ReflexKR

롤러코스터 설계실의 적분: 넓이로 쌓아 올리는 변화

강의 개요

속도만 남은 기록: 넓이로 거리를 되찾다

잘게 자를수록: 리만 합과 정적분의 정의

넓이를 함수로: 미적분의 기본정리

거꾸로 미분: 부정적분과 적분 공식

넓이에도 부호가 있다: 정적분의 계산과 성질

두 곡선 사이: 넓이 구하기

움직인 만큼, 쌓인 만큼: 속도·거리와 누적

연쇄법칙을 거꾸로: 치환적분

곱의 미분을 거꾸로: 부분적분

잘라서 쌓으면 부피: 입체의 부피, 수치적분, 그리고 정리

롤러코스터 설계실의 적분: 넓이로 쌓아 올리는 변화

7교시

강의 시간 5:00–5:50

움직인 만큼, 쌓인 만큼: 속도·거리와 누적

오늘의 설계 과제

#07 · 오간 카트, 들고 나는 물

이동 거리와 쌓인 물

과제

오 팀장: "정비 카트 기록 봐 줘. 속도계만 달린 카트라 속도만 찍혔어. 0–4초 동안 레일을 몇 m나 오갔는지, 끝에 어디 서 있었는지. 그리고 물방울 물탱크. 내일부터 슬라이드로 물을 1시간에 2톤씩 뺀대. 탱크는 35톤짜리야. 안 넘쳐? 아, 브레이크 66.67 m도 이번엔 어림 말고 정확히. 그래서 몇이야?"

오늘 구할 것

속도를 적분해 위치와 변위를 구하고, 이동 거리와 구분한다. 가속도에서 위치까지 적분을 두 번 한다. 브레이크 구간 거리를 정확히 계산하고, 들어오고 나가는 물로 탱크 물이 가장 많은 때를 찾는다.

솔바람랜드 놀이기구 설계실 · 겨울방학

겨울방학 4주차 화요일 아침입니다. 오 팀장이 내려놓은 종이에는 시각과 속도만 빽빽합니다. 도윤이 첫 줄을 읽다가 고개를 듭니다. "v = 3t² − 12t + 9. 이거 지지난주 금요일에 본 정비 카트잖아요. 그때는 위치에서 속도를 구했는데."

"오늘은 반대야." 은재 이모가 말합니다. 도윤이 계산기를 두드립니다. "속도를 적분하면 위치죠. 0부터 4까지 적분하면… 4. 카트는 4 m 움직였어요." 이모가 속도 그래프를 그려 보입니다. 1초와 3초 사이에서 곡선이 가로축 아래로 내려가 있습니다. "4 m 움직인 카트가 1초에 4 m 지점에 갔다가, 3초에 출발점으로 돌아올 수 있어? 그래프 아래를 봐. 아래쪽 넓이는 어디로 갔지?"

도윤이 숫자를 다시 봅니다. 앞으로 간 만큼과 뒤로 온 만큼이 서로 지워졌습니다. 오늘은 속도를 모아 위치를 되찾는 법, 앞뒤로 오간 움직임에서 변위와 이동 거리를 따로 세는 법, 그리고 같은 생각으로 물탱크에 쌓이는 물을 세는 법을 배웁니다.

7-1. 속도를 쌓으면 위치 (8분)

1교시에서 속도 그래프 아래 넓이가 이동 거리라는 것을 보았습니다. 3교시의 미적분의 기본정리로 말하면 이렇습니다. 위치 $s(t)$ 를 미분하면 속도 $v(t)$ 이므로, $s$ 는 $v$ 의 원시함수입니다. 그러니 속도를 $a$ 초부터 $b$ 초까지 적분하면 그동안의 위치 변화가 나옵니다.

\int_a^b v(t)\,dt = s(b) - s(a)

$a = 0$ 으로 두고 옮기면, 시각 $t$ 의 위치를 처음 위치와 속도의 적분으로 쓸 수 있습니다.

s(t) = s(0) + \int_0^t v(t)\,dt

"지금 위치 = 처음 위치 + 그동안 쌓인 속도"입니다. 적분 기호 안의 $t$ 는 0부터 $t$ 까지 훑고 지나가는 시각이라는 뜻입니다. 교과서도 이렇게 같은 글자를 씁니다.

혜성 첫 낙하로 확인해 봅시다. $v(t) = 9.8t$ , 처음 위치(낙하 시작점)는 0입니다. $9.8t$ 의 원시함수는 $4.9t^2$ 이므로

$t$ (초)	1	2	3
$\int_0^t 9.8t\,dt = 4.9t^2$ (m)	4.9	19.6	44.1

입니다. 3초에 44.1 m. 미분 강의에서 위치 식 $s(t) = 4.9t^2$ 을 받아 미분했던 길을 거꾸로 걸어 같은 자리에 왔습니다. 속도 기록만 있어도, 출발한 자리만 알면 언제든 위치를 되찾을 수 있습니다. 출발한 자리를 모르면 위치는 모르고, 위치 변화만 압니다. 4교시의 적분상수 $C$ 가 바로 이 "출발한 자리"입니다.

직접 풀어 보기

예제 7-1

정비 카트가 레일 시작점에서 10 m 떨어진 곳에서 출발했습니다. 속도는 $v(t) = 2t + 1$ (m/s)입니다. 3초 뒤 카트는 레일 시작점에서 몇 m 지점에 있을까요?

풀이 보기

1단계: 식을 세운다. 지금 위치는 처음 위치에 그동안 쌓인 속도를 더한 것입니다.

s(3) = 10 + \int_0^3 (2t + 1)\,dt

2단계: 원시함수를 찾는다. $2t + 1$ 의 원시함수는 $t^2 + t$ 입니다. 미분하면 $2t + 1$ 이니 맞습니다.

3단계: 계산한다. $\int_0^3 (2t+1)\,dt = (9 + 3) - 0 = 12$ 입니다. 속도가 늘 양수라서 12 m는 그대로 앞으로 간 거리입니다.

답: $10 + 12 = 22$ , 레일 시작점에서 22 m 지점.

직접 풀어 보기

예제 7-2

거꾸로 물어봅니다. 어떤 열차의 속도 그래프에서 0초부터 5초까지 그래프 아래 넓이가 30이었고(속도는 내내 양수), 5초일 때 열차는 레일 위 42 m 지점에 있었습니다. 0초에 열차는 몇 m 지점에 있었을까요?

풀이 보기

1단계: 넓이의 뜻을 읽는다. 속도 그래프 아래 넓이 30은 $\int_0^5 v\,dt = 30$ , 곧 5초 동안의 위치 변화 30 m입니다.

2단계: 식에 넣는다. $s(5) = s(0) + \int_0^5 v\,dt$ 이므로 $42 = s(0) + 30$ 입니다.

답: $s(0) = 12$ , 12 m 지점. 넓이는 위치 자체가 아니라 위치의 변화를 알려 줍니다.

7-2. 변위와 이동 거리: ∫v와 ∫|v| (10분)

이제 정비 카트입니다. 속도는 $v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3)$ 이고, 출발할 때 위치는 0입니다. 1초와 3초에 속도가 0이 되며 부호가 바뀝니다. 0–1초에는 $v > 0$ 이라 앞(+)으로, 1–3초에는 $v < 0$ 이라 뒤(−)로, 3–4초에는 다시 앞으로 갑니다.

아래 실습대의 맨 위는 레일입니다. 주황 상자가 카트이고, 그 아래에 지나온 길이 화살표로 쌓입니다. 앞으로 간 길은 남색, 뒤로 간 길은 진홍색이고, 방향이 바뀔 때마다 한 줄 아래에 새 화살표가 생깁니다. 가운데 그래프가 속도 $v(t)$ (남색 곡선)입니다. 가로축 위의 넓이는 남색, 아래의 넓이는 진홍색으로 칠해집니다. 맨 아래 그래프에는 두 값이 쌓입니다. 청록 곡선은 넓이를 부호 그대로 더한 변위 $\int v\,dt$ , 회색 곡선은 아래쪽 넓이도 양수로 더한 이동 거리 $\int |v|\,dt$ 입니다. 주황 세로선이 지금 시각이고, 오른쪽 조작판에 두 넓이와 변위·이동 거리가 나옵니다. '재생'을 누르거나 t 슬라이더를 끌어 보세요.

앞으로 (v > 0)
뒤로 (v < 0)
변위 ∫v
이동 거리 ∫|v|
지금 시각

v(t) = 3t² − 12t + 9 (0–4초)

t0초

앞으로 간 넓이 (+) 0
뒤로 간 넓이 (−) 0

변위 ∫v dt = 0 m
이동 거리 ∫|v| dt = 0 m
지금 위치 s(t) = 0 m

'재생'을 누르면 출발합니다. 속도 그래프 아래 넓이가 쌓이는 만큼 레일 위에서 움직입니다.

'재생'을 누르고 1초까지 지켜보세요. 남색 넓이가 4가 될 때 카트가 4 m 지점에 섭니다. 1–3초에는 진홍 넓이가 쌓이며 카트가 출발점으로 돌아오는데, 청록(변위)은 4에서 0으로 내려가고 회색(이동 거리)은 4에서 8로 계속 오릅니다. 4초 끝에는 변위 4 m, 이동 거리 12 m입니다. '첫 낙하'를 고르면 속도가 늘 양수라 두 곡선이 겹칩니다.

실습대에서 본 것을 정리합니다. 원시함수 $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ 로 구간마다 적분합니다. $s(0) = 0$ , $s(1) = 4$ , $s(3) = 0$ , $s(4) = 4$ 입니다.

구간	0–1초	1–3초	3–4초	합
$\int v\,dt$ (부호 그대로)	$+4$	$-4$	$+4$	$4$
$\int \lvert v \rvert\,dt$ (넓이 그대로)	4	4	4	12

두 가지 질문은 다른 값을 묻습니다.

변위(displacement): 끝 위치 − 처음 위치. $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt = s(b) - s(a)$ . 뒤로 간 넓이는 빼진다.

이동 거리(distance traveled): 실제로 레일 위를 지나간 길이. $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ . 뒤로 간 넓이도 더한다.

이동 거리를 계산하는 순서는 늘 같습니다.

$v(t) = 0$ 인 시각을 찾는다(방향이 바뀌는 곳).
그 시각에서 구간을 나눈다.
구간마다 $\int v\,dt$ 를 계산한다.
음수로 나온 것은 부호를 뒤집어(절댓값으로) 모두 더한다.

0–3초만 보면 더 뚜렷합니다. 변위는 $s(3) - s(0) = 0$ 이지만, 카트는 그동안 $4 + 4 = 8$ m를 움직였습니다. 레일 바퀴가 닳는 정도, 카트가 쓰는 전기는 변위가 아니라 이동 거리를 따라갑니다.

은재 이모의 한마디

넓이를 그냥 더하면 앞으로 간 만큼과 뒤로 온 만큼이 서로 지워져. '얼마나 움직였냐'고 물으면 v가 0이 되는 데서 끊고, 아래쪽 넓이는 부호를 뒤집어서 더해.

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예제 7-3

도윤은 정비 카트의 0–4초 동안의 이동 거리를 이렇게 구했습니다. 어디가 틀렸을까요?

$\int_0^4 (3t^2 - 12t + 9)\,dt = \left[t^3 - 6t^2 + 9t\right]_0^4 = 64 - 96 + 36 = 4$ . 카트는 4 m 움직였다.

풀이 보기

틀린 곳: 변위를 이동 거리로 답했습니다. 계산 자체는 맞습니다. $\int_0^4 v\,dt = 4$ 는 끝 위치 − 처음 위치, 곧 변위입니다.

1단계: 방향이 바뀌는 곳을 찾는다. $v = 3(t-1)(t-3) = 0$ 에서 $t = 1, 3$ 입니다.

2단계: 구간마다 적분한다. $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ 로 $s(1) - s(0) = 4$ , $s(3) - s(1) = -4$ , $s(4) - s(3) = 4$ 입니다.

3단계: 절댓값을 더한다. $4 + 4 + 4 = 12$ .

답: 이동 거리는 12 m다(변위는 4 m). 시험에서 "움직인 거리"는 언제나 $\int |v|\,dt$ 입니다.

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예제 7-4

그래프를 읽어 봅니다. 수직선 위를 움직이는 점의 속도 그래프가 다음 점들을 차례로 곧게 잇는 꺾은선입니다(시각 초, 속도 m/s).

$(0, 0)$ → $(2, 4)$ → $(4, 0)$ → $(6, -2)$ → $(7, 0)$

0–7초 동안의 변위와 이동 거리를 구하세요.

풀이 보기

1단계: 넓이를 도형으로 나눈다. 속도가 0이 되는 4초에서 끊습니다.

0–4초: 가로축 위의 삼각형. 밑변 4, 높이 4이므로 넓이 $\frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ .
4–7초: 가로축 아래의 삼각형. 밑변 3, 깊이 2이므로 넓이 $\frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ .

2단계: 부호를 붙여 더하면 변위. $8 + (-3) = 5$ .

3단계: 넓이 그대로 더하면 이동 거리. $8 + 3 = 11$ .

답: 변위 5 m, 이동 거리 11 m. 식이 없어도 그래프 아래 넓이를 도형으로 셀 수 있습니다.

7-3. 가속도에서 위치까지: 적분 두 번 (7분)

미분 10교시에서는 위치를 두 번 미분해 가속도를 얻었습니다. 오늘은 그 길을 거꾸로 갑니다. 가속도를 적분하면 속도, 속도를 적분하면 위치입니다.

\begin{aligned} v(t) &= v(0) + \int_0^t a(t)\,dt \\ s(t) &= s(0) + \int_0^t v(t)\,dt \end{aligned}

거꾸로 갈 때마다 처음 값이 하나씩 필요합니다. 원시함수를 찾을 때마다 적분상수 $C$ 가 하나 붙고, 그것을 처음 속도 $v(0)$ 와 처음 위치 $s(0)$ 가 정해 주기 때문입니다.

첫 낙하. 가속도는 중력가속도로 일정해 $a = 9.8$ 입니다. 정지 상태에서 떨어지므로 $v(0) = 0$ , 낙하 시작점을 0으로 잡아 $s(0) = 0$ 입니다.

\begin{aligned} v(t) &= 0 + \int_0^t 9.8\,dt = 9.8t \\ s(t) &= 0 + \int_0^t 9.8t\,dt = 4.9t^2 \end{aligned}

정비 카트. 카트의 가속도 기록은 $a(t) = 6t - 12$ 였고, 출발할 때 속도는 9 m/s, 위치는 0이었습니다.

\begin{aligned} v(t) &= 9 + \int_0^t (6t - 12)\,dt \\ &= 3t^2 - 12t + 9 \\ s(t) &= 0 + \int_0^t (3t^2 - 12t + 9)\,dt \\ &= t^3 - 6t^2 + 9t \end{aligned}

미분 10교시의 카트 식이 그대로 돌아왔습니다. 처음 속도를 9가 아니라 0으로 잘못 넣으면 $v(t) = 3t^2 - 12t$ 가 되어 전혀 다른 카트가 됩니다. 1초 뒤 속도가 0이 아니라 −9 m/s로 나옵니다.

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예제 7-5

정비 카트가 9 m/s로 달리다가 브레이크를 걸었습니다. 브레이크를 건 순간을 $t = 0$ 으로 잡으면 가속도는 $a = -3$ m/s²로 일정합니다. 카트는 몇 초 뒤에 멈추고, 그동안 몇 m를 갈까요?

풀이 보기

1단계: 가속도를 적분해 속도를 구한다. 처음 속도가 9이므로

v(t) = 9 + \int_0^t (-3)\,dt = 9 - 3t

2단계: 멈추는 때. $v(t) = 0$ 에서 $t = 3$ 초입니다.

3단계: 속도를 적분해 거리를 구한다. 0–3초 동안 $v \ge 0$ 이라 변위와 이동 거리가 같습니다.

\begin{aligned} \int_0^3 (9 - 3t)\,dt &= \left[9t - \frac{3}{2}t^2\right]_0^3 \\ &= 27 - 13.5 = 13.5 \end{aligned}

확인: 속도 그래프는 9에서 0까지 내려가는 직선이니, 그 아래는 밑변 3, 높이 9인 삼각형이고 넓이는 $\frac{1}{2} \times 3 \times 9 = 13.5$ 입니다.

답: 3초 뒤에 멈추고, 그동안 13.5 m를 간다.

7-4. 브레이크 구간 66.67 m, 이번엔 정확히 (6분)

자기 브레이크 구간에서 혜성의 속도는 $v(t) = 25e^{-0.3t}$ m/s입니다(미분 6교시). 5 m/s까지 줄어드는 때는 $e^{-0.3t} = \frac{1}{5}$ 에서 $T = \frac{\ln 5}{0.3} \approx 5.36$ 초였습니다. 2교시에서는 직사각형을 쌓아 그동안 간 거리를 어림만 했습니다. 이제 정확히 구합니다.

필요한 것은 $e^{-0.3t}$ 의 원시함수입니다. 4교시에서 $\int e^x\,dx = e^x + C$ 와 함께, 지수에 상수 $k$ 가 곱해진 경우도 배웠습니다(예제 4-6). 다시 짚으면, 연쇄법칙으로 $(e^{kt})' = ke^{kt}$ 이므로 미분해서 $e^{kt}$ 가 되는 함수는 $\frac{1}{k}e^{kt}$ 입니다.

\int e^{kt}\,dt = \frac{1}{k}e^{kt} + C \qquad (k \ne 0)

$k = -0.3$ 을 넣으면 $25e^{-0.3t}$ 의 원시함수는 $-\dfrac{25}{0.3}e^{-0.3t} = -\dfrac{250}{3}e^{-0.3t}$ 입니다. 미분하면 $-\frac{250}{3} \times (-0.3)e^{-0.3t} = 25e^{-0.3t}$ 로 돌아옵니다.

\begin{aligned} \int_0^T 25e^{-0.3t}\,dt &= \left[-\frac{250}{3}e^{-0.3t}\right]_0^T \\ &= \frac{250}{3}\left(1 - e^{-0.3T}\right) \\ &= \frac{250}{3}\left(1 - \frac{1}{5}\right) \\ &= \frac{200}{3} \approx 66.67 \end{aligned}

66.67 m. 브레이크 구간 70 m 안에서 5 m/s까지 줄어듭니다. 여유는 약 3.33 m입니다. 같은 식을 $\frac{25 - 5}{0.3}$ 로 읽을 수도 있습니다. $25e^{-0.3T}$ 가 바로 그때의 속도 5이기 때문입니다. 브레이크가 끝없이 붙잡는다면 $e^{-0.3t}$ 가 0에 다가가 거리는 $\frac{250}{3} \approx 83.33$ m에 다가갑니다.

$t$ (초)	1	2	3	4	5	5.36
속도 (m/s)	18.52	13.72	10.16	7.53	5.58	5
간 거리 (m)	21.60	37.60	49.45	58.23	64.74	66.67

실습대에서 '자기 브레이크'를 고르면 이 구간을 볼 수 있습니다. 레일 그림의 회색 점선이 구간 끝 70 m이고, 속도 그래프의 회색 가로선이 5 m/s입니다.

앞으로 (v > 0)
뒤로 (v < 0)
변위 ∫v
이동 거리 ∫|v|
지금 시각

v(t) = 25e^(−0.3t) (5 m/s가 될 때까지)

t0초

앞으로 간 넓이 (+) 0
뒤로 간 넓이 (−) 0

변위 ∫v dt = 0 m
이동 거리 ∫|v| dt = 0 m
지금 위치 s(t) = 0 m

'재생'을 누르면 출발합니다. 속도 그래프 아래 넓이가 쌓이는 만큼 레일 위에서 움직입니다.

'재생'을 누르면 브레이크 구간 5.36초를 보여 줍니다. 처음 1초에 21.6 m를 가고, 속도가 줄수록 넓이가 쌓이는 빠르기도 줄어듭니다. 속도가 5 m/s에 닿는 끝에서 넓이는 66.67, 열차는 70 m 점선 바로 앞에 섭니다. t 슬라이더를 2초에 두면 37.6 m입니다.

직접 풀어 보기

예제 7-6

브레이크 구간에서 $v(t) = 25e^{-0.3t}$ 입니다. (1) 들어오고 2초 동안 간 거리는? (2) 50 m를 가는 데 몇 초 걸릴까요? ( $e^{-0.6} \approx 0.5488$ , $\ln 2.5 \approx 0.9163$ , 소수 둘째 자리까지)

풀이 보기

(1) 원시함수 $-\frac{250}{3}e^{-0.3t}$ 로 0부터 2까지 계산합니다.

\begin{aligned} \int_0^2 25e^{-0.3t}\,dt &= \frac{250}{3}\left(1 - e^{-0.6}\right) \\ &\approx 83.333 \times 0.4512 \\ &\approx 37.60 \end{aligned}

(2) $t$ 초까지 간 거리는 $\frac{250}{3}(1 - e^{-0.3t})$ 입니다. 이것이 50이 되려면

\begin{aligned} 1 - e^{-0.3t} &= \frac{50 \times 3}{250} = 0.6 \\ e^{-0.3t} &= 0.4 \end{aligned}

양변에 $\ln$ 을 취하면 $-0.3t = \ln 0.4 = -\ln 2.5$ , 그러므로 $t = \frac{\ln 2.5}{0.3} \approx \frac{0.9163}{0.3} \approx 3.05$ 초입니다.

답: (1) 약 37.60 m (2) 약 3.05초. 처음 2초에 37.6 m를 가지만, 그다음 12.4 m에는 1초가 넘게 걸립니다. 느려질수록 넓이가 천천히 쌓이기 때문입니다.

7-5. 변화율을 쌓으면 총 변화량: 물탱크 (10분)

속도와 위치 사이에서 본 일은 어떤 양에서도 똑같이 일어납니다. 어떤 양 $Q(t)$ 의 변화율 $Q'(t)$ 를 적분하면 그 양의 총 변화량이 나옵니다.

\int_a^b Q'(t)\,dt = Q(b) - Q(a)

변화율 (단위)	적분하면 (단위)
속도 (m/s)	위치 변화 (m)
물이 들어오는 빠르기 (톤/시간)	들어온 물 (톤)
입장 게이트를 지나는 빠르기 (명/시간)	입장객 수 (명)
전력 (kW)	쓴 전기 (kWh)

단위로 확인할 수 있습니다. (톤/시간) × (시간) = 톤입니다. 변화율 그래프 아래 넓이의 단위가 언제나 "원래 양"의 단위입니다.

물방울 물탱크. 3교시에서 물탱크에 들어오는 물의 빠르기를 $r(t) = 6t - t^2$ (톤/시간, $0 \le t \le 6$ )로 보았고, 6시간 동안 들어온 물이 36톤이었습니다. 이제 나가는 물이 있습니다. 슬라이드로 1시간에 2톤씩 일정하게 빠져나갑니다. 펌프를 켤 때 탱크에는 10톤이 있었고, 탱크는 35톤을 넘으면 넘칩니다. 탱크의 물 $W(t)$ 의 변화율은 (들어오는 빠르기) − (나가는 빠르기)입니다.

\begin{aligned} W(t) &= 10 + \int_0^t \left(6t - t^2 - 2\right) dt \\ &= 10 + 3t^2 - \frac{t^3}{3} - 2t \end{aligned}

6시간 끝에는 들어온 물 36톤, 나간 물 $2 \times 6 = 12$ 톤이라 $W(6) = 10 + 36 - 12 = 34$ 톤입니다. 그러면 가장 많을 때가 34톤일까요?

아래 실습대의 위 그래프에서 남색 곡선이 들어오는 빠르기 $r(t)$ , 진홍 가로선이 나가는 빠르기입니다. 두 선 사이는 들어오는 쪽이 클 때 남색(물이 늘어남), 나가는 쪽이 클 때 진홍색(물이 줄어듦)으로 칠해집니다. 아래 그래프의 청록 곡선이 탱크의 물 $W(t)$ 이고, 진홍 점선이 넘침 선 35톤입니다. 오른쪽에는 물탱크 그림과 '나가는 빠르기 c' 슬라이더가 있습니다.

들어오는 빠르기 r(t) = 6t − t²
나가는 빠르기
탱크의 물 W(t)
t

늘어나는 중 (r > 나감)줄어드는 중 (r < 나감)

t0시간

나가는 빠르기 c (톤/시간)

들어온 물 ∫r 0
나간 물 0
탱크의 물 W(t) = 10 + 0 − 0 = 10

지금까지 가장 많았을 때: t = 0, 10톤

'재생'을 누르면 펌프가 켜집니다. 처음 탱크에는 물이 10톤 있습니다.

'재생'을 누르세요. 처음 20분쯤은 들어오는 물(남색)이 2톤/시간보다 적어 물이 조금 줄고, 그 뒤로는 남색 넓이만큼 쌓입니다. 3시간에 들어오는 빠르기가 가장 크지만 물은 계속 늘어납니다. 약 5.65시간에 두 선이 다시 만날 때 물이 가장 많고(34.35톤), 그 뒤로는 조금 줄어 6시간에 34톤입니다. 나가는 빠르기를 1.5로 내리고 다시 재생하면 넘침 선을 넘습니다.

직접 풀어 보기

예제 7-7

오늘의 설계 과제. 위 물탱크에서 물이 가장 많은 때와 그 양을 구하고, 35톤 탱크가 넘치지 않는지 답하세요. ( $\sqrt{7} \approx 2.6458$ )

풀이 보기

1단계: 늘다가 줄어드는 곳을 찾는다. $W'(t) = r(t) - 2$ 입니다. 들어오는 쪽이 크면 물이 늘고, 나가는 쪽이 크면 줍니다. 그러니 가장 많은 때의 후보는 두 빠르기가 같은 때입니다.

\begin{aligned} 6t - t^2 &= 2 \\ t^2 - 6t + 2 &= 0 \\ t &= 3 \pm \sqrt{7} \end{aligned}

$t \approx 0.35$ 와 $t \approx 5.65$ 입니다.

2단계: 부호를 본다. $W'(0) = -2 < 0$ , $W'(3) = 7 > 0$ , $W'(6) = -2 < 0$ 입니다. 0.35시간에는 줄다가 늘어나니 가장 적고, 5.65시간에는 늘다가 줄어드니 가장 많습니다.

3단계: 양을 계산한다. $t = 3 + \sqrt{7} \approx 5.6458$ 을 $W(t) = 10 + 3t^2 - \frac{t^3}{3} - 2t$ 에 넣으면

\begin{aligned} W(5.6458) &\approx 10 + 95.625 \\ &\quad - 59.987 - 11.292 \\ &\approx 34.35 \end{aligned}

정확히는 $22 + \frac{14\sqrt{7}}{3}$ 입니다. 끝값 $W(6) = 34$ , 처음 $W(0) = 10$ 보다 큽니다.

답: 펌프를 켜고 약 5.65시간 뒤 34.35톤으로 가장 많다. 35톤을 넘지 않으므로 넘치지 않는다(여유 약 0.65톤). 가장 많은 때는 들어오는 빠르기가 가장 큰 3시간이 아니라, 들어오는 빠르기가 나가는 빠르기까지 떨어진 때입니다.

도윤이 탱크 표를 오 팀장에게 내밉니다. "5.65시간 뒤에 34.35톤이 최고예요. 안 넘쳐요. 그런데 여유가 0.65톤뿐이라, 나가는 물을 1.5톤으로 줄이면 넘쳐요." 오 팀장이 고개를 끄덕입니다. "2톤 밑으로는 못 줄인다고 전할게."

기호 읽는 법

기호	읽는 법	뜻
$\int_a^b v(t)\,dt$	a부터 b까지 브이 티 디티의 적분	변위. 위치 변화 $s(b) - s(a)$
$\int_a^b \lvert v(t) \rvert\,dt$	a부터 b까지 절댓값 브이 티 디티의 적분	이동 거리
$s(0) + \int_0^t v\,dt$	에스 영 더하기 영부터 티까지 브이 디티의 적분	시각 $t$ 의 위치
$\int_a^b Q'(t)\,dt$	a부터 b까지 큐 프라임 티 디티의 적분	$Q$ 의 총 변화량 $Q(b) - Q(a)$

교과서에서는

교과서는 "수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$ 에서의 속도가 $v(t)$ 이고 $t = 0$ 일 때 위치가 $x_0$ "이라고 쓰고, 시각 $t$ 의 위치를 $x = x_0 + \int_0^t v(t)\,dt$ 로 씁니다.
"시각 $t = a$ 에서 $t = b$ 까지 점 P의 위치의 변화량"은 $\int_a^b v(t)\,dt$ , "점 P가 움직인 거리"(이 강의의 이동 거리)는 $\int_a^b |v(t)|\,dt$ 입니다. 두 말을 구별하는 것이 채점 포인트입니다.
자주 나오는 꼴: "점 P가 출발 후 처음으로 원점으로 돌아올 때까지 움직인 거리", "운동 방향을 바꾸는 시각의 위치". 원점으로 돌아온다는 것은 위치 $= 0$ , 곧 $\int_0^t v\,dt = 0$ 이 되는 $t$ 를 찾으라는 뜻입니다.
속도 그래프만 주고 묻는 문제는 넓이를 도형(삼각형, 사다리꼴)으로 셉니다(예제 7-4).

자주 하는 착각 (4분)

"∫v dt가 이동 거리다." $\int v\,dt$ 는 변위입니다. 뒤로 간 넓이가 음수로 들어가 앞으로 간 만큼을 지웁니다. 이동 거리는 $\int |v|\,dt$ 입니다(예제 7-3).
"∫|v| dt는 ∫v dt에 절댓값을 씌운 것이다." $\left|\int v\,dt\right|$ 은 변위의 크기일 뿐입니다. 정비 카트 0–4초에서 $\left|\int v\,dt\right| = 4$ , $\int |v|\,dt = 12$ 입니다. 절댓값은 적분 안에서 씌웁니다.
"속도를 적분하면 위치가 나온다." 위치 변화가 나옵니다. 위치를 알려면 처음 위치를 더해야 합니다(예제 7-2).
"들어오는 빠르기가 가장 클 때 물이 가장 많다." 그때도 물은 계속 늘고 있습니다. 물이 가장 많은 때는 늘다가 줄기 시작하는 때, 곧 들어오는 빠르기 = 나가는 빠르기가 되는 때입니다(예제 7-7).
"가속도를 두 번 적분하면 위치다." 맞지만, 처음 속도와 처음 위치를 하나씩 넣어야 합니다. 빠뜨리면 다른 물체의 움직임이 나옵니다.

연습 문제 (5분)

수직선 위를 움직이는 점 P의 속도가 $v(t) = t^2 - 4t + 3$ $(0 \le t \le 4)$ 이고, $t = 0$ 일 때 위치는 2입니다. (1) $t = 4$ 일 때 P의 위치를 구하세요. (2) 0–4초 동안 P가 이동 거리를 구하세요.
10 m/s로 달리던 카트가 가속도 $-2$ m/s²로 일정하게 느려집니다. 멈출 때까지 몇 초가 걸리고, 그동안 몇 m를 갈까요?
물방울 물탱크에서 나가는 빠르기를 3톤/시간으로 바꿨습니다(처음 10톤, 들어오는 빠르기 $r(t) = 6t - t^2$ , $0 \le t \le 6$ ). 물이 가장 많은 때와 그 양을 구하세요. ( $\sqrt{6} \approx 2.449$ )
솔바람랜드의 하루 전력 사용 빠르기가 개장 후 $t$ 시간에 $P(t) = 400 + 60t - 5t^2$ (kW)입니다. 개장부터 12시간 동안 쓴 전기는 몇 kWh일까요?
(서술형) 자기 브레이크 구간에서 $v(t) = 25e^{-0.3t}$ 입니다. 브레이크 구간이 끝나는 70 m 지점을 지날 때 열차의 속도를 구하세요. 간 거리를 그때 속도로 나타내는 식을 세워 풀이 과정을 쓰세요.

풀이

원시함수는 $\frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t$ 입니다. (1) $\int_0^4 v\,dt = \frac{64}{3} - 32 + 12 = \frac{4}{3}$ 이므로 위치는 $2 + \frac{4}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33$ 입니다. (2) $v = (t-1)(t-3)$ 이 1과 3에서 부호를 바꿉니다. $\int_0^1 v\,dt = \frac{4}{3}$ , $\int_1^3 v\,dt = -\frac{4}{3}$ , $\int_3^4 v\,dt = \frac{4}{3}$ 이므로 이동 거리는 $\frac{4}{3} \times 3 =$ 4입니다.
$v(t) = 10 - 2t$ 이고 $v = 0$ 에서 $t = 5$ 입니다. $\int_0^5 (10 - 2t)\,dt = 50 - 25 = 25$ . 5초 뒤 멈추고, 25 m를 간다. (밑변 5, 높이 10인 삼각형 넓이와 같습니다.)
$W(t) = 10 + 3t^2 - \frac{t^3}{3} - 3t$ , $W'(t) = 6t - t^2 - 3$ 입니다. $W' = 0$ 에서 $t^2 - 6t + 3 = 0$ , $t = 3 \pm \sqrt{6}$ 이고 $W'$ 의 부호는 −, +, −입니다. 가장 많은 때는 $t = 3 + \sqrt{6} \approx 5.45$ 시간이고, $W \approx 10 + 89.09 - 53.95 - 16.35 \approx$ 28.80톤입니다(정확히는 $19 + 4\sqrt{6}$ ). 6시간 끝의 $10 + 36 - 18 = 28$ 톤보다 조금 많습니다.
$\int_0^{12} (400 + 60t - 5t^2)\,dt = \left[400t + 30t^2 - \frac{5}{3}t^3\right]_0^{12} = 4800 + 4320 - 2880 =$ 6240 kWh입니다. (kW) × (시간) = kWh입니다.
$t$ 초까지 간 거리는 $s(t) = \int_0^t 25e^{-0.3t}\,dt = \frac{250}{3}(1 - e^{-0.3t}) = \frac{25 - 25e^{-0.3t}}{0.3}$ 입니다. $25e^{-0.3t}$ 는 그때의 속도 $v$ 이므로 $s = \frac{25 - v}{0.3}$ , 곧 $v = 25 - 0.3s$ 입니다. $s = 70$ 을 넣으면 $v = 25 - 21 = 4$ 입니다. 70 m 지점에서 4 m/s. 5 m/s가 되는 66.67 m보다 더 갔으니 5보다 느린 것이 맞습니다. (그때는 $e^{-0.3t} = 0.16$ , $t = \frac{\ln 6.25}{0.3} \approx 6.11$ 초입니다.)

도윤의 미분 노트

속도를 적분하면 위치 변화: ∫ₐᵇ v dt = s(b) − s(a). 위치는 s(t) = s(0) + ∫₀ᵗ v dt. 처음 위치가 필요하다.
변위는 ∫v dt(뒤로 간 넓이를 뺀다), 이동 거리는 ∫|v| dt(v = 0인 곳에서 끊고 넓이를 모두 더한다). 정비 카트 0–4초: 변위 4 m, 거리 12 m.
가속도 → 속도 → 위치는 적분 두 번. 그때마다 처음 속도·처음 위치로 적분상수를 정한다.
브레이크: ∫₀ᵀ 25e^(−0.3t) dt = (25 − 5)/0.3 = 66.67 m. 70 m 안. 끝없이 가면 83.33 m.
변화율을 적분하면 총 변화량. 물탱크는 들어오는 빠르기 = 나가는 빠르기일 때 가장 많다(5.65시간, 34.35톤).
시험에서 이걸 만나면: '위치의 변화량'은 ∫v, '움직인 거리'(이동 거리)는 ∫|v|. v = 0인 시각부터 찾고 구간을 나눈다.

퇴근 무렵, 오 팀장이 서류 한 장을 더 들고 옵니다. "하늘바퀴 칸에 단 센서 업체가 계산서를 보냈어. 칸이 처음 3분 동안 59.7 m 올라갔대. 상승 속도 5π sin(πt/6)을 적분했다는데, 맞아?" 도윤이 식을 봅니다. "sin 안에 πt/6가 들어 있네요. 4교시 공식에는 sin t밖에 없었는데." 은재 이모가 웃습니다. "오늘 e^(−0.3t)는 어떻게 풀었어? 미분해서 맞춰 봤잖아. 내일은 그걸 규칙으로 만들자. 연쇄법칙을 거꾸로 돌리는 거야." 8교시에서는 속 함수가 들어 있는 적분을 바꿔 넣어 푸는 치환적분을 배우고, 업체의 59.7 m가 맞는지 따져 봅니다.

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6교시 · 두 곡선 사이: 넓이 구하기

8교시 · 연쇄법칙을 거꾸로: 치환적분

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