넓이에도 부호가 있다: 정적분의 계산과 성질

3주차 금요일 아침입니다. 도윤은 점검표를 받자마자 계산을 시작합니다. "속도를 적분하면 간 거리였잖아요. 그럼 상승 속도를 적분하면 오른 높이죠." 어제 배운 대로 먼저 원시함수를 찾습니다. 미분해서 $5\pi\sin\frac{\pi t}{6}$이 되는 함수입니다. 도윤이 노트를 뒤적입니다. "이거 미분 6교시에 칸 높이 $h(t) = 32 - 30\cos\frac{\pi t}{6}$을 미분해서 나온 식이에요. 그러니까 $h$가 원시함수예요."

한 바퀴는 12분입니다. 도윤이 $h(12) - h(0)$을 계산합니다. $h(12) = 32 - 30\cos 2\pi = 2$, $h(0) = 32 - 30 = 2$. 답은 0입니다. "정말 0이네요? 칸이 62 m 꼭대기까지 갔다 왔는데요?"

은재 이모가 화이트보드에 물결 하나를 그립니다. 앞의 절반은 가로축 위로 솟고, 뒤의 절반은 가로축 아래로 내려갑니다. "계산은 맞아. 그래프 아래를 봐. 앞 6분은 올라가고, 뒤 6분은 내려와. 적분은 내려온 것을 빼서 세." 도윤이 그래프를 한참 봅니다. "그럼 두 번째 줄, 오르내린 높이의 합은요?" "그건 빼지 말고 더해야지. 둘은 다른 질문이야."

이번 교시에서는 $F(b) - F(a)$로 정적분을 계산하는 법을 다지고, 가로축 아래의 넓이가 왜 음수로 세어지는지 봅니다. 그다음 정적분의 성질과 대칭을 익히고, 마지막에 정적분과 넓이를 구분해 점검표의 두 칸을 채웁니다.

5-1. F(b) − F(a): 정적분을 계산하는 순서 (9분)

3교시의 미적분의 기본정리를 다시 적습니다. $f$의 원시함수 $F$ 하나를 찾으면(즉 $F' = f$이면)

입니다. 직사각형을 수백 개 쌓던 리만 합이 원시함수 두 값의 뺄셈 한 번으로 바뀝니다. 4교시에서 원시함수를 찾는 공식을 모았으니, 이제 계산만 남았습니다.

뺄셈을 쓰기 전에 원시함수를 한 번 적어 두는 기호가 있습니다. 대괄호입니다.

오른쪽 아래의 $a$를 아래끝, 오른쪽 위의 $b$를 위끝이라 합니다. 예를 들어

입니다. 순서는 늘 같습니다.

1. 원시함수 $F$를 구한다. 적분상수 $C$는 쓰지 않아도 된다.
2. 위끝 $b$를 넣는다.
3. 아래끝 $a$를 넣는다. 항이 여러 개면 괄호로 묶는다.
4. 위끝 값에서 아래끝 값을 뺀다.

1단계에서 $C$를 빼도 되는 이유는 이것입니다. $C$를 붙여도 $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$로 사라집니다. 원시함수 가족 중 아무거나 하나를 골라도 답이 같습니다.

3단계의 괄호가 중요합니다. 삼차함수로 한 번 해 봅니다.

$(-1)^4 = 1$, $-(-1)^3 = +1$, $4 \times (-1) = -4$입니다. 아래끝의 값 $-2.75$를 괄호 없이 빼면 부호가 엉킵니다. 아래끝에 음수를 넣을 때 실수가 가장 많이 나옵니다.

2교시 실습대의 언덕 곡선도 이제 계산할 수 있습니다. 그 곡선은 $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{17x^2}{8} + \frac{5x}{2} + 4$였습니다. 원시함수는 $F(x) = \frac{x^4}{12} - \frac{17x^3}{24} + \frac{5x^2}{4} + 4x$이고, $F(0) = 0$이므로

입니다. 2교시에서 직사각형 128개로 다가가던 참값 12가 뺄셈 한 번으로 나옵니다.

5-2. x축 아래는 음의 넓이 (10분)

2교시에서 정적분을 리만 합의 극한으로 정의했습니다. 리만 합의 항 하나는 $f(x_k)\,\Delta x$, 즉 "높이 × 폭"입니다. 그런데 $f(x_k)$가 음수이면 이 항도 음수입니다. 직사각형이 가로축 아래로 뻗어 있으면 그 넓이는 빼서 셉니다. 그래서 정적분은 그냥 넓이가 아니라 부호 있는 넓이(signed area)입니다.

하늘바퀴로 확인합니다. 칸의 상승 속도 $h'(t) = 5\pi\sin\frac{\pi t}{6}$은 처음 6분 동안 양수(칸이 올라감)이고, 6분부터 12분까지는 음수(칸이 내려옴)입니다. 원시함수는 $h(t) = 32 - 30\cos\frac{\pi t}{6}$이고, $h(0) = 2$, $h(6) = 62$, $h(12) = 2$입니다.

단위는 (m/분) × (분) = m입니다. 앞 6분의 넓이 60은 "60 m 올라갔다", 뒤 6분의 $-60$은 "60 m 내려왔다"는 뜻입니다. 둘을 더하면 0입니다. 칸은 출발한 높이로 돌아왔습니다. 점검표 첫 줄의 답, 한 바퀴의 높이 변화는 0 m입니다.

아래 실습대의 위 그래프에서 남색 선이 상승 속도 $h'(t)$입니다. 가로축은 시각 $t$(분), 세로축은 상승 속도(m/분)입니다. 구간 $[a, b]$ 안에서 가로축 위 부분은 남색, 아래 부분은 진홍색으로 칠해집니다. 가로축 위의 검은 손잡이 a, b를 끌어(또는 ← → 키로) 구간을 바꿉니다. 아래 그래프의 청록 선은 누적값 $h(t) - h(a)$, 곧 $a$분부터 그때까지 오른 높이입니다. '훑기'를 누르면 주황 점이 $a$에서 $b$까지 지나가며 칠이 늘어납니다. 오른쪽 조작판에는 $h(b) - h(a)$의 계산, 정적분(부호 있음), 넓이(칠한 부분을 모두 양수로 더한 값)가 나란히 나옵니다.

실습대에서 본 것을 한 줄로 쓰면 이렇습니다.

위의 넓이와 아래 넓이가 같으면 정적분은 0이 됩니다. 둘이 서로 지운다고 해서 상쇄라고 부릅니다. 누적값 그래프로 보면 더 분명합니다. $f > 0$인 동안 누적값은 오르고, $f < 0$인 동안 내려갑니다. 정적분은 누적값의 마지막 높이일 뿐, 그동안 얼마나 오르내렸는지는 말해 주지 않습니다.

기호 읽는 법

5-3. 정적분의 성질: 나누고, 뒤집고, 쪼개기 (10분)

정적분을 계산하다 보면 구간을 나누거나 식을 쪼개야 할 때가 많습니다. 쓸 수 있는 성질은 네 가지입니다. 모두 $F(b) - F(a)$로 바로 확인됩니다.

① 폭이 0이면 0. $\int_a^a f(x)\,dx = F(a) - F(a) = 0$.

② 구간을 뒤집으면 부호가 바뀐다.

$F(a) - F(b) = -(F(b) - F(a))$이기 때문입니다. 리만 합으로 보면 $b$에서 $a$로 거꾸로 가니 폭 $\Delta x$가 음수가 된 것입니다. 실습대에서 a를 b보다 오른쪽으로 끌면 칠한 부분은 그대로인데 정적분의 부호만 바뀌었습니다.

③ 구간을 나눠 더할 수 있다.

$(F(b) - F(a)) + (F(c) - F(b)) = F(c) - F(a)$입니다. 가운데 $F(b)$가 지워집니다. 하늘바퀴의 $\int_0^{12} = \int_0^6 + \int_6^{12} = 60 + (-60) = 0$이 바로 이 성질입니다. $b$가 $a$와 $c$ 사이에 있지 않아도 성립합니다.

④ 상수배와 합은 따로 적분해도 된다(선형성).

예제 5-1 (가)를 이렇게도 풀 수 있습니다. $\int_0^2 x^2 dx = \frac{8}{3}$, $\int_0^2 x\,dx = 2$, $\int_0^2 1\,dx = 2$이므로 $3 \times \frac{8}{3} - 2 \times 2 + 2 = 6$입니다. 같은 답입니다. 단, 곱은 따로 적분할 수 없습니다. $\int_0^1 x \cdot x\,dx = \frac{1}{3}$이지만 $\int_0^1 x\,dx \times \int_0^1 x\,dx = \frac{1}{4}$입니다.

③은 그래프가 가로축을 지나는 곳에서 구간을 나눌 때 특히 쓸모가 있습니다. 아래 실습대는 같은 실습대를 $f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$으로 띄운 것입니다. 구간은 $[0, 4]$이고, $x = 3$에서 그래프가 가로축을 지납니다. 원시함수는 $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x$입니다.

5-4. 대칭으로 줄이기: 우함수와 기함수 (7분)

$[-a, a]$처럼 0을 가운데 둔 구간에서는 그래프의 대칭을 쓰면 계산이 반으로 줄거나 아예 사라집니다.

• 우함수(even function): $f(-x) = f(x)$. 그래프가 $y$축에 대해 좌우 대칭입니다. $x^2$, $x^4$, 상수, $\cos x$가 그렇습니다. 왼쪽 넓이와 오른쪽 넓이가 같으니

• 기함수(odd function): $f(-x) = -f(x)$. 그래프가 원점에 대해 대칭입니다(180° 돌려도 같은 모양). $x$, $x^3$, $\sin x$가 그렇습니다. 오른쪽이 가로축 위에 있으면 왼쪽은 똑같은 크기로 아래에 있으니

다항식은 짝수 차수 항이 우함수, 홀수 차수 항이 기함수입니다. 그래서 $[-a, a]$에서 다항식을 적분할 때는 홀수 차수 항을 지우고, 짝수 차수 항만 $0$부터 $a$까지 적분해 두 배 하면 됩니다.

실습대의 칩 'x³ − 4x'를 골라 보세요. 구간 $[-2, 2]$에서 오른쪽 $[0, 2]$는 가로축 아래(넓이 4), 왼쪽 $[-2, 0]$은 가로축 위(넓이 4)입니다. 정적분은 0, 넓이는 8입니다. 하늘바퀴의 $h'(t)$도 같은 모양입니다. 점 $(6, 0)$을 중심으로 180° 돌리면 겹치기 때문에 $[0, 12]$에서 정적분이 0이었습니다.

5-5. 정적분과 넓이는 다르다: 오르내린 높이 120 m (8분)

이제 점검표의 두 번째 줄입니다. "오르내린 높이의 합"은 내려온 것도 더해야 합니다. 그래프로 말하면 가로축 아래의 넓이도 양수로 셉니다. 그래서 그래프와 가로축 사이의 넓이는 정적분이 아니라 절댓값의 정적분입니다.

절댓값이 들어간 식은 원시함수를 바로 찾기 어렵습니다. 그래서 순서를 정해 둡니다.

1. 구간 안에서 $f(x) = 0$인 점을 찾는다.
2. 그 점들에서 구간을 나눈다. 조각마다 $f$의 부호가 하나로 정해진다.
3. 조각마다 정적분을 구한다.
4. 음수로 나온 것은 부호를 바꿔 모두 더한다.

하늘바퀴에서는 $h'(t) = 0$인 점이 $t = 6$이고, 두 조각의 정적분이 60과 $-60$이었습니다.

점검표 두 번째 줄의 답, 한 바퀴 동안 오르내린 높이의 합은 120 m입니다. 지름 60 m를 올라갔다 내려왔으니 그림과도 맞습니다. 이 120 m는 칸이 원을 따라 실제로 움직인 길이와도 다릅니다. 그 길이는 원 둘레 $2\pi \times 30 \approx 188.50$ m이고, 옆으로 움직인 몫까지 들어 있습니다. 상승 속도는 위아래 성분만 기록하니, 그 적분은 위아래로 움직인 몫만 셉니다.

정리하면 같은 그래프에서 세 가지 질문이 나옵니다.

도윤이 점검표 두 칸을 채웁니다. "한 바퀴 높이 변화: 0 m(출발 높이로 복귀). 오르내린 높이 합: 120 m." 오 팀장이 점검표를 넘겨 보다가 고개를 갸웃합니다. "120? 하늘바퀴 둘레는 188 m라고 들었는데." 도윤이 오늘 만든 표를 내밉니다. "그건 원을 따라 간 길이고요, 이건 위아래로만 움직인 거예요. 센서가 위아래만 재니까요." 은재 이모가 커피잔을 든 채 한마디 보탭니다. "질문이 셋이면 답도 셋이야."

교과서에서는

• 교과서는 $\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$를 정적분의 값이라 부릅니다. 원시함수에 적분상수 $C$를 붙이지 않는 것이 보통입니다.
• 정적분의 성질은 이렇게 나옵니다. $\int_a^b kf(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$, $\int_a^b \{f(x) \pm g(x)\}\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx$, 그리고 "$a$, $b$, $c$의 대소에 관계없이" $\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx$.
• $\int_a^a f(x)\,dx = 0$과 $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$는 교과서에서 정의(약속)로 먼저 나옵니다. 오늘 본 것처럼 $F(b) - F(a)$와도 맞습니다.
• "넓이를 구하시오"와 "정적분의 값을 구하시오"는 다른 문제입니다. 넓이는 $S = \int_a^b \lvert f(x) \rvert\,dx$이고, 그래프가 $x$축 아래에 있는 부분은 $-\int f(x)\,dx$로 셉니다.
• 우함수·기함수라는 이름은 교과서에 따라 쓰지 않기도 합니다. 그때는 "$f(-x) = f(x)$이면", "$f(-x) = -f(x)$이면"으로 조건을 줍니다. 시험에는 $\int_{-a}^{a}$ 꼴의 다항식 적분과 구간마다 식이 다른 함수, 절댓값이 든 함수 $\int_0^3 \lvert x - 1 \rvert\,dx$ 같은 꼴이 자주 나옵니다.

자주 하는 착각 (3분)

• "정적분은 넓이다." 그래프가 구간 전체에서 가로축 위에 있을 때만 그렇습니다. 가로축 아래 부분은 음수로 세어지니, 정적분이 0이어도 넓이는 0이 아닐 수 있습니다(하늘바퀴 0과 120).
• "넓이는 한 번에 적분하고 절댓값을 붙이면 된다." $\lvert \text{위} - \text{아래} \rvert$는 $\text{위} + \text{아래}$가 아닙니다. 가로축을 지나는 점에서 먼저 나눕니다(예제 5-8).
• "곱도 따로 적분해서 곱하면 된다." 선형성은 상수배와 합에만 성립합니다. $\int x \cdot x\,dx \ne \int x\,dx \times \int x\,dx$.
• "아래끝 값은 그냥 빼면 된다." 아래끝 값에 항이 여러 개 있으면 괄호로 묶어 통째로 뺍니다. 음수를 넣을 때 특히 조심합니다.
• "구간을 뒤집으면 넓이도 음수가 된다." 부호가 바뀌는 것은 정적분뿐입니다. 넓이는 늘 0 이상입니다.

연습 문제 (3분)

1. $\displaystyle\int_1^2 (6x^2 - 4x + 1)\,dx$의 값을 구하세요.
2. $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 - 5x + 1)\,dx$의 값을 대칭을 써서 구하세요.
3. $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx = 5$, $\displaystyle\int_2^3 f(x)\,dx = -2$, $\displaystyle\int_0^2 g(x)\,dx = 4$일 때, $\displaystyle\int_0^2 \big(3f(x) - 2g(x)\big)\,dx$의 값을 구하세요.
4. (서술형) $f(x) = x^2 - 4x + 3$에 대해 $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx$의 값과, 곡선 $y = f(x)$와 $x$축, $x = 0$, $x = 3$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 각각 구하고, 두 값이 다른 이유를 쓰세요.
5. 하늘바퀴 칸의 상승 속도 $h'(t) = 5\pi\sin\frac{\pi t}{6}$에 대해, 출발하고 3분부터 9분까지 칸의 높이 변화와 오르내린 높이의 합을 각각 구하세요.

풀이

1. 원시함수는 $2x^3 - 2x^2 + x$입니다. $(16 - 8 + 2) - (2 - 2 + 1) = 10 - 1 = 9$. 답: 9
2. $x^3$과 $-5x$는 기함수라 0입니다. 남은 $3x^2 + 1$은 우함수이므로 $2\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx = 2\Big[x^3 + x\Big]_0^2 = 2 \times 10 = 20$. 답: 20
3. 구간 나누기로 $\int_0^2 f = \int_0^3 f - \int_2^3 f = 5 - (-2) = 7$입니다. 선형성으로 $3 \times 7 - 2 \times 4 = 13$. 답: 13
4. 원시함수 $F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$로 $\int_0^3 f\,dx = F(3) - F(0) = 9 - 18 + 9 = 0$입니다. 넓이는 $f(x) = (x - 1)(x - 3) = 0$인 $x = 1$에서 나눕니다. $\int_0^1 f\,dx = F(1) = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3}$ ($x$축 위), $\int_1^3 f\,dx = 0 - \frac{4}{3} = -\frac{4}{3}$ ($x$축 아래)이므로 넓이는 $\frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$입니다. 두 값이 다른 이유: 정적분은 $x$축 아래 부분을 음수로 세어 위 넓이 $\frac{4}{3}$와 아래 넓이 $\frac{4}{3}$가 상쇄되지만, 넓이는 두 부분을 모두 양수로 더하기 때문입니다.
5. 높이 변화는 $\int_3^9 h'(t)\,dt = h(9) - h(3) = 32 - 32 = 0$ m입니다. 오르내린 높이는 $h'(t) = 0$인 $t = 6$에서 나눕니다. $\int_3^6 h'\,dt = 62 - 32 = 30$, $\int_6^9 h'\,dt = 32 - 62 = -30$이므로 $30 + 30 = 60$ m. 답: 높이 변화 0 m, 오르내린 높이 60 m

퇴근 무렵, 오 팀장이 커다란 도면을 펼칩니다. 혜성 두 번째 구간, 지난주에 꼭대기와 골짜기를 찾았던 바로 그 언덕입니다. "광고팀이 이 구간 옆면에 가림막을 붙이고 싶대. 레일부터 땅까지 다 덮는 거야. 그리고 안전팀은 레일 옆에 양 끝을 곧게 잇는 점검용 보조 레일을 놓고, 레일과 보조 레일 사이에 안전망을 친대. 둘 다 몇 m²야?" 도윤이 고개를 끄덕입니다. "땅까지는 그래프 아래 넓이니까 오늘 한 거네요." 그러다 멈칫합니다. "그런데 레일과 보조 레일 사이는요? 둘 다 땅 위에 떠 있잖아요." 은재 이모가 웃습니다. "월요일에 하자. 위에 있는 것에서 아래에 있는 걸 빼면 돼. 어느 쪽이 위인지만 잘 보면." 6교시에서는 곡선과 가로축 사이, 그리고 두 곡선 사이의 넓이를 구합니다.