오르막과 내리막: 증가·감소와 극값

2주차 화요일 아침입니다. 설계실 화이트보드에 오 팀장이 식 하나를 적어 놓았습니다. 혜성은 첫 낙하가 끝나면 작은 언덕 하나를 넘고, 깊은 골짜기로 내려갔다가 다시 올라옵니다. 그 두 번째 구간의 레일 높이입니다. 오 팀장은 외투도 벗지 않고 말합니다. "꼭대기랑 골짜기. 기둥 길이를 거기에 맞춰야 해. 그래서 몇이야?"

도윤은 식을 보자마자 한숨을 쉽니다. 지난주 목요일에 기울기가 0인 곳(12 m와 48 m)까지는 구해 본 식입니다. 하지만 거기가 정말 꼭대기와 골짜기인지는 따져 보지 않았습니다. "차라리 x에 0부터 60까지 다 넣어 보면 되잖아요. 제일 높은 데를 찾으면 되고요." 은재 이모가 커피잔을 내려놓습니다. "넣어 봐. 1 m 간격이면 61번이야. 그런데 꼭대기가 12.3 m 지점에 있으면?" "…0.1 m 간격으로 하면 되죠." "600번. 그래도 정확한 꼭대기는 아니고."

이모가 펜을 듭니다. "그래프부터 그려 봐. 그리고 꼭대기에서 아주 조금만 움직이면 높이가 얼마나 변해?" 도윤이 잠깐 생각합니다. "꼭대기니까… 거의 안 변하겠죠. 거긴 평평하니까요." "그거야. 지난주에 기울기를 함수로 만들었지? 오늘은 그 함수의 부호만 보면 돼."

이번 교시에서는 도함수의 부호로 그래프가 오르는지 내리는지를 읽고, 꼭대기와 골짜기를 계산으로 정확히 찾습니다. 마지막에는 '구간 단속 카메라'의 원리인 평균값 정리까지 갑니다.

7-1. 기울기의 부호가 오르막과 내리막을 말한다 (8분)

레일 위를 왼쪽에서 오른쪽으로 걷는다고 생각해 봅시다. 오르막에서는 발밑의 접선이 오른쪽 위로 기울어 있습니다. 접선의 기울기가 양수입니다. 내리막에서는 접선이 오른쪽 아래로 기울어 있고, 기울기가 음수입니다. 4교시에서 점마다의 접선 기울기를 모은 함수가 도함수 $f'(x)$라고 했습니다. 그러니 오르막인지 내리막인지는 $f'(x)$의 부호 하나로 정해집니다.

아래 실습대의 위 그래프는 혜성 두 번째 구간의 레일 높이 $h(x)$입니다. 가로축은 수평 거리(m), 세로축은 높이(m)입니다. '굴려 보기'를 누르면 주황 공이 왼쪽 끝 $x = 0$에서 출발해 오른쪽으로 굴러갑니다. 공에 붙은 짧은 주황 선분은 그 점의 접선입니다. 공이 지나온 레일은 오르막이면 남색, 내리막이면 진홍색으로 칠해집니다. 아래 그래프는 도함수 $h'(x)$(청록)이고, $x$축 위(+)는 남색, 아래(−)는 진홍색으로 칠해집니다. 오른쪽의 증감표는 공이 지나간 칸부터 채워집니다.

실습대에서 본 것을 말로 정리하면 이렇습니다. 위 그래프의 색과 아래 그래프의 부호가 언제나 짝을 이룹니다.

여기서 '증가한다'는 말의 정확한 뜻은 이것입니다. 그 구간의 아무 두 수 $x_1 < x_2$를 잡아도 $f(x_1) < f(x_2)$이다. 즉 오른쪽으로 가면 언제나 더 높다는 뜻입니다. 감소는 그 반대입니다. "접선 기울기가 양수면 정말로 오른쪽이 더 높은가?"는 당연해 보이지만 증명이 필요합니다. 그 증명의 열쇠가 7-5절의 평균값 정리입니다.

레일 식으로 확인해 봅시다. 4교시의 미분 공식으로 $h(x)$를 미분하면

입니다. 몇 곳에 넣어 보면 실습대의 색과 맞습니다.

$h'(5) = 0.903$은 "5 m 지점에서 앞으로 1 m 갈 때 높이가 약 0.9 m씩 오르는 기울기"라는 뜻입니다. 숫자의 크기는 가파른 정도를, 부호는 방향을 말합니다. 오늘은 주로 부호를 봅니다.

7-2. 꼭대기와 골짜기: 극대와 극소 (8분)

실습대에서 공은 두 곳에서 잠깐 멈칫했습니다. 오르막이 끝나고 내리막이 시작되는 꼭대기, 내리막이 끝나고 오르막이 시작되는 골짜기입니다. 이 두 점에 이름을 붙입니다.

핵심은 '근처'라는 말입니다. 산맥을 떠올려 보세요. 봉우리마다 그 주변에서는 가장 높지만, 산맥 전체에서 가장 높은 봉우리는 하나뿐입니다. 봉우리 하나하나가 극대이고, 산맥 전체의 꼭대기는 최대입니다. 최대·최소는 9교시에서 따로 다룹니다.

극값에서는 무슨 일이 생길까요? 꼭대기에서 접선이 오른쪽 위로 기울어 있다면, 오른쪽으로 아주 조금 가면 더 높아집니다. 그러면 꼭대기가 아니지요. 왼쪽 아래로 기울어도 마찬가지입니다. 그래서 매끄러운 꼭대기에서 접선은 수평일 수밖에 없습니다.

거꾸로 $f'(a) = 0$인 점을 찾으면 극값 후보가 나옵니다. 후보가 진짜 극값인지는 양옆의 부호로 판정합니다.

숫자로 한 번 봅시다. $f(x) = x^3 - 3x$이면 $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$이라 후보는 $x = -1$과 $x = 1$입니다. $f'(-2) = 9 > 0$, $f'(0) = -3 < 0$, $f'(2) = 9 > 0$입니다. $x = -1$에서는 + → −라서 극대이고 극댓값은 $f(-1) = 2$입니다. $x = 1$에서는 − → +라서 극소이고 극솟값은 $f(1) = -2$입니다.

7-3. 증감표로 그래프 그리기 (10분)

극값 후보를 찾고, 부호를 판정하고, 그래프를 그리는 과정을 한 장의 표로 정리한 것이 증감표입니다. 실습대 오른쪽에 채워지던 그 표입니다. 순서는 늘 같습니다.

1. $f'(x)$를 구한다.
2. $f'(x) = 0$인 $x$를 찾는다. 다항함수면 대개 인수분해로 풀린다.
3. 그 $x$들로 수직선을 나누고, 구간마다 아무 수나 하나 넣어 $f'$의 부호를 정한다.
4. 표에 부호와 화살표(↗ 증가, ↘ 감소)를 적고, 극값을 계산한다.
5. 극값의 점, $y$절편 같은 쉬운 점을 찍고 화살표대로 매끄럽게 잇는다.

$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$로 해 봅시다.

1–2단계. $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$이므로 후보는 $x = 1, 2$입니다.

3단계. 세 구간에서 하나씩 넣어 봅니다. $f'(0) = 12 > 0$, $f'(1.5) = -1.5 < 0$, $f'(3) = 12 > 0$입니다.

4단계. 표로 적습니다.

극댓값은 $f(1) = 2 - 9 + 12 = 5$, 극솟값은 $f(2) = 16 - 36 + 24 = 4$입니다.

5단계. $f(0) = 0$이니 그래프는 원점을 지납니다. 점 $(0, 0)$, $(1, 5)$, $(2, 4)$를 찍고 화살표대로 잇습니다. 왼쪽 아래에서 올라와 $(1, 5)$에서 꺾여 조금 내려가고, $(2, 4)$에서 다시 꺾여 오른쪽 위로 끝없이 올라갑니다.

$x^3$의 계수가 양수인 삼차함수는 모두 "왼쪽 아래에서 시작해 오른쪽 위로 끝나는" 모양입니다. 그 사이에 언덕과 골짜기가 한 쌍 있는지 없는지는 $f'(x) = 0$이 서로 다른 두 실근을 갖는지로 정해집니다. 이차방정식 $f'(x) = 0$의 판별식이 양수면 극값이 두 개, 0 이하면 극값이 없습니다.

기호 읽는 법

도윤이 표를 오 팀장에게 내밉니다. "꼭대기는 12 m 지점에 24.504 m, 골짜기는 48 m 지점에 1.176 m요." 오 팀장이 표를 훑어봅니다. "골짜기는 땅에서 1 m 조금 넘네. 거긴 기둥이 거의 필요 없겠어. 600번 넣어 봤어?" "두 번 풀었어요. 인수분해 한 번, 부호 확인 한 번." 은재 이모가 웃습니다.

7-4. f′ = 0인데 극값이 아닌 경우 (7분)

$f'(a) = 0$이면 늘 꼭대기나 골짜기일까요? $f(x) = x^3$을 봅시다. $f'(x) = 3x^2$이라서 $f'(0) = 0$입니다. 그런데 $3x^2$은 $x = 0$의 왼쪽에서도 양수, 오른쪽에서도 양수입니다. 부호가 + → +로 바뀌지 않습니다. 그래프는 오르다가 원점에서 아주 잠깐 수평이 되고, 다시 계속 오릅니다. 레일로 치면 오르막 중간의 평평한 층계참입니다. 꼭대기도 골짜기도 아닙니다.

아래 실습대는 같은 실습대를 $f(x) = x^3 + px$로 띄운 것입니다. 처음에는 $p = 0$, 즉 $y = x^3$입니다. 오른쪽의 '계수 p' 슬라이더로 $p$를 바꿀 수 있습니다. $f'(x) = 3x^2 + p$이므로 $p < 0$이면 $f'(x) = 0$의 근이 두 개, $p = 0$이면 하나, $p > 0$이면 없습니다.

언제 부호가 바뀌고 언제 안 바뀔까요? $f'(x)$를 인수분해했을 때 $(x - a)$가 몇 번 곱해져 있는지 보면 됩니다. $(x - a)$가 한 번(홀수 번) 곱해져 있으면 $x = a$를 지날 때 그 인수의 부호가 바뀌어 $f'$의 부호도 바뀝니다. $(x - a)^2$처럼 두 번(짝수 번) 곱해져 있으면 그 인수는 양옆에서 모두 양수라서 부호가 바뀌지 않습니다.

사차함수 $f(x) = x^4 - 2x^2$로 확인해 봅시다. $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x+1)(x-1)$이고, 세 인수가 모두 한 번씩입니다. 그래서 세 후보 모두 부호가 바뀝니다.

부호를 정할 때 쓴 값은 $f'(-2) = -24$, $f'(-0.5) = 1.5$, $f'(0.5) = -1.5$, $f'(2) = 24$입니다. 골짜기 두 개 사이에 언덕 하나가 있는 W 모양입니다. $x^4$의 계수가 양수인 사차함수는 양 끝이 모두 위로 올라갑니다.

7-5. 평균값 정리: 구간 단속 카메라의 수학 (8분)

오후에 은재 이모의 차로 자재 창고에 다녀오는 길, 고속도로에 "구간 단속 시작" 표지판이 나옵니다. 도윤이 묻습니다. "저건 어떻게 잡아요? 순간속도를 찍는 것도 아니잖아요." 이모가 답합니다. "들어갈 때 시각, 나올 때 시각만 찍어. 평균속도가 한도를 넘으면 걸리지." "평균만 넘은 거면 억울하지 않아요? 순간속도는 한 번도 안 넘었을 수도 있잖아요." "그게 오늘 마지막 정리야. 못 빠져나가."

먼저 쉬운 경우부터 봅시다. 출발점과 도착점의 높이가 같은 매끄러운 레일이라면, 그 사이 어딘가에 반드시 평평한 곳이 있습니다. 계속 오르기만 하면 도착점이 더 높을 테고, 계속 내리기만 하면 더 낮을 테니까요. 어딘가에서 방향을 바꿔야 하고, 매끄럽게 방향을 바꾸는 곳에서는 접선이 수평입니다.

이 그림을 비스듬히 기울이면 더 일반적인 정리가 됩니다. 두 끝점을 잇는 할선이 수평이 아니어도, 그 할선과 평행한 접선이 어딘가에 반드시 있습니다.

왼쪽은 순간변화율, 오른쪽은 구간 전체의 평균변화율입니다. 1교시의 할선 기울기와 3교시의 접선 기울기가 여기서 만납니다. "평균만큼의 순간이 반드시 한 번은 있다." 구간 단속은 바로 이 정리를 씁니다. 위치를 시간의 함수로 보면 평균속도가 시속 108 km인 차는 어느 순간 정확히 시속 108 km로 달렸습니다.

혜성 레일로 확인해 봅시다. 구간 전체 $[0, 60]$의 평균 기울기는

입니다. $h'(c) = -0.072$를 풀면 $0.003c^2 - 0.18c + 1.8 = 0$, 즉 $c^2 - 60c + 600 = 0$이고 $c = 30 \pm 10\sqrt{3}$입니다. $c \approx 12.68$과 $c \approx 47.32$, 두 곳 모두 구간 안에 있습니다. 정리는 "적어도 하나"를 약속하는데, 여기서는 두 곳입니다.

조건이 빠지면 정리가 깨집니다. 3교시에서 본 뾰족점 함수 $f(x) = |x|$를 $[-1, 1]$에서 보면 $f(-1) = f(1) = 1$이지만 기울기가 0인 곳은 없습니다. $x = 0$에서 미분가능하지 않기 때문입니다. 시험에서 "연속", "미분가능" 조건을 꼼꼼히 묻는 이유입니다. 7-1절의 "$f' > 0$이면 증가"도 이 정리로 증명합니다. $x_1 < x_2$이면 $f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1)$이고, $f'(c) > 0$이니 오른쪽이 양수입니다.

교과서에서는

교과서와 시험은 이 교시의 내용을 이런 문장으로 묻습니다.

• "함수 $f(x)$가 증가하는 구간을 구하시오." 끝점을 포함해 $[1, 2]$처럼 닫힌구간으로 답하는 경우가 많습니다. 끝점에서 $f'$이 0이어도 증가의 정의($x_1 < x_2$이면 $f(x_1) < f(x_2)$)는 성립하기 때문입니다.
• "함수 $f(x)$가 실수 전체에서 증가하도록 하는 $k$의 값의 범위를 구하시오." $f'(x) \ge 0$이 모든 $x$에서 성립하는 조건을 찾습니다. $x^3$처럼 $f'$이 한 점에서만 0이 되는 것은 괜찮습니다.
• "극댓값과 극솟값의 합을 구하시오", "$x = a$에서 극댓값 $b$를 가질 때 상수를 구하시오." 앞의 것은 증감표, 뒤의 것은 $f'(a) = 0$과 $f(a) = b$ 두 식을 세웁니다.
• 롤의 정리와 평균값 정리는 "다음 중 정리의 조건을 만족하는 함수는?"이나 "정리를 만족하는 $c$의 값을 구하시오"로 나옵니다.

자주 하는 착각 (4분)

• "f′(a) = 0이면 x = a에서 극값이다." 아닙니다. $x^3$의 $x = 0$처럼 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아닙니다. $f'(a) = 0$은 후보일 뿐입니다.
• "f′ 그래프가 가장 높은 곳이 f의 꼭대기다." $f'$이 가장 큰 곳은 $f$가 가장 가파른 곳입니다. $f$의 꼭대기는 $f'$이 + 에서 −로 바뀌는 곳, 즉 $f'$ 그래프가 $x$축을 위에서 아래로 지나는 곳입니다.
• "극댓값은 극솟값보다 크다." 근처끼리만 비교한 값이라 멀리 떨어진 극대가 극소보다 낮을 수 있습니다.
• "극댓값이 곧 최댓값이다." 구간의 끝점이 더 높을 수 있습니다. 최댓값은 극값과 끝값을 모두 비교해야 합니다(9교시).
• "평균값 정리는 c가 딱 하나 있다는 뜻이다." "적어도 하나"입니다. 혜성 레일에서는 두 곳이었습니다. 그리고 꺾인 점이 있으면 하나도 없을 수 있습니다.

연습 문제 (5분)

1. $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$가 증가하는 구간과 감소하는 구간, 극댓값과 극솟값을 구하세요.
2. (서술형) 삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$가 $x = -1$에서 극댓값 5를 가질 때, 상수 $a$, $b$의 값과 $f(x)$의 극솟값을 구하는 과정을 쓰세요.
3. 함수 $f(x) = x^3 + kx$가 실수 전체에서 증가하도록 하는 $k$의 값의 범위를 구하세요. (실습대의 '계수 p'를 떠올려 보세요.)
4. $f(x) = x^3$에 대해 구간 $[0, 3]$에서 평균값 정리를 만족하는 $c$를 구하세요.
5. 함수 $f$의 도함수가 $f'(x) = (x + 2)(x - 1)^2(x - 4)$입니다. $f$가 극대가 되는 $x$와 극소가 되는 $x$를 구하세요.

풀이

1. $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x + 1)(x - 2)$입니다. $f'(-2) = 24 > 0$, $f'(0) = -12 < 0$, $f'(3) = 24 > 0$이므로 $x < -1$과 $x > 2$에서 증가, $-1 < x < 2$에서 감소합니다. 극댓값은 $f(-1) = -2 - 3 + 12 + 5 = 12$, 극솟값은 $f(2) = 16 - 12 - 24 + 5 = -15$입니다.
2. $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$입니다. $x = -1$에서 극값이므로 $f'(-1) = 3 - 2a + b = 0$이고, 극댓값이 5이므로 $f(-1) = -1 + a - b = 5$, 즉 $a - b = 6$입니다. 첫 식에서 $b = 2a - 3$을 둘째 식에 넣으면 $a - 2a + 3 = 6$, $a = -3$, $b = -9$입니다. 그러면 $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)$이고 $x = -1$ 양옆에서 + → −이니 정말 극대입니다. 극솟값은 $x = 3$에서 $f(3) = 27 - 27 - 27 = -27$입니다.
3. $f'(x) = 3x^2 + k$가 모든 $x$에서 0 이상이어야 합니다. $3x^2$의 가장 작은 값은 $x = 0$에서 0이므로 $k \ge 0$입니다. $k = 0$일 때 $f(x) = x^3$은 $f'(0) = 0$이지만 실수 전체에서 증가합니다. $k < 0$이면 $-\sqrt{-k/3} < x < \sqrt{-k/3}$에서 감소합니다. 답: $k \ge 0$.
4. 평균변화율은 $\dfrac{27 - 0}{3 - 0} = 9$입니다. $f'(c) = 3c^2 = 9$에서 $c = \pm\sqrt{3}$이고, $0 < c < 3$인 것은 $c = \sqrt{3} \approx 1.732$입니다.
5. $(x - 1)^2$은 $x \ne 1$이면 양수라서 부호에 영향을 주지 않습니다. 부호는 $(x + 2)(x - 4)$가 정합니다. $x = -3$, 0, 2, 5를 넣으면 $f'$의 부호는 +, −, −, +입니다. $x = -2$에서 + → −이니 극대, $x = 4$에서 − → +이니 극소, $x = 1$에서는 − → −이니 극값이 아닙니다.

퇴근 무렵, 오 팀장이 표를 들고 다시 옵니다. "기둥 발주는 넣었어. 그런데 탑승 안전팀이 하나 더 물어. 언덕 넘을 때 몸이 붕 뜨는 구간, 골짜기에서 좌석에 꾹 눌리는 구간을 안내판에 표시하고 싶대. 경계가 몇 m야?" 도윤이 자신 있게 말합니다. "꼭대기가 12 m니까 그 근처 아니에요?" 은재 이모가 고개를 젓습니다. "'근처'가 몇 m까지인데? 내일은 높이 말고 기울기가 아주 조금 움직일 때 얼마나 변하는지 보자." 8교시에서는 기울기의 기울기인 이계도함수로 레일이 휘어지는 방향과 그 방향이 바뀌는 변곡점을 찾습니다.