1}{2}$과 $\frac{2}{4}$는 같은 눈금에 꽂힙니다. 이름은 둘이지만 수는 하나입니다. 3칸·6칸 카드에서는 $\frac{1}{3}$과 $\frac{2}{6}$, $\frac{2}{3}$와 $\frac{4}{6}$가 같은 점에 섭니다.
2. 분모와 분자가 같은 분수는 1에 섭니다. $\frac{4}{4}$도 $\frac{3}{3}$도 1입니다.
3. 분자가 분모보다 큰 분수는 1보다 오른쪽에 섭니다. $\frac{5}{4}$는 1에서 한 칸, $\frac{3}{2}$은 1과 2의 한가운데입니다. $\frac{3}{2}$을 4칸 눈금에서 찾으려면 $\frac{3}{2} = \frac{6}{4}$으로 바꿔서 0에서 6칸을 걸어가면 됩니다.
4. 눈금이 맞지 않으면 분수를 찍을 수 없습니다. 4칸 눈금에는 $\frac{1}{3}$ 자리가 없습니다. 3칸이나 6칸, 12칸 눈금으로 바꾸면 생깁니다. 서로 다른 분모의 분수를 한 수직선에 찍으려면 두 분모 모두에 맞는 눈금이 필요합니다. 이 생각이 3교시의 통분으로 이어집니다.

2-4. 어느 쪽이 더 많을까: 분수의 크기 비교 (8분)

서준의 숙제 마지막 장입니다. "○ 안에 >, =, <를 알맞게 써넣으시오." 오 선생님이 문제를 세 가지로 나눠 줍니다.

분모가 같을 때: 조각 수만 센다

$\frac{3}{8}$과 $\frac{5}{8}$는 둘 다 라지를 8조각으로 나눈 것입니다. 조각 크기가 같으니 조각이 많은 쪽이 큽니다. 분자만 비교하면 됩니다.

분자가 같을 때: 조각 크기를 본다

$\frac{2}{3}$와 $\frac{2}{5}$는 둘 다 2조각입니다. 조각 수가 같으니 조각이 큰 쪽이 큽니다. 1교시에서 본 대로 분모가 작을수록 조각이 크므로 $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$, 따라서

입니다. 분자가 같을 때는 분모가 작은 쪽이 큽니다. 분모가 같을 때와 방향이 거꾸로라서 아이들이 가장 많이 틀리는 곳입니다.

둘 다 다를 때: 같은 크기의 이름으로 바꾼다

$\frac{1}{2}$과 $\frac{3}{8}$은 분모도 분자도 다릅니다. 이럴 때는 2-2절의 칼집을 씁니다. $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$로 바꾸면 분모가 같아집니다.

수직선에 찍어 보고 오른쪽에 있는 수가 크다고 판단해도 됩니다. 실습대의 '크기 비교 카드'(8칸 눈금)에서 $\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{3}{8}, \frac{1}{2}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}, \frac{9}{8}$가 왼쪽부터 차례로 늘어서는 것을 볼 수 있습니다. 분모가 모두 다른 두 분수를 비교하는 일반적인 방법(통분)은 3교시에서 다룹니다.

1보다 큰 분수 맛보기

가게 문을 닫기 전, 엄마가 진열대에 남은 조각을 셉니다. 라지 조각이 9개 남았습니다. 한 판이 8조각이니 9조각은 $\frac{9}{8}$판, 한 판하고 $\frac{1}{8}$판입니다. 분자가 분모보다 크면 1보다 큰 분수입니다. 수직선에서는 1의 오른쪽에 섭니다.

이런 분수를 부르는 이름(가분수, 대분수)과 1을 넘을 때 판을 하나 더 꺼내는 계산은 4교시 분수의 덧셈에서 자세히 봅니다. 지금은 "분수는 1을 넘을 수 있고, 그때 1은 $\frac{8}{8}$처럼 한 판 전체"라는 것만 기억하면 됩니다.

자주 하는 오해 (3분)

• "4/8는 분자가 4라서 1/2보다 크다." 분자는 조각 수일 뿐이고, 조각 크기는 분모가 정합니다. 4/8의 조각은 1/2의 조각보다 작아서, 작은 조각 4개가 큰 조각 1개와 같습니다.
• "분자와 분모에 같은 수를 더해도 같은 분수다." 2/3와 3/4은 다릅니다. 크기가 같은 분수는 같은 수를 곱해야(칼집을 몇 배로 넣어야) 만들어집니다.
• "수직선에서 눈금을 세면 된다." 0의 눈금부터 세면 한 칸씩 모자랍니다. 분자는 0에서 걸어간 칸 수입니다.
• "분자가 같으면 분모가 큰 쪽이 크다." 거꾸로입니다. 분자가 같으면 조각 수가 같으니 조각이 큰 쪽, 곧 분모가 작은 쪽이 큽니다(2/3 > 2/5).
• "분수는 1보다 작다." 9/8처럼 분자가 분모보다 크면 1보다 큽니다. 한 판을 넘은 조각을 셀 때 생깁니다.

집에서 해 보기

• 종이 접시 두 장을 준비합니다. 하나는 반으로만 접고, 다른 하나는 반, 반, 반으로 세 번 접어 8칸을 만듭니다. 첫 접시의 반을 칠하고, 둘째 접시의 4칸을 칠한 다음 두 접시를 겹쳐 칠한 부분이 똑같은지 봅니다.
• 긴 종이 띠 두 개를 같은 길이로 자릅니다. 하나는 4칸, 하나는 8칸으로 접고 접은 선에 눈금을 그립니다. 3/4과 6/8 자리에 각각 점을 찍고 두 띠를 나란히 대어 봅니다.
• 초콜릿 판(12칸)의 반을 먹을 때 몇 칸을 먹는지, 1/3을 먹을 때 몇 칸인지 말해 봅니다(6칸 = 6/12, 4칸 = 4/12).

연습 문제 (3분)

1. 빈칸에 알맞은 수를 넣으세요. 2/5 = □/10 = □/15 = 8/□
2. 0과 1 사이를 3칸으로 나눈 수직선에서, 4/3와 5/3는 각각 0에서 몇 칸 간 곳일까요? 둘 중 어느 것이 2에 더 가까울까요?
3. 서윤은 레귤러 피자(6조각)에서 3조각을, 서준은 라지 피자(8조각)에서 4조각을 먹었습니다. 서준이 "둘 다 반 판이니까 똑같이 먹었어"라고 말합니다. 맞는 말일까요?
4. 같은 크기의 판입니다. 5/8, 1/2, 3/4, 3/8을 작은 것부터 차례로 쓰세요.

풀이

1. 분모 5가 10이 되려면 2배, 15가 되려면 3배이므로 분자도 2배, 3배 합니다. 분자 2가 8이 되려면 4배이므로 분모도 4배 합니다. 4, 6, 20. (2/5 = 4/10 = 6/15 = 8/20)
2. 한 칸이 1/3이므로 4/3는 4칸, 5/3는 5칸 간 곳입니다. 2는 6칸 간 곳이므로 5/3가 2에 더 가깝습니다(한 칸 차이).
3. 둘 다 자기 피자의 반 판(3/6 = 1/2, 4/8 = 1/2)을 먹은 것은 맞습니다. 하지만 레귤러와 라지는 판의 크기가 다릅니다. 분수는 전체의 얼마라서 전체가 다르면 양이 다릅니다. 라지 반 판을 먹은 서준이 더 많이 먹었습니다.
4. 모두 8조각 이름으로 바꿉니다. 1/2 = 4/8, 3/4 = 6/8이므로 3/8, 4/8, 5/8, 6/8 순서입니다. 3/8 < 1/2 < 5/8 < 3/4.

다음 주 토요일(9월 19일)에는 서윤이 5학년 약분·통분 숙제를 들고 오고, 가게에는 8조각으로 자른 페퍼로니 라지와 6조각으로 자른 고르곤졸라 라지를 같은 크기 조각으로 잘라 반반 상자에 담아 달라는 주문이 들어옵니다. 3교시에서는 두 판의 칼집을 한 판에 겹치는 통분과, 조각을 다시 묶는 약분을 봅니다.