곱하고 감싼 함수: 곱의 미분법과 연쇄법칙

첫 주 금요일입니다. 오 팀장이 어제 건넨 서류 두 장을 도윤의 책상에 다시 올려놓습니다. "회오리 점검표, 광장 공사 일정표. 둘 다 숫자 하나씩만 채우면 돼. 점심 전까지."

도윤은 어제 배운 공식을 떠올리며 바로 답합니다. "광장은 쉬워요. 가로가 하루에 2 m, 세로가 하루에 1 m 늘잖아요. 넓이는 가로 × 세로니까, 늘어나는 빠르기도 곱하면 2 × 1 = 2. 하루에 2 m²요. 컵은 6 × 3 = 18바퀴고요."

은재 이모가 종이 한 장을 내밉니다. "그림부터 그려 봐. 지금 광장을 직사각형으로 그리고, 하루 뒤의 광장을 겹쳐 그려. 아주 조금만 움직이면 얼마나 변해?" 도윤이 하루 뒤의 광장을 계산합니다. 가로 42 m, 세로 31 m, 넓이 1,302 m². 지금은 1,200 m²입니다. "어? 102 m²가 늘었어요. 2가 아니라요."

컵의 답 18은 맞았습니다. 그런데 왜 이번에는 곱해도 되는지 도윤은 설명하지 못합니다. 오늘은 두 함수를 곱한 함수와 함수를 함수로 감싼 함수를 미분하는 법을 배웁니다. 앞의 것이 곱의 미분법, 뒤의 것이 연쇄법칙입니다.

5-1. 넓어지는 광장: 곱의 미분법 (10분)

광장의 가로를 $f(t)$, 세로를 $g(t)$라고 합시다. $t$는 오늘부터 지난 날수입니다.

가로의 변화율은 $f'(t) = 2$ (m/일), 세로의 변화율은 $g'(t) = 1$ (m/일)입니다. 알고 싶은 것은 넓이의 변화율 $A'(0)$입니다.

$\Delta t$일이 지나면 가로는 $\Delta f$, 세로는 $\Delta g$만큼 늘어납니다. 새로 생긴 넓이를 그림으로 나눠 보면 세 조각이 나옵니다. 오른쪽에 붙는 긴 띠, 위쪽에 붙는 긴 띠, 그리고 오른쪽 위 구석의 작은 모서리입니다.

아래 실습대의 남색 직사각형이 지금 광장(40 m × 30 m)입니다. 청록은 오른쪽 띠($\Delta f \times g$), 주황은 위쪽 띠($f \times \Delta g$), 진홍은 모서리($\Delta f \times \Delta g$)입니다. 회색 점선은 $\Delta t$일 뒤의 테두리입니다. 그림 아래 막대는 늘어난 넓이 $\Delta A$를 세 조각이 나눠 가진 몫입니다. 오른쪽 조작판에는 $\Delta t$ 슬라이더, 가로·세로 빠르기 슬라이더, 조각마다의 넓이, 그리고 $\Delta A \div \Delta t$가 있습니다.

실습대의 숫자를 표로 옮기면 이렇습니다. 오른쪽 띠는 $2\Delta t \times 30$, 위쪽 띠는 $40 \times \Delta t$, 모서리는 $2\Delta t \times \Delta t$입니다.

두 띠는 $\Delta t$에 비례해 줄어듭니다. 모서리는 $\Delta t$를 두 번 곱한 크기라서 훨씬 빨리 사라집니다. 그래서 $\Delta A / \Delta t$는 두 띠가 정하는 값 100으로 다가갑니다.

식으로 쓰면 이렇습니다. 늘어난 넓이를 세 조각으로 나누고 $\Delta t$로 나눕니다.

$\Delta t \to 0$이면 $\frac{\Delta f}{\Delta t} \to f'$, $\frac{\Delta g}{\Delta t} \to g'$이고, 마지막 항의 $\Delta g$는 0으로 갑니다. 남는 것이 곱의 미분법(product rule) 입니다.

말로 하면 "앞을 미분하고 뒤는 그대로, 더하기 앞은 그대로 두고 뒤를 미분". 그림으로 하면 "띠 두 개의 합"입니다. 광장에 넣으면

입니다. 4교시의 방법으로 확인할 수도 있습니다. 전개하면 $A(t) = 1200 + 100t + 2t^2$이고, $A'(t) = 100 + 4t$이므로 $A'(0) = 100$입니다. 같은 답입니다.

도윤의 답 $f' \times g' = 2$는 무엇이었을까요? 모서리 조각 $\Delta f \times \Delta g$를 $\Delta t$로 두 번 나눈 값입니다. 사라지는 조각만 남기고 정작 중요한 두 띠를 버린 셈입니다. 단위도 맞지 않습니다. (m/일) × (m/일)은 m²/일²이지, m²/일이 아닙니다.

5-2. 나눈 함수: 몫의 미분법 (6분)

곱의 미분법을 알면 나눗셈도 풀립니다. $q = \dfrac{f}{g}$라고 하면 $f = q \cdot g$입니다. 이 곱을 곱의 미분법으로 미분합니다.

이것이 몫의 미분법(quotient rule) 입니다($g(x) \neq 0$인 곳에서).

분자의 순서가 중요합니다. 위를 미분한 것이 먼저, 빼기, 아래를 미분한 것이 뒤입니다. 순서를 바꾸면 부호가 반대가 됩니다. 분모는 아래 함수의 제곱입니다.

분자가 1이면 더 간단해집니다. $f = 1$이면 $f' = 0$이므로

입니다. $\frac{1}{x} = x^{-1}$로 보면 4교시의 공식 $(x^n)' = nx^{n-1}$에 $n = -1$을 넣은 $-x^{-2}$와 같습니다. 거듭제곱 공식이 음의 정수에서도 맞는다는 뜻입니다. 숫자로 보면 $x = 2$에서 $y = \frac{1}{x}$의 접선 기울기는 $-\frac{1}{4}$입니다. $x$가 커지면 $\frac{1}{x}$은 줄어드니 기울기가 음수인 것이 맞습니다.

5-3. 함수 속의 함수: 합성함수 (6분)

이제 회오리입니다. 시간이 흐르면 원판이 돌고, 원판이 돌면 컵이 돕니다. 함수 두 개가 사슬처럼 이어져 있습니다.

• 시간 $t$(분) → 원판이 돈 바퀴 수 $u = 6t$
• 원판의 바퀴 수 $u$ → 컵이 (원판 위에서) 돈 바퀴 수 $y = 3u$

둘을 이으면 $y = 3(6t) = 18t$입니다. 이렇게 한 함수의 결과를 다른 함수에 다시 넣어 만든 함수를 합성함수(composite function) 라고 합니다. 기호로는 $y = f(g(x))$ 또는 $(f \circ g)(x)$라고 씁니다.

• 먼저 계산하는 $g$가 속 함수(안쪽 함수)입니다.
• 그 결과를 받아 계산하는 $f$가 겉 함수(바깥 함수)입니다.

합성함수를 미분하려면 먼저 속과 겉을 찾아야 합니다. 요령은 "$x$에 숫자를 넣었을 때 마지막으로 하는 계산이 겉 함수"입니다. $(3x+1)^5$에 $x = 2$를 넣으면 $3 \times 2 + 1 = 7$을 먼저 계산하고, 마지막에 5제곱을 합니다. 그래서 겉은 5제곱, 속은 $3x+1$입니다.

순서를 바꾸면 다른 함수가 됩니다. $f(u) = u^2$, $g(x) = x + 1$이면 $f(g(x)) = (x+1)^2$이고 $g(f(x)) = x^2 + 1$입니다. $x = 1$을 넣으면 4와 2로 다릅니다.

5-4. 톱니바퀴: 연쇄법칙 (12분)

합성함수의 변화율은 톱니바퀴로 보면 잘 보입니다. 아래 실습대에는 톱니바퀴가 세 개 있습니다. 남색 첫째 바퀴가 $x$, 청록 둘째 축이 $u$, 주황 셋째 바퀴가 $y$입니다. 둘째 축에는 바퀴가 두 개 붙어 있습니다. 작은 바퀴(실선)는 첫째 바퀴와 맞물리고, 같은 축에 붙은 큰 바퀴(점선, 뒤쪽 층)는 셋째 바퀴와 맞물립니다. 바퀴마다 굵은 막대가 있어서 몇 바퀴 돌았는지 셀 수 있습니다. 오른쪽에서 1단의 비율($x$가 한 바퀴 돌 때 $u$가 도는 바퀴 수, $\frac{du}{dx}$)과 2단의 비율($\frac{dy}{du}$)을 고릅니다.

$x$가 한 바퀴 돌면 $u$는 $\frac{du}{dx}$바퀴 돌고, $u$가 한 바퀴 돌 때마다 $y$는 $\frac{dy}{du}$바퀴 돕니다. 그러니 $x$가 한 바퀴 돌 때 $y$는 $\frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}$바퀴 돕니다. 단마다의 변화율이 곱해집니다. 이것이 연쇄법칙(chain rule) 입니다.

이 기호는 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646–1716)가 만든 것입니다. 분수처럼 $du$가 약분되는 것처럼 보여서 외우기 쉽습니다. 실제로 이유도 거기에 있습니다. 작은 변화량으로 쓰면

는 그냥 분수의 약분이라 언제나 맞습니다($\Delta u \neq 0$일 때). $\Delta x \to 0$이면 $\Delta u \to 0$이므로 양쪽이 각각 도함수로 다가갑니다.

톱니바퀴는 비율이 늘 같은 경우입니다. 곡선 함수에서는 비율이 점마다 다르므로, 속 함수가 지금 내놓은 값에서 겉 함수의 기울기를 재야 합니다. $f(g(x))$의 꼴로 쓰면 이렇습니다.

말로 하면 "겉을 미분하고(속은 그대로 넣어 두고), 속을 미분한 것을 곱한다"입니다.

보기 1. $y = (3x+1)^5$. 겉 $u^5$의 도함수는 $5u^4$, 속 $3x+1$의 도함수는 3입니다.

$x = 0$에서 $15 \times 1^4 = 15$입니다. 전개해서 확인할 수도 있습니다. $(3x+1)^5$를 전개하면 $x$의 일차항은 $5 \times 3x = 15x$이고, 그 밖의 항은 $x^2$ 이상이라 $x = 0$에서 기울기에 보태지 않습니다. 같은 15입니다. 속미분 3을 빠뜨리면 5가 나옵니다. 연쇄법칙에서 가장 흔한 실수입니다.

보기 2. $y = \sqrt{x^2 + 1}$. 먼저 $\sqrt{u}$의 도함수가 필요합니다. 이것도 연쇄법칙으로 구할 수 있습니다. $(\sqrt{x})^2 = x$의 양변을 미분하면 왼쪽은 겉이 제곱, 속이 $\sqrt{x}$이므로

입니다($x > 0$). $\sqrt{x} = x^{1/2}$로 보면 거듭제곱 공식에 $n = \frac{1}{2}$을 넣은 것과 같습니다. 이제

입니다. $x = 1$에서 $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071$입니다(소수 넷째 자리까지).

5-5. 미분법 섞어 쓰기 (6분)

실제 문제에서는 곱, 몫, 합성이 한 식에 섞여 나옵니다. 순서는 하나입니다. 식 전체의 맨 바깥 구조부터 봅니다. 곱인가, 몫인가, 감싼 것인가? 그 규칙을 한 번 쓰고, 안에서 다시 같은 질문을 합니다.

보기. $y = x^2(2x - 1)^3$. 맨 바깥은 $x^2$과 $(2x-1)^3$의 곱입니다. 곱의 미분법을 쓰고, 뒤쪽을 미분할 때 연쇄법칙을 씁니다.

공통인 $2x(2x-1)^2$로 묶으면 정리가 쉽습니다.

$x = 1$을 넣으면 $2 \times 1 \times 1^2 \times 4 = 8$입니다. 묶어 두면 $y' = 0$이 되는 곳($x = 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{5}$)도 바로 보입니다. 7교시에서 그래프의 꼭대기와 골짜기를 찾을 때 이 정리가 쓸모 있습니다.

기호 읽는 법

교과서에서는

• 교과서는 곱의 미분법을 "두 함수의 곱의 미분법"이라고 부릅니다. 다항함수와 함께 '수학 II'(2022 개정 '미적분 I')에서 배웁니다. 몫의 미분법과 합성함수의 미분법(연쇄법칙)은 '미적분'(2022 개정 '미적분 II')에서 배웁니다.
• 시험 문장은 "함수 f(x) = (x² + 1)(x³ − 2x)에 대하여 f′(1)의 값은?"처럼 나옵니다. 전개해도 되지만 곱의 미분법이 빠르고 실수가 적습니다.
• 표나 그래프를 주고 "h(x) = f(g(x))일 때 h′(1)의 값은?"을 묻는 문제가 자주 나옵니다. 예제 5-7처럼 속 함수의 값부터 읽으세요.
• "미분가능한 함수 f(x)에 대하여 g(x) = f(2x + 1)…" 같은 문장은 f의 식을 몰라도 연쇄법칙으로 풀라는 신호입니다.

자주 하는 착각 (4분)

• "(fg)′ = f′g′이다." 아닙니다. 넓이가 늘어나는 것은 두 띠(f′g와 fg′) 때문이고, f′g′은 사라지는 모서리 조각입니다. 단위도 맞지 않습니다.
• "(f/g)′ = f′/g′이다." 아닙니다. (f′g − fg′)/g²입니다. 분자는 위를 미분한 것이 먼저입니다. 순서를 바꾸면 부호가 반대가 됩니다.
• "((3x + 1)⁵)′ = 5(3x + 1)⁴이다." 속미분 3을 빠뜨렸습니다. 감싼 함수를 미분하면 반드시 속 함수의 도함수를 곱합니다.
• "f′(g(x))는 f′(x) × g(x)다." f′(g(x))는 f의 도함수에 g(x)라는 값을 넣은 것입니다. 곱셈이 아닙니다.
• "변화율은 언제나 곱하면 된다." 사슬처럼 이어진 변화율(톱니바퀴)은 곱합니다. 나란히 곱해진 두 양(가로 × 세로)의 변화율은 곱의 미분법으로 더합니다.

연습 문제 (6분)

1. $f(x) = (x^3 - 1)(x^2 + 2x)$일 때 $f'(1)$의 값을 구하세요.
2. $y = \dfrac{2x - 3}{x + 1}$의 도함수를 구하고, $x = 1$에서의 접선 기울기를 구하세요.
3. $y = (x^2 + 3)^4$일 때 $x = 1$에서의 미분계수를 구하세요.
4. (서술형) 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(3) = 6$입니다. $g(x) = f(x^2 + 2x)$일 때 $g'(1)$의 값을 구하는 과정을 쓰세요.
5. 회오리 2호기는 3단입니다. 큰 원판은 1분에 5바퀴 돌고, 원판이 한 바퀴 돌 때 그 위의 작은 판이 2바퀴, 작은 판이 한 바퀴 돌 때 그 위의 컵이 1.5바퀴 돕니다. 컵은 (작은 판 기준으로) 1분에 몇 바퀴 돌까요?

풀이

1. 곱의 미분법으로 $f'(x) = 3x^2(x^2 + 2x) + (x^3 - 1)(2x + 2)$입니다. $x = 1$이면 $3 \times 3 + 0 \times 4 = 9$입니다. 뒤쪽 항은 $x^3 - 1 = 0$이라 사라집니다. 답: 9
2. 몫의 미분법으로 $y' = \dfrac{2(x+1) - (2x-3)\cdot 1}{(x+1)^2} = \dfrac{5}{(x+1)^2}$입니다. 분자의 $2x$끼리 지워져 5만 남습니다. $x = 1$이면 $\frac{5}{4}$입니다. 답: $y' = \dfrac{5}{(x+1)^2}$, 기울기 $\frac{5}{4}$
3. 겉 $u^4$, 속 $x^2 + 3$입니다. $y' = 4(x^2+3)^3 \cdot 2x$이고, $x = 1$이면 $4 \times 4^3 \times 2 = 512$입니다. 답: 512
4. (1) $g$는 겉 함수 $f$, 속 함수 $u = x^2 + 2x$의 합성함수이므로 연쇄법칙에 의해 $g'(x) = f'(x^2 + 2x)\cdot(2x + 2)$입니다. (2) $x = 1$이면 속 함수의 값은 $1 + 2 = 3$, 속미분은 $2 + 2 = 4$입니다. (3) 따라서 $g'(1) = f'(3) \times 4 = 6 \times 4 = 24$입니다. 채점에서는 연쇄법칙을 쓴 식, 속 함수의 값 3을 넣은 것, 속미분 4를 곱한 것을 봅니다. 답: 24
5. 사슬이 세 단입니다. $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dv}\cdot\frac{dv}{du}\cdot\frac{du}{dt} = 1.5 \times 2 \times 5 = 15$입니다. 톱니가 몇 단이든 단마다의 비율을 모두 곱합니다. 답: 1분에 15바퀴

점심 전에 도윤이 점검표와 공사 일정표를 넘깁니다. 컵은 분당 18바퀴, 광장은 하루 100 m². 오 팀장이 받아 들고 다음 주 일정표를 꺼냅니다. "다음 주 월요일은 하늘바퀴야. 안내판에 '칸이 가장 빨리 올라가는 때'를 넣고 싶대. 그리고 혜성 자기 브레이크의 감속도 확인해야 해." 도윤이 식을 받아 보고 얼굴을 찡그립니다. 하늘바퀴는 cos, 브레이크는 e가 들어 있습니다. 은재 이모가 웃습니다. "다항식 밖으로 나갈 때가 됐네." 6교시에서는 지수·로그·삼각함수를 미분합니다. 오늘 배운 연쇄법칙이 거기서 계속 쓰입니다.