잘라서 쌓으면 부피: 입체의 부피, 수치적분, 그리고 정리

4주차 금요일, 설계실 창밖에 "혜성 정식 개장" 현수막이 걸렸습니다. 정문이 열리려면 아직 몇 시간 남았는데 벌써 줄이 생기기 시작했습니다. 다음 주면 개학이라, 도윤에게는 설계실의 마지막 날입니다.

도윤이 터널 도면을 펼칩니다. 입구는 넓고 출구로 갈수록 좁아지는 둥근 관입니다. "넓이는 그래프 아래를 보면 됐는데, 부피는 어디를 봐요? 그래프가 없잖아요." 은재 이모가 탕비실에서 식빵 한 봉지를 들고 옵니다. "이 빵 부피를 재 봐." 도윤이 봉지를 봅니다. "…한 장씩 넓이 × 두께를 해서 더하면 되겠네요." "잘게 잘라서 더해 봐. 넓이 때랑 똑같아. 막대 대신 판일 뿐이야."

오 팀장이 기록지 한 장을 더 내려놓습니다. 숫자 일곱 개가 적혀 있습니다. "식은 없어. 이 숫자로만." 도윤이 1교시를 떠올립니다. 그때도 속도 기록만 남았고, 막대를 쌓았습니다. "막대 말고 더 좋은 방법이 있어요?" "있지. 점과 점 사이를 직선 대신 곡선으로 이어."

이번 교시에서는 얇은 판을 쌓아 부피를 구하고, 기록 숫자만으로 넓이를 더 정확히 어림하는 두 가지 공식을 배웁니다. 마지막에는 4주 동안 배운 미분과 적분을 한 장에 모읍니다.

10-1. 얇게 잘라 쌓기: 단면적의 적분 (10분)

기둥의 부피는 밑넓이 × 높이입니다. 밑면이 무엇이든 단면이 처음부터 끝까지 같으면 그렇습니다. 단면이 위치마다 다르면 어떻게 할까요? 1–2교시에서 넓이를 구할 때처럼 잘게 자릅니다.

입체를 축($x$축)에 수직으로 얇게 썰었다고 합시다. 위치 $x$에서 자른 단면의 넓이를 $A(x)$라 하면, 두께 $\Delta x$인 판 하나는 거의 기둥이라서 부피가 $A(x)\,\Delta x$쯤 됩니다. 판을 모두 더하고 두께를 0으로 보내면 부피가 됩니다.

2교시의 정적분과 똑같은 모양입니다. 그때는 "높이 $f(x)$ × 폭 $dx$"인 막대를 더해 넓이를 얻었고, 이번에는 "단면적 $A(x)$ × 두께 $dx$"인 판을 더해 부피를 얻습니다.

아래 실습대는 입체를 옆에서 본 그림입니다. 가로축은 축을 따라 잰 거리 $x$(m)이고, 남색 판 하나가 두께 $\Delta x$인 납작한 기둥입니다. 판 오른쪽의 타원은 그 판의 단면(원)을 비스듬히 본 것입니다. 회색 점선은 참 입체의 윤곽이고, 주황 판은 마지막으로 쌓은 판입니다. 처음 화면은 높이 6 m, 밑면 반지름 3 m인 원뿔을 판 6개로 자른 모습입니다. '판의 단면'이 '큰 쪽 끝'이면 판마다 두 끝의 단면 가운데 큰 것을 씁니다. 그래서 판이 입체를 바깥에서 감쌉니다. '쌓아 보기'를 누르면 판이 왼쪽부터 하나씩 쌓이고, 오른쪽 표에 부피 합이 늘어납니다. 표 아래 작은 그림은 지금 판의 단면을 앞에서 본 모양과 그 넓이입니다.

원뿔을 '큰 쪽 끝'으로 자른 결과를 표로 모으면 이렇습니다. 판 $k$의 오른쪽 끝은 $x_k = \dfrac{6k}{n}$이고, 그 단면의 반지름은 $\dfrac{x_k}{2} = \dfrac{3k}{n}$입니다.

판 $n$개의 합을 식으로 쓰면 2교시의 $\sum k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$이 그대로 나옵니다.

$n$이 커지면 $\dfrac{(n+1)(2n+1)}{n^2}$은 2에 다가가므로 합은 $18\pi \approx 56.55$에 다가갑니다. 판 하나($n = 1$)일 때의 $54\pi$는 밑면이 같은 원기둥이고, 원뿔은 그 $\dfrac{1}{3}$입니다.

카발리에리의 원리. 실습대의 '옆으로 밀기'는 동전 더미를 손으로 비스듬히 민 것과 같습니다. 판 하나하나의 단면적과 두께는 그대로이니 부피도 그대로입니다. 17세기 이탈리아의 수학자 카발리에리(Bonaventura Cavalieri, 1598–1647)는 1635년에 낸 책에서 이렇게 정리했습니다.

$V = \int A(x)\,dx$가 바로 이 원리입니다. 부피는 단면적 $A(x)$만으로 정해지고, 단면이 어디에 놓였는지나 어떤 모양인지는 상관이 없습니다.

10-2. 뿔의 부피가 1/3인 이유 (7분)

중학교에서 "뿔의 부피 = $\dfrac{1}{3}$ × 밑넓이 × 높이"를 외웠습니다. 그 $\dfrac{1}{3}$이 어디서 오는지 이제 보일 수 있습니다.

꼭짓점에서 밑면 쪽으로 $x$만큼 내려온 곳에서 자른 단면을 생각합니다. 높이가 $h$, 밑면 반지름이 $R$인 원뿔이면, 닮음 때문에 그곳의 반지름은 $\dfrac{R}{h}x$입니다. 단면적은

이고, 부피는

입니다. $\dfrac{1}{3}$은 $\int x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3}$의 $\dfrac{1}{3}$입니다. 단면적이 꼭짓점에서 잰 거리의 제곱에 비례하기 때문입니다. 2교시에서 $y = x^2$ 아래 넓이가 $\dfrac{1}{3}$이었던 것과 같은 이유입니다.

밑면이 원이 아니어도 같습니다. 밑넓이가 $B$인 어떤 뿔이든 높이 $x$의 단면은 밑면을 $\dfrac{x}{h}$배로 줄인 닮은 도형이라서 넓이가 $B\left(\dfrac{x}{h}\right)^2$입니다. 적분하면 $\dfrac{1}{3}Bh$입니다. 실습대의 두 입체로 확인하면 이렇습니다.

10-3. 물방울 터널의 콘크리트 (7분)

이제 오 팀장의 첫 과제입니다. 터널 입구를 $x = 0$, 출구를 $x = 10$으로 잡습니다. 바깥 반지름은 입구 3 m에서 출구 1.8 m로 고르게 줄어드니 1 m마다 0.12 m씩 줄어듭니다. 가운데 미끄럼 관의 반지름은 1.2 m로 일정합니다.

단면은 큰 원에서 작은 원을 뺀 고리 모양입니다. 그 넓이는

입니다. 입구에서는 $A(0) = 7.56\pi \approx 23.75$ m², 가운데에서는 $A(5) = 4.32\pi \approx 13.57$ m², 출구에서는 $A(10) = 1.8\pi \approx 5.65$ m²입니다.

아래는 같은 실습대를 터널로 띄운 것입니다. 관을 세로로 반 갈라 본 그림이라 판 가운데가 비어 있고, 회색 짧은 점선이 미끄럼 관의 벽입니다. 판 오른쪽의 고리가 단면입니다.

도윤이 답을 적어 오 팀장에게 건넵니다. "139.49 m³요. 23대면 1.5 m³쯤 모자라서 24대예요." 오 팀장이 휴대폰을 꺼냅니다. "24대. 바로 예약할게. 두 번째 건?" 도윤이 기록지를 집어 듭니다.

10-4. 기록만 있을 때: 사다리꼴 공식과 심프슨 공식 (10분)

아침 점검 운행의 브레이크 구간 기록입니다. 브레이크 구간에 들어온 뒤 1초마다 찍힌 속도입니다.

6초 동안 간 거리는 속도 그래프 아래의 넓이입니다. 그런데 식이 없으니 원시함수를 쓸 수 없습니다. 점 일곱 개만으로 넓이를 어림해야 합니다. 이렇게 숫자만으로 정적분을 어림하는 것을 수치적분이라 합니다.

1교시의 방법(왼쪽 끝 직사각형). $1 \times (25 + 18.52 + 13.72 + 10.16 + 7.53 + 5.58) = 80.51$ m입니다. 오른쪽 끝으로 하면 59.64 m입니다. 속도가 줄어드는 그래프라 왼쪽 끝은 크게, 오른쪽 끝은 작게 나옵니다. 차이가 20 m 넘게 벌어져 쓸 수 없습니다.

사다리꼴 공식. 이웃한 두 점을 직선으로 이으면 칸마다 사다리꼴이 생깁니다. 사다리꼴 하나의 넓이는 $h \times \dfrac{y_k + y_{k+1}}{2}$입니다. 모두 더하면 가운데 점은 두 번씩, 양 끝 점은 한 번씩 들어갑니다.

넣어 보면 가운데 다섯 개의 합이 $18.52 + 13.72 + 10.16 + 7.53 + 5.58 = 55.51$, 양 끝의 절반이 $\dfrac{25 + 4.13}{2} = 14.565$이므로 $T_6 = 1 \times 70.075 \approx 70.08$ m입니다. 왼쪽 끝과 오른쪽 끝 어림의 평균 $\dfrac{80.51 + 59.64}{2}$과도 같습니다.

심프슨 공식. 점 세 개를 지나는 포물선은 하나로 정해집니다. 직선 대신 그 포물선으로 두 칸씩 덮습니다. 가운데 점을 $x = 0$에 두고 포물선을 $y = px^2 + qx + r$이라 하면, $[-h, h]$에서의 넓이는 $\dfrac{2ph^3}{3} + 2rh$입니다. 한편 $y_0 + 4y_1 + y_2 = (ph^2 - qh + r) + 4r + (ph^2 + qh + r) = 2ph^2 + 6r$이므로, 두 칸의 넓이는 정확히 $\dfrac{h}{3}(y_0 + 4y_1 + y_2)$입니다. 두 칸씩 모두 더하면 가중치가 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1이 됩니다. 그래서 칸 수 $n$은 짝수여야 합니다.

넣어 보면 $4 \times (18.52 + 10.16 + 5.58) = 137.04$, $2 \times (13.72 + 7.53) = 42.5$이므로 $S_6 = \dfrac{1}{3}(25 + 137.04 + 42.5 + 4.13) = \dfrac{208.67}{3} \approx 69.56$ m입니다.

아래 실습대의 남색 곡선은 기록을 만든 참 함수(7교시의 $v(t) = 25e^{-0.3t}$)이고, 주황 점이 기록 점입니다. 청록 조각이 고른 방법의 어림입니다. '어림 방법' 칩으로 왼쪽 끝·사다리꼴·심프슨을 바꾸고, '칸 수 n' 슬라이더로 기록 간격을 바꿉니다. 오른쪽 표에는 어림값, 참값, 오차가 나옵니다. '반씩 좁히기'를 누르면 간격을 반으로 줄여 가며($n$ = 6, 12, 24, 48) 아래 오차 표가 한 줄씩 쌓입니다.

사다리꼴이 브레이크 기록에서 크게 나온 이유는 그래프 모양에 있습니다. 브레이크 속도 그래프는 아래로 볼록합니다(미분 8교시). 아래로 볼록한 곡선에서 두 점을 잇는 직선은 곡선보다 위로 지나갑니다. 그래서 사다리꼴은 참 넓이를 조금씩 덮어서 크게 나옵니다. 하늘바퀴의 상승 속도나 물탱크 그래프처럼 위로 볼록하면 반대로 작게 나옵니다. 심프슨은 곡선의 휘어짐까지 포물선으로 따라가므로 훨씬 가깝습니다.

10-5. 오차가 줄어드는 빠르기 (4분)

기록 간격 $h$를 반으로 줄이면 오차는 얼마나 줄어들까요? 실습대의 '반씩 좁히기'로 본 브레이크 기록의 오차입니다.

간격을 반으로 줄일 때마다 사다리꼴 오차는 약 $\dfrac{1}{4}$, 심프슨 오차는 약 $\dfrac{1}{16}$로 줄어듭니다. 사다리꼴 오차는 대략 $h^2$에, 심프슨 오차는 대략 $h^4$에 비례하기 때문입니다. 1교시의 직사각형 어림은 $h$에 비례해서, 반으로 줄이면 오차도 반으로 줄 뿐이었습니다(36.75 m와 51.45 m가 44.1 m로 천천히 모이던 표).

그래서 실무에서 기록 간격을 정할 때 이렇게 생각합니다. 사다리꼴로 오차를 10분의 1로 줄이려면 간격을 약 $\sqrt{10} \approx 3.2$배 촘촘하게 해야 합니다. 심프슨이면 약 $10^{1/4} \approx 1.8$배면 됩니다. 같은 기록 숫자로도 공식만 바꾸면 훨씬 정확해집니다.

10-6. 미분과 적분 한 장 지도 (5분)

4주 동안 배운 것을 한 장에 모읍니다. 왼쪽은 「롤러코스터 설계실의 미분」, 오른쪽은 이 강의입니다. 괄호 안은 그 강의의 교시 번호입니다. 미분은 "아주 조금 움직이면, 얼마나 변하나?"를 묻고, 적분은 "잘게 잘라서 모두 더하면, 얼마인가?"를 묻습니다.

두 열을 잇는 다리가 3교시의 미적분의 기본정리입니다.

쌓인 넓이를 미분하면 원래 함수가 돌아오고, 변화율을 모으면 전체 변화량이 됩니다. 미분과 적분은 같은 그림을 양쪽에서 본 것입니다. 혜성으로 말하면 이렇습니다. 위치 $4.9t^2$을 미분하면 속도 $9.8t$이고, 속도 $9.8t$를 0초부터 3초까지 적분하면 떨어진 거리 44.1 m입니다.

기호 읽는 법

교과서에서는

• 2015 개정 '미적분'의 "정적분의 활용"에서 입체도형의 부피를 $V = \int_a^b S(x)\,dx$로 씁니다. 단면적을 $S(x)$로 쓰는 교과서가 많습니다. 2022 개정에서는 '미적분 II'에 있습니다. 시험에는 "밑면이 어떤 영역이고 $x$축에 수직인 단면이 정사각형(정삼각형, 반원)인 입체"가 자주 나옵니다(예제 10-3, 연습 문제 2).
• 회전체의 부피 $\pi\int \{f(x)\}^2\,dx$는 2015 개정 교육과정에서 빠졌습니다. 그래도 단면이 원인 입체로 보면 $A(x) = \pi\{f(x)\}^2$인 경우일 뿐이라 같은 방법으로 풉니다.
• 사다리꼴 공식과 심프슨 공식은 고등학교 교과서의 정식 내용은 아닙니다. 대학의 수치해석과 공학에서 기록 데이터를 다룰 때 가장 먼저 쓰는 방법입니다. 구분구적법의 직사각형을 사다리꼴과 포물선으로 바꾼 것이라고 기억하면 됩니다.
• 역사 한 줄: 기원전 3세기 아르키메데스는 얇게 잘라 견주는 방법으로 구의 부피가 그것을 꼭 감싸는 원기둥의 $\dfrac{2}{3}$임을 보였습니다. 17세기에 카발리에리가 단면 비교를 원리로 정리했고, 뉴턴과 라이프니츠가 미적분의 기본정리로 그 계산을 원시함수 하나로 끝내는 길을 열었습니다.

자주 하는 착각 (3분)

• "원뿔의 부피는 밑넓이 × 높이." 그것은 원기둥입니다. 단면적이 꼭짓점에서의 거리의 제곱에 비례해서 $\dfrac{1}{3}$이 붙습니다.
• "속이 빈 관의 단면적은 $\pi(R - r)^2$." 고리의 넓이는 큰 원에서 작은 원을 뺀 $\pi(R^2 - r^2)$입니다. 터널 입구에서 $\pi(3 - 1.2)^2 = 3.24\pi$로 계산하면 참값 $7.56\pi$의 절반도 안 됩니다.
• "단면의 모양이 다르면 부피도 다르다." 같은 높이의 단면적이 같으면 모양이 달라도, 비스듬히 기울어도 부피는 같습니다(카발리에리).
• "사다리꼴 공식은 늘 크게 나온다." 아래로 볼록한 그래프에서만 크고, 위로 볼록하면 작게 나옵니다.
• "심프슨 공식은 칸 수가 아무렇게나 돼도 된다." 두 칸씩 묶으므로 $n$은 짝수여야 하고, 가중치는 1, 4, 2, 4, …, 2, 4, 1입니다.

연습 문제 (4분)

1. 반지름 3 m인 구를 중심에서 $x$ m 떨어진 곳에서 자른 단면은 반지름 $\sqrt{9 - x^2}$인 원입니다. 구의 부피를 적분으로 구하세요.
2. 밑면이 곡선 $y = \sqrt{x}$와 $x$축, 직선 $x = 4$로 둘러싸인 영역인 입체가 있습니다. $x$축에 수직인 단면이 한 변 $\sqrt{x}$인 정사각형일 때 부피를 구하세요.
3. $\int_1^2 \dfrac{1}{x}\,dx$를 칸 2개($h = 0.5$)의 사다리꼴 공식과 심프슨 공식으로 어림하고, 참값 $\ln 2 \approx 0.6931$과 비교하세요. (소수 넷째 자리까지)
4. (서술형) 위로 볼록한 곡선 아래의 넓이를 사다리꼴 공식으로 어림하면 참값보다 작게 나오는 이유를 그림을 떠올리며 설명하세요.
5. 어떤 기록을 칸 10개로 계산했더니 사다리꼴 오차가 0.08, 심프슨 오차가 0.0016이었습니다. 칸 수를 늘리면 오차는 대략 얼마가 될까요? (가) 사다리꼴, 칸 40개 (나) 심프슨, 칸 20개

풀이

1. $A(x) = \pi(9 - x^2)$이므로 $V = \int_{-3}^{3}\pi(9 - x^2)\,dx = \pi\Big[9x - \dfrac{x^3}{3}\Big]_{-3}^{3} = \pi(18 + 18) = 36\pi \approx 113.10$ m³. 공식 $\dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi$와 같습니다.
2. $A(x) = (\sqrt{x})^2 = x$이므로 $V = \int_0^4 x\,dx = \Big[\dfrac{x^2}{2}\Big]_0^4 = 8$. 답: 8.
3. 기록은 $x = 1, 1.5, 2$에서 $1$, $\dfrac{2}{3} \approx 0.6667$, $0.5$입니다. 사다리꼴: $0.5 \times \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{0.5}{2}\right) = 0.5 \times 1.4167 \approx 0.7083$. 심프슨: $\dfrac{0.5}{3}\left(1 + 4 \times \dfrac{2}{3} + 0.5\right) = \dfrac{0.5}{3} \times 4.1667 \approx 0.6944$. 참값 0.6931과의 차이는 사다리꼴 0.0152, 심프슨 0.0013입니다. $y = \dfrac{1}{x}$은 아래로 볼록해서 둘 다 조금 크게 나왔습니다.
4. 위로 볼록한 곡선은 두 점 사이에서 그 두 점을 잇는 직선보다 위에 있습니다(곡선이 위로 부풀어 있습니다). 사다리꼴의 윗변이 그 직선이므로 사다리꼴은 칸마다 곡선 아래 넓이를 다 채우지 못하고, 직선과 곡선 사이의 얇은 조각만큼 모자랍니다. 모자란 조각이 칸마다 생기므로 합도 참값보다 작습니다. 하늘바퀴 상승 속도에서 사다리꼴 6개가 60이 아니라 58.62로 나온 것이 그 예입니다.
5. (가) 칸 수가 4배면 간격이 $\dfrac{1}{4}$이고, 사다리꼴 오차는 $h^2$에 비례하므로 $\dfrac{1}{16}$배인 약 $0.08 \div 16 = 0.005$입니다. (나) 칸 수가 2배면 심프슨 오차는 $\dfrac{1}{16}$배인 약 $0.0016 \div 16 = 0.0001$입니다.

오후 2시, 솔바람랜드 정문이 열립니다. 혜성 승강장 앞 줄이 순식간에 길어집니다. 도윤은 은재 이모와 함께 설계실 창가에 서서 첫 열차를 봅니다.

열차가 리프트 언덕을 천천히 오릅니다. 꼭대기에서 잠깐 멈칫하더니 고개를 숙입니다. 3초 동안 44.1 m. 첫 주에는 바닥을 지나는 순간의 속도 29.4 m/s를 접선으로 구했고, 지난주 월요일에는 속도 기록 아래 막대를 쌓아 그 44.1 m를 되찾았습니다. 열차가 두 번째 언덕을 넘습니다. 레일 아래로 770.4 m²의 가림막이 지나갑니다. 마지막 직선에서 자기 브레이크가 열차를 붙잡습니다. 5 m/s까지 66.67 m, 70 m 구간 안입니다. 멀리 하늘바퀴는 12분에 한 바퀴씩 돌며 칸마다 120 m를 오르내리고, 물방울 슬라이드 물탱크에는 6시간 동안 36톤의 물이 들어옵니다.

오 팀장이 서류철을 안고 들어옵니다. "레미콘 24대, 3월 첫 주로 잡았어. 그날 시간 되면 보러 와. 네가 계산한 콘크리트가 들어가는 날이니까." 그리고 마지막으로 늘 하던 질문을 합니다. "그래서, 4주 동안 총 몇 개 풀었어?" 도윤이 노트를 넘기다 웃습니다. "그건 적분으로 못 구해요. 하나씩 셌어야 했는데."

은재 이모가 창밖의 혜성을 가리킵니다. "처음 2주는 '아주 조금 움직이면 얼마나 변하나'를 물었고, 다음 2주는 '잘게 잘라서 더하면 얼마인가'를 물었지. 같은 그림을 양쪽에서 본 거야." 도윤이 고개를 끄덕입니다. "모르겠으면 그래프부터 그려 보면 되는 거죠. 기울기를 볼지, 아래 넓이를 볼지."

「롤러코스터 설계실의 미분」과 「롤러코스터 설계실의 적분」은 여기까지입니다. 그래프를 그리고, 아주 조금 움직이면 얼마나 변하는지 묻고, 잘게 잘라 다시 모으는 습관이 남았다면 두 강의는 할 일을 다 했습니다. 다음에 낯선 문제를 만나면 도윤처럼 먼저 그래프를 그려 보세요. 기울기와 넓이, 둘 중 하나가 길을 알려 줄 것입니다.

봄 학기가 시작되면 도윤은 토요일 오전마다 다시 설계실에 나옵니다. 이번 과제는 드롭타워의 높이, 케이블카, 별빛 축제의 레이저와 스피커입니다. 그 이야기는 돌고 도는 삼각함수에서 이어집니다.