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롤러코스터 설계실의 적분: 넓이로 쌓아 올리는 변화

강의 개요

속도만 남은 기록: 넓이로 거리를 되찾다

잘게 자를수록: 리만 합과 정적분의 정의

넓이를 함수로: 미적분의 기본정리

거꾸로 미분: 부정적분과 적분 공식

넓이에도 부호가 있다: 정적분의 계산과 성질

두 곡선 사이: 넓이 구하기

움직인 만큼, 쌓인 만큼: 속도·거리와 누적

연쇄법칙을 거꾸로: 치환적분

곱의 미분을 거꾸로: 부분적분

잘라서 쌓으면 부피: 입체의 부피, 수치적분, 그리고 정리

롤러코스터 설계실의 적분: 넓이로 쌓아 올리는 변화

8교시

강의 시간 5:50–6:40

연쇄법칙을 거꾸로: 치환적분

오늘의 설계 과제

#08 · 업체 계산서

속 함수가 든 적분

과제

오 팀장: "하늘바퀴 센서 업체 계산서 말이야. 칸이 처음 3분 동안 59.7 m 올라갔대. 하늘바퀴 꼭대기가 62 m인데, 3분 만에 거의 꼭대기까지 갔다는 거잖아. 이상하지? 감속 구간 식도 같이 왔어. 맞는지 다 봐 줘. 그래서 몇이 맞아?"

오늘 구할 것

연쇄법칙을 거꾸로 읽어 치환적분법을 익힌다. 겉 함수와 속 함수를 찾아 u로 바꾸고, 정적분에서는 구간까지 바꾼다. 업체 계산서의 오류를 찾아 바른 값을 낸다.

솔바람랜드 놀이기구 설계실 · 겨울방학

겨울방학 4주차 수요일입니다. 업체 계산서에는 적분이 여러 줄 적혀 있습니다. 하늘바퀴 칸의 상승 속도 5π sin(πt/6), 감속 구간의 25e^(−0.3t), 그리고 처음 보는 식 몇 개. 모두 함수 속에 또 함수가 들어 있습니다.

도윤이 머리를 긁습니다. "어제 e^(−0.3t)는 '미분해서 맞춰 보기'로 풀었잖아요. 이것도 하나씩 찍어 보면 되겠죠." 은재 이모가 계산서의 첫 줄을 가리킵니다. "찍기 전에 이것부터 미분해 봐. (x² + 1)⁴." 도윤이 연쇄법칙대로 씁니다. "4(x² + 1)³ 곱하기 속미분 2x. 8x(x² + 1)³이요." "그럼 8x(x² + 1)³을 적분하면?" "…(x² + 1)⁴이네요. 미분한 걸 거꾸로 읽으면 되는구나."

"그거야. 연쇄법칙으로 미분한 결과는 늘 '겉의 미분 × 속미분' 모양이야. 적분할 식에서 그 모양을 알아보면, 속 함수를 새 변수 하나로 바꿔서 간단하게 만들 수 있어." 오늘은 그 방법, 치환적분법을 배우고 업체 계산서를 검토합니다.

8-1. 연쇄법칙을 거꾸로 읽기 (6분)

미분 5교시의 연쇄법칙을 다시 씁니다. 속 함수 $g$ 를 먼저 계산하고 그 결과에 겉 함수 $F$ 를 씌운 합성함수 $F(g(x))$ 를 미분하면, 겉 함수의 미분에 속미분을 곱합니다.

\{F(g(x))\}' = F'(g(x)) \cdot g'(x)

이 식을 적분 쪽에서 읽으면 이렇습니다. $F' = f$ 라 하면

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = F(g(x)) + C

적분할 식이 "(속 함수를 넣은 무언가) × (속미분)" 모양이면, 속미분을 떼어 내고 겉만 적분한 뒤 속 함수를 다시 넣으면 됩니다.

숫자로 한 번 봅시다. $\{(x^2+1)^4\}' = 4(x^2+1)^3 \cdot 2x = 8x(x^2+1)^3$ 이므로

\begin{aligned} \int 8x(x^2+1)^3\,dx &= (x^2+1)^4 + C \\ \int 2x(x^2+1)^3\,dx &= \frac{(x^2+1)^4}{4} + C \end{aligned}

두 번째 식은 첫 식을 4로 나눈 것입니다. 오른쪽을 미분하면 $\dfrac{4(x^2+1)^3 \cdot 2x}{4} = 2x(x^2+1)^3$ 으로 돌아옵니다. $x = 1$ 이면 둘 다 $2 \times 1 \times 2^3 = 16$ 입니다. 적분 결과는 언제나 미분해서 확인할 수 있습니다.

직접 풀어 보기

예제 8-1

$\displaystyle\int 3x^2(x^3+2)^4\,dx$ 를 구하세요. 답을 미분해서 확인하세요.

풀이 보기

1단계: 속 함수와 속미분을 찾는다. 괄호 안 $x^3 + 2$ 가 속 함수이고, 그 미분 $3x^2$ 이 앞에 곱해져 있습니다. 모양이 "겉(4제곱) × 속미분"입니다.

2단계: 겉만 적분한다. $u^4$ 의 원시함수는 $\frac{u^5}{5}$ 입니다. $u$ 자리에 속 함수를 넣습니다.

\int 3x^2(x^3+2)^4\,dx = \frac{(x^3+2)^5}{5} + C

3단계: 미분해서 확인한다. 연쇄법칙으로 $\left\{\frac{(x^3+2)^5}{5}\right\}' = (x^3+2)^4 \cdot 3x^2$ . 처음 식과 같습니다.

답: $\dfrac{(x^3+2)^5}{5} + C$

8-2. 치환적분법: u와 du (10분)

모양을 눈으로 알아보는 대신, 속 함수에 이름을 붙이면 기계적으로 풀 수 있습니다. 속 함수를 $u = g(x)$ 로 두면 $\dfrac{du}{dx} = g'(x)$ 이고, 이것을

du = g'(x)\,dx

로 씁니다. 뜻은 미분 10교시의 선형 근사와 같습니다. $x$ 가 아주 조금( $dx$ ) 움직이면 $u$ 는 그 $g'(x)$ 배만큼( $du$ ) 움직인다는 것입니다. 그러면 적분할 식의 "속미분 × $dx$ "가 통째로 $du$ 가 되어

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du

입니다. 이렇게 변수를 바꿔 넣어 적분하는 방법을 치환적분법(integration by substitution) 이라고 합니다. 순서는 늘 같습니다.

속 함수를 $u$ 로 둔다.
$du = g'(x)\,dx$ 를 구한다.
적분할 식을 모두 $u$ 와 $du$ 로 바꾼다. $x$ 가 하나도 남으면 안 된다.
$u$ 로 적분한다.
$u$ 자리에 다시 $g(x)$ 를 넣는다.

$\int 2x(x^2+1)^3\,dx$ 에 해 보면, $u = x^2 + 1$ , $du = 2x\,dx$ 이므로 $\int u^3\,du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C$ 입니다. 8-1절의 답과 같습니다.

그림으로 보는 du. 적분은 얇은 띠의 넓이를 모은 것이었습니다. $x$ 축에서 폭 $dx$ 인 띠가 $u$ 축으로 옮겨 가면 폭이 $du = g'(x)\,dx$ , 곧 $g'(x)$ 배가 됩니다. 그 대신 높이는 $f(g(x))\,g'(x)$ 에서 $f(u)$ 로, $g'(x)$ 로 나눈 만큼이 됩니다. 폭이 늘어난 만큼 높이가 줄어드니 띠 하나의 넓이는 그대로입니다.

아래 실습대에서 남색 곡선이 적분할 함수 $2x(x^2+1)^3$ 이고, 그 아래 연한 남색 띠들이 $x$ 로 잰 띠입니다. 주황 띠는 고른 띠 하나입니다(손잡이를 끌거나 ← → 키로 고릅니다). 회색 점선은 도착할 모양 $f(u) = u^3$ 입니다. 그래프 아래의 회색 막대가 $x$ 구간 0–1, 청록 막대가 $u$ 구간 1–2입니다. '바꿔 넣기'를 누르면 가로축이 $x$ 에서 $u = x^2 + 1$ 로 옮겨 가고, 오른쪽에 고른 띠의 폭·높이·넓이와 띠 넓이의 합이 나옵니다.

적분할 함수 (x에서 u로 바뀌는 중)
f(u) (도착할 모양)
고른 띠
x 구간
u 구간

적분

∫₀¹ 2x(x² + 1)³ dx에서 u = x² + 1, du = 2x dx → ∫₁² u³ du

x → u0

띠 개수

고른 띠 4
폭: Δx = 0.25 → Δu = 0.438 (1.75배)
높이: 9.632 → 5.504
넓이: 2.408 (그대로)

띠 넓이의 합 3.592
참값 3.75

구간을 안 바꾸면 (흔한 실수)

x로 잰 띠 4개입니다. '바꿔 넣기'를 누르면 띠마다 폭은 약 g′배가 되고 높이는 그만큼 낮아지거나 높아집니다.

'바꿔 넣기'를 누르고 주황 띠를 보세요. 마지막 띠는 폭이 0.25에서 0.438로 1.75배 넓어지는 동안 높이가 9.632에서 5.504로 낮아지고, 넓이 2.408은 그대로입니다. 첫 띠는 거꾸로 폭이 줄고 높이가 커집니다. 띠 넓이의 합 3.592도 처음과 끝이 같습니다. 띠 개수를 16으로 늘리면 합이 참값 3.75에 다가갑니다.

직접 풀어 보기

예제 8-2

$\displaystyle\int (3x+1)^5\,dx$ 를 치환적분으로 구하세요.

풀이 보기

1단계: $u$ 를 정한다. 5제곱 안의 $u = 3x + 1$ 이 속 함수입니다.

2단계: $du$ 를 구한다. $du = 3\,dx$ 입니다. 적분할 식에는 $dx$ 만 있고 3이 없습니다. 그래서 $dx = \frac{1}{3}du$ 로 바꿉니다. 속미분이 상수이면 이렇게 나눠서 맞출 수 있습니다.

3단계: 바꿔 넣는다.

\begin{aligned} \int (3x+1)^5\,dx &= \int u^5 \cdot \frac{1}{3}\,du \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{u^6}{6} + C \\ &= \frac{(3x+1)^6}{18} + C \end{aligned}

4단계: 미분해서 확인한다. $\left\{\frac{(3x+1)^6}{18}\right\}' = \frac{6(3x+1)^5 \cdot 3}{18} = (3x+1)^5$ .

답: $\dfrac{(3x+1)^6}{18} + C$ . $\frac{1}{3}$ 을 빠뜨리면 $\frac{(3x+1)^6}{6}$ 이 나오는데, 미분하면 $3(3x+1)^5$ 이라 틀린 것을 바로 압니다.

8-3. 겉과 속 찾기: 여러 가지 꼴 (9분)

치환적분의 요령은 "속 함수의 도함수가 곱해져 있는지" 찾는 것입니다. 자주 나오는 꼴을 표로 모읍니다. 4교시의 적분 공식에 속 함수를 넣은 것뿐입니다.

적분할 식의 모양	$u$	결과
$\{g(x)\}^n\,g'(x)$	$g(x)$	$\dfrac{\{g(x)\}^{n+1}}{n+1} + C$ $(n \ne -1)$
$e^{g(x)}\,g'(x)$	$g(x)$	$e^{g(x)} + C$
$\sin(g(x))\,g'(x)$	$g(x)$	$-\cos(g(x)) + C$
$\dfrac{g'(x)}{g(x)}$	$g(x)$	$\ln\lvert g(x) \rvert + C$

마지막 줄이 특히 쓸모 있습니다. 분자가 분모의 도함수이면 $u = g(x)$ 로 $\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C$ 가 됩니다.

\begin{aligned} \int \frac{2x}{x^2+1}\,dx &= \ln(x^2+1) + C \\ \int \tan x\,dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx \\ &= -\ln|\cos x| + C \end{aligned}

$\tan x$ 는 $u = \cos x$ , $du = -\sin x\,dx$ 로 둡니다. 부호 하나가 남아서 앞에 −가 붙습니다. ( $x^2 + 1$ 은 늘 양수라 절댓값을 뗐습니다.)

속미분이 없으면 안 된다. $\int e^{x^2}\,dx$ 는 $u = x^2$ 로 두어도 $du = 2x\,dx$ 의 $x$ 를 채울 수 없습니다. 상수배는 나눠서 맞출 수 있지만, $x$ 같은 변수는 맞출 수 없습니다. 실제로 $e^{x^2}$ 의 원시함수는 우리가 아는 함수들로 쓸 수 없습니다. 반면 $\int xe^{x^2}\,dx$ 는 $x$ 가 곱해져 있어서 풀립니다(예제 8-4).

은재 이모의 한마디

u를 고를 땐 '이걸 미분한 게 옆에 곱해져 있나?'만 물어. 괄호 속, 지수 위, sin 안, 분모. 그중에 미분한 게 보이는 걸 u로 해. 상수가 모자라면 나눠서 맞추면 되고, x가 모자라면 그 u는 아니야.

직접 풀어 보기

예제 8-3

$\displaystyle\int \sin x \cos x\,dx$ 를 두 가지 방법으로 구하세요. (가) $u = \sin x$ (나) $u = \cos x$ . 두 답이 다르게 생겼는데, 둘 다 맞을까요?

풀이 보기

(가) $u = \sin x$ 이면 $du = \cos x\,dx$ 입니다.

\begin{aligned} \int \sin x \cos x\,dx &= \int u\,du \\ &= \frac{u^2}{2} + C \\ &= \frac{\sin^2 x}{2} + C \end{aligned}

(나) $u = \cos x$ 이면 $du = -\sin x\,dx$ , 곧 $\sin x\,dx = -du$ 입니다.

\begin{aligned} \int \sin x \cos x\,dx &= \int u \cdot (-du) \\ &= -\frac{u^2}{2} + C \\ &= -\frac{\cos^2 x}{2} + C \end{aligned}

둘 다 맞을까? 두 답의 차는 $\frac{\sin^2 x}{2} + \frac{\cos^2 x}{2} = \frac{1}{2}$ 로, $x$ 와 상관없는 상수입니다. 4교시에서 본 것처럼 원시함수는 위아래로 평행 이동한 곡선 가족이고, 두 답은 같은 가족의 서로 다른 곡선입니다. 차이는 적분상수 $C$ 에 흡수됩니다.

답: (가) $\dfrac{\sin^2 x}{2} + C$ (나) $-\dfrac{\cos^2 x}{2} + C$ . 둘 다 맞다(차가 상수 $\frac{1}{2}$ ).

직접 풀어 보기

예제 8-4

다음을 구하세요. (가) $\displaystyle\int xe^{x^2}\,dx$ (나) $\displaystyle\int \frac{3x^2}{x^3+5}\,dx$ ( $x > 0$ )

풀이 보기

(가) 지수 위의 $x^2$ 을 $u$ 로 둡니다. $du = 2x\,dx$ 인데 식에는 $x\,dx$ 만 있으므로 $x\,dx = \frac{1}{2}du$ 입니다.

\int xe^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int e^u\,du = \frac{1}{2}e^{x^2} + C

미분해서 확인: $\left(\frac{1}{2}e^{x^2}\right)' = \frac{1}{2}e^{x^2} \cdot 2x = xe^{x^2}$ .

(나) 분자 $3x^2$ 이 분모 $x^3 + 5$ 의 도함수입니다. $u = x^3 + 5$ , $du = 3x^2\,dx$ 로

\begin{aligned} \int \frac{3x^2}{x^3+5}\,dx &= \int \frac{1}{u}\,du \\ &= \ln|u| + C \\ &= \ln(x^3+5) + C \end{aligned}

$x > 0$ 이면 $x^3 + 5 > 0$ 이라 절댓값을 뗍니다.

답: (가) $\dfrac{1}{2}e^{x^2} + C$ (나) $\ln(x^3+5) + C$

8-4. 정적분의 치환: 구간도 바꾼다 (10분)

정적분에서 $u = g(x)$ 로 바꾸면, 적분할 식만 바뀌는 것이 아니라 구간도 바뀝니다. $x$ 가 $a$ 에서 $b$ 까지 움직이면 $u$ 는 $g(a)$ 에서 $g(b)$ 까지 움직이기 때문입니다.

\int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du

앞의 실습대에서 회색 막대(0–1)가 청록 막대(1–2)로 옮겨 간 것이 바로 이것입니다. 띠들이 모두 $u$ 축의 1–2 위로 옮겨 갔으니, 그 넓이의 합은 $f(u)$ 를 1부터 2까지 적분한 값입니다.

\begin{aligned} \int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx &= \int_1^2 u^3\,du \\ &= \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 \\ &= \frac{16 - 1}{4} = \frac{15}{4} = 3.75 \end{aligned}

다른 길도 있습니다. 부정적분을 먼저 구해 $x$ 로 되돌린 뒤 원래 구간 0–1을 넣는 것입니다. $\left[\frac{(x^2+1)^4}{4}\right]_0^1 = \frac{16 - 1}{4} = 3.75$ 로 같습니다. 어느 길이든 좋지만, $u$ 로 바꾼 식에 $x$ 의 구간을 넣는 것만은 안 됩니다. 그렇게 하면 $\int_0^1 u^3\,du = \frac{1}{4}$ 이라는 엉뚱한 값이 나옵니다. 실습대에서 '구간을 안 바꾸면 (흔한 실수)'를 켜고 '바꿔 넣기'를 끝까지 해 보세요. 진홍 점선 아래가 그 엉뚱한 넓이입니다. 띠들이 있는 곳과 겹치지도 않습니다.

구간을 쓰는 법	계산	값
$u$ 로 바꾸고 구간도 1–2로	$\int_1^2 u^3\,du$	3.75
$x$ 로 되돌리고 구간 0–1	$\left[\frac{(x^2+1)^4}{4}\right]_0^1$	3.75
$u$ 로 바꾸고 구간은 0–1 그대로 (틀림)	$\int_0^1 u^3\,du$	0.25

직접 풀어 보기

예제 8-5

도윤은 $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin x \cos x\,dx$ 를 이렇게 풀었습니다. 어디가 틀렸을까요?

$u = \sin x$ 로 두면 $du = \cos x\,dx$ . $\displaystyle\int_0^{\pi/2} u\,du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi^2}{8} \approx 1.23$ .

풀이 보기

틀린 곳: $u$ 로 바꾸고 구간은 $x$ 의 것(0– $\frac{\pi}{2}$ )을 그대로 썼습니다.

1단계: 구간을 바꾼다. $x = 0$ 이면 $u = \sin 0 = 0$ , $x = \frac{\pi}{2}$ 이면 $u = \sin\frac{\pi}{2} = 1$ 입니다.

2단계: 다시 계산한다.

\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \sin x \cos x\,dx &= \int_0^1 u\,du \\ &= \left[\frac{u^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2} \end{aligned}

3단계: 어림으로 점검한다. $\sin x \cos x$ 는 0– $\frac{\pi}{2}$ 에서 0 이상이고 가장 큰 값이 $\frac{1}{2}$ ( $x = \frac{\pi}{4}$ )입니다. 넓이는 $\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} \approx 0.79$ 보다 작아야 합니다. 1.23은 그보다 크니 틀린 값입니다.

답: 구간을 0–1로 바꿔야 한다. 바른 값은 $\frac{1}{2}$ . 실습대에서 'sin x · cos x'를 고르고 '구간을 안 바꾸면'을 켜면 이 실수를 그림으로 볼 수 있습니다.

직접 풀어 보기

예제 8-6

$\displaystyle\int_0^1 xe^{x^2}\,dx$ 를 구하세요. ( $e \approx 2.718$ )

풀이 보기

1단계: $u$ 와 $du$ . $u = x^2$ , $du = 2x\,dx$ 이므로 $x\,dx = \frac{1}{2}du$ .

2단계: 구간을 바꾼다. $x = 0 \to u = 0$ , $x = 1 \to u = 1$ . 이번에는 구간이 우연히 같습니다. 그래도 확인은 꼭 합니다.

3단계: 계산한다.

\begin{aligned} \int_0^1 xe^{x^2}\,dx &= \frac{1}{2}\int_0^1 e^u\,du \\ &= \frac{1}{2}\left[e^u\right]_0^1 \\ &= \frac{e - 1}{2} \approx 0.859 \end{aligned}

답: $\dfrac{e-1}{2} \approx 0.859$

8-5. 설계실 과제: 하늘바퀴와 브레이크 (7분)

이제 업체 계산서를 봅니다. 하늘바퀴 칸의 높이는 $h(t) = 32 - 30\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ (m, $t$ 는 분)이고, 칸에 단 센서는 상승 속도 $h'(t) = 5\pi\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ (m/분)을 기록합니다(미분 6교시). 업체는 처음 3분 동안 오른 높이를 이렇게 계산했습니다.

$u = \dfrac{\pi t}{6}$ , $dt = \dfrac{6}{\pi}du$ 이므로 $\displaystyle\int_0^3 5\pi\sin\frac{\pi t}{6}\,dt = 30\int_0^3 \sin u\,du = 30\left[-\cos u\right]_0^3 = 30(1 - \cos 3) \approx 59.70$ m.

계산 안의 치환은 맞습니다. 속 함수 $u = \frac{\pi t}{6}$ , $du = \frac{\pi}{6}dt$ 이므로 $5\pi \cdot \frac{6}{\pi} = 30$ 이 앞으로 나옵니다. 그런데 구간 0–3은 $t$ 의 구간입니다. $u$ 로 바꿨으면 구간도 $u$ 의 것이어야 합니다.

실습대를 '하늘바퀴'로 띄웠습니다. 이번에는 $u = \frac{\pi t}{6}$ 의 속미분이 상수 $\frac{\pi}{6} \approx 0.52$ 라서 모든 띠의 폭이 똑같이 0.52배로 줄고, 높이는 똑같이 약 1.91배로 커집니다. 구간 0–3이 0– $\frac{\pi}{2}$ (약 1.57)로 줄어드는 것을 보세요.

적분할 함수 (x에서 u로 바뀌는 중)
f(u) (도착할 모양)
고른 띠
x 구간
u 구간

적분

∫₀³ 5π sin(πt/6) dt에서 u = πt/6, du = (π/6) dt → ∫₀^(π/2) 30 sin u du

x → u0

띠 개수

고른 띠 4
폭: Δx = 0.75 → Δu = 0.393 (0.52배)
높이: 15.406 → 29.424
넓이: 11.555 (그대로)

띠 넓이의 합 30.194
참값 30

구간을 안 바꾸면 (흔한 실수)

x로 잰 띠 4개입니다. '바꿔 넣기'를 누르면 띠마다 폭은 약 g′배가 되고 높이는 그만큼 낮아지거나 높아집니다.

'바꿔 넣기'를 누르면 0–3분의 띠들이 0–π/2 위로 모이며 키가 커집니다. 넓이의 합(띠 4개일 때 30.194, 16개일 때 30.012)은 그대로이고 참값은 30입니다. 그다음 '구간을 안 바꾸면'을 켜 보세요. 30 sin u를 0–3에서 적분한 진홍 넓이 59.70이 업체의 숫자입니다.

직접 풀어 보기

예제 8-7

오늘의 설계 과제. 업체 계산서의 오류를 찾아 처음 3분 동안 칸이 오른 높이를 바르게 구하세요. 높이 식 $h(t)$ 로 답을 점검하세요.

풀이 보기

1단계: 치환한다. $u = \frac{\pi t}{6}$ 이면 $du = \frac{\pi}{6}dt$ , 곧 $dt = \frac{6}{\pi}du$ 입니다. 적분할 식은 $5\pi\sin u \cdot \frac{6}{\pi}\,du = 30\sin u\,du$ 가 됩니다.

2단계: 구간을 바꾼다. 업체가 빠뜨린 단계입니다. $t = 0 \to u = 0$ , $t = 3 \to u = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ .

3단계: 계산한다.

\begin{aligned} \int_0^3 5\pi\sin\frac{\pi t}{6}\,dt &= 30\int_0^{\pi/2} \sin u\,du \\ &= 30\left[-\cos u\right]_0^{\pi/2} \\ &= 30(0 + 1) = 30 \end{aligned}

4단계: 높이 식으로 점검한다. 5교시에서 본 것처럼 상승 속도를 적분하면 높이 변화입니다. $h(3) - h(0) = (32 - 30\cos\frac{\pi}{2}) - (32 - 30\cos 0) = 32 - 2 = 30$ . 맞습니다. 3분은 한 바퀴(12분)의 4분의 1이라, 칸은 바닥(2 m)에서 중심 높이(32 m)까지 올라옵니다.

답: 30 m. 업체는 $u$ 로 바꾼 뒤 구간을 0–3 그대로 둬서 59.70 m가 나왔다. 59.70 m라면 3분 만에 거의 꼭대기(62 m)에 닿았다는 뜻이라 그림과도 맞지 않습니다.

직접 풀어 보기

예제 8-8

계산서의 둘째 줄은 브레이크 구간입니다. 7교시에 미분해서 맞춰 보는 방법으로 구한 $\displaystyle\int_0^T 25e^{-0.3t}\,dt$ ( $T = \frac{\ln 5}{0.3}$ )를 이번에는 $u = -0.3t$ 로 치환해 구하세요.

풀이 보기

1단계: $u$ 와 $du$ . $u = -0.3t$ 이면 $du = -0.3\,dt$ , 곧 $dt = -\frac{1}{0.3}du$ 입니다.

2단계: 구간을 바꾼다. $t = 0 \to u = 0$ , $t = T \to u = -0.3 \times \frac{\ln 5}{0.3} = -\ln 5$ .

3단계: 바꿔 넣고 계산한다. 앞의 음수 부호는 구간의 위아래를 뒤집으면서 없앱니다( $\int_a^b = -\int_b^a$ , 5교시).

\begin{aligned} \int_0^T 25e^{-0.3t}\,dt &= -\frac{25}{0.3}\int_0^{-\ln 5} e^u\,du \\ &= \frac{250}{3}\int_{-\ln 5}^{0} e^u\,du \\ &= \frac{250}{3}\left(e^0 - e^{-\ln 5}\right) \\ &= \frac{250}{3}\left(1 - \frac{1}{5}\right) \\ &= \frac{200}{3} \end{aligned}

답: $\dfrac{200}{3} \approx 66.67$ m. 7교시의 값과 같습니다. 7교시에 쓴 공식 $\int e^{kt}\,dt = \frac{1}{k}e^{kt} + C$ 는 사실 $u = kt$ 로 치환한 결과였습니다.

도윤이 계산서에 빨간 펜으로 적습니다. "하늘바퀴 0–3분: 30 m (59.70 아님. u로 치환한 뒤 구간을 0–π/2로 바꿀 것). 브레이크: 66.67 m 맞음." 오 팀장이 읽고 말합니다. "30이면 중심 높이까지네. 업체에 다시 보내라고 할게."

기호 읽는 법

기호	읽는 법	뜻
$u = g(x)$	유는 지 엑스	속 함수에 붙인 새 이름
$du = g'(x)\,dx$	디유는 지 프라임 엑스 디엑스	$x$ 가 아주 조금 움직일 때 $u$ 가 움직이는 양
$\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$	지 에이부터 지 비까지 에프 유 디유의 적분	구간까지 $u$ 로 바꾼 정적분
$\ln\lvert u \rvert$	엘엔 절댓값 유	$\frac{1}{u}$ 의 원시함수

교과서에서는

교과서는 이 방법을 치환적분법이라 부르고, " $g(x) = t$ 로 놓으면 $g'(x)\,dx = dt$ "처럼 새 변수에 $t$ 를 쓰기도 합니다. 글자만 다를 뿐 같은 방법입니다.
정적분의 치환은 " $x = a$ 일 때 $t = g(a)$ , $x = b$ 일 때 $t = g(b)$ "처럼 구간 바꾸는 줄을 따로 씁니다. 서술형에서는 이 줄이 채점 항목입니다.
$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$ 는 공식으로 외워 두면 빠릅니다. 분자가 분모의 도함수인지 먼저 봅니다.
'미적분' 과목에서는 $x = \sin\theta$ 처럼 $x$ 를 다른 함수로 놓는 치환도 나오지만, 원리는 같습니다. 구간도 함께 바꿉니다.

자주 하는 착각 (4분)

"u로 바꿔도 구간은 그대로다." 구간도 $g(a)$ – $g(b)$ 로 바꿔야 합니다. 업체의 59.70 m, 예제 8-5의 1.23이 이 실수에서 나왔습니다.
"dx는 그냥 붙어 있는 표시다." $dx$ 도 바꿔야 합니다. $u = 3x + 1$ 이면 $dx = \frac{1}{3}du$ 입니다. 이것을 빼먹으면 답이 3배가 됩니다(예제 8-2).
"아무 속 함수나 u로 두면 된다." 속미분이 곱해져 있어야 합니다. 상수배는 맞출 수 있지만 $x$ 는 맞출 수 없습니다. $\int e^{x^2}\,dx$ 는 치환으로 풀리지 않습니다.
"두 방법으로 푼 답이 다르면 하나는 틀렸다." 부정적분은 상수 차이까지 같은 답입니다. 미분해서 같은 함수가 나오면 둘 다 맞습니다(예제 8-3).
"마지막에 x로 되돌리는 것을 잊어도 된다." 부정적분의 답은 $x$ 의 함수로 써야 합니다. 정적분은 $u$ 의 구간으로 끝까지 계산했다면 되돌릴 필요가 없습니다.

연습 문제 (4분)

$\displaystyle\int 4x(2x^2 - 1)^3\,dx$ 를 구하세요.
$\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2 x \cos x\,dx$ 를 구하세요.
$\displaystyle\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx$ 를 구하세요.
$\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx$ 를 구하세요. ( $\ln 2 \approx 0.693$ )
(서술형) $\displaystyle\int_0^4 \sqrt{2x + 1}\,dx$ 를 치환적분으로 구하는 과정을 쓰세요. 구간을 바꾸지 않으면 어떤 값이 나오는지도 쓰세요.

풀이

$u = 2x^2 - 1$ , $du = 4x\,dx$ 입니다. $\int u^3\,du = \frac{u^4}{4} + C =$ $\dfrac{(2x^2-1)^4}{4} + C$ .
$u = \sin x$ , $du = \cos x\,dx$ , 구간은 $0 \to 0$ , $\frac{\pi}{2} \to 1$ 입니다. $\int_0^1 u^2\,du = \left[\frac{u^3}{3}\right]_0^1 =$ $\dfrac{1}{3}$ .
$u = \ln x$ , $du = \frac{1}{x}dx$ , 구간은 $1 \to 0$ , $e \to 1$ 입니다. $\int_0^1 u\,du =$ $\dfrac{1}{2}$ .
$u = x^2 + 1$ , $du = 2x\,dx$ 이므로 $x\,dx = \frac{1}{2}du$ , 구간은 $0 \to 1$ , $1 \to 2$ 입니다. $\frac{1}{2}\int_1^2 \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\left[\ln u\right]_1^2 = \frac{\ln 2}{2} \approx$ 0.347.
1단계: 속 함수 $u = 2x + 1$ 로 둡니다. $du = 2\,dx$ 이므로 $dx = \frac{1}{2}du$ 입니다. 2단계: 구간을 바꿉니다. $x = 0$ 이면 $u = 1$ , $x = 4$ 이면 $u = 9$ 입니다. 3단계: $\int_0^4 \sqrt{2x+1}\,dx = \frac{1}{2}\int_1^9 u^{1/2}\,du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_1^9 = \frac{1}{3}(27 - 1) = \frac{26}{3} \approx 8.67$ . 답: $\frac{26}{3}$ . 구간을 0–4 그대로 두면 $\frac{1}{3}\left[u^{3/2}\right]_0^4 = \frac{8}{3} \approx 2.67$ 이 나옵니다. $\sqrt{2x+1}$ 은 0–4에서 1 이상이니 넓이는 적어도 4여야 해서, 2.67은 틀린 값임을 알 수 있습니다.

도윤의 미분 노트

치환적분은 연쇄법칙을 거꾸로 읽은 것: ∫f(g(x))·g′(x) dx = ∫f(u) du (u = g(x)).
du = g′(x) dx: x가 조금 움직일 때 u가 움직이는 양. 띠의 폭이 g′배가 되는 만큼 높이가 줄어 넓이는 그대로다.
u는 '미분한 것이 곱해져 있는' 속 함수로 고른다. 상수가 모자라면 나눠서 맞추고, x가 모자라면 그 u는 아니다. f′/f의 적분은 ln|f|.
정적분에서는 구간도 g(a)–g(b)로 바꾼다. 하늘바퀴 0–3분은 30 m(업체의 59.70 m는 구간을 안 바꾼 값).
답은 미분해서 확인한다. 모양이 달라도 차가 상수면 같은 부정적분이다.
시험에서 이걸 만나면: u 정하기 → du → 구간 바꾸기 → 적분, 네 줄을 따로 쓴다. 특히 구간 바꾸는 줄을 빠뜨리지 않는다.

저녁에 오 팀장이 계산서를 하나 더 내려놓습니다. 이번엔 자기 브레이크 업체의 확인 요청입니다. "브레이크 구간에서 판에 열이 쌓인대. 판 온도가 오르는 빠르기가 시간 t와 e^(−0.3t)의 곱, t·e^(−0.3t)에 비례한다나. 열차가 5 m/s로 느려질 때까지 다 모으면 몇 도야?" 도윤이 자신 있게 u = −0.3t로 둡니다. 그런데 앞에 곱해진 t가 du로 바뀌지 않고 남습니다. "속미분이 아니라 그냥 t네요…" 은재 이모가 말합니다. "치환은 연쇄법칙을 거꾸로 한 거였지. 곱의 미분법을 거꾸로 하면 뭐가 될까?" 9교시에서는 곱의 적분을 푸는 부분적분을 배웁니다.

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7교시 · 움직인 만큼, 쌓인 만큼: 속도·거리와 누적

9교시 · 곱의 미분을 거꾸로: 부분적분

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