e와 원의 미분: 지수·로그·삼각함수의 도함수

둘째 주 월요일입니다. 도윤은 금요일에 받은 식 두 개를 주말 내내 노려봤습니다. 하나에는 cos가, 하나에는 e가 들어 있습니다. "이모, 4교시 공식은 xⁿ밖에 없잖아요. cos는 어떻게 미분해요? e는 애초에 뭐예요?"

은재 이모가 화이트보드에 원을 하나 그립니다. "그래프부터 그려 봐. 하늘바퀴가 도는 동안 칸의 높이를 시간에 따라 찍어 봐." 도윤이 점을 찍자 물결 모양의 곡선이 나옵니다. 바닥에서 출발해 꼭대기까지 올라갔다가 다시 내려옵니다. "가장 빨리 올라가는 데는… 꼭대기 근처? 아니면 출발할 때?"

"아주 조금만 움직이면 얼마나 변해?" 이모가 원 위의 칸 하나를 가리킵니다. "바닥에서는 칸이 옆으로 움직여. 위로는 거의 안 가지. 옆을 지날 때는?" 도윤이 손가락으로 원을 따라가 봅니다. "똑바로 위로 가네요."

오늘은 다항식 밖의 함수들을 미분합니다. 먼저 지수·로그·라디안을 짧게 복습합니다. 그다음 기울기가 자기 자신인 특별한 함수 eˣ를 찾고, 원을 따라 도는 점으로 sin과 cos의 도함수를 얻습니다. 마지막에 하늘바퀴와 브레이크의 숫자를 구합니다.

6-1. 짧은 복습: 지수, 로그, 라디안 (6분)

지수. $a^x$은 "$a$를 $x$번 곱한 것"에서 시작해 모든 실수 $x$로 넓힌 함수입니다($a > 0$). 오늘 쓰는 규칙은 세 가지입니다.

로그. 로그는 지수를 거꾸로 묻습니다. "$a$를 몇 제곱하면 $b$가 되나?"의 답이 $\log_a b$입니다.

오늘 새로 만나는 수 $e \approx 2.71828$을 밑으로 하는 로그를 자연로그(natural logarithm) 라고 하고 $\ln x$로 씁니다. $\ln x = \log_e x$입니다.

라디안. 각을 '도' 대신 호의 길이로 재는 방법입니다. 반지름이 1인 원에서 호의 길이가 $\theta$이면 그 각을 $\theta$ 라디안(radian)이라고 합니다. 원 한 바퀴의 둘레가 $2\pi$이므로

입니다. 미적분에서는 각을 언제나 라디안으로 씁니다. 왜 그래야 하는지는 6-5절에서 숫자로 봅니다.

6-2. 기울기가 자기 자신인 함수: e와 eˣ (10분)

$y = 2^x$의 기울기를 정의대로 구해 봅시다. 지수 규칙 $2^{x+h} = 2^x \cdot 2^h$를 쓰면

입니다. 오른쪽의 $\frac{2^h - 1}{h}$에는 $x$가 없습니다. 그러니 어느 점에서든 기울기는 그 점의 높이 $2^x$에 같은 수를 곱한 것입니다. 그 수는 $x = 0$에서의 기울기($h \to 0$일 때 $\frac{2^h - 1}{h}$가 다가가는 값)입니다.

(표의 값은 $\frac{a^h - 1}{h}$, 소수 다섯째 자리까지.) 밑이 2이면 기울기가 1보다 작고, 3이면 1보다 큽니다. 그 사이 어딘가에 $x = 0$의 기울기가 정확히 1이 되는 밑이 있습니다. 그 밑을 $e$라고 부릅니다.

$e$라는 글자는 오일러(Leonhard Euler, 1707–1783)가 쓰기 시작했습니다. 이 수는 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$에서 $n$을 한없이 키울 때 다가가는 값이기도 합니다($n = 1000$이면 약 2.7169, $n = 1{,}000{,}000$이면 약 2.7182805).

아래 실습대의 남색 곡선이 $y = a^x$, 주황 직선이 $x = 0$에서의 접선, 회색 점선이 기울기가 1인 직선 $y = x + 1$입니다. 청록 점선은 점마다의 기울기를 이은 기울기 그래프(도함수 그래프)입니다. 오른쪽의 '밑 $a$' 슬라이더로 밑을 바꿉니다. 검은 점 P는 곡선을 따라 끌 수 있고(키보드 화살표도 됩니다), 오른쪽에 P의 높이, 기울기, 그리고 '기울기 ÷ 높이'가 나옵니다.

밑이 $e$이면 $x = 0$의 기울기가 1이므로, 어느 점에서나 기울기 = 높이 × 1 = 높이입니다. 미분해도 자기 자신이 되는 함수입니다.

$x = 1$에서 $y = e^x$의 높이는 $e \approx 2.718$이고, 그 점의 접선 기울기도 $e$입니다. 연쇄법칙(5교시)과 함께 쓰면 쓸모가 커집니다. 속 함수가 $kx$이면 속미분 $k$가 곱해집니다.

예를 들어 $(e^{2x})' = 2e^{2x}$이고, $x = 0$에서 2입니다. 이 꼴은 6-4절의 브레이크에서 바로 씁니다.

6-3. 로그와 aˣ의 미분 (7분)

$\ln x$의 미분. $e^{\ln x} = x$입니다($x > 0$). 로그가 "몇 제곱?"의 답이니 당연합니다. 양변을 $x$로 미분합니다. 왼쪽은 겉이 $e^u$, 속이 $u = \ln x$인 합성함수이므로 연쇄법칙을 씁니다.

그래프로 보면 $y = \ln x$는 $x = 1$에서 기울기 1, $x = 2$에서 $\frac{1}{2}$, $x = 10$에서 $\frac{1}{10}$입니다. 계속 올라가지만 점점 완만해집니다.

$a^x$의 미분. $a = e^{\ln a}$이므로 $a^x = e^{x \ln a}$입니다. $(e^{kx})' = ke^{kx}$에 $k = \ln a$를 넣으면

입니다. 6-2절의 표에서 본 '$x = 0$의 기울기'가 바로 $\ln a$였습니다. $\ln 2 \approx 0.6931$, $\ln 3 \approx 1.0986$. 같은 방법으로 $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$도 나옵니다.

6-4. 자기 브레이크의 감속 (5분)

혜성의 마지막 구간에는 자기 브레이크가 있습니다. 열차 옆에 붙은 금속판이 자석 사이를 지나가면, 판에 생기는 전류가 움직임을 거스르는 힘을 냅니다. 이 힘은 빠를수록 셉니다. 그래서 속도가 지수함수로 줄어듭니다.

여기서 $t$는 브레이크 구간에 들어온 뒤의 시간(초)입니다. 감속도는 속도의 변화율입니다. 겉 $25e^u$, 속 $u = -0.3t$이므로

입니다. 마지막 꼴이 중요합니다. 감속도는 그 순간의 속도에 비례합니다. 빨리 들어올수록 세게 잡고, 느려질수록 살살 잡습니다.

(소수 둘째 자리까지.) 들어오는 순간의 감속도는 7.5 m/s²입니다. 중력가속도 $g = 9.8$ m/s²로 나누면 $7.5 \div 9.8 \approx 0.77$, 약 0.77g입니다. 몸이 앞으로 확 쏠리는 느낌이지만, 그 뒤로 빠르게 약해집니다. 5초 뒤에는 약 5.58 m/s까지 느려집니다. 5 m/s가 되는 때는 $e^{-0.3t} = 0.2$에서 $t = \frac{\ln 5}{0.3} \approx 5.36$초입니다.

6-5. sin과 cos의 미분: 단위원으로 (9분)

먼저 극한 하나. $x$가 0에 아주 가까우면 $\sin x$와 $x$는 거의 같습니다(라디안일 때).

이유는 그림에 있습니다. 반지름 1인 원에서 각 $x$(라디안)의 호의 길이는 $x$이고, 높이는 $\sin x$입니다. 각이 아주 작으면 호와 높이가 거의 같은 길이가 됩니다. 이 극한은 $y = \sin x$의 $x = 0$ 기울기가 1이라는 뜻이기도 합니다.

같은 일을 '도'로 하면 어떨까요? $\sin(1°) \approx 0.017452$인데, 각의 수치는 1입니다. 비율이 1이 아니라 $\frac{\pi}{180} \approx 0.01745$로 다가갑니다. 도를 쓰면 모든 삼각함수의 도함수에 $\frac{\pi}{180}$이 따라붙습니다. 라디안을 쓰는 이유가 이것입니다. 각을 호의 길이로 재야 기울기가 깔끔하게 1이 됩니다.

단위원으로 보는 도함수. 반지름 1인 원 위를 점 P가 1초에 호의 길이 1씩(즉 속력 1로) 돈다고 합시다. $\theta$초 뒤 P의 위치는 $(\cos\theta, \sin\theta)$입니다.

• 원 위를 도는 점의 움직임 방향은 언제나 반지름에 수직(원의 접선 방향)입니다.
• 반지름 방향이 $(\cos\theta, \sin\theta)$이므로, 그에 수직이고 길이 1인 움직임 방향은 $(-\sin\theta, \cos\theta)$입니다.
• 이것이 P의 속도입니다. 가로 성분이 $\cos\theta$의 변화율, 세로 성분이 $\sin\theta$의 변화율입니다.

확인해 봅시다. $\theta = 0$에서 P는 오른쪽 끝 $(1, 0)$에 있고 똑바로 위로 움직입니다. 높이($\sin$)의 변화율은 $\cos 0 = 1$로 가장 크고, 가로($\cos$)의 변화율은 $-\sin 0 = 0$입니다. $\theta = \frac{\pi}{2}$에서 P는 꼭대기에 있고 왼쪽으로 움직입니다. 높이의 변화율은 $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, 가로의 변화율은 $-1$입니다. 그림과 맞습니다.

(덧셈정리 $\sin(x+h) = \sin x\cos h + \cos x \sin h$와 위의 극한으로도 같은 결과를 얻습니다. 교과서는 이 길로 증명합니다.)

6-6. 하늘바퀴: 칸은 언제 가장 빨리 올라가나 (6분)

하늘바퀴는 지름 60 m(반지름 30 m), 중심 높이 32 m이고, 한 바퀴에 12분 걸립니다. 가장 낮은 칸의 높이는 $32 - 30 = 2$ m입니다. 바닥에서 출발한 칸의 $t$분 뒤 높이는

입니다. 12분에 한 바퀴($2\pi$)를 돌므로 1분에 $\frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ 라디안씩 돕니다. 연쇄법칙으로 미분하면(겉 $\cos u$, 속 $u = \frac{\pi t}{6}$)

입니다. $\sin$의 가장 큰 값은 1이고, $\frac{\pi t}{6} = \frac{\pi}{2}$, 즉 $t = 3$분일 때입니다. 그때 칸은 중심 높이 32 m를 지나 옆쪽에 있고 똑바로 위로 움직입니다.

재미있는 확인이 하나 있습니다. 칸이 원을 따라 움직이는 속력은 둘레 ÷ 시간 $= \frac{2\pi \times 30}{12} = 5\pi$ m/분으로 언제나 같습니다. $t = 3$에서는 그 움직임이 전부 위쪽이라 상승 속도가 속력과 같아집니다. 바닥($t = 0$)과 꼭대기($t = 6$)에서는 옆으로만 움직이므로 상승 속도가 0입니다.

(소수 둘째 자리까지.) 아래 실습대의 왼쪽은 하늘바퀴이고, 남색 칸이 우리가 따라가는 칸입니다. 오른쪽 위는 높이 $h(t)$(남색), 오른쪽 아래는 상승 속도 $h'(t)$(청록)이고, 회색 점선은 한 바퀴 전체의 모양을 미리 보여 줍니다. 주황 세로 점선이 지금 시각입니다. 칸에 붙은 주황 화살표는 칸이 움직이는 방향(속력은 늘 $5\pi$)이고, 청록 화살표는 그 가운데 위아래 성분, 즉 상승 속도입니다. 높이 그래프 위의 주황 직선은 지금 시각의 접선입니다.

기호 읽는 법

교과서에서는

• 지수·로그·삼각함수의 미분은 '미적분'(2022 개정 '미적분 II')의 "여러 가지 함수의 미분"에서 배웁니다.
• 교과서는 e를 먼저 극한 lim (1 + x)^(1/x)로 정의하고, 그다음 (eˣ)′ = eˣ를 증명합니다. 이 교시는 순서를 거꾸로(기울기 1에서 출발해) 보였습니다. 같은 수입니다.
• 시험에는 "lim (eˣ − 1)/x = 1", "lim (sin x)/x = 1"을 이용한 극한 계산이 자주 나옵니다. 둘 다 "x = 0에서의 기울기가 1"이라는 같은 사실입니다.
• 삼각함수가 섞인 문제는 각이 라디안이라는 전제로 나옵니다. 문제에 30°라고 나오면 π/6으로 바꿔서 미분합니다.

자주 하는 착각 (3분)

• "$(2^x)' = x \cdot 2^{x-1}$이다." 거듭제곱 공식은 밑이 변수일 때만 씁니다. $(a^x)' = a^x \ln a$입니다.
• "$(e^{-0.3t})' = e^{-0.3t}$이다." 속미분 $-0.3$을 빠뜨렸습니다. $(e^{kx})' = ke^{kx}$입니다.
• "$(\cos x)' = \sin x$이다." 부호가 빠졌습니다. $(\cos x)' = -\sin x$. 바닥에서 막 출발한 칸을 떠올리면 $-\cos$는 올라가고 $\cos$는 내려갑니다.
• "각은 도로 넣어도 된다." 미분 공식은 라디안에서만 그대로 맞습니다. 도를 쓰면 $\frac{\pi}{180}$이 곱해집니다.
• "가장 높은 때가 가장 빨리 올라가는 때다." 꼭대기에서 상승 속도는 0입니다. 값이 클 때와 변화율이 클 때는 다릅니다.

연습 문제 (4분)

1. $f(x) = x^2 e^x$일 때 $f'(1)$의 값을 구하세요. (소수 셋째 자리까지)
2. $y = \ln(3x + 1)$일 때 $x = 1$에서의 접선 기울기를 구하세요.
3. $y = \sin x \cos x$일 때 $y'$을 구하고, $x = \frac{\pi}{3}$에서의 값을 구하세요.
4. (서술형) $f(x) = e^{2x} - 4x$에 대하여 (가) $x = 0$에서의 접선의 방정식을 구하고, (나) $f'(x) = 0$이 되는 $x$의 값을 구하는 과정을 쓰세요.
5. 오 팀장이 묻습니다. "혜성이 브레이크 구간에 30 m/s로 들어오면(같은 브레이크, $v(t) = 30e^{-0.3t}$) 처음 감속도는 몇 g야? 5 m/s까지는 몇 초 걸려?" ($g = 9.8$ m/s², 소수 둘째 자리까지)

풀이

1. 곱의 미분법으로 $f'(x) = 2xe^x + x^2e^x = (x^2 + 2x)e^x$입니다. $x = 1$이면 $3e \approx 8.155$입니다. 답: $3e \approx 8.155$
2. "속미분 ÷ 속"으로 $y' = \dfrac{3}{3x + 1}$입니다. $x = 1$이면 $\frac{3}{4}$입니다. 답: $\frac{3}{4}$
3. 곱의 미분법으로 $y' = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot(-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$입니다. $x = \frac{\pi}{3}$이면 $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}$입니다. 답: $y' = \cos^2 x - \sin^2 x$, $-\frac{1}{2}$
4. (가) $f(0) = e^0 - 0 = 1$입니다. 연쇄법칙으로 $f'(x) = 2e^{2x} - 4$이고 $f'(0) = 2 - 4 = -2$입니다. 접선은 점 $(0, 1)$을 지나고 기울기가 $-2$이므로 $y = -2x + 1$입니다. (나) $2e^{2x} - 4 = 0$에서 $e^{2x} = 2$, 양변에 $\ln$을 취하면 $2x = \ln 2$, $x = \frac{\ln 2}{2} \approx 0.347$입니다. 답: (가) $y = -2x + 1$ (나) $x = \frac{\ln 2}{2}$
5. $v'(t) = -9e^{-0.3t}$이므로 처음 감속도는 9 m/s²이고, $9 \div 9.8 \approx 0.92$g입니다. 5 m/s가 되려면 $30e^{-0.3t} = 5$, $e^{-0.3t} = \frac{1}{6}$, $t = \frac{\ln 6}{0.3} \approx 5.97$초입니다. 감속도는 들어오는 속도에 비례해서 커지지만(25 → 30이면 1.2배), 걸리는 시간은 로그로만 늘어납니다. 답: 약 0.92g, 약 5.97초

안내판 문구가 정해졌습니다. "칸은 출발 3분 뒤, 중심 높이를 지날 때 가장 빨리 올라갑니다(분당 약 16 m)." 오 팀장은 브레이크 숫자도 확인하고 고개를 끄덕입니다. 그러고는 혜성의 두 번째 구간 설계도를 펼칩니다. "다음은 여기야. 첫 낙하 뒤에 언덕이 하나, 골짜기가 하나 있어. 꼭대기와 골짜기가 정확히 어디인지, 높이가 몇인지 찍어 줘." 도윤이 오늘 표를 다시 봅니다. 하늘바퀴의 꼭대기에서는 상승 속도가 0이었습니다. "꼭대기를 찾으려면… 도함수가 0인 데를 찾으면 되겠네요?" 7교시에서는 도함수의 부호로 그래프가 오르는 곳과 내리는 곳, 꼭대기와 골짜기를 찾습니다.