강의 개요

적분은 흔히 "미분의 반대"라고 배웁니다. 틀린 말은 아니지만, 그렇게만 외우면 적분이 무엇을 구하는지 놓칩니다. 적분이 묻는 질문은 이것입니다. "조금씩 변하는 것을 잘게 잘라서 모두 더하면, 전체는 얼마인가?" 속도를 모으면 거리가 되고, 들어오는 물의 빠르기를 모으면 물탱크의 물이 되고, 얇은 단면을 모으면 부피가 됩니다.

이 강의는 롤러코스터 설계실의 미분의 속편입니다. 고등학교 적분 단원 하나만 10교시에 걸쳐 깊게 폅니다. 직사각형을 쌓는 어림에서 시작해 정적분을 정의하고, 미적분의 기본정리로 미분과 적분이 한 쌍이라는 것을 본 뒤, 넓이·거리·부피를 계산합니다.

이야기는 미분 강의에서 이어집니다. 고등학생 도윤은 겨울방학 3–4주차에도 이모를 따라 솔바람랜드 놀이기구 설계실에 나옵니다. 롤러코스터 혜성의 정식 개장을 앞두고, 이번에는 "총 얼마야?"를 묻는 과제들이 들어옵니다.

아래는 2교시의 실습대입니다. 곡선 아래를 직사각형 $n$개로 채웁니다. '두 배로'를 누를 때마다 직사각형이 두 배로 가늘어지고, 직사각형 넓이의 합(리만 합)이 곡선 아래 넓이에 다가갑니다. 그 다가가는 값이 정적분입니다.

이런 분께 맞습니다

• 적분 단원에서 "미분 거꾸로"만 외우고 넘어간 고등학생
• 정적분이 왜 넓이인지, 왜 F(b) − F(a)로 계산되는지 설명하지 못하는 분
• 치환적분·부분적분에서 무엇을 u로 놓을지 늘 헷갈리는 분
• 고등학교 때 배운 적분을 다시 제대로 이해하고 싶은 성인, 자녀에게 적분을 설명해야 하는 부모님

미분(도함수, 미분 공식, 연쇄법칙, 곱의 미분법)을 안다고 생각하고 진행합니다. 필요한 미분 사실은 그 자리에서 한 줄로 다시 짚고, 미분 강의의 해당 교시를 연결해 둡니다. 미분이 막막하다면 미분 강의를 먼저 보세요.

교과서로 치면 2015 개정 교육과정의 '수학 II'와 '미적분', 2022 개정 교육과정의 '미적분 I'과 '미적분 II'에 나오는 적분 부분입니다.

한 교시는 이렇게 진행됩니다

1. 오늘의 설계 과제: 설계실에 들어온 과제와 오늘 구할 것으로 시작합니다.
2. 실습대: 막대를 쌓고, 넓이를 훑고, 입체를 잘라 봅니다. 모든 교시에 하나 이상 있습니다.
3. 정의와 식: 본 것에 이름을 붙이고, 식이 나오면 바로 숫자를 넣어 한 번 계산합니다.
4. 직접 풀어 보기: 개념 하나를 배울 때마다 예제를 직접 풉니다. 교시마다 5–8개입니다. 풀이는 접혀 있으니 먼저 종이에 풀어 보고 펼치세요.
5. 교과서에서는: 그 개념을 교과서와 시험이 어떤 말과 기호로 묻는지 이어 줍니다.
6. 마무리: 자주 하는 착각, 연습 문제와 풀이, 도윤의 노트로 마칩니다.

강의 지도

부	교시	설계실의 과제	배우는 것
1부 · 잘라서 더하기	1–3	속도만 남은 시운전 기록, 브레이크 구간 길이, 물탱크	구분구적법, 리만 합, 시그마, 정적분의 정의, 미적분의 기본정리
2부 · 적분 계산	4–5	열차 세 대의 위치 식, 하늘바퀴의 높이 변화	부정적분과 적분 공식, 적분상수, 정적분의 계산과 성질, 음의 넓이
3부 · 적분 쓰기	6–7	언덕 아래 가림막, 정비 카트, 들어오고 나가는 물	곡선 사이의 넓이, 변위와 이동 거리, 변화율의 누적
4부 · 적분 기술과 부피	8–10	속 함수가 든 적분, 곱의 적분, 터널의 부피	치환적분, 부분적분, 입체의 부피, 사다리꼴·심프슨 공식

순서대로 보기를 권합니다. 1–3교시의 "잘라서 더하기" 감각이 뒤의 모든 계산의 뜻을 잡아 줍니다.

준비물

• 종이와 연필. 예제를 직접 풀 때 씁니다.
• 실습대는 모두 브라우저 안에서 돌아갑니다. 마우스·손가락이나 키보드(Tab과 화살표 키)로 조작합니다.
• 계산은 휴대폰 계산기면 충분합니다.

등장인물

이름	누구
도윤	고등학교 2학년. 지난 2주 동안 설계실에서 미분을 익혔다. 적분은 "미분 거꾸로"라는 말만 안다.
은재 이모	놀이기구 설계 엔지니어. 적분에서 늘 하는 말은 "잘게 잘라서 더해 봐."와 "그래프 아래를 봐."다.
오 팀장	설계팀장. 과제와 마감을 들고 온다. "그래서 총 얼마야? 몇 미터, 몇 톤?"