휘어지는 방향: 이계도함수와 변곡점

2주차 수요일입니다. 도윤은 출근하자마자 어제 만든 증감표를 펴 놓고 색연필을 듭니다. "꼭대기가 12 m니까, 앞뒤로 5 m씩 빨간색. 골짜기가 48 m니까 앞뒤로 5 m씩 파란색. 끝!"

은재 이모가 도면을 내려다봅니다. "왜 5 m야?" "…그냥 적당히요." "안전팀에 '적당히'라고 보낼 거야? 그래프부터 그려 봐." 이모가 레일 그래프 위에 꼭대기 근처와 골짜기 근처를 손가락으로 짚습니다. "여기는 레일이 아래로 휘어 있고, 여기는 위로 휘어 있지. 휘는 방향이 바뀌는 데가 경계야."

"휘는 방향은 어떻게 숫자로 재요?" 도윤이 묻습니다. "어제는 높이가 아주 조금 움직일 때 얼마나 변하는지 봤지. 오늘은 기울기가 아주 조금 움직일 때 얼마나 변하는지 봐. 기울기가 커지는 중인지, 작아지는 중인지."

이번 교시에서는 기울기를 한 번 더 미분한 이계도함수로 그래프가 휘어지는 방향을 읽고, 그 방향이 바뀌는 변곡점을 찾습니다. 이계도함수로 극값을 빠르게 판정하는 법과, 언덕 위에서 몸이 뜨는 이유까지 다룹니다.

8-1. 기울기의 기울기: 이계도함수 (8분)

도함수 $f'(x)$도 하나의 함수입니다. 그러니 또 미분할 수 있습니다. $f'(x)$를 한 번 더 미분한 함수를 이계도함수(second derivative)라 하고 $f''(x)$로 씁니다.

혜성 두 번째 구간 레일로 계산해 봅시다. 7교시에 구한 $h'(x) = 0.003x^2 - 0.18x + 1.728$을 한 번 더 미분하면

입니다. 꼭대기 $x = 12$에서는 $h''(12) = 0.072 - 0.18 = -0.108$입니다. 꼭대기에서 앞으로 1 m 갈 때 기울기가 약 0.108씩 줄어든다는 뜻입니다. 정말 그런지 확인해 보면, $h'(12) = 0$이고 $h'(13) = -0.105$입니다. 1 m 사이에 기울기가 0.105 줄었으니 $-0.108$과 거의 같습니다. 기울기 자체가 계속 바뀌는 중이라 딱 맞지는 않지만, "아주 조금"일수록 더 가까워집니다. 3교시에서 할선이 접선으로 다가가던 것과 같은 이야기입니다.

움직임으로 읽으면 이계도함수는 더 친숙합니다. 위치를 한 번 미분하면 속도, 속도를 한 번 더 미분하면 가속도입니다. 가속도는 위치의 이계도함수입니다.

기호 읽는 법

8-2. 아래로 볼록과 위로 볼록 (9분)

이계도함수의 부호는 그래프가 휘어지는 방향을 말합니다. 먼저 움직이는 그림으로 봅시다.

아래 실습대의 위 그래프는 7교시의 그 레일 $h(x)$입니다. '달려 보기'를 누르면 주황 열차가 왼쪽 끝에서 출발하고, 열차 자리의 접선(주황 직선)이 함께 움직입니다. 레일은 아래로 볼록한 곳이 남색, 위로 볼록한 곳이 진홍색입니다. 아래 두 그래프는 $h'(x)$(청록, 접선의 기울기)와 $h''(x)$(진홍, 기울기의 변화율)이고, $h''$ 그래프는 $x$축 위가 남색, 아래가 진홍색으로 칠해집니다. 세로 회색 점선은 $h'' = 0$인 곳입니다. 오른쪽 조작판에는 지금 휘는 방향이 큰 글씨로 나옵니다.

실습대에서 본 것을 정리합니다.

'아래로 볼록'은 볼록한 배가 아래쪽을 향한다는 뜻입니다. 영어로는 거꾸로 concave up(위로 오목)이라고 부르기도 해서 헷갈리기 쉽습니다. 이 강의는 교과서 용어인 '아래로 볼록·위로 볼록'만 씁니다.

볼록한 방향과 증가·감소는 서로 다른 정보입니다. 두 가지를 합치면 네 가지 모양이 나옵니다. 오르면서 점점 가팔라지는 곡선, 오르면서 점점 완만해지는 곡선, 내리면서 점점 가팔라지는 곡선, 내리면서 점점 완만해지는 곡선입니다. $f'$의 부호는 오르는지 내리는지를, $f''$의 부호는 휘는 방향을 정합니다.

8-3. 변곡점: 휘는 방향이 바뀌는 곳 (8분)

실습대의 레일은 한 곳에서 색이 바뀌었습니다. 위로 볼록하던 곡선이 아래로 볼록하게 바뀌는 곳입니다. 이런 점에 이름이 있습니다.

$f''$이 있는 함수에서 변곡점을 찾는 순서는 증감표와 같은 모양입니다.

1. $f''(x) = 0$인 $x$를 찾는다. 이것은 후보다.
2. 그 양옆에서 $f''$의 부호가 바뀌는지 본다. 바뀌면 변곡점이다.

7교시의 "$f' = 0$은 극값의 후보일 뿐"과 똑같은 구조입니다. 한 단계 위로 올라왔을 뿐입니다.

변곡점에서는 두 가지 일이 함께 일어납니다. 첫째, 접선이 곡선을 가로지릅니다. 한쪽에서는 곡선이 접선 위에, 다른 쪽에서는 아래에 있기 때문입니다. 둘째, $f'$이 극값을 가집니다. 기울기가 커지다가 작아지거나(또는 그 반대) 하는 곳이니, 그래프가 가장 가파른 곳이 대개 변곡점입니다.

$f(x) = x^3 - 3x$로 해 봅시다. $f'(x) = 3x^2 - 3$, $f''(x) = 6x$입니다. $f''(x) = 0$은 $x = 0$이고, $f''(-1) = -6 < 0$, $f''(1) = 6 > 0$으로 부호가 바뀝니다. 그래서 원점 $(0, 0)$이 변곡점입니다. 그 점의 기울기는 $f'(0) = -3$으로, 이 함수가 가장 가파르게 내려가는 곳입니다.

7교시의 $y = x^3$도 다시 보면, $y'' = 6x$라서 원점이 변곡점입니다. "$f' = 0$인데 극값이 아닌 점"은 접선이 수평인 변곡점이었습니다.

8-4. 이계도함수로 극값 판정하기 (8분)

이계도함수를 알면 극값 판정이 빨라집니다. 꼭대기를 떠올려 보세요. 꼭대기에서는 기울기가 0이고, 그 근처는 엎은 그릇 모양, 즉 위로 볼록합니다. 골짜기 근처는 아래로 볼록합니다.

7교시의 레일에 써 봅시다. 극값 후보는 $x = 12$와 $x = 48$이었습니다.

어제 증감표로 구간마다 부호를 확인한 결론과 같습니다. 이번에는 후보마다 숫자 하나씩만 넣었습니다.

$f''(a) = 0$일 때 판정할 수 없는 이유는 세 함수가 보여 줍니다. $x^4$, $-x^4$, $x^3$은 모두 $f'(0) = 0$, $f''(0) = 0$입니다. 그런데 $x^4$은 원점에서 극소, $-x^4$은 극대, $x^3$은 둘 다 아닙니다. 같은 정보에서 세 가지 답이 나오니, 이때는 $f'$의 부호를 직접 확인해야 합니다.

정리하면 두 판정법은 이렇게 나눠 씁니다. $f''$을 구하기 쉽고 $f''(a) \ne 0$이면 이계도함수 판정이 빠릅니다. $f''(a) = 0$이거나, 그래프의 전체 모양까지 필요하면 증감표가 확실합니다.

8-5. 삼차함수의 대칭과 "증가세가 꺾였다" (6분)

삼차함수 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$의 이계도함수 $f''(x) = 6ax + 2b$는 일차함수입니다. 그래서 $f''$의 부호는 꼭 한 번 바뀌고, 삼차함수에는 변곡점이 꼭 하나 있습니다. 게다가 삼차함수의 그래프는 변곡점을 중심으로 180° 돌려도 같은 모양입니다(점대칭). 극대와 극소가 있으면 두 점의 한가운데가 변곡점입니다.

$f(x) = x^3 - 3x$로 확인하면, 극대 $(-1, 2)$와 극소 $(1, -2)$의 중점은 $(0, 0)$으로 8-3절에서 찾은 변곡점과 같습니다. 극값을 구한 뒤 변곡점을 검산할 때, 또는 변곡점을 알고 극값의 위치를 짐작할 때 쓸모가 있습니다.

변곡점은 뉴스에도 자주 나옵니다. "감염자 증가세가 꺾였다", "집값 상승세가 둔화됐다" 같은 문장입니다. 이 말은 줄기 시작했다는 뜻이 아닙니다. 여전히 늘고 있지만($f' > 0$), 늘어나는 속도가 줄기 시작했다($f'' < 0$)는 뜻입니다. 누적 그래프로 보면 아래로 볼록하던 곡선이 위로 볼록하게 바뀌는 변곡점을 지났다는 말입니다.

아래 실습대는 같은 실습대를 S자 곡선으로 띄운 것입니다. 솔바람랜드 겨울 시즌의 누적 방문객(만 명)을 주 단위로 그린 모양이라고 생각하세요. 가로축은 시즌 시작부터의 시간(주)입니다.

8-6. 언덕 위에서 몸이 붕 뜨는 이유 (4분)

이제 오늘의 과제로 돌아갑니다. 왜 위로 볼록한 곳에서 몸이 뜰까요? 공식 없이 접선으로 설명할 수 있습니다.

달리는 몸은 하던 대로 곧게 가려고 합니다(관성). 곧게 가는 길이 바로 그 점의 접선입니다. 위로 볼록한 구간에서는 레일이 접선보다 아래로 휘어 내려갑니다. 몸은 곧게 가려는데 레일은 발밑에서 빠져나가니, 좌석이 몸을 덜 받쳐 줍니다. 이것이 붕 뜨는 느낌입니다. 아래로 볼록한 구간에서는 레일이 접선보다 위로 휘어 올라옵니다. 곧게 가려는 몸을 좌석이 밀어 올려야 하니, 몸이 좌석에 눌립니다.

얼마나 세게 뜨고 눌리는지는 열차의 속도와 레일이 얼마나 급하게 휘는지에 달려 있습니다. 그 크기를 재는 곡률이라는 양이 따로 있지만, 이 강의에서는 다루지 않습니다. 안내판에 필요한 것은 방향과 경계이고, 그것은 $h''$의 부호가 알려 줍니다.

3교시에서 레일 이음매는 높이와 기울기를 둘 다 맞춰야 한다고 했습니다. 실제 설계는 휘는 정도까지 맞춥니다. 이음매에서 휘는 정도가 갑자기 바뀌면 몸을 띄우거나 누르는 느낌도 갑자기 바뀌어 덜컹거리기 때문입니다.

도윤이 도면 위에 0–30 m를 빨간색, 30–60 m를 파란색으로 다시 칠합니다. 이번에는 경계에 "변곡점 30 m, 높이 12.84 m"라고 적습니다. 오 팀장이 도면을 받아 듭니다. "5 m씩이라던 건 어디 갔어?" 도윤이 어깨를 으쓱합니다. "적당히는 안전팀에 못 보내죠." 은재 이모가 커피를 마시며 고개를 끄덕입니다.

교과서에서는

이계도함수와 변곡점은 다항함수의 증감·극값을 배운 다음 과목(2015 개정 '미적분', 2022 개정 '미적분 II')의 '도함수의 활용'에서 나옵니다. 교과서와 시험은 이렇게 묻습니다.

• "곡선 $y = f(x)$가 위로 볼록한 구간을 구하시오." $f''(x) < 0$인 $x$의 범위를 구합니다.
• "곡선의 변곡점의 좌표를 구하시오." $f''(x) = 0$을 풀고, 부호가 바뀌는지 확인한 뒤, $y$좌표까지 구해 점으로 답합니다.
• "이계도함수를 이용하여 함수의 극값을 구하시오." $f'(a) = 0$인 $a$마다 $f''(a)$의 부호를 봅니다.
• 삼차함수 문제에서 "그래프가 점 $(p, q)$에 대하여 대칭"이라는 조건은 "$(p, q)$가 변곡점"으로 바꿔 읽으면 풀립니다.

자주 하는 착각 (3분)

• "f″(a) = 0이면 변곡점이다." 후보일 뿐입니다. $y = x^4$의 원점처럼 부호가 바뀌지 않으면 변곡점이 아닙니다.
• "내리막이 가팔라지면 f″ > 0이다." 기울기가 −0.2에서 −0.8로 가면 숫자는 작아집니다. $f'' < 0$, 위로 볼록입니다. 가파른 정도가 아니라 부호 있는 기울기를 봅니다.
• "증가세가 꺾였다 = 줄기 시작했다." 아닙니다. 여전히 늘고 있고, 늘어나는 속도만 줄었습니다. 줄기 시작한 것은 극대를 지났을 때입니다.
• "f″(a) = 0이면 극값이 아니다." 이계도함수 판정을 쓸 수 없을 뿐입니다. $x^4$은 원점에서 극소입니다. 증감표로 확인합니다.
• "아래로 볼록은 아래로 꺼진 모양이니 위로 볼록과 반대 기호겠지." 용어를 그림으로 외웁니다. 아래로 볼록은 ∪(그릇), $f'' > 0$입니다.

연습 문제 (4분)

1. $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$의 그래프가 위로 볼록한 구간, 아래로 볼록한 구간, 변곡점을 구하세요.
2. $f(x) = x^4 - 6x^2$의 변곡점을 모두 구하고, 이계도함수를 이용해 극값을 판정하세요.
3. (서술형) 삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$의 그래프의 변곡점이 $(1, 2)$이고, 이 점에서의 접선의 기울기가 $-3$입니다. 상수 $a$, $b$, $c$를 구하고, $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 구하는 과정을 쓰세요.
4. 직선 위를 움직이는 점의 시각 $t$에서의 위치가 $s(t) = t^3 - 9t^2 + 24t$ ($0 \le t \le 6$)입니다. 가속도가 0이 되는 시각과 그때의 속도를 구하세요. 그 순간은 속도 그래프에서 어떤 점일까요?
5. $f'(0) = 0$이고 $f''(0) = 0$인 함수를 세 개 들어, 각각 $x = 0$에서 극대, 극소, 극값 아님이 되는 예를 보이세요.

풀이

1. $f'(x) = 3x^2 - 12x$, $f''(x) = 6x - 12$입니다. $x < 2$에서 $f'' < 0$이므로 위로 볼록, $x > 2$에서 $f'' > 0$이므로 아래로 볼록입니다. 변곡점은 $(2, f(2)) = (2, 8 - 24 + 5) = (2, -11)$입니다. 검산: 극대 $(0, 5)$와 극소 $(4, -27)$의 중점이 $(2, -11)$입니다.
2. $f'(x) = 4x^3 - 12x = 4x(x^2 - 3)$, $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x + 1)(x - 1)$입니다. $f''$은 $x = -1$과 $x = 1$에서 부호가 바뀌므로(+ → − → +) 변곡점은 $(-1, -5)$, $(1, -5)$입니다. 극값 후보는 $x = 0, \pm\sqrt{3}$입니다. $f''(0) = -12 < 0$이므로 극댓값 $f(0) = 0$, $f''(\pm\sqrt{3}) = 36 - 12 = 24 > 0$이므로 극솟값 $f(\pm\sqrt{3}) = 9 - 18 = -9$입니다.
3. $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$, $f''(x) = 6x + 2a$입니다. 변곡점의 $x$좌표가 1이므로 $f''(1) = 6 + 2a = 0$, $a = -3$입니다. 접선의 기울기가 $-3$이므로 $f'(1) = 3 - 6 + b = -3$, $b = 0$입니다. 점 $(1, 2)$를 지나므로 $f(1) = 1 - 3 + 0 + c = 2$, $c = 4$입니다. 그러면 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$, $f'(x) = 3x(x - 2)$이고 $f''(0) = -6 < 0$, $f''(2) = 6 > 0$이므로 극댓값 $f(0) = 4$, 극솟값 $f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$입니다. 검산: $(0, 4)$와 $(2, 0)$의 중점이 $(1, 2)$입니다.
4. $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 18t + 24 = 3(t - 2)(t - 4)$, $a(t) = s''(t) = 6t - 18$입니다. $a(t) = 0$은 $t = 3$이고, 그때 속도는 $v(3) = 27 - 54 + 24 = -3$입니다. 가속도는 속도의 기울기이므로, 가속도가 0이고 부호가 − → +로 바뀌는 $t = 3$은 속도 그래프의 극소점입니다. 이 점은 $t = 2$부터 4까지 거꾸로 움직이는 동안 가장 빠르게 거꾸로 가는 순간입니다(위치 그래프에서는 변곡점).
5. $f(x) = -x^4$은 $x = 0$에서 극대, $f(x) = x^4$은 극소, $f(x) = x^3$은 극값이 아닙니다. 세 함수 모두 $f'(0) = 0$, $f''(0) = 0$입니다. 그래서 $f''(a) = 0$이면 이계도함수 판정은 아무것도 말해 주지 않습니다.

안내판 도안이 안전팀으로 넘어간 오후, 오 팀장이 기념품 가게 매니저와 함께 설계실에 들어옵니다. 손에는 정사각형 두꺼운 종이가 한 장 들려 있습니다. "한 변 30 cm짜리 판이야. 네 모서리를 잘라 접어서 혜성 기념품 상자를 만들 건데, 얼마씩 잘라야 제일 많이 들어가? 그래서 몇 cm야?" 도윤이 종이를 받아 듭니다. "가장 큰 값… 꼭대기 찾기네요." 은재 이모가 웃습니다. "반은 맞았어. 끝값도 봐야 해." 9교시에서는 극값과 끝값을 비교해 가장 좋은 값을 찾는 최적화를 다룹니다.