약분과 통분

9월 19일 토요일 오후 2시 반입니다. 지난주에 예약된 반반 상자 주문을 손님이 3시에 찾으러 오기로 했습니다. 단지 3동에 사는 손님으로, 일곱 살 딸의 생일 모임에 친구들이 온다고 했습니다. 예약 메모에는 이렇게 적혀 있었습니다. "페퍼로니 라지, 고르곤졸라 라지. 고르곤졸라는 큼직하게 6조각으로."

엄마가 오븐에서 두 판을 꺼내 도마에 올리고, 메모대로 롤러를 굴립니다. 페퍼로니는 8등분 가이드 판을 대고 8조각, 고르곤졸라는 오 선생님이 그려 준 6등분 칼집 자국을 따라 6조각입니다. 다 자르고 상자를 접는데 가게 전화가 울립니다. 서윤이 받아 손님 말을 그대로 받아 적더니 소리칩니다.

"엄마! 손님이 바꿔 달래. '아이들이 어려서 조각은 작게, 그리고 두 판 다 같은 크기로 잘라 주세요. 조각 크기가 다르면 싸워요.'"

엄마가 롤러를 든 채 멈춥니다. 칼집은 이미 들어갔고, 되돌릴 수 없습니다. "작게 자르는 건 칼집을 더 넣으면 되는데… 같은 크기로? 페퍼로니는 8조각, 고르곤졸라는 6조각인데."

서윤이 식탁에 펼쳐 둔 수학 숙제를 흔듭니다. 5학년 분수 숙제, 약분과 통분입니다. "나 지금 이거 하는 중이야. 통분하면 분모가 같아지는 거잖아. 그냥 둘 다 12조각으로 자르면 되지 않아? 6 곱하기 2가 12니까."

"12? 그럼 페퍼로니는?" 엄마가 묻자 서윤이 손가락을 접다가 멈춥니다. "8 곱하기… 8 곱하기 몇이 12더라."

2시 40분, 문에 달린 종이 울립니다. 토요일마다 고르곤졸라 한 판을 포장해 가는 오 선생님입니다. 엄마가 오 선생님 몫의 고르곤졸라를 오븐에 넣으며 말합니다. "20분이요, 선생님. 그런데 이것 좀 봐 주세요." 오 선생님은 도마 위의 두 판과 서윤의 숙제를 번갈아 보더니 웃습니다. "숙제랑 주문이 같은 문제네. 칼 줘 봐, 잘라 보자. 아니, 오늘은 자르기 전에 먼저 그려 보자."

오 선생님은 늘 앉는 4번 테이블로 가기 전에 두 판부터 들여다봅니다. "먼저 하나 확인하자. 둘 다 라지지? 판 크기가 같지?" 엄마가 고개를 끄덕입니다. "둘 다 라지예요." "그럼 됐어. 하나가 레귤러였으면 처음부터 이야기가 달라. 작은 판의 6분의 1과 큰 판의 6분의 1은 같은 $\frac{1}{6}$이라도 양이 다르잖아. 2주 전에 서윤이가 레귤러 조각이 더 크냐고 물었을 때 엄마가 '판 자체가 작잖아' 했지?"

분수는 늘 '어느 판의' 몇 분의 몇입니다. 그래서 분수끼리 비교하거나 더할 때는 같은 크기의 판(같은 전체) 위에서 합니다. 오늘은 두 판이 모두 라지라서, 페퍼로니 한 조각($\frac{1}{8}$판)과 고르곤졸라 한 조각($\frac{1}{6}$판)을 같은 판 위에서 비교할 수 있습니다. 1교시에서 본 대로 $\frac{1}{6}$판 조각이 더 큽니다. 아이들이 싸울 만합니다.

이번 교시에서는 조각을 묶는 일(약분)과 칼집을 더 넣는 일(통분)을 피자로 해 봅니다. 그 과정에서 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수가 왜 필요한지 봅니다. 손님이 오기 전에 두 판을 몇 조각으로 잘라야 하는지가 오늘의 답입니다.

3-1. 묶을 수 있는 수, 더 자를 수 있는 수 (7분)

오 선생님이 종이 접시를 한 장 꺼내 연필로 12등분 선을 긋습니다. 선생님이 교실에서 쓰던 방법 그대로, 반으로 접고, 셋으로 접고, 다시 반으로 접어 금을 냅니다.

"이 12조각을 남는 조각 없이 똑같이 묶어 볼까. 몇 조각씩 묶을 수 있어?"

서윤이 접시를 돌려 가며 셉니다. 1조각씩이면 12묶음, 2조각씩이면 6묶음, 3조각씩이면 4묶음, 4조각씩이면 3묶음, 6조각씩이면 2묶음, 12조각을 다 묶으면 1묶음입니다. 5조각씩 묶으면 두 묶음을 만들고 2조각이 남습니다.

이렇게 12를 남김없이 나누어떨어지게 하는 수 1, 2, 3, 4, 6, 12를 12의 약수라고 합니다. 피자로 말하면 "판을 남는 조각 없이 똑같이 묶을 수 있는 묶음 크기"입니다. 5는 12의 약수가 아닙니다.

반대 방향도 있습니다. 엄마가 이미 8조각으로 자른 페퍼로니에 칼집을 더 넣는다고 해 봅니다. 원래 칼집은 지울 수 없으니, 새 조각들도 원래 칼집을 다 품고 있어야 합니다. 그러려면 원래 조각 하나하나를 똑같은 수로 다시 나눠야 합니다.

• 조각마다 반으로 자르면 $8 \times 2 = 16$조각
• 조각마다 셋으로 자르면 $8 \times 3 = 24$조각
• 조각마다 넷으로 자르면 $8 \times 4 = 32$조각

8, 16, 24, 32, …처럼 8에 1, 2, 3, 4, …를 곱한 수를 8의 배수라고 합니다. 피자로 말하면 "원래 칼집을 살린 채 칼집을 더 넣어 만들 수 있는 조각 수"입니다. 6조각 고르곤졸라라면 6, 12, 18, 24, 30, …조각을 만들 수 있습니다.

이제 서윤의 "12조각"이 왜 막혔는지 보입니다. 12는 6의 배수라서 고르곤졸라는 조각마다 반으로 자르면 12조각이 됩니다. 하지만 12는 8의 배수가 아닙니다. 페퍼로니 8조각을 똑같이 다시 나눠서 12조각을 만들 수는 없습니다. 그러려면 페퍼로니 한 조각을 1.5조각으로 나눠야 하는데, 그런 칼집은 없습니다.

3-2. 조각을 묶으면 약분 (10분)

서윤의 숙제 첫 문제는 이것입니다. "$\frac{8}{12}$을 약분하여 기약분수로 나타내시오." 서윤이 투덜댑니다. "답은 $\frac{2}{3}$인 거 알아. 위아래를 4로 나누면 되잖아. 근데 왜 그게 같은 건지는 모르겠어. 숫자가 작아졌는데."

오 선생님이 12등분 접시에서 8조각에 빗금을 칩니다. "자, 이게 $\frac{8}{12}$판. 이제 칼집 몇 개를 지워 볼게."

아래 실습대가 그 접시입니다. 둥근 판이 12조각으로 잘려 있고 그중 8조각에 토마토색이 칠해져 있습니다. 묶음 크기를 바꾸면 그 수만큼의 조각마다 굵은 칼집만 남고, 묶음 안의 칼집은 흐린 점선이 됩니다. 칼집을 지운 것과 같습니다. 묶을 수 없는 경우에는 빨간 테두리가 문제 있는 자리를 보여 줍니다. 조각을 눌러서 칠한 조각 수를 바꿀 수도 있고, 판의 조각 수를 24까지 바꿀 수도 있습니다. 아래에는 두 수의 약수와 공약수가 나옵니다.

실습대에서 본 것을 정리합니다.

• 2조각씩 묶으면 판은 6묶음, 칠한 쪽은 4묶음입니다. $\frac{8}{12} = \frac{4}{6}$.
• 4조각씩 묶으면 판은 3묶음, 칠한 쪽은 2묶음입니다. $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
• 3조각씩 묶으면 판은 4묶음으로 깔끔하게 나뉘지만, 칠한 8조각이 3조각씩 떨어지지 않아 한 묶음에 칠한 조각 2개와 안 칠한 조각 1개가 섞입니다. 그 묶음은 칠했다고도 안 칠했다고도 할 수 없습니다.
• 5조각씩 묶으면 판부터 2조각이 남습니다.

그러니 묶음 크기는 판의 조각 수(분모)도, 칠한 조각 수(분자)도 남김없이 나눠야 합니다. 두 수를 모두 나누는 수를 공약수라고 합니다. 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이고 8의 약수는 1, 2, 4, 8이니, 공약수는 1, 2, 4입니다.

묶었을 때 분수에서 일어나는 일은 이렇습니다. 묶음 크기가 4이면 조각 4개가 1묶음이 되니, 분모와 분자를 둘 다 4로 나눕니다.

이렇게 분모와 분자를 공약수로 나눠 간단한 분수로 만드는 것을 약분이라고 합니다. 피자로 말하면 칼집을 지워 조각을 크게 묶은 것입니다. 칠한 부분은 한 조각도 늘거나 줄지 않았습니다. 이름만 "12조각 중 8조각"에서 "3묶음 중 2묶음"으로 바뀌었습니다. 서윤이 "숫자가 작아졌는데"라고 한 것은 조각 수가 줄어서이고, 그만큼 조각 하나가 커졌습니다.

가장 크게 묶으려면 공약수 가운데 가장 큰 수로 묶습니다. 이 수를 최대공약수라고 합니다. 8과 12의 최대공약수는 4입니다. 최대공약수로 약분하면 더는 묶을 수 없는 분수가 나옵니다. 분모와 분자의 공약수가 1뿐인 이런 분수를 기약분수라고 합니다. $\frac{2}{3}$에서 2와 3은 1 말고는 함께 나누는 수가 없으니 기약분수입니다.

한 번에 최대공약수를 못 찾아도 괜찮습니다. 2로 묶고, 또 2로 묶어도 같은 곳에 도착합니다.

"조금씩 여러 번 묶기"는 수가 클 때 특히 편합니다. 다만 끝에서 "더 묶을 수 있나?"를 꼭 한 번 확인합니다.

3-3. 칼집을 겹치면 통분 (10분)

이제 주문으로 돌아갑니다. 시계는 2시 50분입니다. 오 선생님이 종이 접시 두 장을 더 꺼내, 하나에는 8등분 선을, 하나에는 6등분 선을 긋습니다. 그리고 셋째 접시에 두 선을 한꺼번에 겹쳐 그립니다. 12시 방향에서 똑같이 시작해서요.

"자, 두 판 다 라지니까 한 판 위에 그려도 돼. 같은 칼집으로 자르고 싶으면 일단 두 칼집을 한 판에 다 그려 봐야지. 어때, 같은 크기야?"

아래 실습대의 왼쪽이 페퍼로니 8조각, 오른쪽이 고르곤졸라 6조각입니다. 맨 앞 한 조각씩만 칠해 두었습니다. 가운데 판에는 페퍼로니 칼집(토마토색 실선)과 고르곤졸라 칼집(초록 점선)을 겹쳐 그렸습니다. 똑같이 나눌 조각 수를 정하면 세 판 모두에 그 수만큼 가는 회색 점선이 생깁니다. 원래 칼집 가운데 점선 위에 놓이지 않는 것은 칼집 끝에 빨간 점이 찍힙니다. 아래에는 두 수의 배수가 늘어서 있고, 둘 다에 있는 수(공배수)는 굵게 밑줄이 그어집니다.

가운데 판이 첫 번째 답입니다. 두 칼집을 겹치기만 하면 조각이 고르지 않습니다. 12시에서 1시 반 사이(45°)에는 고르곤졸라 칼집이 없고, 1시 반과 2시 사이에는 아주 좁은 조각이 생깁니다. 겹친 판의 조각 12개는 크기가 세 가지입니다. 그러니 "겹쳐 그린 대로 자르기"로는 손님 주문을 맞출 수 없습니다.

두 번째 답은 칼집을 더 넣는 것입니다. 모든 조각이 같은 크기이면서 두 판의 원래 칼집을 다 품으려면, 조각 수가 8의 배수이면서 동시에 6의 배수여야 합니다(3-1절). 8의 배수를 차례로 시험하면 이렇습니다.

24조각이면 페퍼로니 한 조각은 3조각($24 \div 8$)으로, 고르곤졸라 한 조각은 4조각($24 \div 6$)으로 나뉩니다. 그래서

입니다. 분모만 곱하는 것이 아니라 분자도 같은 수를 곱합니다. 한 조각이 세 조각으로 쪼개졌으니 조각 수(분자)도 세 배가 되어야 양이 그대로입니다. 2교시에서 칼집을 2배, 3배로 더 넣어도 양은 그대로인 '크기가 같은 분수'를 만들었던 것과 같은 일입니다.

이렇게 분모가 다른 분수들을 크기는 그대로 두고 분모가 같은 분수로 바꾸는 것을 통분이라고 하고, 그 같은 분모(여기서는 24)를 공통분모라고 합니다. 약분이 칼집을 지우는 일이었다면, 통분은 칼집을 더 넣는 일입니다.

손님의 반반 상자

오 선생님이 결론을 내립니다. "페퍼로니는 조각마다 셋으로, 고르곤졸라는 조각마다 넷으로. 그러면 둘 다 24조각이야."

엄마가 롤러를 다시 잡습니다. 페퍼로니 한 조각에 칼집 두 번씩, 고르곤졸라 한 조각에 칼집 세 번씩. 서윤이 다 자른 조각을 셉니다. 페퍼로니 $8 \times 3 = 24$조각, 고르곤졸라 $6 \times 4 = 24$조각. 두 판이 같은 모양으로 잘렸고, 48조각이 모두 한 판의 24분의 1, 같은 크기입니다. 엄마가 웃습니다. "일곱 살 손에 딱 맞는 한 입 크기네."

3-4. 가장 작은 공통 칼집: 최소공배수 (8분)

서윤이 실습대에서 '두 분모의 곱으로 (48)'을 눌러 봅니다. 48조각에서도 모든 칼집이 맞습니다. "어? 48도 되네. 숙제에서 선생님이 그냥 분모끼리 곱하면 된다고 했는데."

맞습니다. 48은 $8 \times 6$이라서 8의 배수(8의 6배)이면서 6의 배수(6의 8배)입니다. 두 분모의 곱은 언제나 두 분모의 공배수입니다. 그래서 분모끼리 곱해서 통분하면 언제나 됩니다. 실제로 8과 6의 공배수는 24, 48, 72, 96, …으로 끝없이 있습니다. 모두 24의 배수입니다.

그런데 48조각짜리 페퍼로니를 상상해 보세요. 조각 하나의 끝 각도가 7.5°입니다. 엄마가 고개를 젓습니다. "그건 피자가 아니라 이쑤시개야. 그리고 칼집을 두 배로 넣어야 하잖아." 공배수 가운데 가장 작은 수를 최소공배수라고 합니다. 8과 6의 최소공배수는 24입니다. 최소공배수로 통분하면 조각이 가장 덜 잘고, 수도 가장 작아서 계산이 편합니다.

두 방법으로 서윤의 숙제 $\frac{3}{8}$과 $\frac{5}{6}$을 통분해 보면 이렇습니다.

$\frac{18}{48}$을 2로 약분하면 $\frac{9}{24}$, $\frac{40}{48}$을 2로 약분하면 $\frac{20}{24}$입니다. 두 방법은 같은 곳에 도착합니다. 48조각에서 2조각씩 묶으면 24조각이 되니까요. 어느 방법도 틀리지 않았습니다. 숙제에서 "분모의 곱"으로 통분해도 정답입니다.

최소공배수를 찾는 두 가지 길

1. 큰 수의 배수를 차례로 세기. 8, 16, 24, …를 세다가 6으로 나누어떨어지는 첫 수에서 멈춥니다. 실습대의 '8의 배수로 찾기'가 이 방법입니다. 작은 수일 때 가장 빠릅니다.
2. 곱을 최대공약수로 나누기. $8 \times 6 = 48$인데, 8과 6은 둘 다 2로 묶을 수 있습니다(최대공약수 2). 곱에는 이 2가 두 번 들어 있으니 한 번 덜어 냅니다. $48 \div 2 = 24$.

두 분모 사이에 1 말고 공약수가 없으면(예: 5와 6) 곱이 곧 최소공배수입니다($5 \times 6 = 30$). 한 분모가 다른 분모의 배수이면(예: 6과 12) 큰 분모가 곧 최소공배수입니다. 오 선생님이 6등분과 12등분 칼집을 함께 그리는 것은 이 때문입니다. 12등분 칼집 위에는 6등분 칼집이 다 들어 있습니다.

3시 정각, 생일 모임 손님이 반반 상자를 찾으러 옵니다. 상자를 열어 본 손님이 웃습니다. "어머, 페퍼로니도 고르곤졸라도 조각이 다 똑같네요. 이러면 안 싸우겠다." 오 선생님은 막 나온 고르곤졸라 라지를 받아 들고 서윤에게 말합니다. "오늘 주문은 최소공배수 24였어. 숙제 남은 거 마저 해."

자주 하는 오해 (3분)

• "약분하면 피자가 줄어든다." 약분은 칼집을 지워 조각을 묶는 것입니다. 숫자가 작아진 만큼 조각 하나가 커져서, 양은 그대로입니다. 8/12판과 2/3판은 같은 양입니다.
• "아무 수로나 묶어도 된다." 묶음 크기는 분모와 분자를 둘 다 나눠야 합니다. 8/12을 3조각씩 묶으면 한 묶음에 칠한 조각과 안 칠한 조각이 섞입니다.
• "12는 8로도 6으로도 나눠진다." 12는 6의 배수지만 8의 배수가 아닙니다. 8조각 판에 칼집을 더 넣어서는 12조각을 만들 수 없습니다. 서윤의 12조각 안은 이래서 막혔습니다.
• "통분은 분모만 같게 바꾸는 것이다." 분모에 곱한 수를 분자에도 곱해야 양이 그대로입니다. 1/8은 1/24이 아니라 3/24입니다.
• "최소공배수로 통분해야만 정답이다." 분모의 곱도 공배수라서 통분은 됩니다. 수가 커질 뿐이고, 약분하면 같은 답이 됩니다.
• "두 칼집을 겹쳐 그리면 통분이다." 겹친 칼집은 크기가 다른 조각을 만듭니다(8과 6이면 1/24, 2/24, 3/24). 통분은 모든 조각을 같은 크기로 맞추는 것이고, 그래서 공배수가 필요합니다.

집에서 해 보기

• 종이 접시 두 장을 준비합니다. 한 장은 반, 반, 반으로 세 번 접어 8등분 금을, 다른 한 장은 반으로 접은 뒤 셋으로 접어 6등분 금을 냅니다. 한 장을 기름종이(또는 투명 파일)에 대고 따라 그린 뒤 다른 접시 위에 겹쳐 봅니다. 조각이 고른가요?
• 12칸짜리 초콜릿 판에서 8칸에 스티커를 붙이고, 2칸씩, 3칸씩, 4칸씩 묶어 봅니다. 묶음 안에 스티커가 섞이지 않는 것은 몇 칸씩일 때인가요?
• 집에서 피자를 시키면 "몇 조각짜리야?"부터 물어봅니다. 8조각 판과 6조각 판을 함께 시키는 날에는 "같은 칼집으로 맞추려면 몇 조각?"을 식탁 퀴즈로 냅니다.

연습 문제 (2분)

1. $\frac{20}{24}$을 기약분수로 나타내세요. 최대공약수는 얼마일까요?
2. $\frac{3}{4}$과 $\frac{5}{6}$을 최소공배수로 통분하고, 어느 쪽이 큰지 쓰세요.
3. 4조각으로 자른 판과 10조각으로 자른 판을 같은 칼집으로 맞추려고 합니다. 가장 적은 조각 수는 몇 조각일까요? 두 조각 수의 곱으로 자르면 몇 조각이 될까요?
4. (서술형) $\frac{2}{3}$과 $\frac{3}{5}$을 통분할 때, 분모의 곱으로 통분한 결과와 최소공배수로 통분한 결과가 똑같습니다. 왜 그런지 설명하세요.

풀이

1. 24의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24이고 20의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20입니다. 공약수는 1, 2, 4이고 최대공약수는 4입니다. $\frac{20 \div 4}{24 \div 4} = $ $\frac{5}{6}$.
2. 6의 배수 6, 12 가운데 4의 배수인 첫 수는 12입니다. $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$이므로 $\frac{5}{6}$이 더 큽니다. (차이는 $\frac{1}{12}$, 12조각 판의 한 조각입니다.)
3. 10의 배수 10, 20 가운데 4의 배수인 첫 수는 20입니다. 가장 적은 조각 수는 20조각(4조각 판은 조각마다 5로, 10조각 판은 조각마다 2로 나눔). 곱으로 자르면 40조각이고, 이것도 공배수라 칼집은 맞습니다.
4. 3과 5는 1 말고 함께 나누는 수가 없습니다(최대공약수 1). 그래서 곱 15보다 작은 공배수가 없고, 곱 15가 곧 최소공배수입니다. 곱을 최대공약수로 나누는 방법으로 봐도 $15 \div 1 = 15$입니다. 두 방법 모두 $\frac{10}{15}$, $\frac{9}{15}$가 됩니다.

그날 저녁, 서윤의 숙제는 마지막 장까지 끝났습니다. 그런데 마지막 장 맨 위에 다음 단원 제목이 보입니다. 분수의 덧셈과 뺄셈. 서윤이 한숨을 쉽니다. "통분 끝났는데 또 있어?" 다음 주 토요일, 점심 장사가 끝난 가게에 남은 페퍼로니 $\frac{1}{2}$판과 고르곤졸라 $\frac{1}{3}$판을 한 상자에 담아 달라는 손님이 옵니다. "합치면 몇 판이에요?" 서준이 자신 있게 답을 외치는데, 그 답은 맞을까요? 4교시에서는 분수의 덧셈과 뺄셈을 피자를 옮겨 담으며 봅니다.