속도만 남은 기록: 넓이로 거리를 되찾다

겨울방학 3주차 월요일 아침입니다. 지난주 금요일에 혜성 시운전에 직접 타 본 도윤은 오늘도 이모를 따라 솔바람랜드 설계실에 나왔습니다. 책상 위에는 벌써 서류철 하나가 놓여 있습니다. 표지에 빨간 글씨로 "2회차 시운전 · 위치 센서 오류"라고 적혀 있습니다.

오 팀장이 서류철을 펼칩니다. "토요일에 모래주머니를 더 싣고 한 번 더 돌렸어. 그런데 위치 센서가 0만 찍었어. 속도계는 멀쩡해. 첫 낙하 동안 몇 m 떨어졌는지만 알면 돼. 1회차랑 다르면 레일을 다시 봐야 하고, 같으면 센서만 갈면 되고."

도윤이 속도 기록을 봅니다. 0.5초마다 숫자가 하나씩 찍혀 있습니다. "속도에 시간을 곱하면 거리잖아요. 마지막 속도 29.4에 3초를 곱하면 88.2 m요." 은재 이모가 고개를 젓습니다. "열차가 3초 내내 29.4로 달렸어? 처음엔 서 있었잖아." "그럼 처음 속도 0을 곱하면… 0 m네요." 도윤이 웃습니다. 둘 다 말이 안 됩니다.

이모가 화이트보드에 가로축을 시간, 세로축을 속도로 하는 그래프를 그립니다. "속도가 변하면 한 번에 곱할 수가 없어. 잘게 잘라서 더해 봐. 그리고 그래프 아래를 봐." 이번 교시에서는 속도 기록을 잘게 잘라 직사각형을 쌓고, 그 직사각형 넓이의 합이 거리라는 것을 봅니다. 마지막에 오 팀장에게 답할 숫자를 구합니다.

1-1. 속도가 일정하면: 직사각형 하나 (7분)

가장 쉬운 경우부터 봅니다. 속도가 일정하면 거리는 곱셈 한 번입니다.

정비 카트가 4 m/s로 10초 동안 달리면 $4 \times 10 = 40$ m를 갑니다. 이것을 그래프로 그려 봅시다. 가로축을 시간 $t$(초), 세로축을 속도 $v$(m/s)로 잡으면, 속도가 일정한 그래프는 높이 4인 수평선입니다. 그 선과 가로축 사이, $t = 0$부터 $t = 10$까지는 가로 10, 세로 4인 직사각형이 됩니다. 그 넓이가 바로

입니다. 직사각형의 넓이(가로 × 세로)와 거리(시간 × 속도)는 같은 곱셈입니다. 단위도 맞습니다. 가로의 단위는 초(s), 세로의 단위는 m/s이므로 넓이의 단위는

입니다. 속도–시간 그래프에서 직사각형의 넓이는 그동안 간 거리입니다. 이 한 문장이 오늘 교시 전체, 나아가 적분 전체의 출발점입니다.

속도가 몇 번 바뀌어도, 바뀌는 사이사이에 일정하기만 하면 직사각형 여러 개로 나뉩니다. 거리는 직사각형 넓이를 모두 더한 것입니다.

1-2. 속도가 변하면: 잘게 잘라 쌓기 (10분)

이제 2회차 시운전 기록입니다. 첫 낙하 3초 동안 0.5초마다 찍힌 속도는 이렇습니다.

0.5초마다 4.9 m/s씩 늘어납니다. 미분 강의에서 본 대로 첫 낙하의 속도는 $v(t) = 9.8t$입니다(미분 10교시). 속도가 계속 변하니 직사각형 하나로는 안 됩니다.

은재 이모의 방법은 이렇습니다. 3초를 0.5초짜리 칸 6개로 자릅니다. 칸 하나 안에서는 속도가 크게 변하지 않으니, 한 칸 동안은 속도가 일정하다고 치고 그 칸의 거리를 직사각형 넓이로 어림합니다. 그리고 여섯 칸을 더합니다.

문제는 "칸 안의 어느 속도를 쓰느냐"입니다. 가장 자연스러운 선택은 칸이 시작할 때의 속도입니다. 예를 들어 1–1.5초 칸에서는 1초 때의 속도 9.8 m/s를 씁니다. 이것을 왼쪽 끝 어림이라고 부릅니다. 그래프에서 칸의 왼쪽 끝 높이로 직사각형을 세우기 때문입니다.

여섯 칸을 더하면

즉 36.75 m입니다. 칸이 끝날 때의 속도를 쓰면 오른쪽 끝 어림이 됩니다. 이번에는 4.9부터 29.4까지 여섯 개를 씁니다.

같은 기록인데 어림이 36.75 m와 51.45 m로 14.7 m나 벌어졌습니다. 어느 쪽이 맞는지, 아니면 둘 다 틀렸는지는 다음 절에서 봅니다.

아래 실습대의 위 그래프는 첫 낙하의 속도 $v(t) = 9.8t$(남색 직선)입니다. 가로축은 시간(초), 세로축은 속도(m/s)입니다. 회색 점선 상자는 앞으로 쌓을 칸입니다. '쌓아 보기'를 누르면 칸마다 주황 막대가 왼쪽에서 오른쪽으로 자라나고, 다 자란 막대는 남색으로 바뀝니다. 막대 위의 주황 점은 그 막대의 높이로 쓴 속도입니다. 아래 띠에서는 주황 열차가 "그 칸의 속도로 달렸다"고 본 위치(어림)이고, 회색 점선 열차가 실제 위치 $4.9t^2$입니다. 오른쪽 조작판의 '간격 Δt' 슬라이더로 칸의 폭을 1초부터 0.01초까지 바꾸고, '막대 높이로 쓰는 속도' 칩으로 왼쪽 끝·오른쪽 끝·가운데를 고릅니다. '한 칸씩'은 막대를 하나씩 쌓습니다. 다 쌓은 결과는 오른쪽 표에 남습니다.

1-3. 참값은 그 사이에: 왼쪽 끝과 오른쪽 끝 (9분)

어림이 두 개 나왔습니다. 실제 거리는 어디에 있을까요? 한 칸만 떼어 놓고 봅시다. 2–2.5초 칸에서 열차의 속도는 19.6 m/s에서 24.5 m/s로 계속 늘어납니다. 그러니 이 칸 안의 어느 순간에도 속도는 19.6 이상, 24.5 이하입니다.

• 칸 내내 19.6 m/s로 달렸다면 $19.6 \times 0.5 = 9.8$ m를 갔을 것입니다. 실제로는 그보다 빨랐으니 9.8 m보다 많이 갔습니다.
• 칸 내내 24.5 m/s로 달렸다면 $24.5 \times 0.5 = 12.25$ m를 갔을 것입니다. 실제로는 그보다 느렸으니 12.25 m보다 적게 갔습니다.

모든 칸에서 같은 일이 일어나니, 여섯 칸을 더해도 마찬가지입니다.

그래프로 보면 더 분명합니다. 왼쪽 끝 막대는 모두 직선 아래에 있습니다. 칸마다 직선과 막대 사이에 빈 삼각형이 하나씩 남습니다. 오른쪽 끝 막대는 모두 직선 위로 삐져나옵니다. 실습대 아래 띠에서도, 왼쪽 끝 어림 열차는 실제 열차보다 늘 뒤처지고, 오른쪽 끝 어림 열차는 늘 앞서 갑니다.

속도가 늘어나는 동안에는 왼쪽 끝 어림이 실제보다 작고, 오른쪽 끝 어림이 실제보다 큽니다. 속도가 줄어드는 동안에는 거꾸로입니다(연습 문제 5). 어느 경우든 참값은 두 어림 사이에 갇힙니다.

두 어림의 차이는 얼마일까요? 두 표를 나란히 놓으면 오른쪽 끝 막대들은 왼쪽 끝 막대들을 한 칸씩 왼쪽으로 민 것과 같습니다. 4.9부터 24.5까지는 두 합에 똑같이 들어 있고, 다른 것은 왼쪽 끝에만 있는 처음 속도 0과 오른쪽 끝에만 있는 마지막 속도 29.4뿐입니다. 그래서

입니다. 일반적으로 늘기만 하는(또는 줄기만 하는) 속도라면

입니다. 여기서 $\Delta t$(델타 티)는 칸 하나의 폭, 곧 시간 간격입니다. 이 식에서 중요한 것은 차이가 $\Delta t$에 비례한다는 점입니다. 간격을 반으로 줄이면 갇힌 범위도 반으로 줄어듭니다.

1-4. 간격을 줄이면: 44.1 m로 모인다 (8분)

참값을 더 좁게 가두려면 간격을 줄입니다. 실습대의 간격 슬라이더를 움직여 얻은 값을 모으면 이렇습니다.

차이 열은 언제나 $\Delta t \times 29.4$입니다. 간격을 10분의 1로 줄이면 갇힌 범위도 10분의 1로 줄어듭니다. 0.01초 간격이면 참값은 43.953 m와 44.247 m 사이, 0.001초 간격이면 44.0853 m와 44.1147 m 사이입니다. 두 어림이 양쪽에서 조여 들어가는 수는 44.1입니다.

오 팀장에게 줄 답이 나왔습니다. 2회차 첫 낙하에서 열차는 44.1 m 떨어졌습니다. 1회차 기록 $s(3) = 4.9 \times 3^2 = 44.1$ m와 같습니다. 레일은 멀쩡하고, 고장 난 것은 센서입니다.

가운데 어림

칩의 세 번째, 가운데 어림은 칸의 한가운데 시각의 속도를 씁니다. 0–0.5초 칸이면 0.25초 때의 속도 $9.8 \times 0.25 = 2.45$ m/s를 쓰는 식입니다. 0.5초 간격으로 계산하면 칸마다의 어림 거리는 1.225, 3.675, 6.125, 8.575, 11.025, 13.475 (m)이고, 합은 정확히

입니다. 간격이 1초여도, 0.01초여도 가운데 어림은 언제나 44.1 m입니다. 이유는 그래프에 있습니다. 속도 그래프가 직선이라서, 칸마다 막대 윗변이 직선과 칸의 한가운데에서 엇갈립니다. 왼쪽 반에서 막대가 직선 위로 넘친 삼각형과, 오른쪽 반에서 모자란 삼각형이 꼭 같은 크기라 서로 메워집니다. 그래프가 휘어 있으면 가운데 어림도 조금 어긋납니다. 그 이야기는 2교시에 실습대로 봅니다.

1-5. 속도 그래프 아래 넓이 = 이동 거리 (7분)

간격을 한없이 줄이면 막대들의 윗변이 직선에 딱 붙고, 막대를 모두 합친 모양은 속도 그래프 아래 도형 그 자체가 됩니다. 첫 낙하에서 그 도형은 밑변 3, 높이 29.4인 직각삼각형입니다. 넓이를 구하면

입니다. 막대를 3000개 쌓아 조여 들어간 값과 같습니다. 정리하면 이렇습니다.

시각 $t$까지로 넓혀도 됩니다. 밑변 $t$, 높이 $9.8t$인 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2} \times t \times 9.8t = 4.9t^2$입니다. 미분 강의 첫날부터 써 온 낙하 거리 $s(t) = 4.9t^2$이 바로 속도 그래프 아래 넓이였습니다. 미분 강의에서는 거리 $s(t)$를 미분해서 속도 $v(t) = 9.8t$를 얻었습니다. 오늘은 속도에서 출발해 넓이를 재서 거리를 되찾았습니다. 이렇게 변화율을 잘게 잘라 모아 원래의 양을 되찾는 계산을 적분(integral) 이라고 합니다. 3교시에서 이 두 방향이 정확히 서로 거꾸로라는 것을 보게 됩니다.

넓이가 "모은 양"이 되는 것은 속도와 거리에만 해당하지 않습니다. 가로 × 세로의 단위가 무엇인지만 보면 됩니다.

그래프 아래가 삼각형이나 사다리꼴이면 넓이 공식으로 바로 구합니다. 곡선이면 아직은 직사각형을 쌓아 어림하는 수밖에 없습니다. 곡선 아래 넓이를 정확히 구하는 방법이 이 강의의 앞부분(2–5교시)입니다.

기호 읽는 법

도윤이 보고서 한 장을 내밉니다. "2회차 첫 낙하 44.1 m요. 1회차와 같아요. 0.001초 간격으로 쪼개면 44.0853 m와 44.1147 m 사이에 갇히고, 속도 그래프 아래 삼각형 넓이로 재면 딱 44.1이에요." 오 팀장이 바로 무전기를 듭니다. "레일 점검 취소. 센서 업체 불러." 은재 이모가 커피를 한 모금 마시며 말합니다. "직선이라 운이 좋았어. 다음엔 삼각형으로 안 끝나는 그래프가 올 거야."

교과서에서는

• 고등학교 '수학 II'의 "속도와 거리" 단원은 "수직선 위를 움직이는 점의 속도가 $v(t)$일 때, 시각 $a$에서 $b$까지 움직인 거리"를 다룹니다. 오늘 본 "속도 그래프 아래 넓이 = 거리"가 그 출발점입니다. 정확한 식은 7교시에 씁니다.
• 곡선 아래 넓이를 잘게 자른 직사각형의 합으로 어림하고, 그 극한으로 넓이를 정하는 방법을 교과서는 구분구적법이라 부릅니다('미적분'). 2교시에서 이름과 기호를 붙입니다.
• 시험에는 "속도–시간 그래프가 주어졌을 때 몇 초 동안 간 거리"를 묻는 문제가 자주 나옵니다. 그래프가 직선 조각으로만 되어 있으면 삼각형·사다리꼴·직사각형 넓이로 풉니다.
• 역사 한 줄: 기원전 3세기 그리스의 아르키메데스는 포물선과 직선으로 둘러싸인 넓이를 점점 작아지는 삼각형들로 채워 나가 정확한 값을 얻었습니다. 잘게 나눠 채우고 그 끝을 보는 생각은 이렇게 2000년이 넘었습니다.

자주 하는 착각 (4분)

• "마지막 속도 × 전체 시간이 거리다." 속도가 일정할 때만 맞습니다. 첫 낙하에서 $29.4 \times 3 = 88.2$ m는 실제의 두 배입니다. 처음부터 끝까지 바닥 속도로 달린 열차는 없었습니다.
• "점이 7개면 칸도 7개다." 0초부터 3초까지 0.5초마다 찍은 점은 7개, 칸은 6개입니다. 왼쪽 끝 어림은 마지막 속도를, 오른쪽 끝 어림은 처음 속도를 쓰지 않습니다.
• "왼쪽 끝 어림은 늘 작고 오른쪽 끝 어림은 늘 크다." 속도가 늘어날 때만입니다. 속도가 줄어드는 브레이크 구간에서는 왼쪽 끝 어림이 더 큽니다.
• "어림은 어림일 뿐 정확한 답은 못 얻는다." 두 어림 사이에 참값을 가두고 간격을 줄이면, 참값이 하나로 정해집니다. 2교시에 이것을 정적분의 정의로 씁니다.
• "넓이의 단위는 m²이다." 속도–시간 그래프에서 넓이의 단위는 (m/s) × (s) = m입니다. 넓이는 축의 단위를 곱한 것입니다.

연습 문제 (5분)

1. 열차가 시속 54 km로 일정하게 40초 동안 달렸습니다. 속도–시간 그래프 아래 넓이와 간 거리를 구하세요.
2. 어떤 열차가 6초 동안 계속 빨라졌고, 2초마다 잰 속도가 0초 10 m/s, 2초 14 m/s, 4초 16 m/s, 6초 17 m/s였습니다. 2초 간격의 왼쪽 끝 어림과 오른쪽 끝 어림을 구하세요.
3. 첫 낙하 $v(t) = 9.8t$를 0.25초 간격(12칸)으로 어림하면 왼쪽 끝 어림은 40.425 m입니다. 오른쪽 끝 어림은 몇 m일까요? 12칸을 다 더하지 말고 구해 보세요.
4. 속도가 $v(t) = 2t + 1$ (m/s)인 카트가 $t = 0$부터 $t = 4$까지 간 거리를 그래프 아래 넓이로 구하세요.
5. (서술형) 자기 브레이크 구간에서 1초마다 잰 속도가 0초 25 m/s, 1초 18.52 m/s, 2초 13.72 m/s였습니다. 1초 간격의 왼쪽 끝 어림과 오른쪽 끝 어림을 구하고, 이번에는 어느 쪽이 실제보다 큰지 그 이유를 설명하세요.

풀이

1. 시속 54 km는 $54 \div 3.6 = 15$ m/s입니다. 그래프 아래는 가로 40, 세로 15인 직사각형이고 넓이는 $15 \times 40 = 600$입니다. 간 거리 600 m.
2. 칸은 0–2, 2–4, 4–6초의 3개이고 폭은 2초입니다. 왼쪽 끝 어림은 $2 \times (10 + 14 + 16) = 80$, 오른쪽 끝 어림은 $2 \times (14 + 16 + 17) = 94$입니다. 80 m와 94 m. 계속 빨라졌으니 실제 거리는 그 사이에 있습니다.
3. 두 어림의 차이는 $\Delta t \times (29.4 - 0) = 0.25 \times 29.4 = 7.35$입니다. 그러므로 오른쪽 끝 어림은 $40.425 + 7.35 =$ 47.775 m입니다.
4. 그래프는 $(0, 1)$에서 $(4, 9)$까지의 직선이고, 그 아래는 평행한 두 변이 1과 9, 높이가 4인 사다리꼴입니다. 넓이는 $\dfrac{1 + 9}{2} \times 4 = 20$입니다. 20 m. (가로 4, 세로 1인 직사각형 4와 밑변 4, 높이 8인 삼각형 16을 더해도 같습니다.)
5. 왼쪽 끝 어림은 $1 \times (25 + 18.52) = 43.52$ m, 오른쪽 끝 어림은 $1 \times (18.52 + 13.72) = 32.24$ m입니다. 브레이크 구간에서는 속도가 줄어들기만 합니다. 그래서 한 칸 안에서 가장 빠른 속도는 칸이 시작할 때의 속도이고, 칸 내내 그 속도로 달렸다고 치면 실제보다 많이 간 셈이 됩니다. 따라서 왼쪽 끝 어림 43.52 m가 실제보다 크고, 오른쪽 끝 어림 32.24 m가 실제보다 작습니다. 실제 거리는 32.24 m와 43.52 m 사이입니다.

퇴근 무렵, 오 팀장이 다른 서류를 들고 다시 옵니다. "센서 건은 끝났고. 이번엔 마지막 직선의 자기 브레이크야. 25 m/s로 들어와서 v(t) = 25e^(−0.3t)로 줄잖아. 5 m/s까지 떨어지는 동안 몇 m 가? 브레이크 구간이 70 m인데 그걸로 충분해?" 도윤이 그래프를 떠올립니다. 이번에는 직선이 아니라 휘어진 곡선입니다. 삼각형 공식은 못 씁니다. "막대를 쌓으면 되는데… 수백 개를 손으로 더해요?" 은재 이모가 화이트보드에 커다란 그리스 문자 하나를 씁니다. "길게 더하는 걸 짧게 쓰는 기호부터 배우자." 2교시에서는 시그마(Σ) 기호로 리만 합을 쓰고, 막대를 한없이 가늘게 할 때 다가가는 값에 정적분이라는 이름을 붙입니다.