미분으로 세상 읽기: 속도·가속도, 근사, 그리고 적분으로

2주차 금요일, 설계실 창밖으로 혜성의 리프트 언덕이 보입니다. 오전 내내 빈 열차가 몇 바퀴째 돌고 있습니다. 오 팀장이 기록 파일을 내려놓습니다. "센서는 열차 위치만 찍어. 속도랑 가속도는 너희가 뽑아. 오후 3시에 사람이 타."

도윤이 파일을 넘깁니다. 시각과 위치만 끝없이 이어집니다. "속도는 위치를 미분하면 되고… 가속도는요?" 은재 이모가 되묻습니다. "속도가 아주 조금 변할 때 얼마나 변해?" 도윤이 잠깐 생각합니다. "속도의 변화율이니까… 한 번 더 미분하면 되네요."

오 팀장이 문을 나서다 돌아봅니다. "아, 도윤이 너 오늘 같이 타. 첫 사람 시운전엔 설계실에서 한 명 타는 게 전통이야." 도윤이 잠시 말을 잃습니다. 이모가 기록 파일을 도윤 쪽으로 밀어 줍니다. "그럼 네가 탈 열차부터 읽어 봐."

이번 교시는 미분을 실제로 쓰는 네 가지 방법을 다룹니다. 위치를 미분해 속도와 가속도를 읽고, 서로 묶인 양들의 변화율을 구하고, 접선으로 값을 어림하고, 접선을 따라 방정식의 근을 찾습니다. 마지막에 2주 동안의 미분을 한 장에 모으고 다음 걸음인 적분을 엿봅니다.

10-1. 위치·속도·가속도: 미분을 두 번 (10분)

열차의 위치를 시각 $t$의 함수 $s(t)$로 쓰면, 4교시에서 본 것처럼 그 도함수가 속도(velocity) 입니다. 속도도 시간에 따라 변하는 함수이니 또 미분할 수 있습니다. 속도의 순간변화율이 가속도(acceleration) 입니다. 8교시의 이계도함수가 바로 이것입니다.

$$v(t) = s'(t), \qquad a(t) = v'(t) = s''(t)$$

단위로 보면 뜻이 분명해집니다. 위치는 m, 속도는 "1초에 몇 m"라서 m/s, 가속도는 "1초에 속도가 몇 m/s 변하나"라서 m/s²입니다.

혜성 첫 낙하로 확인해 봅시다. 떨어진 거리는 $s(t) = 4.9t^2$이었습니다.

$$v(t) = 9.8t, \qquad a(t) = 9.8$$

가속도가 시각과 상관없이 9.8 m/s²로 일정합니다. 이것이 중력가속도 $g$입니다. 1초마다 속도가 9.8 m/s씩 붙어서 3초 뒤 바닥에서 $v(3) = 29.4$ m/s(시속 105.84 km)가 됩니다. 3교시에 구한 바로 그 값입니다.

방향이 있는 속도. 이번에는 앞뒤로 오가는 움직임을 봅시다. 정비 카트가 레일 위를 다음과 같이 움직였습니다(위치 m, 시간 초).

$$\begin{aligned} s(t) &= t^3 - 6t^2 + 9t \\ v(t) &= 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) \\ a(t) &= 6t - 12 \end{aligned}$$

$t$ (초)	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
위치 $s$ (m)	0	3.125	4	3.375	2	0.625	0	0.875	4
속도 $v$ (m/s)	9	3.75	0	−2.25	−3	−2.25	0	3.75	9
가속도 $a$ (m/s²)	−12	−9	−6	−3	0	3	6	9	12

속도의 부호는 방향입니다. $v > 0$이면 앞(+)으로, $v < 0$이면 뒤(−)로 갑니다. 1초와 3초에 $v = 0$이 되면서 부호가 바뀝니다. 그 순간 카트가 멈추고 방향을 바꿉니다. 7교시 말로 하면 위치 그래프의 극대·극소입니다.

속력(speed) 은 방향을 뺀 빠르기, 곧 $|v|$입니다. 2초에 속도는 −3 m/s로 가장 작지만, 속력은 3 m/s로 뒤로 가는 동안 가장 빠릅니다.

빨라지는지 느려지는지는 속도와 가속도의 부호를 함께 봐야 압니다. 둘의 부호가 같으면 빨라지고(속력 증가), 다르면 느려집니다(속력 감소). 가속도가 음수라고 늘 느려지는 것이 아닙니다.

아래 실습대 맨 위는 레일 위의 열차입니다. 주황 상자가 열차이고, 청록 화살표가 속도, 분홍 화살표가 가속도입니다. 그 아래 그래프 세 개는 위치(남색), 속도(청록), 가속도(분홍)이고, 세로 주황 선이 셋이 함께 쓰는 지금 시각입니다. 위치 그래프의 주황 직선은 그 시각의 접선이고, 기울기가 곧 속도입니다. 처음 화면은 혜성 첫 낙하입니다.

10-2. 자기 브레이크 구간 분석 (6분)

이제 오 팀장의 두 번째 질문입니다. 혜성은 마지막에 자기 브레이크 구간으로 25 m/s로 들어옵니다. 6교시에 본 것처럼 속도는

$$v(t) = 25e^{-0.3t} \ \ (\text{m/s})$$

로 줄어듭니다($t$는 브레이크에 들어온 뒤의 초). 가속도는 연쇄법칙으로 미분합니다.

$$a(t) = v'(t) = 25 \cdot (-0.3)\,e^{-0.3t} = -7.5e^{-0.3t}$$

단위는 m/s²입니다. 들어오는 순간 $a(0) = -7.5$ m/s²입니다. 중력가속도 9.8로 나누면 약 0.77이니, 몸이 앞으로 쏠리는 정도는 약 0.77g입니다. 이 감속은 처음이 가장 세고 점점 약해집니다. 5초 뒤에는 $v(5) \approx 5.58$ m/s, $a(5) \approx -1.67$ m/s²입니다. 속도가 5 m/s가 되는 때는 $25e^{-0.3t} = 5$에서 $t = \ln 5 / 0.3 \approx 5.36$초입니다.

브레이크 구간의 위치는 $s(t) = \dfrac{250}{3}\bigl(1 - e^{-0.3t}\bigr)$ m입니다. 미분하면 $s'(t) = \dfrac{250}{3}\cdot 0.3\,e^{-0.3t} = 25e^{-0.3t}$으로 위의 속도와 같습니다. 이 식으로 5 m/s가 될 때까지 달린 거리를 구하면 $e^{-0.3t} = 0.2$이므로 $\dfrac{250}{3} \times 0.8 \approx 66.67$ m입니다. 브레이크 구간은 적어도 67 m는 되어야 합니다.

실습대에서 '자기 브레이크'를 고르면 이 구간을 볼 수 있습니다. 속도가 줄어드는 동안 위치 그래프의 접선은 점점 눕고, 가속도 그래프는 −7.5에서 0 쪽으로 올라옵니다.

10-3. 관련 변화율: 함께 변하는 양들 (8분)

어떤 양들은 식 하나로 묶여 있어서 하나가 변하면 다른 것도 따라 변합니다. 그 변화율들 사이의 관계를 관련 변화율(related rates) 이라고 합니다.

사다리 문제. 정비용 5 m 사다리가 벽에 기대 있습니다. 아래 끝이 바닥에서 초속 0.3 m로 벽에서 멀어지며 미끄러집니다. 아래 끝이 벽에서 3 m일 때, 위 끝은 얼마나 빨리 내려올까요?

1단계. 시각 $t$에 아래 끝이 벽에서 $x$ m, 위 끝이 바닥에서 $y$ m라 합니다. 둘 다 시각에 따라 변하는 함수입니다.

2단계. 두 양을 묶는 식을 씁니다. 피타고라스 정리로 $x^2 + y^2 = 25$.

3단계. 양변을 $t$로 미분합니다. $x$가 $t$의 함수이므로 $x^2$의 미분은 연쇄법칙으로 $2x \cdot \dfrac{dx}{dt}$입니다(5교시의 톱니바퀴).

$$2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\cdot\frac{dx}{dt}$$

4단계. 그 순간의 값을 넣습니다. $x = 3$이면 $y = 4$이고, $\dfrac{dx}{dt} = 0.3$입니다.

$$\frac{dy}{dt} = -\frac{3}{4} \times 0.3 = -0.225 \ \text{m/s}$$

위 끝은 초속 0.225 m로 내려옵니다. 음수는 $y$가 줄어든다는 뜻입니다. 아래 끝이 4 m까지 나가면 $\dfrac{dy}{dt} = -\dfrac43 \times 0.3 = -0.4$ m/s로, 같은 속도로 당겨도 위 끝은 점점 빨리 떨어집니다.

순서가 중요합니다. 먼저 미분하고, 그다음 그 순간의 값을 넣습니다. 값을 먼저 넣으면 변하는 양이 상수로 굳어 버립니다.

10-4. 접선으로 어림하기: 선형 근사 (7분)

3교시에서 곡선을 아주 크게 확대하면 직선(접선)처럼 보인다고 했습니다. 이것을 거꾸로 쓰면, 한 점 가까이에서는 곡선 대신 접선으로 값을 어림할 수 있습니다. 이것을 선형 근사(linear approximation) 라고 합니다.

$$f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h \qquad (h\text{가 작을 때})$$

"지금 값 + (기울기 × 움직인 만큼)"입니다. 은재 이모의 질문 "아주 조금만 움직이면 얼마나 변해?"의 답이 $f'(a)\,h$입니다.

계산기 없이 $\sqrt{4.1}$. $f(x) = \sqrt{x}$, $a = 4$, $h = 0.1$로 둡니다. $f(4) = 2$이고 $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$이므로 $f'(4) = \dfrac14$입니다.

$$\sqrt{4.1} \approx 2 + \frac14 \times 0.1 = 2.025$$

참값은 $2.02485$…로, 어림값과 0.00015쯤 차이 납니다. 소수 셋째 자리까지 맞습니다.

브레이크 기록 메우기. 센서가 5초의 기록을 남기고 5.1초의 값을 놓쳤다고 합시다. $v(5) \approx 5.578$, $a(5) = v'(5) \approx -1.673$이므로

$$v(5.1) \approx 5.578 + (-1.673) \times 0.1 \approx 5.411 \ \text{m/s}$$

참값 $25e^{-1.53} \approx 5.413$과 0.003쯤 차이 납니다. 0.1초 사이라면 접선으로 충분합니다. $h$가 커지면 곡선이 접선에서 멀어지므로 오차가 커집니다.

8교시와도 이어집니다. 위로 볼록한 곡선($f'' < 0$)은 접선이 곡선 위에 있으니 어림값이 참값보다 조금 큽니다. $\sqrt{x}$가 그런 곡선이라 2.025가 참값보다 컸습니다. 아래로 볼록하면 어림값이 조금 작습니다.

10-5. 뉴턴 방법: 접선을 따라 근으로 (7분)

$x^2 = 2$의 해 $\sqrt2$는 소수로 끝없이 이어집니다. 인수분해로는 구할 수 없는 방정식 $f(x) = 0$의 해를 어떻게 소수로 구할까요? 접선을 쓰면 됩니다.

1. 해 근처의 값 $x_0$에서 출발합니다.
2. 곡선 위의 점 $(x_0, f(x_0))$에서 접선을 긋습니다.
3. 접선이 $x$축과 만나는 곳을 다음 값 $x_1$로 삼습니다. 곡선 대신 접선의 근을 구한 셈입니다.
4. 같은 일을 되풀이합니다.

접선 $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$이 $y = 0$이 되는 $x$를 구하면 다음 식이 나옵니다.

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

이것을 뉴턴 방법(Newton's method) 이라고 합니다. $f(x) = x^2 - 2$, $f'(x) = 2x$, $x_0 = 1$로 해 보면 이렇습니다.

$n$	$x_n$	$\sqrt2$와의 차이
0	1	0.41
1	1.5	0.086
2	1.41666667	0.0025
3	1.41421569	0.0000021
4	1.41421356	0.0000000000016

$x_1 = 1 - \dfrac{1 - 2}{2} = 1.5$, $x_2 = 1.5 - \dfrac{0.25}{3} = 1.41666\ldots$입니다. 차이가 0.0025에서 0.0000021, 다시 0.0000000000016으로 줄었습니다. 해 가까이에 오면 맞는 자리 수가 단계마다 대략 두 배로 늘어납니다. 컴퓨터가 제곱근이나 방정식의 해를 계산할 때도 이런 되풀이를 흔히 씁니다.

아래 실습대에서 남색 곡선이 $f(x)$, 회색 점선이 $x_n$에서 곡선까지 올라가는 길, 주황 직선이 접선, 청록 점이 $x$축 위의 근사값들입니다. 한 단계는 두 박자(곡선까지 올라가기, 접선 따라 내려오기)로 나뉩니다. 오른쪽 표에 $x_n$과 참값과의 차이가 쌓입니다. 시작점 $x_0$(손잡이 점)은 끌어서 옮길 수 있습니다.

10-6. 미분 한 장 지도, 그리고 적분으로 (5분)

2주 동안 배운 것을 한 장에 모읍니다. 모든 줄이 같은 질문 하나에서 나왔습니다. "아주 조금 움직이면, 얼마나 변하나?"

교시	배운 것	한 줄 핵심
1	평균변화율과 기울기	평균변화율 $= \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ = 할선의 기울기. 구간 평균으로는 순간을 모른다
2	함수의 극한과 연속	$x \to a$는 도착이 아니라 다가감. 좌극한 = 우극한이면 극한이 있다. 연속이면 중간값 정리
3	미분계수와 접선	$f'(a) = \lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ = 순간변화율 = 접선의 기울기. 뾰족점에서는 미분할 수 없다
4	도함수와 미분 공식	점마다 기울기를 모은 함수 $f'(x)$. $(x^n)' = nx^{n-1}$, 합·차·상수배
5	곱의 미분법과 연쇄법칙	$(fg)' = f'g + fg'$. 겉 함수의 미분 × 속 함수의 미분(비율끼리 곱한다)
6	지수·로그·삼각함수의 도함수	$(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \dfrac1x$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$ (라디안)
7	증가·감소와 극값	$f' > 0$이면 오르막, $f' < 0$이면 내리막. 부호가 바뀌는 곳이 극대·극소. 평균값 정리
8	이계도함수와 변곡점	$f'' > 0$이면 아래로 볼록, $f'' < 0$이면 위로 볼록. 볼록의 방향이 바뀌는 곳이 변곡점
9	최대·최소와 최적화	변수 → 함수 → 정의역 → $f' = 0$ → 끝값과 비교
10	속도·가속도, 근사	$v = s'$, $a = s''$. 접선으로 값을 어림하고, 접선을 따라 근을 찾는다

적분 예고: 속도 기록에서 거리를 되찾기. 이번 교시 내내 위치에서 출발해 속도와 가속도를 구했습니다. 거꾸로는 어떨까요? 센서가 위치는 놓치고 속도만 기록했다면, 열차가 간 거리를 되찾을 수 있을까요?

첫 낙하의 속도 그래프 $v(t) = 9.8t$를 0초에서 3초까지 그리면 원점에서 오르는 직선입니다. 그 아래, 가로축까지의 넓이는 밑변 3, 높이 29.4인 삼각형이라 $\tfrac12 \times 3 \times 29.4 = 44.1$입니다. 3초 동안 떨어진 거리 44.1 m와 같습니다. 우연이 아닙니다. 아주 짧은 시간 동안은 속도가 거의 일정하니 (속도 × 짧은 시간) = (짧은 거리)이고, 이것을 모두 더하면 속도 그래프 아래의 넓이가 됩니다. 브레이크 구간에서 5 m/s가 될 때까지 달린 66.67 m도 속도 그래프 아래의 넓이입니다.

이렇게 변화율을 모아 원래의 양을 되찾는 것이 적분(integral) 입니다. 미분이 "잘게 쪼개어 변화율을 보는 것"이라면, 적분은 "잘게 쪼갠 것을 다시 모으는 것"입니다. 둘이 서로 거꾸로라는 사실을 미적분의 기본 정리라고 부릅니다. 17세기 후반 영국의 뉴턴과 독일의 라이프니츠가 각자 이 연결을 찾아냈고, 그때부터 미분과 적분은 한 묶음으로 '미적분'이 되었습니다.

기호 읽는 법

기호	읽는 법	뜻
v(t) = s′(t)	브이 티는 에스 프라임 티	속도는 위치의 도함수
a(t) = s″(t)	에이 티는 에스 더블 프라임 티	가속도는 위치의 이계도함수
dy/dt	디와이 디티	y가 시간에 따라 변하는 빠르기 (관련 변화율)
xₙ, xₙ₊₁	엑스 엔, 엑스 엔 플러스 일	뉴턴 방법의 n번째 값과 그다음 값
≈	약, 거의 같다	근사값

교과서에서는

• 속도와 가속도: 교과서는 "수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 x(t)"로 묻습니다. "점 P의 속도·가속도", "운동 방향을 바꾸는 시각"(속도가 0이고 부호가 바뀌는 때), "속력"(속도의 절댓값), "움직인 거리"가 단골 질문입니다. 운동 방향을 바꾸는지는 속도가 0이 되는 것만으로는 부족하고 부호가 바뀌는지까지 확인해야 합니다.
• 관련 변화율: "시각 t에 대한 변화율"을 묻는 활용 문제로 나옵니다. 두 양 사이의 관계식을 세우고 t로 미분하는 순서가 채점 포인트입니다.
• 선형 근사와 뉴턴 방법: 고등학교 교과서 본문에는 거의 나오지 않고 대학 미적분에서 정식으로 배웁니다. 하지만 계산은 '접선의 방정식' 문제와 같습니다. 접선 y = f(a) + f′(a)(x − a)에 x를 넣거나, y = 0으로 두면 됩니다.

자주 하는 착각 (3분)

• "가속도가 음수면 느려진다." 속도와 가속도의 부호가 같으면 빨라지고, 다르면 느려집니다. 뒤로 가는 물체에 뒤쪽 가속도가 붙으면 더 빨라집니다(예제 10-3).
• "속도가 0이면 가속도도 0이다." 정비 카트는 1초에 속도가 0이지만 가속도는 −6 m/s²입니다. 공을 위로 던지면 꼭대기에서 속도는 0이어도 중력가속도는 그대로입니다. 그래서 곧바로 다시 움직입니다.
• "움직인 거리 = 끝 위치 − 처음 위치." 그것은 변위입니다. 방향을 바꾸는 동안 되돌아간 거리가 지워집니다. 방향이 바뀌는 시각에서 끊어 더해야 움직인 거리입니다(예제 10-2).
• "관련 변화율은 값을 넣고 나서 미분한다." 거꾸로입니다. 늘 성립하는 관계식을 먼저 미분하고, 그 순간의 값은 마지막에 넣습니다(예제 10-6).
• "뉴턴 방법은 언제나 근을 찾는다." 접선이 거의 수평인 곳에서 출발하면 멀리 튀고, 시작점에 따라서는 같은 값을 맴돕니다. 근 가까이에서 출발해야 빠르고 확실합니다.

연습 문제 (4분)

1. 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$ $(0 \le t \le 5)$에서의 위치가 $x(t) = t^3 - 9t^2 + 24t$입니다. (1) P가 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하세요. (2) P가 운동 방향을 두 번째로 바꾸는 순간의 가속도를 구하세요. (3) $t = 0$부터 $t = 5$까지 P가 움직인 거리를 구하세요.
2. (서술형) 혜성 첫 낙하 $s(t) = 4.9t^2$에서 떨어지는 속도가 오 팀장의 한도 시속 110 km(약 30.56 m/s)에 닿으려면 몇 초 동안 떨어져야 할까요? 그동안 떨어지는 거리는? 혜성의 첫 낙하(3초, 44.1 m)가 한도 안인 이유를 이 결과로 설명하세요.
3. 잔잔한 물에 돌을 던져 동그란 물결이 퍼집니다. 반지름이 1초에 2 cm씩 늘어날 때, 반지름이 5 cm인 순간 물결 안쪽 넓이는 1초에 얼마씩 늘어날까요?
4. 선형 근사로 $\sqrt[3]{8.3}$을 어림하세요. ($f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$, $a = 8$)
5. 뉴턴 방법으로 $\sqrt[3]{10}$을 구하려고 합니다. $f(x) = x^3 - 10$, $x_0 = 2$에서 출발해 $x_1$, $x_2$를 소수 넷째 자리까지 구하세요.

풀이

1. $v(t) = 3t^2 - 18t + 24 = 3(t - 2)(t - 4)$, $a(t) = 6t - 18$입니다. (1) $v$는 $t = 2$에서 + → −, $t = 4$에서 − → +로 부호가 바뀌므로 $t = 2$와 $t = 4$에서 방향을 바꿉니다. (2) 두 번째는 $t = 4$이고, $a(4) = 24 - 18 =$ 6입니다. (3) $x(0) = 0$, $x(2) = 20$, $x(4) = 16$, $x(5) = 20$이므로 움직인 거리는 $20 + 4 + 4 =$ 28입니다(변위는 20).
2. 시속 110 km는 $110 / 3.6 \approx 30.556$ m/s입니다. $v(t) = 9.8t = 30.556$에서 $t \approx 3.118$초이고, 그동안 떨어지는 거리는 $4.9 \times 3.118^2 \approx 47.6$ m입니다. 혜성의 첫 낙하는 3초(44.1 m)에서 끝나므로 속도가 한도에 닿기 전에 바닥에 도착합니다. 약 3.12초, 약 47.6 m. 첫 낙하가 44.1 m라서 바닥 속도 29.4 m/s(시속 105.84 km)로 한도 안이다.
3. 넓이 $A = \pi r^2$를 $t$로 미분하면 $\dfrac{dA}{dt} = 2\pi r\dfrac{dr}{dt}$입니다. $r = 5$, $\dfrac{dr}{dt} = 2$를 넣으면 $2\pi \times 5 \times 2 = 20\pi \approx$ 62.8 cm²/초입니다. 반지름이 클수록 같은 빠르기로 퍼져도 넓이는 더 빨리 늡니다(둘레가 길어서).
4. $f(8) = 2$, $f'(x) = \tfrac13 x^{-2/3}$이므로 $f'(8) = \tfrac13 \times \tfrac14 = \tfrac1{12}$입니다. $\sqrt[3]{8.3} \approx 2 + \tfrac1{12} \times 0.3 =$ 2.025입니다. 참값은 $2.02469$…로, 위로 볼록한 곡선이라 어림값이 조금 큽니다.
5. $x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^3 - 10}{3x_n^2}$입니다. $x_1 = 2 - \dfrac{8 - 10}{12} = 2 + \dfrac16 \approx$ 2.1667, $x_2 = 2.1667 - \dfrac{2.1667^3 - 10}{3 \times 2.1667^2} \approx$ 2.1545입니다. 참값은 $2.15443$…입니다.

오후 3시, 도윤은 혜성의 맨 앞 칸에 앉습니다. 옆자리에는 은재 이모가 앉고, 안전바가 내려옵니다. 승강장에서 오 팀장이 무전기를 든 채 손을 흔듭니다.

열차가 리프트 언덕을 천천히 오릅니다. 높이 45 m. 꼭대기에서 잠깐 멈칫하는 사이 도윤은 1교시의 표를 떠올립니다. 0–3초 평균속도 14.7 m/s. 그 숫자로는 바닥 속도를 알 수 없었습니다. 열차가 고개를 숙입니다. 1초, 2초, 3초. 44.1 m를 떨어지는 동안 등이 의자에서 뜨고, 바닥에서 몸이 의자로 꾹 눌립니다. 접선의 기울기, $s'(3) = 29.4$ m/s. 시속 105.84 km입니다.

두 번째 구간의 언덕 꼭대기에서 몸이 다시 붕 뜨고, 골짜기에서 눌립니다. 8교시에 색칠한 바로 그 구간입니다. 마지막 직선에서 자기 브레이크가 열차를 붙잡습니다. 몸이 앞으로 쏠리는 첫 순간이 가장 세고, 쏠림은 점점 부드러워집니다. $-7.5e^{-0.3t}$의 그래프 그대로입니다.

열차가 승강장에 멈춥니다. 오 팀장이 다가옵니다. "어때, 몇이었어?" 도윤이 안전바를 올리며 웃습니다. "바닥에서 29.4요. 한도 안이에요. 브레이크는 처음에 0.77g. 그래프랑 똑같이 느껴졌어요." 은재 이모가 열차에서 내리며 말합니다. "속도계 기록만 남았을 때 레일 길이를 되찾는 법도 있어. 그래프 아래 넓이를 재는 거야." 도윤이 기록 파일을 다시 집어 듭니다. "그게 적분이죠? 그것도… 그래프부터 그려 보면 되는 거죠?"

2주 동안 함께한 미분은 여기까지입니다. 그래프를 그리고, 아주 조금 움직였을 때 얼마나 변하는지 묻는 습관이 남았다면 이 강의는 할 일을 다 했습니다. 다음 걸음인 적분에서는 그 질문을 거꾸로 던집니다. "조금씩 변한 것을 다 모으면, 얼마가 될까?"

도윤의 이야기는 속편 롤러코스터 설계실의 적분으로 이어집니다. 겨울방학 3주차 월요일, 위치 센서가 고장 나 속도 기록만 남은 시운전 데이터에서 시작합니다.