가장 좋은 값 찾기: 최대·최소와 최적화

2주차 목요일 아침, 오 팀장이 어제 가져온 판지 견본 옆에 서류 두 장을 더 펼칩니다. "오늘은 롤러코스터 말고 잡일이야. 대신 셋 다 '가장'이 붙어. 가장 많이, 가장 많이, 가장 빨리. 그래서 몇이야? 점심 전까지."

도윤이 판지 견본을 집어 듭니다. "모서리를 얼마나 잘라야 제일 많이 담기냐는 거죠? 1 cm, 2 cm, 3 cm… 다 잘라서 접어 보면 되잖아요." 은재 이모가 고개를 젓습니다. "판지가 몇 장 있는데? 그리고 2.7 cm는? 그래프부터 그려 봐."

도윤이 연습장에 대충 산 모양 곡선을 그립니다. "부피가 올라갔다가 내려오겠죠. 너무 조금 자르면 납작하고, 너무 많이 자르면 바닥이 없어지니까." 이모가 꼭대기를 가리킵니다. "여기서 아주 조금만 움직이면 부피가 얼마나 변해?" 도윤은 7교시를 떠올립니다. "꼭대기니까… 기울기가 0이요."

이번 교시는 7교시의 극값을 실제 문제에 씁니다. 먼저 정해진 구간 안에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 빠짐없이 찾는 법을 정리합니다. 그다음 상자, 울타리, 가격, 캔, 구조대원의 길을 차례로 함수로 바꿔 풉니다.

9-1. 닫힌 구간에서 가장 큰 값과 가장 작은 값 (8분)

7교시의 극대·극소는 "그 근처에서" 가장 높거나 낮은 점이었습니다. 오늘 찾는 것은 "정해진 범위 전체에서" 가장 큰 값과 가장 작은 값입니다. 이것을 최댓값(maximum) 과 최솟값(minimum) 이라고 합니다. 둘은 같을 때도 있고 다를 때도 있습니다.

7교시의 두 번째 구간 언덕을 다시 봅시다. 수평 거리 $x$(m)에서 레일 높이는

($0 \le x \le 60$)이고, $h'(x) = 0.003(x - 12)(x - 48)$이었습니다. 이 구간에서 가장 높은 곳과 가장 낮은 곳은 어디일까요? 후보는 두 종류입니다.

1. 기울기가 0인 점: $x = 12$, $x = 48$
2. 구간의 양 끝: $x = 0$, $x = 60$

가장 높은 곳은 $x = 12$의 24.504 m, 가장 낮은 곳은 $x = 48$의 1.176 m입니다. 이번에는 극값이 그대로 최댓값·최솟값이 되었습니다.

그런데 범위를 $20 \le x \le 60$으로 줄이면 이야기가 달라집니다. 극대점 $x = 12$가 범위 밖으로 나가고, 후보는 $x = 48$과 양 끝 $x = 20$, $x = 60$만 남습니다. $h(20) = 21.56$이므로 이 범위의 최댓값은 끝점 $x = 20$의 21.56 m입니다. 끝점은 기울기가 0이 아니어도 최대가 될 수 있습니다. 내리막의 시작점이 그 구간에서 가장 높은 것처럼요.

정리하면 이렇습니다.

"닫힌 구간"과 "연속"이 둘 다 필요합니다. 끝을 뺀 구간 $0 < x < 1$에서 $y = x$는 1에 한없이 다가가지만 1이 되지 않으니 최댓값이 없습니다. 2교시의 끊긴 레일처럼 중간에 점프가 있으면 꼭대기가 비어 있을 수 있습니다.

9-2. 최적화 다섯 단계: 기념품 상자 (12분)

말로 된 "가장 ○○하게" 문제를 최적화(optimization) 문제라고 합니다. 어려운 부분은 미분이 아니라 식을 세우는 것입니다. 그래서 순서를 정해 두고 매번 그대로 밟습니다.

2단계를 자세히 봅시다. 30 cm 판의 네 모서리에서 한 변 $x$ cm짜리 정사각형을 잘라 내고 네 날개를 세우면, 밑면은 한 변이 $30 - 2x$인 정사각형이고 높이는 $x$입니다(양쪽에서 $x$씩 잘렸으니 $2x$를 뺍니다). 그래서 부피는

입니다. 3단계: $x$가 0이면 높이가 없고, 15이면 밑면이 없습니다. 그래서 $0 < x < 15$입니다.

아래 실습대 위쪽은 판을 비스듬히 내려다본 그림입니다. 점선이 원래 30 cm 판이고, 분홍색 네 칸이 잘라 내는 모서리입니다. 아래쪽은 부피 그래프입니다. 남색 곡선이 $V(x)$, 주황 점이 지금의 $x$, 주황 직선이 그 점의 접선입니다. 오른쪽 조작판에 밑면, 높이, 부피, 접선의 기울기 $V'(x)$가 나옵니다.

훑어 본 결과를 표로 옮기면 이렇습니다(단위 cm³).

4단계를 식으로 해 봅시다. 곱의 미분법(5교시)과 연쇄법칙을 씁니다.

$V'(x) = 0$이면 $x = 15$ 또는 $x = 5$입니다. $x = 15$는 정의역 밖(밑면이 없는 상자)이니 버립니다.

5단계: $x = 5$ 왼쪽에서는 $V' > 0$(예: $V'(2) = 26 \times 18 = 468$), 오른쪽에서는 $V' < 0$(예: $V'(7) = 16 \times (-12) = -192$)입니다. 증가하다가 감소하니 $x = 5$가 꼭대기입니다. 정의역의 양 끝에서는 부피가 0에 가까우니 끝이 더 클 수도 없습니다. 오 팀장에게 줄 답은 이렇습니다. 모서리를 5 cm씩 잘라 내면 밑면 20 cm × 20 cm, 높이 5 cm, 부피 2,000 cm³(2 L)의 상자가 된다.

9-3. 울타리와 가격: 식을 세우는 연습 (10분)

다섯 단계 중 가장 어려운 2단계를 두 문제로 더 연습합니다. 조건이 두 개 나올 때, 하나를 써서 변수를 하나로 줄이는 것이 요령입니다.

울타리 문제. 회전목마 옆 건물 벽에 붙여 직사각형 대기 공간을 만듭니다. 울타리는 60 m가 있고, 벽 쪽에는 울타리가 필요 없습니다. 넓이를 가장 크게 하려면?

1. 변수: 벽과 수직인 두 변의 길이를 $x$ m라 합니다.
2. 함수: 울타리는 세 변에 쓰이므로 벽과 나란한 변은 $60 - 2x$ m입니다. 넓이는 $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$입니다.
3. 정의역: $0 < x < 30$.
4. 미분: $A'(x) = 60 - 4x = 0$에서 $x = 15$.
5. 확인: $A(15) = 15 \times 30 = 450$ m². $x = 10$이나 $x = 20$이면 400 m²로 더 작습니다.

"둘레가 정해지면 정사각형이 가장 넓다"는 말을 그대로 쓰면 20 m × 20 m = 400 m²가 답처럼 보입니다. 하지만 벽 쪽 변은 울타리가 공짜라서 그쪽을 길게 늘이는 편이 이득입니다. 외운 결론보다 식이 정확합니다.

가격 문제. 매점의 핫초코는 한 잔 2,000원에 하루 400잔 팔립니다. 조사해 보니 값을 100원 올릴 때마다 하루에 10잔씩 덜 팔립니다. 하루 수입이 가장 많아지는 값은?

1. 변수: 한 잔 값 $p$원.
2. 함수: 2,000원에서 $p - 2{,}000$원 올리면 $(p - 2{,}000) \div 100 \times 10 = 0.1(p - 2{,}000)$잔 덜 팔립니다. 하루 판매량은 $q(p) = 400 - 0.1(p - 2{,}000) = 600 - 0.1p$잔입니다. 수입(매출)은 값 × 판매량입니다.

3. 정의역: 판매량이 0 이상이어야 하므로 $0 \le p \le 6{,}000$.
4. 미분: $R'(p) = 600 - 0.2p = 0$에서 $p = 3{,}000$.
5. 확인: 양 끝 $p = 0$과 $p = 6{,}000$에서는 수입이 0입니다. $R(3{,}000) = 3{,}000 \times 300 = 900{,}000$원으로, 지금의 $R(2{,}000) = 800{,}000$원보다 많습니다.

$R'(p)$는 "값을 1원 올릴 때 수입이 얼마나 느는가"입니다. 2,000원일 때 $R'(2{,}000) = 200$이니 값을 올리면 수입이 늘고, 3,000원에서 0이 됩니다. 그보다 비싸면 손님이 줄어드는 효과가 더 커서 수입이 줄어듭니다. 경제학에서는 이 $R'$을 한계수입(marginal revenue) 이라고 부릅니다.

9-4. 원기둥 캔의 겉넓이: 재료를 가장 적게 (6분)

기념품 가게에서 원기둥 모양 과자 통도 만듭니다. 부피는 500 cm³로 정해져 있고, 위·아래 뚜껑까지 금속판으로 만듭니다. 판을 가장 적게 쓰려면 반지름과 높이를 어떻게 해야 할까요?

1. 변수. 반지름 $r$ cm, 높이 $h$ cm. 변수가 둘입니다.

2. 함수. 겉넓이는 위·아래 원 두 개와 옆면(펼치면 직사각형)입니다.

변수를 하나로 줄이려고 부피 조건 $\pi r^2 h = 500$을 씁니다. $h = \dfrac{500}{\pi r^2}$을 넣으면

3. 정의역. $r > 0$. 양 끝이 없는 열린 범위입니다. $r$이 아주 작으면 $1000/r$이 커지고, 아주 크면 $2\pi r^2$이 커집니다. 가운데 어딘가에 바닥이 있습니다.

4. 미분. $S'(r) = 4\pi r - \dfrac{1000}{r^2} = 0$에서 $r^3 = \dfrac{250}{\pi}$, $r \approx 4.30$ cm.

5. 확인. $S''(r) = 4\pi + \dfrac{2000}{r^3} > 0$이므로 아래로 볼록, 즉 이 점은 극소이고 하나뿐이니 최소입니다(8교시의 이계도함수 판정). 높이는 $h = 500 / (\pi \times 4.30^2) \approx 8.60$ cm, 겉넓이는 약 348.7 cm²입니다.

높이 8.60 cm는 반지름 4.30 cm의 정확히 두 배입니다. 우연이 아닙니다. $S'(r) = 0$을 부피 $V$로 쓰면 $4\pi r = 2V / r^2$, 즉 $V = 2\pi r^3$이고, 이것을 $\pi r^2 h = V$와 비교하면 $h = 2r$이 나옵니다. 겉넓이가 가장 작은 원기둥은 높이가 지름과 같다(옆에서 보면 정사각형). 실제 음료 캔은 이보다 훨씬 홀쭉합니다. 손에 쥐기 편해야 하고, 두꺼운 뚜껑 재료가 더 비싸서 뚜껑을 작게 만드는 편이 낫기 때문입니다. 함수에 넣는 비용이 바뀌면 최적값도 바뀝니다.

9-5. 구조대원의 가장 빠른 길 (8분)

마지막 과제는 겨울에도 문을 여는 실내 파도풀입니다. 구조대원은 물가에서 15 m 떨어진 모래 위에 있고, 물에 빠진 사람은 물가에서 15 m 떨어진 물속에 있습니다. 물가를 따라 재면 두 사람은 60 m 떨어져 있습니다. 구조대원은 모래에서 초속 5 m로 달리고, 물에서는 초속 2 m로 헤엄칩니다.

곧장 직선으로 가면 거리는 가장 짧습니다. 하지만 느린 물속을 33.5 m나 헤엄쳐야 합니다. 물가를 따라 한참 달린 뒤 물에 들어가면 헤엄치는 거리는 줄지만 달리는 거리가 늘어납니다. 어디서 물에 들어가야 할까요?

물에 들어가는 점(꺾는 점)이 구조대원 앞에서 물가를 따라 $x$ m 떨어진 곳이라고 합시다. 피타고라스 정리로 거리를 구해 속력으로 나누면 걸리는 시간은

초입니다($0 \le x \le 60$). 앞의 항이 달리는 시간, 뒤의 항이 헤엄치는 시간입니다.

아래 실습대 위쪽은 파도풀을 위에서 본 지도입니다. 회색 띠가 모래, 파란 띠가 물, 가운데 선이 물가입니다. 주황 선이 지금 고른 길이고 회색 점선이 곧은 길입니다. 아래쪽은 꺾는 점의 위치 $x$에 따른 시간 $T(x)$ 그래프입니다. 주황 점과 접선이 지금 위치입니다. 오른쪽에서 달리기·헤엄 속력을 바꿀 수 있습니다.

그래프를 보면 $T(x)$는 오른쪽으로 갈수록 줄다가 50 m를 넘어서 바닥을 찍고 다시 오릅니다.

곧은 길(23.48초)보다 4초 넘게 빠르고, 헤엄을 가장 짧게 하는 길(19.87초)보다도 0.58초 빠릅니다. 물에 빠진 사람에게는 큰 차이입니다.

바닥에서는 기울기가 0입니다. $T'(x)$를 구하면(연쇄법칙)

입니다. 두 분수는 각각 모래 위 길과 물속 길이 물가에 수직인 선과 이루는 각 $\theta_1$, $\theta_2$의 사인값입니다. 그래서 $T'(x) = 0$은

라는 깔끔한 조건이 됩니다. 이 식을 손으로 풀어 $x$를 구하기는 어렵습니다. 그래도 실습대처럼 기울기의 부호를 보며 좁혀 가면 $x \approx 53.7$ m를 찾을 수 있습니다. 10교시에는 접선으로 이런 방정식의 해를 빠르게 찾는 방법이 나옵니다.

이 조건은 빛이 공기에서 물로 들어갈 때 꺾이는 규칙, 스넬의 법칙(Snell's law) 과 모양이 같습니다. 17세기 프랑스의 수학자 페르마(Fermat) 는 "빛은 걸리는 시간이 가장 짧은 길로 간다"는 원리로 이 꺾임을 설명했습니다. 빛도 구조대원처럼 빠른 쪽(공기)을 더 길게 가고 느린 쪽(물)을 짧게 갑니다.

교과서에서는

교과서는 이 내용을 두 갈래로 묻습니다.

• "닫힌구간 [a, b]에서 함수 f(x)의 최댓값과 최솟값을 구하시오." 극값과 양 끝값을 모두 구해 비교하는 문제입니다. 답안에는 "f′(x) = 0인 x를 구하고, 증감표를 그린 뒤, 극값과 끝값을 비교한다"는 순서가 보이게 씁니다.
• 활용 문제(최대·최소의 활용). "부피가 최대가 되도록 하는 x의 값", "넓이의 최댓값", "두 점 사이 거리의 최솟값"처럼 식을 직접 세우는 문제입니다. 채점은 함수와 정의역을 바르게 세웠는지에서 갈립니다. 정의역을 빼먹으면 정의역 밖의 근을 답으로 내는 실수를 합니다.

교과서는 '최대·최소 정리'를 "닫힌구간에서 연속인 함수는 그 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다"로 씁니다. '극값'과 '최댓값'은 서로 다른 말이니 문제에서 무엇을 묻는지 먼저 확인하세요.

자주 하는 착각 (3분)

• "$f'(x) = 0$인 점이 곧 최댓값이다." $f'(x) = 0$인 점은 후보일 뿐입니다. 극소일 수도 있고, 7교시의 $x^3$처럼 극값이 아닐 수도 있습니다. 닫힌 구간에서는 끝점이 최댓값이 되는 일이 흔합니다(예제 9-2).
• "극댓값은 극솟값보다 크다." 그렇지 않을 수 있습니다. 극대·극소는 "그 근처에서"의 비교입니다. 높은 산의 골짜기가 낮은 언덕의 꼭대기보다 높을 수 있습니다.
• "정의역은 문제와 상관없다." 상자 문제에서 $V'(x) = 0$의 근 $x = 15$는 밑면이 없는 상자입니다. 정의역을 먼저 적어 두면 이런 근을 바로 버릴 수 있습니다.
• "둘레가 같으면 정사각형이 늘 가장 넓다." 네 변에 모두 울타리를 칠 때의 이야기입니다. 벽을 쓰면 답이 바뀝니다. 외운 결론 대신 식을 세우세요.
• "수입이 가장 큰 값이 이익도 가장 크다." 비용이 있으면 이익이 가장 큰 값은 수입이 가장 큰 값과 다릅니다(예제 9-6). 무엇을 가장 크게 할지를 먼저 정해야 합니다.

연습 문제 (3분)

1. 구간 $0 \le x \le 3$에서 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$의 최댓값과 최솟값을 구하세요.
2. 합이 20인 두 양수 $x$, $y$가 있습니다. $xy^2$이 가장 클 때 $x$, $y$와 그 값을 구하세요.
3. 가로 16 cm, 세로 10 cm인 직사각형 판의 네 모서리에서 한 변 $x$ cm인 정사각형을 잘라 내고 접어 뚜껑 없는 상자를 만듭니다. 부피가 가장 클 때의 $x$와 부피를 구하세요.
4. (서술형) 곡선 $y = x^2$ 위의 점 P와 점 A(3, 0) 사이의 거리가 가장 짧을 때, 점 P의 좌표와 그 거리를 구하세요. 풀이 과정을 쓰세요.
5. 9-5절의 구조대원이 모래와 물에서 똑같이 초속 5 m로 움직일 수 있다면 가장 빠른 길은 어디일까요? 그때 걸리는 시간은?

풀이

1. $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2)$이므로 후보는 $x = 0, 1, 2, 3$입니다. $f(0) = 0$, $f(1) = 5$, $f(2) = 4$, $f(3) = 9$입니다. 최댓값 9 ($x = 3$), 최솟값 0 ($x = 0$). 극댓값 5와 극솟값 4는 최댓값·최솟값이 아닙니다.
2. $x = 20 - y$이지만, $x$를 남겨 $f(x) = x(20 - x)^2$ $(0 < x < 20)$로 써도 됩니다. $f'(x) = (20 - x)(20 - 3x)$에서 $x = 20/3$입니다. 이때 $y = 40/3$이고, $xy^2 = \dfrac{20}{3}\cdot\dfrac{1600}{9} = \dfrac{32000}{27} \approx 1185.19$입니다. 양 끝에서 값이 0이므로 이것이 최대입니다. $x = 20/3$, $y = 40/3$, 최댓값 $32000/27$.
3. $V(x) = x(16 - 2x)(10 - 2x)$, 정의역 $0 < x < 5$입니다. 전개하면 $V(x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x$, $V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 4(3x - 20)(x - 2)$입니다. $x = 20/3$은 정의역 밖이므로 $x = 2$입니다. $V'$은 2의 왼쪽에서 양수, 오른쪽에서 음수입니다. $x = 2$ cm, 부피 $2 \times 12 \times 6 = 144$ cm³.
4. P$(x, x^2)$라 하면 거리의 제곱은 $D(x) = (x - 3)^2 + x^4$입니다. 거리가 가장 짧을 때 그 제곱도 가장 작으므로 $D$를 미분합니다. $D'(x) = 2(x - 3) + 4x^3 = 2(2x^3 + x - 3) = 2(x - 1)(2x^2 + 2x + 3)$입니다. $2x^2 + 2x + 3$은 판별식이 $4 - 24 < 0$이라 늘 양수이므로 $D'(x) = 0$의 해는 $x = 1$뿐입니다. $D'$은 $x < 1$에서 음수, $x > 1$에서 양수이니 $x = 1$에서 최소입니다. P(1, 1), 거리 $\sqrt{(1-3)^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
5. 두 속력이 같으면 시간은 (전체 거리) ÷ 5이므로 거리가 가장 짧은 길, 곧 직선이 가장 빠릅니다. 조건 $\sin\theta_1 / v_1 = \sin\theta_2 / v_2$에서도 $v_1 = v_2$이면 두 각이 같아져 꺾이지 않습니다. 꺾는 점은 $x = 30$ m이고, 거리 $\sqrt{60^2 + 30^2} \approx 67.08$ m를 5로 나눈 약 13.42초가 걸립니다. 빛이 같은 물질 안에서 곧게 가는 것과 같습니다.

점심 무렵, 오 팀장이 세 장의 답을 받아 들고 고개를 끄덕입니다. "5 cm, 3,500원, 53.7 m. 좋아." 그러고는 두꺼운 파일을 하나 더 내려놓습니다. "내일 오후에 사람 태우고 혜성 첫 시운전이야. 오전 중에 무인 시운전 기록 정리해 줘. 위치, 속도, 가속도, 브레이크 구간까지." 도윤의 눈이 커집니다. "사람… 저도 타도 돼요?" 은재 이모가 웃습니다. "기록부터 읽고." 10교시에서는 위치를 두 번 미분해 속도와 가속도를 읽고, 접선으로 어림하고 근을 찾는 법을 배웁니다. 그리고 2주 동안 배운 미분을 한 장으로 정리합니다.