가까이, 더 가까이: 함수의 극한과 연속

화요일 아침, 설계실 벽의 속도계 화면에 빨간 글씨가 떠 있습니다. "오류: 0으로 나눌 수 없습니다." 속도계 프로그램 담당자가 어깨를 으쓱합니다. "어제 받은 식 그대로 넣었어요. t = 3이면 분모가 3 − 3 = 0이고, 분자도 s(3) − s(3) = 0이에요. 0 ÷ 0이요."

도윤이 고개를 갸웃합니다. "0 ÷ 0이면 그냥 0 아니에요? 아니면 1? 같은 걸 같은 걸로 나눴으니까." 오 팀장이 지나가다 한마디 던집니다. "오류 말고 숫자를 줘. 오늘 안에."

은재 이모가 화이트보드에 표를 그립니다. "그래프부터 그려 봐. 그리고 3에 도착하지 말고, 다가가 봐. t가 2.9, 2.99, 2.999일 때 화면에 뭐가 떠?" 어제 1교시에서 구한 28.91, 29.351, 29.3951이 다시 나옵니다. 값들은 분명 어딘가로 모여듭니다. 그런데 정확히 어디로 가는지를 말할 언어가 아직 없습니다.

이번 교시에서는 그 언어, 극한을 배웁니다. 0 ÷ 0이 왜 답이 아닌지, "다가간다"를 어떻게 읽고 쓰는지, 극한이 없는 경우는 어떤 모양인지 봅니다. 그다음 극한을 계산해 속도계 오류를 고칩니다. 마지막으로 레일 높이가 끊기지 않았는지 판정하는 연속과, 거기서 나오는 중간값 정리를 다룹니다.

2-1. 0 ÷ 0은 답이 아니라 질문이다 (6분)

나눗셈은 곱셈을 거꾸로 한 것입니다. $6 \div 2 = 3$인 이유는 $2 \times 3 = 6$이기 때문입니다. 이 눈으로 0이 들어간 나눗셈을 봅시다.

• $5 \div 0 = ?$ : $0 \times ? = 5$가 되는 수가 있어야 합니다. 0에 무엇을 곱해도 0이니 그런 수가 없습니다.
• $0 \div 0 = ?$ : $0 \times ? = 0$이 되는 수를 찾아야 합니다. 이번에는 모든 수가 됩니다. 0도, 1도, 29.4도 됩니다. 하나로 정할 수 없습니다.

그래서 수학은 $\dfrac{0}{0}$에 값을 주지 않습니다. 도윤의 "0 아니면 1"은 둘 다 틀렸습니다. 이런 꼴을 부정형(indeterminate form), 곧 "정해지지 않은 꼴"이라고 부릅니다.

중요한 것은 그다음입니다. $\dfrac{0}{0}$은 "답이 없다"가 아니라 "이 방법으로는 알 수 없으니 근처를 보라"는 신호입니다. 같은 $\dfrac{0}{0}$이라도 근처의 모습은 함수마다 다릅니다. 가장 간단한 예를 봅시다.

$x = 1$을 넣으면 $\dfrac{1 - 1}{1 - 1} = \dfrac{0}{0}$입니다. 이번에는 1 근처의 값을 계산해 봅니다.

왼쪽에서도 오른쪽에서도 값이 2로 모여듭니다. $x = 1$ 자리에만 값이 없습니다. 속도계의 식도 똑같은 처지입니다. $t = 3$에서만 $\dfrac{0}{0}$이고, 그 근처에서는 멀쩡한 값이 나옵니다.

2-2. 다가갈 때의 값: 극한 (9분)

표에서 본 "1에 다가가면 2에 다가간다"를 한 줄로 쓰는 기호가 있습니다.

"리미트, $x$가 1로 갈 때, $f(x)$는 2"라고 읽습니다. lim은 극한을 뜻하는 limit의 앞 세 글자입니다. 겁먹을 기호가 아닙니다. "$x$를 1에 아주 가깝게 가져가면 $f(x)$는 어느 값에 아주 가까워지나?" 라는 질문과 그 답을 줄여 쓴 것뿐입니다.

정의에서 가장 중요한 말은 "$a$가 아닌 값을 가지면서"입니다. 극한은 $x = a$ 그 자리의 값을 보지 않습니다. 그 자리에 값이 없어도, 엉뚱한 값이 있어도 상관없습니다. 오직 다가가는 길 위의 값들만 봅니다. $x \to a$는 "도착"이 아니라 "다가감"입니다.

아래 실습대는 $x = 1$ 둘레를 확대해 들어갑니다. 회색 세로 점선이 $x = 1$, 회색 가로 점선이 다가가는 값 2입니다. 남색이 함수의 그래프이고, 빈 동그라미는 값이 없는 구멍, 채운 점은 그 자리의 실제 값입니다. 주황 점 두 개는 1의 왼쪽과 오른쪽에서 1에 다가가는 점입니다. 1에서 떨어진 거리가 보이는 폭의 20분의 1이라, 확대할수록 1에 가까워집니다. '확대해 들어가기'를 누르면 배율이 1배에서 1000배까지 올라가고, 10배·100배·1000배에서 잠깐 멈추며 오른쪽 표에 한 줄씩 쌓입니다. 배율 슬라이더로 직접 움직여도 됩니다. '그래프' 칩으로 세 함수를 바꿔 볼 수 있습니다.

실습대의 세 그래프를 나란히 놓으면 이렇습니다.

극한값과 함숫값은 다른 질문입니다. 함숫값 $f(1)$은 "1에서 얼마냐", 극한값은 "1에 다가가면 얼마에 다가가냐"입니다. 둘이 같은 경우가 많아서 헷갈릴 뿐입니다.

"한없이 가까워진다"를 더 엄밀하게 쓴 정의(엡실론-델타 정의)도 있습니다. 대학 수학에서 다루고, 이 강의와 고등학교 교과서는 지금의 "다가간다"는 뜻으로 충분합니다.

2-3. 왼쪽에서, 오른쪽에서: 좌극한·우극한 (8분)

1에 다가가는 길은 두 갈래입니다. 1보다 작은 쪽(0.9, 0.99, …)에서 오는 길과 1보다 큰 쪽(1.1, 1.01, …)에서 오는 길입니다. 각 길에서의 극한에 이름이 있습니다.

$1-$은 "1보다 작은 쪽에서", $1+$는 "1보다 큰 쪽에서"라는 뜻입니다. 1에서 1을 뺀다는 뜻이 아닙니다. 그리고 이 둘로 극한을 판정합니다.

설계실에 실제로 있는 모양으로 봅시다. 레일 두 토막을 이음매에서 잇는데, 시공이 잘못되어 높이가 맞지 않았습니다. 가로축은 수평 위치 x(m), 세로축은 레일 높이(m)이고, 이음매는 x = 1입니다. 왼쪽 레일은 높이 x + 1이라 이음매에서 2 m로 끝나고(빈 동그라미), 오른쪽 레일은 x + 2라 이음매에서 3 m로 시작합니다(채운 점, 이음매 높이 3 m). 이번 실습대는 가로로만 확대합니다. 세로 눈금은 그대로입니다.

끊긴 이음매에서는 $\displaystyle\lim_{x \to 1-} f(x) = 2$, $\displaystyle\lim_{x \to 1+} f(x) = 3$입니다. 두 값이 다르니 $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$는 없습니다. "어느 값에 다가가냐"는 질문에 하나의 답이 없기 때문입니다.

극한이 없는 경우는 크게 세 가지 모양입니다.

두 번째 경우는 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$라고 쓰기도 합니다. 하지만 $\infty$(무한대)는 수가 아니라 "한없이 커진다"는 상태의 이름입니다. 그래서 이때도 극한값은 없다고 말하고, "양의 무한대로 발산한다"고 표현합니다. 세 번째의 $\sin$은 6교시에서 자세히 다룹니다. 지금은 "다가갈수록 출렁임이 잦아들지 않는 모양"만 기억하면 됩니다.

2-4. 극한 계산하기: 성질, 인수분해, 유리화 (9분)

표를 만들어 다가가는 값을 짐작하는 방법은 감을 잡기에 좋지만, 매번 하기에는 번거롭고 "정확히 2"라고 확신하기도 어렵습니다. 그래서 계산 규칙을 씁니다.

극한의 성질. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$, $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = M$이 둘 다 있으면 다음이 성립합니다($c$는 상수).

이 성질 덕분에 다항함수는 그냥 넣으면 됩니다. 예를 들어 $\displaystyle\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) = 4 + 6 = 10$입니다. 분모가 0이 되지 않는 분수식도 마찬가지입니다.

문제는 넣었더니 $\dfrac{0}{0}$이 나올 때입니다. 마지막 성질은 $M \ne 0$일 때만 쓸 수 있으니, 식을 먼저 바꿔야 합니다. 두 가지 방법이 대표적입니다.

1) 인수분해해서 약분하기. 분자와 분모가 둘 다 0이 된다는 것은 둘 다 $(x - a)$를 인수로 가진다는 뜻입니다. 그 인수를 약분합니다.

$x - 1$로 나눠도 되는 이유는 극한이 $x \ne 1$인 값만 보기 때문입니다. 0으로 나누는 일이 생기지 않습니다. 약분한 뒤의 $x + 1$에는 1을 그냥 넣으면 됩니다.

2) 유리화하기. 근호($\sqrt{\ }$)가 있어 인수분해가 바로 안 보이면, 켤레식을 분모와 분자에 곱해 근호를 옮깁니다. $(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) = x - 9$를 이용합니다.

표로 확인하면 $x = 8.99$에서 약 0.16671, $x = 9.01$에서 약 0.16662로, 둘 다 $\frac{1}{6} \approx 0.16667$에 가깝습니다.

프로그램 담당자가 식을 고치자 속도계에 29.4가 뜹니다. 도윤이 계산기를 꺼내 시속으로 바꾸려는데 은재 이모가 손을 듭니다. "잠깐. 이건 3초로 끝나는 구간의 평균속도들이 다가가는 값이야. 이걸 '바닥 그 순간의 속도'라고 불러도 되는지는 그래프로 한 번 더 보고 내일 보고하자." 도윤은 계산기를 내려놓고 고개를 끄덕입니다. 그사이 오 팀장이 다른 서류를 들고 옵니다. "이음매 시공 검사표야. 레일이 어디서 끊겼는지 봐 줘."

2-5. 연속: 레일은 끊기면 안 된다 (6분)

열차가 레일을 달려야 하니 레일 높이는 어디서도 끊기면 안 됩니다. 연필을 떼지 않고 한 번에 그릴 수 있는 그래프, 이것을 수학에서는 연속(continuous) 이라고 합니다. 극한을 쓰면 정확하게 말할 수 있습니다.

오늘 실습대에서 본 그래프를 이 세 조건으로 판정해 봅시다.

다항함수는 모든 점에서 연속입니다. 어디서든 그냥 넣은 값이 극한값이기 때문입니다. 분수꼴 함수는 분모가 0이 되는 곳만 빼면 연속입니다. 이음매 검사는 결국 "왼쪽 레일이 다가가는 높이 = 오른쪽 레일이 다가가는 높이 = 이음매 높이"를 확인하는 일입니다. 3교시에서는 높이뿐 아니라 기울기까지 맞아야 매끄러운 이음매가 된다는 것을 봅니다.

2-6. 중간값 정리: 센서를 어디 달지 (4분)

연속에는 쓸모 있는 결과가 하나 따라옵니다. 설계실은 첫 낙하 레일의 높이 20 m 지점에 속도 센서를 달려고 합니다. 열차는 정말 그 높이를 지나갈까요?

연필을 떼지 않고 45에서 0.9까지 내려가는 선을 그리면, 그 사이의 높이를 하나도 빼놓지 않고 지나갈 수밖에 없다는 뜻입니다.

첫 낙하에서 열차의 높이는 $45 - 4.9t^2$(m)입니다. $t = 0$에서 45 m, $t = 3$에서 $45 - 44.1 = 0.9$ m이고, 이 함수는 연속입니다. 20은 45와 0.9 사이에 있으니, 중간값 정리만으로 열차가 20 m를 지나는 순간이 있다고 말할 수 있습니다. 이 경우는 직접 풀 수도 있습니다. $4.9t^2 = 25$에서 $t = \sqrt{25 / 4.9} \approx 2.26$초입니다(소수 둘째 자리까지). 하지만 실제 레일의 높이 식은 훨씬 복잡해서 풀기 어려울 때가 많습니다. 그때도 "있다"는 것은 이 정리로 보장됩니다.

이 정리는 방정식의 근이 있는지 확인할 때도 씁니다. $f(x) = x^3 + x - 1$에서 $f(0) = -1 < 0$, $f(1) = 1 > 0$이므로, 0과 1 사이에 $f(c) = 0$인 $c$가 있습니다(실제로 약 0.682).

단, 연속이라는 조건이 꼭 필요합니다. 끊긴 이음매 레일은 높이가 2 m에서 3 m로 건너뛰어서, 그 사이의 2.5 m를 지나는 곳이 없습니다.

기호 읽는 법

교과서에서는

교과서는 극한을 "함수 $f(x)$에서 $x$의 값이 $a$가 아니면서 $a$에 한없이 가까워질 때, $f(x)$의 값이 일정한 값 $L$에 한없이 가까워지면 $f(x)$는 $L$에 수렴한다"고 쓰고, 그렇지 않으면 발산한다고 씁니다. 좌극한과 우극한이 같을 때만 극한값이 존재한다는 것, 연속의 세 조건, 중간값 정리는 교과서 문장 그대로 시험에 나옵니다.

시험에서 자주 보는 꼴은 세 가지입니다. ① 그래프를 주고 $\displaystyle\lim_{x \to 1-} f(x) + \lim_{x \to 2+} f(x)$ 같은 값을 읽게 하는 문제(빈 동그라미와 채운 점을 구별하는 것이 핵심), ② $\dfrac{0}{0}$ 꼴을 인수분해·유리화로 계산하는 문제, ③ "함수 $f(x)$가 $x = 2$에서 연속일 때 상수 $k$의 값"처럼 좌극한 = 우극한 = 함숫값으로 식을 세우는 문제입니다.

자주 하는 착각 (3분)

• "$\frac{0}{0}$은 0이다(또는 1이다)." 어떤 수를 곱해도 0이 되니 값을 하나로 정할 수 없습니다. 부정형이고, 근처를 봐야 한다는 신호입니다.
• "극한값은 그 점에 $x$를 넣은 값이다." 극한은 그 점의 값을 보지 않습니다. 넣은 값과 같아지는 것은 연속일 때뿐입니다(예제 2-2).
• "구멍이 있으면 극한도 없다." 구멍이 있어도 양쪽이 같은 값으로 다가가면 극한은 있습니다. 극한이 없는 것은 점프, 발산, 진동일 때입니다.
• "$\lim f(x) = \infty$이니 극한값은 무한대다." $\infty$는 수가 아닙니다. 이때는 극한값이 없고 양의 무한대로 발산한다고 말합니다.
• "약분하면 원래 함수와 같은 함수다." $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$과 $x + 1$은 $x = 1$에서만 다릅니다. 한쪽은 값이 없고 한쪽은 2입니다. 극한값이 같을 뿐입니다.

연습 문제 (5분)

1. $\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 3x + 2}{x + 1}$의 값을 구하세요.
2. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x + 9} - 3}$의 값을 구하세요.
3. (서술형) $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 5$일 때, 상수 $a$, $b$의 값을 구하는 과정을 쓰세요.
4. $f(x) = x^3 - 3x + 1$에 대해, 방정식 $f(x) = 0$이 0과 1 사이, 그리고 1과 2 사이에 각각 근을 가짐을 보이세요.
5. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = 5$, $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = 2$일 때 $\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{2f(x) - \{g(x)\}^2}{f(x) + g(x)}$의 값을 구하세요.

풀이

1. 넣으면 $\dfrac{1 - 3 + 2}{0} = \dfrac{0}{0}$입니다. $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$이므로 약분하면 $x + 2$이고, $-1$을 넣으면 1입니다. 답: 1
2. 넣으면 $\dfrac{0}{0}$입니다. 이번에는 근호가 분모에 있으니 분모의 켤레식 $\sqrt{x + 9} + 3$을 곱합니다. $\dfrac{x(\sqrt{x + 9} + 3)}{(x + 9) - 9} = \sqrt{x + 9} + 3$이고, $x = 0$을 넣으면 $3 + 3 = 6$입니다. 확인: $x = 0.01$에서 약 6.0017. 답: 6
3. $x \to 1$일 때 분모는 0에 다가갑니다. 그런데 전체 극한값이 5라는 유한한 값이므로 분자도 0에 다가가야 합니다(분자가 0이 아닌 수에 다가가면 전체가 발산한다). 그래서 $1 + a + b = 0$, 즉 $b = -1 - a$입니다. 이것을 넣으면 분자는 $x^2 + ax - 1 - a = (x - 1)(x + 1 + a)$로 인수분해됩니다. 약분하면 $\displaystyle\lim_{x \to 1} (x + 1 + a) = 2 + a = 5$이므로 $a = 3$, $b = -4$입니다. 확인: $\dfrac{x^2 + 3x - 4}{x - 1} = x + 4 \to 5$. 답: $a = 3$, $b = -4$
4. $f$는 다항함수라 어디서나 연속입니다. $f(0) = 1 > 0$, $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0$이므로 중간값 정리에 따라 0과 1 사이에 $f(c) = 0$인 $c$가 있습니다. 또 $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3 > 0$이므로 1과 2 사이에도 근이 있습니다. (실제 근은 약 0.347과 1.532이고, 하나 더 약 −1.879에 있습니다.)
5. 극한의 성질로 각각의 극한값을 넣습니다. 분자 $2 \times 5 - 2^2 = 6$, 분모 $5 + 2 = 7$이고 분모가 0이 아니므로 $\dfrac{6}{7}$입니다. 답: $\dfrac{6}{7}$

저녁 무렵, 오 팀장이 속도계 화면의 29.4를 보고 묻습니다. "그래서 이게 바닥 속도야? 한도 안이야?" 은재 이모가 대신 답합니다. "내일 아침에 정식으로 보고할게요." 이모가 도윤에게 말합니다. "어제는 할선, 오늘은 극한을 배웠지. 둘을 합치면 바로 그 순간의 속도를 정의할 수 있어." 3교시에서는 할선을 좁혀 접선으로 접어 넣고, 미분계수라는 이름으로 순간속도를 구합니다. 그리고 오 팀장의 질문에 드디어 답하고, 오늘 본 레일 이음매를 기울기까지 맞추는 법을 검토합니다.