바로 그 순간의 속도: 미분계수와 접선

수요일 아침, 도윤이 자리에 앉자마자 오 팀장이 서류철 두 개를 내려놓습니다. 하나는 첫 낙하 시운전 기록이고, 하나는 협력 업체의 레일 도면입니다. "오늘 안에 둘 다. 숫자로."

도윤이 벽의 속도계 화면을 가리킵니다. "어제 속도계에 29.4가 떴잖아요. 그게 바닥 속도 아니에요? 그대로 보고하면 되죠."

은재 이모가 고개를 젓습니다. "그건 3초로 끝나는 구간의 평균속도들이 다가가는 값이야. 그 값이 왜 '바로 그 순간'의 속도인지는 아직 설명을 못 했어. 팀장님이 원하는 건 구간이 없는 속도야. 설명 없는 숫자로는 한도 검토를 못 해." 이모가 화이트보드에 곡선 하나를 그리고 그 위에 점 두 개를 찍습니다. "그래프부터 그려 봐. 평균속도는 이 두 점을 잇는 직선의 기울기였지. 두 번째 점을 첫 번째 점 쪽으로 아주 조금만 남기고 붙이면, 이 직선은 어떻게 될까?"

이번 교시에서는 그 직선이 접혀 들어가는 모습을 직접 보고, 그 끝에 있는 값에 미분계수라는 이름을 붙입니다. 그 값으로 바닥 속도를 답하고, 마지막에 레일 이음매 도면을 검토합니다.

3-1. 할선을 접선으로 접기 (9분)

1교시에서 본 것을 다시 꺼냅니다. 혜성이 첫 낙하에서 $t$초 동안 떨어진 거리는 $s(t) = 4.9t^2$ (m)입니다. 곡선 위의 두 점을 잇는 직선을 할선(secant line) 이라 하고, 할선의 기울기는 그 구간의 평균변화율, 여기서는 평균속도입니다.

이번에는 두 점을 이렇게 잡습니다. 첫 점 P는 바닥을 지나는 순간 $t = 3$에 고정합니다. 두 번째 점 Q는 거기서 $h$초 떨어진 $t = 3 + h$에 둡니다. 그러면 할선의 기울기는

입니다. 분모 $h$는 시간이 늘어난 양(가로), 분자는 그동안 떨어진 거리(세로)입니다. $h$가 음수이면 Q가 P의 왼쪽, 즉 3초보다 앞선 시각에 있습니다.

아래 실습대의 남색 곡선이 $s(t) = 4.9t^2$입니다. 가로축은 시간 $t$(초), 세로축은 떨어진 거리 $s$(m)입니다. 주황 점 P가 $t = 3$, 작은 주황 점 Q가 $t = 3 + h$이고, 둘을 지나는 주황 직선이 할선입니다. 회색 점선 직각삼각형의 가로가 $h$, 세로가 $\Delta s$입니다. 오른쪽 조작판에는 할선 기울기가 큰 숫자로 나오고, 그 아래 표에 $h = 1, 0.1, 0.01, 0.001$일 때의 값이 차례로 쌓입니다. '좁혀 보기'를 누르면 $h$가 1에서 0.001까지 4.5초 동안 줄어듭니다. 다 줄면 회색 점선 접선이 나타납니다('접선 보이기'로 켜고 끌 수 있습니다). $h$ 슬라이더를 왼쪽으로 끌어 음수로 만들면 Q가 P의 왼쪽으로 갑니다. 점 P는 끌어서 1–3.5초 사이로 옮길 수 있습니다.

실습대에서 본 값을 표로 모으면 이렇습니다. ($s(3) = 4.9 \times 9 = 44.1$ m입니다.)

$h$가 −1, −0.1, −0.01인 세 줄은 1교시에 구한 평균속도(24.5, 28.91, 29.351)와 같습니다. 같은 계산을 $h$라는 이름으로 다시 쓴 것뿐입니다.

표에서 두 가지가 보입니다.

1. $h$가 양수일 때는 기울기가 위에서 내려오고, 음수일 때는 아래에서 올라옵니다. 양쪽 모두 29.4에 다가갑니다.
2. $h$를 10분의 1로 줄이면 29.4와의 차이도 10분의 1로 줄어듭니다(4.9, 0.49, 0.049, 0.0049). 그래서 원하는 만큼 가까이 갈 수 있습니다.

그림으로는 할선이 P를 축으로 돌다가 어느 직선에 멈춰 붙습니다. 그 직선이 점 P에서의 접선(tangent line) 입니다. 접선은 "곡선을 한 점에서 스치는 직선"이라고 흔히 말하지만, 더 정확한 정의는 이것입니다. Q를 P에 한없이 가깝게 할 때 할선이 다가가는 직선.

3-2. 미분계수: 할선 기울기가 다가가는 값 (10분)

표는 29.4에 "다가가는 것 같다"고 말해 줄 뿐입니다. 2교시 예제 2-7에서는 속도계 식을 약분해 29.4를 얻었습니다. 이번에는 $h$를 쓰는 꼴로 다시 확인합니다. 할선 기울기를 $h$에 대한 식으로 정리해 봅니다.

여기서 $s(3) = 44.1$을 빼고 $h$로 나눕니다. $h$는 0이 아니므로 나눌 수 있습니다.

이제 표의 모든 줄이 한 식으로 설명됩니다. $h = 0.1$이면 $29.4 + 0.49 = 29.89$, $h = -1$이면 $29.4 - 4.9 = 24.5$입니다. 그리고 $h$가 0에 다가가면 $4.9h$는 0에 다가가므로 할선 기울기는 정확히 29.4에 다가갑니다. 이것을 2교시에 배운 극한 기호로 쓰면

입니다. $h = 0$을 그대로 넣으면 $\frac{0}{0}$이 되어 계산할 수 없었습니다(2교시의 속도계 오류). 먼저 $h$로 약분해 $0 \div 0$의 원인을 없애고, 그다음에 $h$를 0으로 보낸 것입니다.

이렇게 얻은 값에 이름을 붙입니다.

미분계수는 $x = a$에서의 순간변화율(instantaneous rate of change) 이라고도 부릅니다. 구간이 없는, 바로 그 순간의 변화율이라는 뜻입니다. $x = a + h$로 바꿔 쓰면 같은 정의를 이렇게도 씁니다. 2교시의 속도계 프로그램이 쓴 식이 바로 이 꼴이었습니다.

미분계수를 정의로 구하는 순서는 늘 같습니다.

1. $f(a+h)$를 전개한다.
2. $f(a)$를 뺀다. 남은 항은 모두 $h$를 품고 있다.
3. $h$로 나눠 약분한다.
4. $h \to 0$을 보낸다(남은 식에 $h = 0$을 넣는다).

오 팀장에게 줄 답

$s'(3) = 29.4$ m/s입니다. 1초에 29.4 m를 가는 속도는 1시간(3,600초)에 $29.4 \times 3600 = 105{,}840$ m를 가는 속도이므로

입니다. 한도 시속 110 km보다 4.16 km 낮습니다. 도윤이 보고하자 오 팀장이 고개를 끄덕입니다. "105.84. 한도 안이네. 근거까지 붙어 있으니 좋다."

기호 읽는 법

3-3. 접선의 방정식 (8분)

미분계수가 접선의 기울기라는 것을 알았으니, 접선을 식으로 쓸 수 있습니다. 1학년 때 배운 "한 점과 기울기를 알 때의 직선"을 그대로 씁니다. 점 $(a, f(a))$를 지나고 기울기가 $f'(a)$인 직선입니다.

혜성의 경우 점 P는 $(3, 44.1)$, 기울기는 29.4이므로

입니다. 이 직선은 "열차가 3초 순간의 속도 29.4 m/s를 그대로 유지했다면" 그렸을 거리 그래프입니다. 그래서 3초 바로 근처에서는 실제 거리와 거의 같습니다. $t = 3.1$이면 접선은 $29.4 \times 3.1 - 44.1 = 47.04$ m를 주고, 실제 거리는 47.089 m입니다. 차이는 0.049 m, 5 cm도 안 됩니다. 하지만 $t = 4$에서는 접선이 73.5 m, 실제가 78.4 m로 벌어집니다. 열차는 계속 빨라지고 있으니까요. 접선은 그 점 근처에서만 곡선의 좋은 대역입니다.

3-4. 미분계수의 세 얼굴 (6분)

같은 수 $f'(a)$를 세 가지로 읽을 수 있습니다. 문제마다 편한 얼굴이 다릅니다.

1. 순간변화율. "$x$가 $a$에서 아주 조금 늘 때, $y$는 그 몇 배만큼 변하나." 단위는 ($y$의 단위) ÷ ($x$의 단위)입니다.
2. 접선의 기울기. 그래프 위 점 $(a, f(a))$에서 곡선이 얼마나 가파른지.
3. 확대하면 보이는 직선의 기울기. 매끄러운 곡선을 한 점 둘레로 계속 확대하면 곡선이 점점 곧아져 결국 직선처럼 보입니다. 그 직선의 기울기가 미분계수입니다.

세 번째 얼굴은 앞의 실습대에서 볼 수 있습니다. '접선 보이기'를 켜고 '확대 (점 P 주변)'를 10배, 100배로 바꿔 보세요. 1배에서는 곡선과 접선이 확실히 다르지만, 100배에서는 남색 곡선과 회색 점선이 거의 겹칩니다. 숫자로도 확인할 수 있습니다. $h = 0.01$이면 3초부터 떨어진 거리는 0.29449 m이고, 접선이 예측하는 거리는 0.294 m입니다. 차이 0.00049 m는 떨어진 거리의 0.17%뿐입니다. 아주 가까이서 보면 곡선은 직선이다. 10교시에 이 성질로 어려운 계산을 어림하는 방법(선형 근사)을 배웁니다.

첫 번째 얼굴, 순간변화율은 속도에만 쓰지 않습니다. 단위만 바꾸면 어디에나 나옵니다.

3-5. 미분할 수 없는 점: 꺾인 레일 이음매 (9분)

이제 두 번째 서류, 레일 도면입니다. 골짜기 바닥에서 레일 두 조각이 만납니다. 이음매를 원점으로 잡고 수평 거리를 $x$(m), 높이를 $y$(m)라 하면 도면의 식은 이렇습니다.

$x = 0$을 넣으면 왼쪽 식도 오른쪽 식도 0이 됩니다. 두 조각은 끊기지 않고 이어져 있습니다. 2교시의 말로 하면 $x = 0$에서 연속입니다. 도윤이 말합니다. "이어져 있으면 됐죠?" 은재 이모가 묻습니다. "아주 조금만 움직이면 얼마나 변해? 오른쪽으로 갈 때랑 왼쪽으로 갈 때랑."

아래 실습대의 남색 선이 레일이고, 검은 점이 이음매 $(0, 0)$입니다. 주황 직선은 이음매와 오른쪽 점 $x = h$를 잇는 할선, 청록 직선은 이음매와 왼쪽 점 $x = -h$를 잇는 할선입니다. 'h (양쪽)' 슬라이더는 두 점을 함께 움직이고, '좁혀 보기'는 $h$를 1에서 0.001까지 줄입니다. 오른쪽 표에 두 할선의 기울기가 나란히 쌓입니다. '이음매'를 '기울기 맞춘 이음매'로 바꾸면 오른쪽 레일이 $\frac{3x^2}{4} - x$로 바뀝니다. '접선 보이기'는 이음매에서 양쪽으로 뻗는 한쪽 접선을 회색 점선으로 보여 줍니다.

실습대의 표를 식으로 확인합니다. 오른쪽($h > 0$)에서는 오른쪽 식을 씁니다.

왼쪽에서는 $x = -h$의 점을 쓰고, 그 점의 높이는 왼쪽 식으로 계산합니다.

오른쪽에서 다가가는 값(우극한)은 0.5, 왼쪽에서 다가가는 값(좌극한)은 −1입니다. 2교시에서 배웠듯 좌극한과 우극한이 다르면 극한은 없습니다. 그러므로 $f'(0)$은 존재하지 않습니다. 이 레일은 $x = 0$에서 연속이지만 미분가능하지 않습니다.

열차에게 이것은 무슨 뜻일까요? 기울기는 열차가 나아가는 방향입니다. 이음매 직전에는 기울기 −1(45° 내리막)로 달리다가, 이음매를 지나는 순간 기울기 0.5(약 27° 오르막)로 방향이 한꺼번에 바뀝니다. 방향이 순간적으로 꺾이면 바퀴와 레일에 큰 충격이 생깁니다. 덜컹거림의 정체입니다. 그래서 레일을 이을 때는 높이(연속)뿐 아니라 기울기(미분계수)까지 맞춰야 합니다. 실습대의 '기울기 맞춘 이음매'는 오른쪽 레일을 $\frac{3x^2}{4} - x$로 바꿔서 양쪽 기울기를 모두 −1로 맞춘 것입니다. 실제 설계에서는 휘는 정도까지 맞추는데, 그 이야기는 8교시에 잠깐 다룹니다.

가장 유명한 예는 $f(x) = |x|$입니다. 오른쪽에서는 기울기가 1, 왼쪽에서는 −1이므로 $x = 0$에서 미분가능하지 않습니다. 그래프는 V자로 이어져 있으니 연속입니다. 정리하면 이렇습니다.

• 미분가능하면 연속이다. $f(a+h) - f(a) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \times h$이고, $h \to 0$이면 이것은 $f'(a) \times 0 = 0$에 다가갑니다. 즉 $f(a+h)$가 $f(a)$에 다가갑니다.
• 연속이라고 미분가능한 것은 아니다. 꺾인 점($|x|$, 꺾인 이음매)이 반례입니다.
• 그래프에서 미분가능하지 않은 곳은 대개 끊긴 곳(불연속), 꺾인 곳(뾰족점), 접선이 수직인 곳입니다.

도윤은 협력 업체 도면에 빨간 펜으로 적습니다. "x = 0: 높이는 맞음. 기울기 왼쪽 −1, 오른쪽 0.5. 미분가능하지 않음. 오른쪽 레일을 3x²/4 − x로 바꾸면 양쪽 −1." 은재 이모가 도면을 넘겨 보고 한 줄을 보탭니다. "업체에 보낼 땐 '접선 기울기 불일치'라고 써. 그 사람들은 그 말을 알아들어."

교과서에서는

• 교과서는 미분계수를 "함수 $f(x)$의 $x = a$에서의 미분계수" 또는 "순간변화율"이라 부르고, 두 꼴의 정의를 모두 씁니다. $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$.
• 시험에는 정의식의 모양을 살짝 바꾼 극한이 자주 나옵니다. 예를 들어 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + 2h) - f(a)}{h}$는 분모를 $2h$로 맞추면 $2f'(a)$입니다. 핵심은 "$f$ 안에서 늘어난 양"과 "분모"를 똑같이 맞추는 것입니다.
• "곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 $y - f(a) = f'(a)(x - a)$"가 공식으로 나옵니다.
• "$x = a$에서 미분가능하면 연속이다. 그 역은 성립하지 않는다." 서술형에서는 구간마다 식이 다른 함수가 "$x = a$에서 미분가능하도록 상수를 정하라"는 꼴로 나옵니다. 연속 조건(높이)과 미분계수 조건(기울기) 두 식을 세우면 됩니다. 예제 3-8이 바로 그 문제입니다.
• 역사 한 줄: 17세기 후반 뉴턴과 라이프니츠가 각자 미분을 체계로 만들었습니다. 그보다 앞서 페르마는 곡선의 접선과 최댓값·최솟값을 구하는 방법을 연구했습니다. 할선을 좁혀 접선을 얻는 생각이 그 출발점입니다.

자주 하는 착각 (4분)

• "$h$에 0을 넣으면 미분계수가 나온다." $h = 0$을 바로 넣으면 $\frac{0}{0}$입니다. 약분으로 0 ÷ 0의 원인을 없앤 다음에 $h \to 0$을 보냅니다.
• "$h$를 아주 작게 한 할선 기울기가 미분계수다." $h = 0.001$일 때의 29.4049는 미분계수에 아주 가까운 평균변화율일 뿐입니다. 미분계수는 그 값들이 다가가는 수 29.4입니다.
• "미분계수는 그 점의 함숫값이다." $s(3) = 44.1$은 3초까지 떨어진 거리(m), $s'(3) = 29.4$는 3초 순간의 속도(m/s)입니다. 높이와 기울기는 다른 질문입니다.
• "접선은 곡선과 한 점에서만 만나는 직선이다." 원에서는 맞지만 일반적으로는 아닙니다. $y = x^3$의 $x = 1$에서의 접선 $y = 3x - 2$는 $x = -2$에서 곡선과 또 만납니다(연습 문제 3). 접선은 "할선이 다가가는 직선"입니다.
• "이어져 있으면(연속이면) 미분가능하다." 꺾인 이음매와 $|x|$는 연속이지만 미분가능하지 않습니다. 거꾸로 미분가능하면 반드시 연속입니다.

연습 문제 (4분)

1. $f(x) = 2x^2 - x$일 때, 정의를 써서 $f'(1)$을 구하세요.
2. 혜성이 낙하를 시작하고 2.5초가 지난 순간의 속도를 정의로 구하고, 시속(km)으로 바꾸세요.
3. 곡선 $y = x^3$ 위의 점 $(1, 1)$에서의 접선의 방정식을 구하세요. 이 접선은 곡선과 다른 점에서도 만나는데, 그 점의 $x$좌표는 얼마일까요?
4. (서술형) 함수 $f(x) = \begin{cases} ax^2 + 1 & (x < 1) \\ 4x + b & (x \ge 1) \end{cases}$ 가 $x = 1$에서 미분가능하도록 상수 $a, b$를 정하세요. 풀이 과정을 쓰세요.
5. 미분가능한 함수 $f$에 대해 $f'(3) = 5$일 때, $\lim_{h \to 0} \frac{f(3 + 2h) - f(3)}{h}$의 값을 구하세요.

풀이

1. $f(1) = 1$이고 $f(1+h) = 2(1 + 2h + h^2) - (1 + h) = 1 + 3h + 2h^2$입니다. $\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{3h + 2h^2}{h} = 3 + 2h \to 3$. $f'(1) = 3$.
2. $s(2.5 + h) - s(2.5) = 4.9(6.25 + 5h + h^2) - 30.625 = 24.5h + 4.9h^2$이므로 $h$로 나누면 $24.5 + 4.9h \to 24.5$. 24.5 m/s, 시속 $24.5 \times 3.6 = 88.2$ km.
3. $\frac{(1+h)^3 - 1}{h} = \frac{3h + 3h^2 + h^3}{h} = 3 + 3h + h^2 \to 3$이므로 기울기 3. 접선은 $y - 1 = 3(x - 1)$, 곧 $y = 3x - 2$. 곡선과 만나는 점은 $x^3 = 3x - 2$, 곧 $x^3 - 3x + 2 = 0$의 해입니다. 접점 $x = 1$이 두 번 겹친 근이라 $(x - 1)^2(x + 2) = 0$으로 인수분해됩니다. 다른 교점은 $x = -2$ (점 $(-2, -8)$)입니다.
4. 연속 조건: $x = 1$에서 두 식의 값이 같아야 하므로 $a + 1 = 4 + b$. 미분계수 조건: 오른쪽은 직선이라 기울기 4입니다. 왼쪽의 기울기는 $\frac{a(1+h)^2 + 1 - (a + 1)}{h} = \frac{2ah + ah^2}{h} = 2a + ah \to 2a$입니다($h < 0$ 쪽, 연속 조건으로 $f(1) = a + 1$). 좌우가 같아야 하므로 $2a = 4$. 따라서 $a = 2$, $b = -1$. 확인: 왼쪽 $2x^2 + 1$은 $x = 1$에서 높이 3, 기울기 4이고, 오른쪽 $4x - 1$도 높이 3, 기울기 4입니다.
5. 분모를 $2h$로 맞춥니다. $\frac{f(3 + 2h) - f(3)}{h} = 2 \times \frac{f(3 + 2h) - f(3)}{2h}$. $h \to 0$이면 $2h \to 0$이므로 뒤의 분수는 $f'(3) = 5$에 다가갑니다. 답: 10.

퇴근 무렵, 오 팀장이 다시 들어옵니다. 손에는 속도계 업체의 메일이 들려 있습니다. "바닥 속도 고마워. 그런데 업체가 묻네. 탑승객 화면에 '지금 속도'를 0초부터 3초까지 계속 띄우고 싶대. 그럼 0.1초마다 오늘 한 계산을 서른 번 하라는 거야?" 도윤이 은재 이모를 봅니다. 이모가 웃습니다. "3 자리에 t를 넣고 한 번만 하면 돼. 내일은 기울기를 시각마다 주는 함수를 만들자." 4교시에서는 점마다 기울기를 찍어 새 함수, 도함수를 만들고, 다항함수를 빠르게 미분하는 공식을 얻습니다.