얼마나 빨리 변하나: 평균변화율과 기울기

겨울방학 첫 주 월요일 아침입니다. 도윤은 이모를 따라 솔바람랜드 사무동 3층 놀이기구 설계실에 처음 들어섭니다. 창밖으로 새 롤러코스터 혜성의 리프트 언덕이 보입니다. 높이 45 m. 열차가 저 꼭대기에서 거의 수직으로 떨어집니다.

자리에 가방을 내려놓기도 전에 오 팀장이 종이 한 장을 들고 옵니다. "어제 첫 낙하 시운전 기록이야. 모래주머니 싣고 빈 열차로 돌렸어. 설계 한도가 바닥에서 시속 110 km야. 안 넘지? 오늘 안에 답 줘."

도윤이 표를 보자마자 계산기를 두드립니다. "3초에 44.1 m니까 44.1 ÷ 3 = 14.7 m/s. 시속으로 바꾸면 52.92 km. 한도의 반도 안 되네요. 끝!"

은재 이모가 모니터에서 눈을 떼지 않고 말합니다. "그래프부터 그려 봐." 도윤이 모눈종이에 점 일곱 개를 찍어 보니 일직선이 아닙니다. 처음에는 납작하다가 갈수록 가파르게 휘어 올라갑니다. 이모가 묻습니다. "처음 0.5초 동안 몇 m 떨어졌어? 마지막 0.5초 동안은? 아주 조금만 움직이면 얼마나 변해?"

이번 교시에서는 "얼마나 빨리 변하나"를 숫자로 재는 법을 배웁니다. 변화량, 평균변화율, 그리고 그 둘이 그래프에서 무엇인지 봅니다. 마지막에 오 팀장의 질문으로 돌아와, 평균만으로 어디까지 답할 수 있는지 따져 봅니다.

1-1. 변화량: 얼마나 변했나 (8분)

이모의 첫 질문부터 답해 봅시다. 표에서 0.5초마다 얼마나 더 떨어졌는지를 계산하면 이렇습니다.

시간은 늘 0.5초씩 흘렀는데, 그동안 떨어진 거리는 1.2 m에서 13.5 m로 열 배가 넘게 커졌습니다. 열차가 점점 빨라진다는 뜻입니다. 3초 전체를 고르게 나눈 14.7 m/s라는 숫자에는 이 사실이 드러나지 않습니다.

이렇게 "나중 값에서 처음 값을 뺀 것"을 변화량(change) 이라고 하고, 그리스 문자 $\Delta$(델타, delta)를 붙여 씁니다. 차이(difference)의 첫 글자 D에 해당하는 문자입니다.

예를 들어 2초에서 3초 사이라면 $\Delta t = 3 - 2 = 1$(초), $\Delta s = 44.1 - 19.6 = 24.5$(m)입니다.

세 가지를 기억해 두세요.

1. $\Delta t$는 "델타 곱하기 t"가 아니라 기호 한 덩어리입니다. "t의 변화량"이라고 읽습니다.
2. 언제나 나중 − 처음입니다. 그래서 값이 줄면 변화량은 음수가 됩니다. 기온이 5℃에서 −3℃로 떨어지면 변화량은 $-3 - 5 = -8$(℃)입니다.
3. 함수 $y = f(x)$에서 $x$가 $a$에서 $b$로 변하면 $\Delta x = b - a$, $\Delta y = f(b) - f(a)$입니다. 이 강의에서 낙하 거리는 $s(t) = 4.9t^2$(m)이라는 식으로 씁니다. 공기 저항과 마찰을 무시하고, 첫 낙하를 거의 수직으로 떨어지는 구간으로 단순하게 본 식입니다. 표의 숫자가 모두 이 식에서 나옵니다. 예를 들어 $s(2) = 4.9 \times 4 = 19.6$입니다.

1-2. 평균변화율: 한 칸 갈 때 평균 얼마나 (9분)

변화량만으로는 "빠르다"를 비교하기 어렵습니다. 1초 동안 14.7 m와 0.5초 동안 13.475 m 중 어느 쪽이 빠를까요? 시간의 길이가 다르니, 시간 1초당으로 맞춰야 비교가 됩니다. 변화량끼리 나누면 됩니다.

낙하 거리라면 $\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$이고, 이것이 바로 평균속도입니다. 도윤이 처음 계산한 값이 0–3초의 평균변화율입니다.

앞의 두 구간도 비교해 봅시다. 1–2초는 $14.7 \div 1 = 14.7$ m/s, 2.5–3초는 $13.475 \div 0.5 = 26.95$ m/s입니다. 뒤 구간이 훨씬 빠릅니다.

평균변화율의 단위는 "$y$의 단위 ÷ $x$의 단위"입니다. 단위를 보면 무엇을 잰 것인지가 보입니다.

오 팀장의 한도는 시속(km/h)이니 m/s를 바꿔야 합니다. 1 m/s는 1시간(3,600초)에 3,600 m, 즉 3.6 km를 가는 빠르기입니다. 그래서 m/s에 3.6을 곱하면 km/h입니다. 14.7 m/s는 $14.7 \times 3.6 = 52.92$ km/h입니다. 거꾸로 한도 110 km/h는 $110 \div 3.6 \approx 30.56$ m/s입니다(소수 둘째 자리까지).

기호 읽는 법

1-3. 평균변화율은 할선의 기울기 (9분)

이제 평균변화율을 그래프에서 봅시다. 중학교에서 배운 직선의 기울기(slope) 는 "오른쪽으로 1 갈 때 위로 얼마나 올라가나"였습니다. 두 점을 알면 (위로 간 만큼) ÷ (옆으로 간 만큼)으로 구했지요. 이것은 평균변화율의 식과 똑같습니다.

곡선 위의 두 점 (a, f(a))와 (b, f(b))를 직선으로 이으면, 이 직선은 곡선을 두 곳에서 자르며 지나갑니다. 이런 직선을 할선(secant line) 이라고 합니다. '할(割)'은 자른다는 뜻입니다. 그러면 이렇게 말할 수 있습니다.

직선이라면 어느 두 점을 잡아도 기울기가 같습니다. 곡선은 다릅니다. 두 점을 어디에 잡느냐에 따라 할선이 눕기도 하고 서기도 합니다. 혜성의 낙하 곡선은 오른쪽으로 갈수록 가팔라지니, 뒤쪽 구간의 할선일수록 기울기(평균속도)가 큽니다.

아래 실습대의 가로축은 시간 t(초), 세로축은 떨어진 거리 s(m)입니다. 남색 곡선이 s = 4.9t²이고, 곡선 위의 주황 점 두 개(a, b)를 끌 수 있습니다. 마우스나 손가락으로 끌어도 되고, Tab으로 점을 고른 뒤 ←→ 키로 옮겨도 됩니다(Shift를 누르면 더 잘게). 두 점을 잇는 주황 직선이 할선이고, 회색 점선 두 개가 Δt(가로)와 Δs(세로)입니다. 오른쪽 조작판에 두 점의 값, 변화량, 평균속도와 시속이 나옵니다. a, b 슬라이더로 0.01초 단위로 맞출 수도 있습니다. '표에 적기'를 누르면 지금 구간이 그래프 아래 표에 한 줄 쌓입니다.

실습대에서 본 것을 정리합니다.

1. 할선의 기울기는 $\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$, 즉 그 구간의 평균속도입니다. 그래프의 "가파른 정도"와 표의 "평균속도"는 같은 것을 다르게 본 것입니다.
2. 같은 곡선 위라도 구간을 옮기면 할선의 기울기가 바뀝니다. 그래서 "혜성의 평균속도"라는 말은 어느 구간인지를 함께 말해야 뜻이 있습니다.
3. 두 점을 겹치게 하면 $\Delta t = 0$이 되어 실습대가 "0 ÷ 0"을 보여 줍니다. 한 점만으로는 할선을 그을 수 없습니다. 이 0 ÷ 0은 다음 교시의 주인공입니다.

할선도 직선이니 방정식을 쓸 수 있습니다. 기울기가 $m$이고 점 $(a, f(a))$를 지나는 직선은 $y - f(a) = m(x - a)$입니다. 예를 들어 0초와 3초를 잇는 할선은 기울기 14.7, 원점을 지나므로 $s = 14.7t$입니다. 실습대의 '일정한 속도' 그래프가 바로 이 직선입니다. "처음부터 끝까지 평균속도로 고르게 떨어졌다면"의 그래프가 할선이라는 뜻입니다.

1-4. 구간을 바꾸면 평균이 달라진다 (8분)

여러 구간의 평균속도를 한 표에 모아 봅시다.

같은 열차, 같은 3초 안인데 평균속도가 4.9에서 24.5까지 다섯 배나 차이 납니다. 숫자들 사이에 규칙이 보이나요? $[0, 1]$은 $4.9 \times 1$, $[1, 2]$는 $4.9 \times 3$, $[2, 3]$은 $4.9 \times 5$입니다. 괄호 안의 1, 3, 5는 $a + b$입니다.

식으로 확인해 봅시다. $s(t) = 4.9t^2$의 $[a, b]$ 평균변화율은

입니다. 중간에 $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$로 인수분해하고 $b - a$를 약분했습니다. 이 약분은 $b \ne a$일 때만 할 수 있습니다. $b = a$이면 처음 식이 $\dfrac{0}{0}$이 됩니다. 이 점을 기억해 두세요.

이 공식 하나로 어떤 구간이든 바로 계산됩니다. $[0, 3]$은 $4.9 \times 3 = 14.7$, $[1, 2]$도 $4.9 \times 3 = 14.7$입니다. 표에서 두 구간의 평균속도가 같았던 이유가 보입니다. 이 곡선에서는 $a + b$, 즉 구간의 가운데 시각이 같으면 평균속도가 같습니다. 두 구간 모두 가운데가 1.5초입니다.

결국 "혜성의 평균속도는 14.7 m/s"라는 말은 0–3초라는 한 구간의 이야기일 뿐입니다. 구간을 바꾸면 값이 바뀌니, 구간을 밝히지 않은 평균은 쓸모가 적습니다.

1-5. 구간을 좁히면: 바닥 속도에 다가가기 (7분)

오 팀장이 물은 것은 3초 동안의 평균이 아니라 바닥에 닿는 순간(3초) 의 속도입니다. 그 순간에 가장 가까운 정보를 쓰려면 끝을 3초에 두고 구간을 좁혀야 합니다. 실습대의 '좁히기'가 한 일입니다. 공식 $4.9(a + 3)$으로 계산하면 이렇습니다.

두 가지가 보입니다.

1. 구간을 좁힐수록 평균속도가 커집니다. 열차가 계속 빨라지고 있으니, 3초에 가까운 짧은 구간일수록 빠른 부분만 남기 때문입니다.
2. 커지는 폭은 점점 줄어듭니다. 28.91에서 29.351로 0.44 늘었지만, 그다음은 0.044만 늘었습니다. 값들이 어떤 한 수를 향해 모여드는 것처럼 보입니다.

그 "모여드는 수"를 구하려면 $\Delta t$를 0으로 만들면 될 것 같습니다. 그런데 $\Delta t = 0$이면 $\dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{0}{0}$입니다. 계산이 되지 않습니다. 평균속도로는 바닥 그 순간에 끝내 닿지 못합니다. 이 벽을 넘는 도구가 2교시의 극한이고, 3교시에서 이 수의 정체를 밝힙니다.

교과서에서는

교과서는 평균변화율을 이렇게 씁니다. "함수 $y = f(x)$에서 $x$의 값이 $a$에서 $b$까지 변할 때, $y$의 값의 변화량 $\Delta y$를 $x$의 값의 변화량 $\Delta x$로 나눈 값

를 $x$의 값이 $a$에서 $b$까지 변할 때의 $f(x)$의 평균변화율이라고 한다." 마지막 꼴은 $b$ 대신 $a + \Delta x$로 쓴 것입니다. 3교시에서 이 꼴이 미분계수의 정의로 그대로 이어집니다.

시험에는 보통 "함수 $f(x) = x^2 + 2x$에서 $x$의 값이 1에서 3까지 변할 때의 평균변화율을 구하시오" 또는 "평균변화율이 ○일 때 $a$의 값"처럼 거꾸로 묻는 꼴로 나옵니다. 그래프 문제라면 "두 점을 지나는 직선의 기울기"로 바꿔 읽으면 됩니다.

자주 하는 착각 (4분)

• "평균변화율은 끝값 ÷ 끝 시각이다." 출발이 0일 때만 맞습니다. 분자도 분모도 "나중 − 처음"입니다(예제 1-4).
• "$\Delta x$는 $\Delta$ 곱하기 $x$다." $\Delta x$는 기호 한 덩어리로, "$x$의 변화량"입니다. 약분할 때 $\Delta$만 따로 지우면 안 됩니다.
• "빼는 순서는 상관없다." 분자와 분모의 순서를 같게 맞춰야 합니다. $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$와 $\dfrac{f(a) - f(b)}{a - b}$는 같지만, 분자만 뒤집으면 부호가 바뀝니다.
• "평균속도가 한도 안이면 언제나 한도 안이다." 평균 14.7 m/s 안에는 4.9 m/s 구간도, 26.95 m/s 구간도 들어 있습니다. 평균은 가장 빠른 순간을 알려 주지 않습니다.
• "곡선은 기울기가 없다." 곡선에도 구간마다 할선의 기울기가 있습니다. 그리고 3교시에서는 한 점에서의 기울기도 정의합니다.

연습 문제 (5분)

1. 함수 $f(x) = x^2 + 2x$에서 $x$의 값이 1에서 3까지 변할 때의 평균변화율을 구하세요.
2. 직선 $y = -2x + 7$에서 $x$가 $a$에서 $b$까지 변할 때의 평균변화율을 구하고, 왜 구간과 상관없는지 설명하세요.
3. 혜성의 낙하 $s(t) = 4.9t^2$에서 길이가 1초인 구간 $[a, a + 1]$의 평균속도가 19.6 m/s입니다. $a$를 구하세요.
4. (서술형) 함수 $f(x) = x^2 - 4x$에서 $x$의 값이 0에서 $a$까지 변할 때의 평균변화율이 2입니다. 양수 $a$의 값을 구하는 과정을 쓰세요.
5. 함수 $f(x) = x^2$에서 $x$가 1에서 $1 + h$까지 변할 때의 평균변화율을 $h$로 나타내고, $h = 0.1, 0.01, 0.001$일 때의 값을 구하세요. 값들은 어떤 수에 다가가나요?

풀이

1. $f(1) = 1 + 2 = 3$, $f(3) = 9 + 6 = 15$입니다. $\dfrac{15 - 3}{3 - 1} = \dfrac{12}{2} = 6$. 답: 6
2. $\dfrac{(-2b + 7) - (-2a + 7)}{b - a} = \dfrac{-2(b - a)}{b - a} = -2$입니다. 상수 7은 빼면서 사라지고, $b - a$가 약분되어 $a$, $b$가 남지 않습니다. 직선은 어디서나 기울어진 정도가 같아서 어느 구간의 할선도 그 직선 자신이기 때문입니다. 답: −2 (구간과 상관없다)
3. 공식 $4.9(a + b)$에 $b = a + 1$을 넣으면 $4.9(2a + 1) = 19.6$입니다. $2a + 1 = 4$이므로 $a = 1.5$입니다. 확인: $[1.5, 2.5]$의 평균속도는 예제 1-6에서 19.6이었습니다. 답: $a = 1.5$
4. $f(0) = 0$, $f(a) = a^2 - 4a$입니다. 평균변화율은 $\dfrac{(a^2 - 4a) - 0}{a - 0} = \dfrac{a(a - 4)}{a} = a - 4$입니다($a \ne 0$이므로 약분할 수 있다). $a - 4 = 2$에서 $a = 6$입니다. 확인: $f(6) = 36 - 24 = 12$, $12 \div 6 = 2$. 답: $a = 6$
5. $\dfrac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \dfrac{2h + h^2}{h} = 2 + h$입니다($h \ne 0$). $h = 0.1$이면 2.1, $h = 0.01$이면 2.01, $h = 0.001$이면 2.001입니다. $h$가 작아질수록 값은 2에 다가갑니다. 하지만 $h = 0$을 처음 식에 넣으면 $\dfrac{0}{0}$이 됩니다. 이 "다가가는 값"을 다루는 법이 2교시의 내용입니다.

퇴근 무렵 도윤은 오 팀장에게 보고합니다. "바닥 속도는 적어도 시속 105.8 km예요. 110을 넘는지는 아직 몰라요." 오 팀장이 미간을 찌푸립니다. "그럼 넘을 수도 있다는 거야?" 도윤이 머리를 긁습니다. "구간 끝을 3초에 딱 붙이면 되잖아요. (s(3) − s(t)) ÷ (3 − t)에 t = 3을 넣으면요." 오 팀장은 그 식을 속도계 프로그램 담당에게 그대로 넘깁니다. 은재 이모가 웃습니다. "내일 아침에 보자." 다음 날 아침, 속도계 화면에는 바닥 속도 대신 '0으로 나누기 오류'가 떠 있습니다. 2교시에서는 0 ÷ 0 앞에서 멈추지 않고 "다가갈 때의 값"을 읽는 법, 극한을 배웁니다.