넓이를 함수로: 미적분의 기본정리

겨울방학 3주차 수요일입니다. 오 팀장이 놓고 간 종이에는 물방울 슬라이드 물탱크의 급수 기록이 있습니다. 밸브를 서서히 열었다가 다시 서서히 닫기 때문에, 들어오는 빠르기가 0에서 시작해 3시간째에 시간당 9톤으로 가장 크고, 6시간째에 다시 0이 됩니다.

도윤이 계산기를 꺼냅니다. "어제 브레이크처럼 하면 되죠. 빠르기 그래프 아래 넓이가 들어온 물이니까, 칸을 잘게 잘라서 더하면 돼요." 그러다 손을 멈춥니다. "그런데 시각마다 그래프를 달라고 했잖아요. 1시간째, 1.5시간째, 2시간째… 그때마다 리만 합을 새로 해요?"

은재 이모가 화이트보드에 빠르기 그래프를 그립니다. "그래프 아래를 봐. 넓이를 한 번에 하나씩 구하지 말고, 오른쪽 끝을 움직이면서 넓이가 어떻게 자라는지 보자. 넓이를 함수로 보는 거야." 도윤이 고개를 갸웃합니다. "넓이가 함수예요? 그러면 그걸 미분하면 되는 거 아니에요?" 이모가 웃습니다. "반은 맞았어. 오늘 그 반을 증명하자."

이번 교시는 적분 단원에서 가장 중요한 정리, 미적분의 기본정리를 다룹니다. 1–2교시에 직사각형을 쌓아 구하던 넓이가, 미분을 거꾸로 하는 계산으로 바뀝니다.

3-1. 넓이를 함수로: 쌓인 넓이 A(x) (9분)

1교시에서 속도 그래프 아래 넓이가 이동 거리라는 것을 보았습니다. 같은 일이 물탱크에도 일어납니다. 빠르기가 시간당 9톤일 때 0.1시간 동안 들어오는 물은 $9 \times 0.1 = 0.9$톤입니다. 그래프에서는 높이 9, 폭 0.1인 얇은 직사각형의 넓이입니다. 단위도 (톤/시간) × (시간) = 톤으로 맞습니다. 그래서 빠르기 그래프 아래 넓이 = 그동안 들어온 물입니다.

이제 오른쪽 끝을 움직입니다. 지금 시각을 $x$시간이라 하고, 0부터 $x$까지 빠르기 그래프 아래 넓이를 $A(x)$라 합시다. $A(x)$는 "지금까지 들어온 물"입니다. 2교시의 정적분 기호로 쓰면 이렇습니다.

위끝이 숫자가 아니라 $x$입니다. $x$가 바뀌면 넓이도 바뀌니, $A$는 $x$의 함수입니다. 적분 기호 안의 $t$는 "0부터 $x$까지 훑는 시각"을 가리키는 이름일 뿐입니다. 그래서 $\int_0^x r(t)\,dt$와 $\int_0^x r(s)\,ds$는 같은 값입니다. 위끝 $x$와 헷갈리지 않게 다른 글자를 씁니다.

아래 실습대의 위 그래프는 들어오는 빠르기 $r(t) = 6t - t^2$(남색)입니다. 가로축은 시각(시간), 세로축은 빠르기(톤/시간)입니다. '쌓아 보기'를 누르면 주황 세로선(지금 시각 $x$)이 0에서 6까지 움직이고, 그 왼쪽 넓이가 남색으로 칠해집니다. 아래 그래프는 그 칠한 넓이를 높이로 옮겨 그린 $A(x)$(청록)입니다. 회색 점선은 아직 지나지 않은 부분입니다. 아래 그래프의 짧은 주황 선분은 $A(x)$의 접선입니다. 그래프 아래 '기록표'에는 1시간마다 $A$의 값이 채워집니다. 위 그래프의 주황 점을 끌거나 ← → 키로 $x$를 직접 옮길 수도 있습니다.

기록표를 옮기고 한 시간마다 늘어난 양을 덧붙이면 이렇습니다.

마지막 줄을 보세요. 빠르기가 큰 3시간 근처에서 $A$가 가장 많이 늘고, 빠르기가 0에 가까운 처음과 끝에서는 조금만 늡니다. 그래서 $A(x)$의 그래프는 처음에 완만하다가 가운데에서 가파르고 끝에서 다시 완만해집니다. $A$가 자라는 빠르기는 그 자리의 $r$ 값이 정하는 것 같습니다. 다음 절에서 이것을 확인합니다.

3-2. A를 미분하면 f가 돌아온다 (10분)

넓이 함수 $A$의 미분계수를 정의대로 구해 봅시다. 미분 3교시에서 배운 대로 $x$를 $h$만큼 늘렸을 때의 변화량을 $h$로 나누고, $h$를 0으로 보냅니다.

$A(x+h) - A(x)$는 무엇일까요? $x + h$까지의 넓이에서 $x$까지의 넓이를 뺀 것이니, $x$와 $x + h$ 사이의 얇은 띠 한 장의 넓이입니다. 폭 $h$가 아주 작으면 그 띠는 높이 $f(x)$인 직사각형과 거의 같습니다.

양변을 $h$로 나누면

입니다. 띠와 직사각형의 차이는 곡선과 직사각형 윗변 사이의 작은 조각뿐입니다. 이 조각은 폭도 $h$보다 작고 높이 차이도 $h$에 비례해 줄어서, $h$로 나눈 뒤에도 0으로 사라집니다. 그래서 $h \to 0$이면 근삿값이 아니라 정확히 같아집니다.

실습대의 '띠 한 장으로 보기'가 이 계산을 보여 줍니다. 물탱크에서 $x = 3$에 띠를 세우면 이렇습니다.

마지막 칸이 $r(3) = 9$에 다가갑니다. 그러므로 $A'(3) = 9$, 곧 그 순간의 빠르기입니다. 정리하면 이렇습니다.

물탱크의 말로 바꾸면 당연한 말입니다. "탱크의 물이 느는 빠르기 = 지금 들어오는 빠르기." 실습대에서 아래 그래프의 접선 기울기가 늘 위 그래프의 높이와 같았던 이유입니다.

3-3. 미적분의 기본정리 (10분)

앞 절의 결과를 미적분의 기본정리(fundamental theorem of calculus)라고 부릅니다. 이 정리는 두 부분으로 나뉩니다. 첫째 부분이 방금 본 것입니다.

둘째 부분이 계산을 바꿉니다. 미분해서 $f$가 되는 함수 $F$를 $f$의 원시함수라고 부릅니다. 예를 들어 $(x^2)' = 2x$이므로 $x^2$은 $2x$의 원시함수입니다. 원시함수 하나를 어떻게든 찾았다고 합시다. 그러면 $A$와 $F$는 미분한 결과가 둘 다 $f$로 같습니다. 도함수가 같은 두 함수는 차이가 상수뿐입니다. 차이를 미분하면 0인데, 기울기가 늘 0인 함수는 평평한 직선이기 때문입니다(미분 7교시의 평균값 정리). 그러므로

입니다. $x = a$를 넣으면 $A(a)$는 폭이 0인 넓이라서 0이고, $0 = F(a) + k$에서 $k = -F(a)$입니다. 즉 $A(x) = F(x) - F(a)$이고, $x = b$를 넣으면 이렇게 됩니다.

넓이를 구하려고 직사각형을 쌓을 필요가 없어졌습니다. 미분하면 $f$가 되는 함수를 찾아 양 끝 값의 차를 구하면 됩니다. 1–2교시의 계산을 다시 해 봅시다.

혜성 첫 낙하(1교시). 속도는 $v(t) = 9.8t$입니다. $(4.9t^2)' = 9.8t$이므로 $F(t) = 4.9t^2$입니다.

1교시에 300칸으로 쪼개 43.953과 44.247 사이에 가두었던 값이 한 줄로 나옵니다. 더구나 $F(t) = 4.9t^2$은 미분 강의의 낙하 거리 $s(t)$ 그 자체입니다. 거리를 미분하면 속도이고, 속도 아래 넓이는 거리입니다. 미분과 적분이 같은 다리를 반대 방향으로 건넙니다.

$y = x^2$ 아래 넓이(2교시). $\left(\dfrac{x^3}{3}\right)' = x^2$이므로

입니다. 2교시에는 $\sum k^2$ 공식과 극한까지 써서 얻은 값입니다.

아래 실습대는 같은 실습대를 혜성 낙하 $v(t) = 9.8t$로 띄운 것입니다. 위 그래프의 칠한 삼각형이 커지는 동안 아래 그래프에 낙하 거리 $4.9x^2$의 포물선이 그려집니다.

3-4. 물탱크 과제: 지금까지 들어온 물 (8분)

이제 오 팀장의 과제를 풉니다. 필요한 것은 미분해서 $r(t) = 6t - t^2$이 되는 함수입니다. 항마다 따로 찾습니다.

• $(3t^2)' = 6t$이므로 $6t$에는 $3t^2$.
• $\left(\dfrac{t^3}{3}\right)' = t^2$이므로 $t^2$에는 $\dfrac{t^3}{3}$.

그래서 $F(t) = 3t^2 - \dfrac{t^3}{3}$입니다. 미분해서 확인하면 $F'(t) = 6t - t^2$으로 맞습니다. 기본정리 2로

입니다. $x = 6$을 넣으면 $3 \times 36 - \dfrac{216}{3} = 108 - 72 = 36$입니다. 6시간 동안 들어온 물은 36톤입니다. $x = 1$이면 $3 - \dfrac{1}{3} = 2.667$, $x = 2$이면 $12 - \dfrac{8}{3} = 9.333$으로, 3-1절의 기록표와 모든 칸이 같습니다.

그래프의 모양도 미분으로 읽을 수 있습니다.

• $A'(x) = r(x) = 6x - x^2 \ge 0$이므로 $A$는 6시간 내내 증가합니다. 물이 빠져나가지 않으니 당연합니다.
• $A''(x) = r'(x) = 6 - 2x$입니다. $x < 3$에서는 양수라 아래로 볼록, $x > 3$에서는 음수라 위로 볼록합니다. $x = 3$이 변곡점입니다(미분 8교시). 물이 가장 빨리 들어오는 순간이 곧 $A$ 그래프가 가장 가파른 곳입니다.
• 빠르기 그래프가 $t = 3$을 중심으로 좌우 대칭이라, 3시간째에 정확히 절반인 18톤이 들어와 있습니다.

도윤이 보고서를 들고 갑니다. 식 하나와 표 하나, 그리고 S자로 휘어 오르는 그래프 하나입니다. "지금까지 들어온 물은 3x² − x³/3톤이에요. 6시간이면 36톤, 3시간째에 딱 절반이요." 오 팀장이 그래프를 들여다봅니다. "식 하나로 끝났네? 어제는 칸을 백 개 넘게 쪼개더니." "어제 건 넓이를 직접 쌓은 거고요, 오늘은 미분을 거꾸로 한 거예요."

3-5. 뉴턴과 라이프니츠, 그리고 기호 ∫ (5분)

넓이를 잘게 잘라 더하는 생각은 고대 그리스의 아르키메데스까지 거슬러 갑니다. 접선을 구하는 방법도 17세기 전반에 여러 수학자가 연구했습니다. 그러나 둘은 오랫동안 서로 다른 문제였습니다. 17세기 후반에 뉴턴(1643–1727)과 라이프니츠(1646–1716)가 각자 이 둘이 서로 거꾸로 된 계산이라는 것을 알아보고, 이를 바탕으로 미적분을 하나의 체계로 만들었습니다. 뉴턴은 1660년대 중반에, 라이프니츠는 1670년대 중반에 이 생각에 이르렀습니다. 둘 중 누가 먼저인지를 두고 오랜 다툼이 있었지만, 오늘날에는 두 사람이 따로 발견했다고 봅니다.

지금 쓰는 기호는 대부분 라이프니츠의 것입니다. $\int$는 '합'을 뜻하는 라틴어 summa의 첫 글자 S를 길게 늘인 모양이고, $dx$는 아주 얇은 폭을 뜻합니다. $\int_a^b f(x)\,dx$는 "높이 $f(x)$ × 폭 $dx$인 띠를 $a$부터 $b$까지 모두 더한 것"이라고 읽으면 2교시의 리만 합과 그대로 이어집니다.

기호 읽는 법

교과서에서는

• 교과서는 $\int_a^x f(t)\,dt$를 "정적분으로 정의된 함수"라고 부르고, $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$를 공식으로 줍니다. 시험에는 "$\int_a^x f(t)\,dt = x^2 - 3x + 2$일 때 $f(x)$와 $a$를 구하시오" 같은 문제가 나옵니다. 양변을 미분해 $f$를 구하고, 양변에 $x = a$를 넣어 $a$를 구합니다(연습 문제 4).
• 교과서는 원시함수를 이용한 계산을 "$\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$"로 씁니다. 대괄호 기호는 5교시에 자세히 씁니다.
• 원시함수를 찾는 방법과 적분상수는 4교시에서 따로 다룹니다. 오늘은 미분 공식을 거꾸로 떠올려 찾았습니다.

자주 하는 착각 (4분)

• "정적분은 위끝을 넣은 값이다." $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$입니다. 아래끝 값 $F(a)$를 빼야 합니다(예제 3-5).
• "$\int_a^x f(t)\,dt$를 미분하면 $f(t)$다." 미분하면 위끝 $x$를 넣은 $f(x)$가 나옵니다. $t$는 안에서만 쓰는 이름이라 밖으로 나오지 않습니다.
• "넓이 함수 $A$가 크면 $f$도 크다." $A$의 높이는 지금까지 쌓인 양이고, $f$는 지금 쌓이는 빠르기입니다. 물탱크의 6시간째는 $A$가 36톤으로 가장 크지만 $r = 0$입니다.
• "적분은 그냥 미분을 거꾸로 한 것이다." 계산은 그렇게 하지만, 뜻은 "잘게 잘라 더한 것"입니다. 둘이 같은 값을 주는 이유가 기본정리입니다. 뜻을 놓치면 넓이·거리·물의 양 문제에서 무엇을 적분해야 할지 정하지 못합니다.

연습 문제 (4분)

1. $A(x) = \int_0^x (t^2 + 2t)\,dt$일 때 $A'(3)$과 $A(0)$을 구하세요.
2. 기본정리 2로 $\int_1^3 3x^2\,dx$와 $\int_0^2 4x^3\,dx$를 구하세요.
3. 물방울 물탱크에서 처음 1시간, 3–4시간, 마지막 1시간(5–6시간) 동안 들어온 물을 각각 구하세요. 처음 1시간과 마지막 1시간이 같은 이유를 그래프로 설명하세요.
4. (서술형) 모든 실수 $x$에서 $\int_a^x f(t)\,dt = x^2 - 3x + 2$가 성립합니다. 함수 $f(x)$와 상수 $a$의 값을 모두 구하는 과정을 쓰세요.
5. 도윤은 $\int_0^3 9.8t\,dt$를 계산할 때 원시함수로 $4.9t^2$ 대신 $4.9t^2 + 10$을 썼습니다. 답이 달라질까요?

풀이

1. 기본정리 1로 $A'(x) = x^2 + 2x$이므로 $A'(3) = 9 + 6 = 15$. 위끝과 아래끝이 같으니 $A(0) = 0$.
2. $(x^3)' = 3x^2$이므로 $\int_1^3 3x^2\,dx = 27 - 1 =$ 26. $(x^4)' = 4x^3$이므로 $\int_0^2 4x^3\,dx = 16 - 0 =$ 16.
3. $F(t) = 3t^2 - \dfrac{t^3}{3}$으로 계산합니다. 처음 1시간은 $F(1) - F(0) = \dfrac{8}{3} \approx 2.667$톤, 3–4시간은 $F(4) - F(3) = \dfrac{80}{3} - 18 = \dfrac{26}{3} \approx 8.667$톤, 5–6시간은 $F(6) - F(5) = 36 - \dfrac{100}{3} = \dfrac{8}{3} \approx 2.667$톤입니다. 빠르기 그래프 $6t - t^2 = 9 - (t - 3)^2$이 $t = 3$을 중심으로 좌우 대칭이라, 0–1시간과 5–6시간의 그래프 아래 모양이 거울에 비친 것처럼 같습니다.
4. 양변을 $x$로 미분하면 왼쪽은 기본정리 1로 $f(x)$가 됩니다. 따라서 $f(x) = 2x - 3$. 양변에 $x = a$를 넣으면 왼쪽은 폭 0인 넓이라서 0이므로 $a^2 - 3a + 2 = 0$, $(a - 1)(a - 2) = 0$입니다. $a = 1$ 또는 $a = 2$. 확인: $a = 1$이면 $\int_1^x (2t - 3)\,dt = (x^2 - 3x) - (1 - 3) = x^2 - 3x + 2$로 맞습니다. $a = 2$일 때도 $(x^2 - 3x) - (4 - 6)$으로 같습니다.
5. 달라지지 않습니다. $(4.9 \times 9 + 10) - (0 + 10) = 44.1$입니다. 원시함수에 붙은 상수는 위끝 값과 아래끝 값에 똑같이 들어 있어서 빼는 순간 사라집니다. 그래서 정적분을 계산할 때는 어떤 원시함수를 써도 됩니다.

퇴근 무렵, 오 팀장이 다시 옵니다. "물탱크 그래프 좋더라. 그런데 이번엔 열차야. 내일 정비 선로에서 열차 세 대를 한 줄로 세워 놓고 같은 제어 프로그램으로 동시에 출발시켜. 속도 식은 셋 다 v(t) = 0.12t² + 2인데, 출발 위치가 0 m, 30 m, 60 m로 달라. 관제 화면에 띄울 위치 식 세 개를 줘." 도윤이 바로 답합니다. "미분해서 0.12t² + 2가 되는 걸 찾으면 되죠. 오늘 한 거잖아요." 그러다 멈칫합니다. "…그런데 하나 찾으면 세 대는 어떻게 해요?" 은재 이모가 말합니다. "미분해서 같은 식이 되는 함수가 몇 개나 있을까? 그게 내일 할 거야." 4교시에서는 원시함수를 모두 모은 부정적분과 적분상수 C, 그리고 자주 쓰는 적분 공식을 익힙니다.