기울기를 함수로: 도함수와 미분 공식

목요일 아침, 도윤은 어제 보고서를 다시 펼칩니다. 3초의 순간속도 29.4를 얻기까지 식을 전개하고, 빼고, 약분하고, h를 0으로 보냈습니다. "2초도 해 봤으니까 두 번 했네요. 서른 번은 못 해요."

은재 이모가 화이트보드에 어제 계산을 그대로 옮겨 적고, 숫자 3을 지운 자리에 t를 씁니다. "3 대신 t로 한 번만 하면 돼. 그러면 답이 숫자가 아니라 t의 식으로 나와. 시각을 넣으면 속도가 나오는 함수지."

도윤이 묻습니다. "그럼 함수마다 매번 그 긴 계산을 해야 해요?" 이모가 고개를 젓습니다. "몇 번 해 보면 규칙이 보여. 오늘은 그 규칙을 찾을 거야. 그전에, 그래프부터 그려 봐. 곡선 위 점마다 기울기를 재서 아래에 찍으면 무엇이 생기는지."

이번 교시에서는 점마다 기울기를 찍어 새 함수, 도함수를 만듭니다. 정의로 몇 번 계산해 규칙을 찾고, 그 규칙으로 다항함수를 한 줄에 미분합니다. 마지막에는 식 없이 그래프만 보고 도함수의 모양을 그립니다.

4-1. 점마다 기울기를 찍으면: 도함수 (9분)

3교시에는 점 하나에서 기울기 하나를 구했습니다. $y = x^2$이라면 $x = 1$에서 2, $x = 3$에서 6이었습니다. 이 일을 곡선 위의 모든 점에서 하면 어떻게 될까요? 점마다 기울기 하나가 정해지니, "$x$를 넣으면 그 점의 기울기가 나오는" 새 함수가 생깁니다.

아래 실습대는 그 과정을 보여 줍니다. 위 그래프의 남색 곡선이 함수이고, 주황 선분이 지금 자리의 접선, 주황 점 P가 지금 자리입니다. 아래 그래프는 가로축이 같은 $x$이고 세로축이 기울기입니다. '따라가기'를 누르면 접선이 왼쪽 끝에서 오른쪽 끝까지 미끄러지며, 지나간 자리 41곳의 기울기를 아래에 청록 점으로 찍습니다. 아래의 주황 점은 지금 자리의 기울기입니다. 점 P를 끌어도 그 자리에 점이 찍힙니다. 41개를 다 찍으면 점들을 잇는 곡선과 그 식이 나옵니다. '함수'에서 x², x³ − 3x, 혜성 언덕을 고를 수 있습니다.

$y = x^2$에서 찍힌 점들은 원점을 지나는 직선 위에 있었습니다. $x = -2$에서 −4, $x = 1$에서 2, $x = 3$에서 6. 모두 "기울기 = $2x$"입니다. 3교시의 정의로 확인해 봅니다. 이번에는 점을 숫자로 정하지 않고 $x$ 그대로 둡니다.

이렇게 점마다의 미분계수를 모아 만든 함수에 이름을 붙입니다.

3교시의 미분계수 $f'(a)$는 숫자 하나였고, 도함수 $f'(x)$는 함수입니다. 도함수에 $x = a$를 넣으면 미분계수가 나옵니다.

속도계 화면의 식

낙하 거리 $s(t) = 4.9t^2$을 같은 방법으로 미분합니다.

그러므로 $s'(t) = 9.8t$입니다. 이것이 오 팀장이 원한 식입니다. 속도계는 시각 $t$를 넣어 곱셈 한 번만 하면 됩니다. 어제 구한 $s'(3) = 29.4$, $s'(2) = 19.6$도 이 식에 그대로 들어 있습니다.

속도가 1초에 9.8 m/s씩 일정하게 늘어납니다. 이 9.8이 중력가속도(m/s²)입니다. 마찰과 공기 저항을 무시한 자유 낙하에서는 속도가 시간에 정비례합니다.

4-2. 도함수의 여러 이름과 기호 (5분)

도함수는 쓰는 사람과 상황에 따라 기호가 여럿입니다. 모두 같은 것을 가리킵니다.

기호 읽는 법

$\frac{dy}{dx}$는 라이프니츠가 만든 기호입니다. 1교시의 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$(평균변화율)에서 $\Delta$가 한없이 작아진 모습을 떠올리게 하려고 $d$를 썼습니다. 분수처럼 생겼지만 $dy$를 $dx$로 나눈 분수가 아니라 기호 한 덩어리입니다. 다만 분수처럼 다뤄도 맞는 경우가 많아서 아주 편리합니다(5교시의 연쇄법칙). 뉴턴은 시간에 따라 변하는 양 위에 점을 찍어 $\dot{x}$처럼 썼는데, 이 표기는 지금도 물리학에서 시간에 대한 미분에 씁니다.

$\frac{dy}{dx}$의 장점은 무엇을 무엇으로 미분했는지 보인다는 것입니다. 낙하 거리라면 $\frac{ds}{dt} = 9.8t$로 써서 "거리를 시간으로 미분했다", 곧 속도라는 뜻이 기호에 드러납니다.

4-3. 정의로 몇 번, 그리고 공식 $(x^n)' = nx^{n-1}$ (10분)

정의로 $x^3$을 미분해 봅니다. $(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$이므로

입니다. 지금까지 구한 것을 표로 모아 봅니다. 상수함수 1은 그래프가 수평선이라 기울기가 어디서나 0이고, $y = x$는 기울기 1인 직선입니다.

규칙이 보입니다. 지수가 앞으로 내려와 곱해지고, 지수는 하나 줄어듭니다.

왜 이런 모양인가

$(x+h)^n$은 $(x+h)$를 $n$번 곱한 것입니다. 전개하면 각 괄호에서 $x$나 $h$ 중 하나를 골라 곱한 항들이 나옵니다.

• 모든 괄호에서 $x$를 고르면 $x^n$. 이 항은 $f(x)$를 빼면 사라집니다.
• 딱 한 괄호에서만 $h$를 고르면 $x^{n-1}h$. 어느 괄호에서 고를지 $n$가지이므로 $nx^{n-1}h$입니다.
• 두 괄호 이상에서 $h$를 고른 항은 모두 $h^2$ 이상을 품고 있습니다. $h$로 나눠도 $h$가 남아서, $h \to 0$이면 사라집니다.

그래서 남는 것은 $nx^{n-1}$뿐입니다. 그림으로도 볼 수 있습니다. 한 변이 $x$인 정사각형(넓이 $x^2$)의 두 변을 $h$만큼 늘리면, 넓이는 $x \times h$ 띠 두 개와 아주 작은 모서리 $h^2$만큼 늘어납니다. 모서리는 $h$가 작아지면 무시할 수 있으니 늘어난 넓이는 $2x \cdot h$, 곧 $(x^2)' = 2x$입니다. 정육면체(부피 $x^3$)라면 $x^2 \times h$ 판이 세 장 붙어 $(x^3)' = 3x^2$입니다. 5교시의 곱의 미분법이 이 그림에서 출발합니다.

숫자로 한 번

$(x^4)' = 4x^3$이므로 $x = 2$에서 기울기는 $4 \times 8 = 32$입니다. $x$가 2에서 아주 조금, 이를테면 0.001 늘면 $x^4$은 약 $32 \times 0.001 = 0.032$ 늘어납니다. 실제로 $2.001^4 - 16 \approx 0.032024$이니 거의 맞습니다.

4-4. 상수배·합·차: 다항함수를 한 줄에 (10분)

$s(t) = 4.9t^2$에는 4.9가 곱해져 있었고, 대부분의 함수는 여러 항의 합입니다. 두 규칙이 더 필요합니다.

상수배. 그래프를 세로로 $c$배 늘리면 모든 높이 변화가 $c$배가 되므로 기울기도 $c$배가 됩니다.

합과 차. 두 함수를 더한 함수의 높이 변화는 각 높이 변화의 합입니다. 그러니 기울기도 더해집니다.

두 규칙 모두 정의에서 바로 나옵니다. 예를 들어 합은 $\frac{\{f(x+h) + g(x+h)\} - \{f(x) + g(x)\}}{h} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$이고, 두 분수가 각각 $f'(x)$와 $g'(x)$에 다가갑니다.

세 규칙($x^n$ 공식, 상수배, 합·차)이면 모든 다항함수를 항마다 미분할 수 있습니다.

정의로 긴 계산을 했던 4-1절의 결과가 한 줄로 나옵니다. 하나 더 해 봅니다.

$x = 1$에서 기울기는 $12 - 6 + 1 = 7$입니다.

4-5. $f$ 그래프만 보고 $f'$ 그래프 그리기 (8분)

식이 없어도 도함수의 모양은 그릴 수 있습니다. 실습대에서 본 것을 규칙으로 정리하면 이렇습니다.

주의할 것이 하나 있습니다. $f'$의 높이는 $f$의 높이와 관계가 없습니다. 곡선이 높은 곳에 있어도 평평하면 $f' = 0$이고, 낮은 곳에 있어도 가파르면 $f'$는 큽니다. 그래프 전체를 위로 10만큼 올려도($f(x) + 10$) 기울기는 하나도 바뀌지 않으므로 $f'$는 그대로입니다.

아래 실습대는 앞과 같은 것을 x³ − 3x로 시작합니다. 이 곡선은 $x = -1$에서 꼭대기, $x = 1$에서 골짜기를 지납니다. 따라가기 전에 아래 그래프에 점이 어떤 모양으로 찍힐지 먼저 예상해 보세요.

도윤이 속도계 업체에 보낼 메일을 씁니다. "첫 낙하 구간(0–3초)의 지금 속도: $v = 9.8t$ (m/s). 시속은 3.6을 곱해 $35.28t$ (km/h)." 오 팀장이 어깨 너머로 읽고 말합니다. "한 줄이네. 좋아."

교과서에서는

• 교과서는 "함수 $f(x)$의 도함수"를 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$로 정의하고, 기호 $f'(x)$, $y'$, $\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}f(x)$를 함께 소개합니다. 도함수를 구하는 것을 "$f(x)$를 $x$에 대하여 미분한다"고 합니다.
• 공식은 $(x^n)' = nx^{n-1}$ ($n$은 양의 정수)과 $(c)' = 0$, 상수배·합·차의 미분법으로 나옵니다. '미적분'(2022 개정 '미적분 II') 과목에서 $n$이 정수·실수인 경우로 넓힙니다.
• 시험에서는 미분계수와 도함수를 구별하는지 묻습니다. "$f'(2)$를 구하라"는 먼저 도함수 $f'(x)$를 구하고 2를 넣으라는 뜻입니다. $f(2)$를 먼저 구해 미분하면 상수의 미분이라 0이 나옵니다.
• 도함수 문제는 3교시의 접선과 묶여 나옵니다. "곡선 위의 점 중 접선의 기울기가 9인 점", "접선이 직선 $y = 2x$와 평행한 점"은 모두 $f'(x) = (\text{주어진 기울기})$인 방정식을 푸는 문제입니다.
• $f$의 그래프를 주고 $f'$의 그래프를 고르게 하는 문제(또는 거꾸로)도 자주 나옵니다. 4-5절의 표를 쓰면 됩니다.

자주 하는 착각 (4분)

• "$(x^3)' = 3x^3$이다." 지수를 앞으로 내렸으면 지수는 하나 줄어야 합니다. $(x^3)' = 3x^2$.
• "상수의 도함수는 그 상수다." 상수함수는 수평선이라 기울기가 0입니다. $(7)' = 0$, $(x^2 + 5)' = 2x$.
• "$f'(2)$는 $f(2)$를 미분한 것이다." $f(2)$는 숫자라서 미분하면 0입니다. 먼저 미분하고 나중에 넣습니다.
• "$f$가 높은 곳에서는 $f'$도 크다." $f'$는 높이가 아니라 기울기입니다. 꼭대기는 가장 높지만 $f' = 0$입니다.
• "곱은 각각 미분해서 곱하면 된다." $x^2 \cdot x^3 = x^5$이므로 $(x^5)' = 5x^4$인데, 따로 미분해 곱하면 $2x \cdot 3x^2 = 6x^3$으로 틀립니다. 합·차와 달리 곱은 그렇게 되지 않습니다. 5교시에서 왜 그런지 넓이 그림으로 봅니다.

연습 문제 (4분)

1. $f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x - 1$일 때 $f'(x)$와 $f'(2)$를 구하세요.
2. $f(x) = x^2 + 3x$의 도함수를 정의를 써서 구하세요.
3. (서술형) 곡선 $y = x^3 - 3x^2$ 위의 점 중에서 접선의 기울기가 9인 점을 모두 찾고, 각 점에서의 접선의 방정식을 구하세요.
4. 시운전 기록에서 브레이크 구간에 들어온 뒤 $t$초 동안 열차가 간 거리가 $x(t) = 20t - 2t^2$ (m, $0 \le t \le 5$)였습니다. 2초 순간의 속도, 열차가 멈추는 시각, 멈출 때까지 간 거리를 구하세요.
5. $f(x) = ax^2 + bx$에 대해 $f'(1) = 4$, $f'(2) = 10$일 때 상수 $a, b$를 구하세요.

풀이

1. 항마다 미분하면 $f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 3$. $f'(2) = 32 - 24 + 3 =$ 11.
2. $f(x+h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 + 3x + 3h) - (x^2 + 3x) = 2xh + h^2 + 3h$. $h$로 나누면 $2x + h + 3$이고, $h \to 0$이면 $f'(x) = 2x + 3$. 공식으로 구한 $(x^2)' + (3x)' = 2x + 3$과 같습니다.
3. $y' = 3x^2 - 6x$. 기울기가 9인 점은 $3x^2 - 6x = 9$, 곧 $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0$에서 $x = 3$ 또는 $x = -1$. 각 점의 $y$좌표는 $27 - 27 = 0$, $-1 - 3 = -4$이므로 점은 $(3, 0)$, $(-1, -4)$입니다. 접선은 $y - 0 = 9(x - 3)$에서 $y = 9x - 27$, $y + 4 = 9(x + 1)$에서 $y = 9x + 5$. 기울기가 같은 평행한 두 직선입니다.
4. 속도는 $x'(t) = 20 - 4t$. 2초에는 $20 - 8 =$ 12 m/s. 멈추는 것은 속도가 0일 때: $20 - 4t = 0$에서 $t = 5$초. 그때까지 간 거리는 $x(5) = 100 - 50 =$ 50 m.
5. $f'(x) = 2ax + b$. $f'(1) = 2a + b = 4$, $f'(2) = 4a + b = 10$. 두 식을 빼면 $2a = 6$이므로 $a = 3$, $b = -2$.

메일을 보내고 나니 오 팀장이 서류 두 장을 더 들고 옵니다. 하나는 회전컵 놀이기구 '회오리'의 톱니바퀴 도면입니다. "큰 원판이 돌고 그 위에서 컵이 또 돌아. 컵이 원판보다 몇 배 빨리 도는지 알아야 해." 다른 하나는 광장 공사 계획입니다. 직사각형 부지의 가로와 세로가 동시에 늘어나는데, 넓이가 얼마나 빨리 넓어지는지 묻습니다. 도윤이 자신 있게 말합니다. "넓이는 가로 × 세로니까 각각 미분해서 곱하면 되죠?" 은재 이모가 오늘 쓴 착각 목록의 마지막 줄을 가리킵니다. "그래프부터 그려 봐. 늘어난 넓이가 어떤 모양인지." 5교시에서는 곱의 미분법과, 톱니바퀴처럼 맞물린 함수를 미분하는 연쇄법칙을 배웁니다.