강의 개요

미분 단원은 많은 학생이 수학을 놓는 자리입니다. 그전까지는 식에 숫자를 넣으면 답이 나왔습니다. 그런데 갑자기 $\lim$이 나오고, "한없이 가까워진다"는 말이 나오고, 공식이 쏟아집니다. 공식은 외웠는데 그게 무엇을 구하는 건지 모르는 채로 시험을 봅니다.

이 강의는 고등학교 미분 단원 하나만 10교시에 걸쳐 깊게 폅니다. 미분이 묻는 질문은 사실 하나입니다. "아주 조금 움직이면, 얼마나 변하나?" 평균속도에서 시작해 순간속도를 잡고, 그 생각 하나로 접선, 도함수, 극값, 최적화까지 갑니다.

여러분은 놀이공원 솔바람랜드의 놀이기구 설계실에서 겨울방학을 보내는 고등학생 도윤이 됩니다. 새 롤러코스터 혜성의 시운전을 앞두고 매일 설계 과제가 하나씩 들어옵니다. 바닥에서의 속도, 레일 이음매, 대관람차의 높이, 기념품 상자의 부피. 그 과제를 미분으로 풉니다.

아래는 3교시의 실습대입니다. 곡선 위의 두 점을 잇는 직선(할선)이 있습니다. 두 점 사이의 간격 $h$를 줄이면 할선이 한 점에서 곡선을 스치는 직선(접선)으로 접혀 들어갑니다. 그때 기울기가 다가가는 값이 미분계수입니다. 이 강의 전체가 이 한 장면에서 출발합니다.

이런 분께 맞습니다

• 미분 단원에서 lim이 나오자 손을 놓은 고등학생
• 공식은 외웠는데 "그래서 미분계수가 뭔데?"라는 질문에 답하지 못하는 분
• 고등학교 때 배운 미분을 다시 제대로 이해하고 싶은 성인
• 자녀에게 미분을 설명해야 하는데 어디서부터 말해야 할지 막막한 부모님

일차·이차함수, 인수분해, 직선의 방정식을 알면 충분합니다. 지수·로그·삼각함수는 6교시에서 필요한 만큼 짧게 다시 짚습니다.

교과서로 치면 2015 개정 교육과정의 '수학 II'와 '미적분', 2022 개정 교육과정의 '미적분 I'과 '미적분 II'에 나오는 미분 부분입니다. 과목 이름은 달라도 다루는 개념은 같습니다. 적분은 이 강의에서 다루지 않고, 마지막 교시에 다음 걸음으로 소개만 합니다. 적분은 속편 롤러코스터 설계실의 적분에서 같은 설계실 이야기로 이어집니다.

한 교시는 이렇게 진행됩니다

1. 오늘의 설계 과제: 설계실에 들어온 과제와 오늘 구할 것으로 시작합니다.
2. 실습대: 할선을 좁히고, 접선을 굴리고, 상자를 접어 봅니다. 그래프가 움직이는 모습으로 개념을 먼저 봅니다. 모든 교시에 하나 이상 있습니다.
3. 정의와 식: 본 것에 이름을 붙이고, 식이 나오면 바로 숫자를 넣어 한 번 계산합니다.
4. 직접 풀어 보기: 개념 하나를 배울 때마다 예제를 직접 풉니다. 교시마다 5–8개입니다. 풀이는 접혀 있으니 먼저 종이에 풀어 보고 펼치세요.
5. 교과서에서는: 그 개념을 교과서와 시험이 어떤 말과 기호로 묻는지 이어 줍니다.
6. 마무리: 자주 하는 착각, 연습 문제와 풀이, 도윤의 미분 노트로 마칩니다.

강의 지도

부	교시	설계실의 과제	배우는 것
1부 · 순간을 붙잡기	1–3	혜성 첫 낙하의 바닥 속도, 속도계 오류, 레일 이음매	평균변화율, 극한과 연속, 미분계수와 접선
2부 · 미분하는 기술	4–6	속도계 화면, 회전컵 톱니, 대관람차와 자기 브레이크	도함수와 미분 공식, 곱의 미분법, 연쇄법칙, 지수·로그·삼각함수의 미분
3부 · 그래프 읽기	7–8	언덕 꼭대기와 골짜기, 몸이 뜨는 구간	증가와 감소, 극대·극소, 평균값 정리, 이계도함수, 변곡점
4부 · 미분 쓰기	9–10	기념품 상자, 구조대원의 길, 시운전 데이터	최대·최소와 최적화, 속도와 가속도, 선형 근사, 뉴턴 방법

순서대로 보기를 권합니다. 1–3교시에서 만든 "아주 조금 움직이면" 감각을 뒤 교시가 그대로 이어 씁니다. 공식이 빨리 필요하다면 4교시부터 봐도 되지만, 3교시의 미분계수 정의만은 꼭 먼저 보세요.

준비물

• 종이와 연필. 예제를 직접 풀 때 씁니다.
• 실습대는 모두 브라우저 안에서 돌아갑니다. 마우스·손가락이나 키보드(Tab과 화살표 키)로 조작합니다.
• 계산은 휴대폰 계산기면 충분합니다.

등장인물

이름	누구
도윤	고등학교 2학년. 미분 단원에서 lim이 나오자 손을 놓았다. 겨울방학 2주 동안 이모를 따라 설계실에 나온다.
은재 이모	놀이기구 설계 엔지니어. 기계공학을 전공했다. 늘 같은 두 말을 한다. "그래프부터 그려 봐." "아주 조금만 움직이면 얼마나 변해?"
오 팀장	설계팀장. 과제와 마감을 들고 온다. "그래서 몇이야? 한도 안이야?"