곱의 미분을 거꾸로: 부분적분

4주차 목요일 아침입니다. 어제는 연쇄법칙을 거꾸로 읽어 치환적분을 배웠습니다. 도윤은 오 팀장이 두고 간 식을 보자마자 펜을 듭니다. "곱이네요. 3t를 적분하면 1.5t², e^(−0.3t)를 적분하면 e^(−0.3t) ÷ (−0.3). 둘을 곱하면 끝이죠?"

은재 이모가 고개를 기울입니다. "미분해서 확인해 봐. 그게 다시 3t·e^(−0.3t)가 나와?" 도윤이 곱의 미분법으로 미분해 봅니다. 앞을 미분하고 뒤는 그대로, 더하기 앞은 그대로 두고 뒤를 미분. 항이 두 개 나오고, 둘 다 원래 식과 다릅니다. "…안 나와요."

"곱의 미분이 왜 항 두 개였는지 기억나? 첫 주 광장 그림." 도윤이 떠올립니다. 넓어지는 직사각형에 띠 두 개가 붙던 그림입니다. "띠 두 개요. 오른쪽 띠랑 위쪽 띠." "어제는 연쇄법칙을 거꾸로 읽었지. 오늘은 그 띠 두 개를 거꾸로 읽어. 곱을 적분하는 길이 거기서 나와."

이번 교시에서는 곱의 미분법을 거꾸로 읽어 부분적분법을 만들고, 직사각형 그림으로 그 뜻을 봅니다. 무엇을 미분하고 무엇을 적분할지 고르는 요령을 익힌 뒤, 브레이크 판의 온도 상승을 정확히 구합니다.

9-1. 곱의 미분법을 거꾸로 읽기 (9분)

먼저 미분 사실 하나를 다시 짚습니다. 미분 5교시의 곱의 미분법입니다. 두 함수 $f$, $g$를 곱한 함수의 도함수는 이렇습니다.

그러니 곱은 따로따로 적분해서 곱하면 안 됩니다. $\int x e^x\,dx$를 그렇게 하면 $\dfrac{x^2}{2}e^x$이 나오는데, 이것을 미분하면 $xe^x + \dfrac{x^2}{2}e^x$입니다. 항이 하나 더 붙었습니다. $x = 1$에서는 $1.5e \approx 4.077$로, 원래 식의 값 $e \approx 2.718$과 다릅니다.

이제 곱의 미분법의 양변을 적분합니다. 4교시에서 본 것처럼 $\int F'(x)\,dx = F(x) + C$이므로 왼쪽은 $f(x)g(x)$가 됩니다.

오른쪽의 적분 하나를 왼쪽으로 옮기면 공식이 나옵니다. 함수 이름을 $u = f$, $v = g$로 바꿔 씁니다.

$du = u'(x)\,dx$, $dv = v'(x)\,dx$로 줄여 쓰면 외우기 쉬운 꼴이 됩니다.

이 공식이 하는 일은 적분 하나를 다른 적분으로 바꾸는 것입니다. $u$는 미분하고 $v'$은 적분합니다. 바꾼 적분 $\int u'v\,dx$가 처음 것보다 쉬우면 성공입니다.

숫자로 한 번 해 봅시다. $\int xe^x\,dx$에서 $u = x$, $v' = e^x$로 놓습니다. 그러면 $u' = 1$, $v = e^x$입니다.

$x$를 미분해 1로 만들었더니 남은 적분이 $\int e^x\,dx$로 쉬워졌습니다. 미분해서 확인합니다. $\{(x-1)e^x\}' = e^x + (x-1)e^x = xe^x$. 맞습니다. 정적분으로도 한 번 넣어 보면 $\int_0^1 xe^x\,dx = \Big[(x-1)e^x\Big]_0^1 = 0 - (-1) = 1$입니다.

$v$에는 $+C$를 붙이지 않나요? 붙여도 결과가 같습니다. $v = e^x + K$로 해 보면 $x(e^x + K) - \int (e^x + K)\,dx = xe^x + Kx - e^x - Kx$이고, $Kx$가 서로 지워집니다. 그래서 $v$는 아무 원시함수나 하나 골라 쓰고, $+C$는 맨 끝에 한 번만 붙입니다.

9-2. 직사각형 그림으로 보는 부분적분 (8분)

공식을 그림으로 봅시다. $x$가 $a$에서 $b$까지 움직일 때, 점 $P = (u(x), v(x))$를 가로축이 $u$, 세로축이 $v$인 평면에 찍습니다. 그러면 $P$가 곡선 하나를 그립니다. $P$를 한 꼭짓점으로, 원점을 맞은편 꼭짓점으로 하는 직사각형의 넓이는 $uv$입니다.

이 직사각형을 곡선이 두 조각으로 나눕니다.

• 곡선과 $v$축 사이의 조각: 가로로 얇게 자르면 띠 하나는 길이 $u$, 두께 $dv$입니다. 띠를 모두 더하면 $\int u\,dv$입니다.
• 곡선과 $u$축 사이의 조각: 세로로 얇게 자르면 띠 하나는 높이 $v$, 폭 $du$입니다. 모두 더하면 $\int v\,du$입니다.

$P$가 조금 움직이면 직사각형은 위쪽 띠 $u\,dv$와 오른쪽 띠 $v\,du$만큼 자랍니다. 미분 5교시의 광장 그림과 똑같습니다. 그때는 이것을 $d(uv) = u\,dv + v\,du$로 읽었습니다. 처음부터 끝까지 띠를 모두 모으면 이렇게 됩니다.

$\int v\,du$를 왼쪽으로 옮기면 부분적분 공식입니다. 부분적분은 "직사각형 넓이에서 다른 조각을 빼면 이 조각이 남는다"는 말입니다.

아래 실습대의 가로축은 $u$, 세로축은 $v$입니다. 진한 회색 곡선이 점 $P$가 지나온 길이고, 회색 점선은 남은 길입니다. 남색 조각이 $\int u\,dv$, 청록 조각이 $\int v\,du$, 회색 점선 직사각형이 $uv$입니다. '곡선 따라가기'를 누르면 $P$(주황)가 출발점에서 끝점까지 움직이고, 직사각형이 자라는 동안 주황 띠 두 개가 새로 붙는 $u\,dv$와 $v\,du$를 보여 줍니다. $P$를 직접 끌거나 ← → 키로 옮겨도 됩니다. 오른쪽 표에는 두 조각의 넓이와 직사각형 넓이가 나옵니다.

실습대의 숫자를 모으면 이렇습니다(소수 셋째 자리까지).

어느 줄이든 남색 + 청록 = 마지막 칸입니다. 첫째 줄과 셋째 줄의 숫자가 똑같은 것은 우연이 아닙니다. 셋째 줄의 점 $P = (\ln x, x)$는 $w = \ln x$로 두면 $(w, e^w)$이고, $x$가 1에서 $e$까지 갈 때 $w$는 0에서 1까지 갑니다. 첫째 줄과 같은 곡선입니다. 그래서 $\int_1^e \ln x\,dx$와 $\int_0^1 xe^x\,dx$는 같은 조각의 넓이이고, 둘 다 1입니다.

맨 아래 줄은 출발점 $(1, e)$가 원점에서 떨어져 있습니다. 그래서 큰 직사각형 $2e^2$에서 작은 직사각형 $1 \cdot e$를 빼야 합니다. 정적분의 부분적분에서 $\Big[uv\Big]_a^b = u(b)v(b) - u(a)v(a)$의 뒤쪽 항이 바로 이 작은 직사각형입니다.

기호 읽는 법

9-3. 무엇을 u로 놓을까: 로다삼지 (8분)

부분적분은 $u$를 잘못 고르면 더 어려워집니다. $\int xe^x\,dx$에서 거꾸로 $u = e^x$, $v' = x$로 놓아 봅시다. 그러면 $v = \dfrac{x^2}{2}$이고

입니다. 남은 적분에 $x^2$이 들어 있어 처음보다 더 어렵습니다. 고르는 원칙은 하나입니다. 미분하면 단순해지는 것을 $u$로, 적분할 수 있는 것을 $v'$으로.

교과서와 참고서는 이것을 순서로 외우게 합니다. 아래 순서에서 **앞에 있는 것을 $u$**로 놓습니다.

로그는 미분하면 $\dfrac{1}{x}$로 단순해지지만 적분은 어렵습니다. 그래서 맨 앞입니다. 다항함수는 미분할수록 차수가 내려갑니다. 삼각함수와 지수함수는 미분해도 적분해도 모양이 거의 그대로라서 뒤쪽입니다.

곱이 안 보이는 $\int \ln x\,dx$. 4교시에서 $\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$는 배웠지만, $\ln x$ 자체의 적분은 아직 몰랐습니다. 이것을 $1 \cdot \ln x$로 보고 $u = \ln x$, $v' = 1$로 놓습니다. $u' = \dfrac{1}{x}$, $v = x$이므로

입니다. 미분해서 확인하면 $\ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x$입니다. 실습대의 'ln x (1–e)' 칩이 이 적분입니다. 그림에서 $P = (\ln x, x)$이고, 남색 조각이 $\int_1^e \ln x\,dx$입니다.

9-4. 정적분의 부분적분과 브레이크 판의 열 (8분)

정적분에서는 $uv$ 부분에도 위끝과 아래끝을 넣습니다.

9-2절의 그림에서 본 대로, $\Big[uv\Big]_a^b$는 큰 직사각형에서 작은 직사각형을 뺀 넓이입니다.

이제 오늘의 과제입니다. 판 온도가 오르는 빠르기는 $w(t) = 3te^{-0.3t}$ ℃/초입니다. 먼저 그래프를 봅니다. $t = 0$에서는 $w = 0$입니다. 열이 센서 자리까지 번지는 데 시간이 걸리기 때문입니다. 그 뒤로 올랐다가, 열차가 느려지면서 다시 줄어듭니다. 미분 7교시처럼 꼭대기를 찾으면 $w'(t) = 3e^{-0.3t}(1 - 0.3t)$이므로 $t = \dfrac{1}{0.3} \approx 3.33$초에서 가장 빠르고, 그때 $w = 3 \times \dfrac{1}{0.3} \times e^{-1} \approx 3.68$ ℃/초입니다.

7교시에서 배운 대로, 빠르기를 적분하면 그동안 쌓인 양이 됩니다. 판이 오른 온도는 $w$ 그래프 아래의 넓이입니다.

$T$는 열차가 5 m/s까지 느려지는 시각입니다. $25e^{-0.3T} = 5$에서 $e^{-0.3T} = 0.2$, 곧 $T = \dfrac{\ln 5}{0.3} \approx 5.36$초입니다. 피적분함수는 다항($t$)과 지수($e^{-0.3t}$)의 곱입니다. 로다삼지에 따라 $u = t$로 놓습니다.

같은 실습대를 브레이크 열로 띄웠습니다. $u = t$이고, $v$는 $3e^{-0.3t}$의 원시함수 가운데 $t = 0$에서 0이 되는 $v = 10(1 - e^{-0.3t})$를 골랐습니다. 그래서 곡선이 원점에서 출발합니다. 9-1절에서 본 대로 $v$에 어떤 상수를 더해도 결과는 같습니다.

도윤이 숫자를 들고 갑니다. "15.94도요. 한도 40도의 절반도 안 돼요." 오 팀장이 되묻습니다. "브레이크가 고장 나서 열차가 끝없이 미끄러지면? 그래도 40도 안이야?" 도윤이 식을 다시 봅니다. $T$를 아주 크게 하면 $(10T + \frac{100}{3})e^{-0.3T}$에서 $e^{-0.3T}$가 훨씬 빨리 0으로 가므로 이 항이 0에 다가갑니다. 남는 것은 $\frac{100}{3} \approx 33.33$입니다. "끝없이 가도 33.33도에 다가갈 뿐이에요." 오 팀장이 업체 메일에 답장을 씁니다. "판 교체 불필요."

9-5. 두 번 하는 부분적분, 표로 하는 부분적분 (8분)

$\int x^2e^x\,dx$는 한 번으로 끝나지 않습니다. $u = x^2$, $v' = e^x$로 놓으면

이고, 남은 적분은 9-1절에서 푼 $\int xe^x\,dx = (x-1)e^x$의 2배입니다. 그래서

입니다. 한 번 할 때마다 다항식의 차수가 하나씩 내려갑니다. 숫자로 넣으면 $\int_0^1 x^2e^x\,dx = (1 - 2 + 2)e - 2 = e - 2 \approx 0.718$입니다.

표로 하는 부분적분. 같은 일을 표 한 장으로 할 수 있습니다. 왼쪽 열은 $u$를 0이 될 때까지 미분해 내려가고, 오른쪽 열은 $v'$을 계속 적분해 내려갑니다. 그리고 왼쪽 칸과 한 줄 아래 오른쪽 칸을 대각선으로 곱하며 부호를 $+, -, +, \dots$로 번갈아 붙입니다.

대각선 곱은 $+x^2e^x$, $-2xe^x$, $+2e^x$이고, 더하면 $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$입니다. 왼쪽이 0이 되면 멈춥니다. 다항식 × (지수 또는 삼각) 꼴에서 아주 빠릅니다.

자기 자신으로 돌아오는 적분. $I = \int e^x\sin x\,dx$는 몇 번을 해도 다항식이 없어지지 않습니다. 대신 두 번 하면 처음 적분이 다시 나타납니다. $u = \sin x$, $v' = e^x$로 한 번 하면

이고, 남은 적분을 같은 방식으로($u = \cos x$, $v' = e^x$) 한 번 더 하면 $\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + I$입니다. 넣으면

입니다. 이것은 $I$에 대한 방정식입니다. $I$를 왼쪽으로 모으면 $2I = e^x(\sin x - \cos x)$이므로

입니다. 미분해서 확인하면 $\dfrac{e^x(\sin x - \cos x) + e^x(\cos x + \sin x)}{2} = e^x\sin x$입니다. 주의할 점이 하나 있습니다. 두 번째에도 **삼각함수 쪽을 $u$**로 해야 합니다. 두 번째에 $u = e^x$로 바꾸면 첫 번째 계산을 그대로 되돌려 $I = I$만 남습니다.

교과서에서는

• 2015 개정 '미적분'의 "여러 가지 적분법"에서 부분적분법을 $\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx$로 씁니다. 2022 개정에서는 '미적분 II'에 있습니다. '수학 II'(다항함수만 다루는 범위)에는 나오지 않습니다.
• 시험에 가장 자주 나오는 꼴은 $\int xe^x\,dx$, $\int x\sin x\,dx$, $\int \ln x\,dx$, $\int x\ln x\,dx$와 그 정적분입니다. 로다삼지로 $u$를 고르면 거의 다 한 번이나 두 번에 끝납니다.
• 함수 $f$가 식으로 주어지지 않고 조건만 주어지는 문제도 있습니다. 예를 들어 "$f(1) = 2$, $\int_0^1 f(x)\,dx = 3$일 때 $\int_0^1 xf'(x)\,dx$의 값"은 $u = x$, $v' = f'(x)$로 놓아 $\Big[xf(x)\Big]_0^1 - \int_0^1 f(x)\,dx = 2 - 3 = -1$로 풉니다.
• 표로 하는 부분적분은 교과서에 정식으로 나오지 않지만, 답을 빨리 확인하는 도구로 많이 씁니다. 서술형에서는 공식을 쓰는 과정을 보입니다.

자주 하는 착각 (4분)

• "곱은 따로 적분해서 곱하면 된다." $\int fg\,dx \ne \int f\,dx \cdot \int g\,dx$입니다. 미분에서 $(fg)' \ne f'g'$인 것과 같습니다. 의심되면 미분해서 확인합니다.
• "$u$는 아무거나 골라도 된다." 공식은 언제나 맞지만, 잘못 고르면 남은 적분이 더 어려워집니다. 미분해서 단순해지는 쪽(로다삼지의 앞쪽)을 $u$로 둡니다.
• "정적분에서는 $uv$에 위끝만 넣는다." $\Big[uv\Big]_a^b = u(b)v(b) - u(a)v(a)$입니다. 아래끝 항은 그림의 작은 직사각형입니다. $a = 0$이 아닐 때 자주 빠뜨립니다.
• "두 번 했는데 $I = I$가 나왔으니 풀 수 없다." 두 번째에 $u$와 $v'$의 역할을 바꿔서 첫 번째를 되돌린 것입니다. 두 번 모두 같은 종류(예: 삼각함수)를 $u$로 둡니다.
• "마지막 $+C$는 생략해도 된다." 부정적분의 답에는 $+C$를 붙입니다. $v$를 고를 때는 상수를 생략해도 되지만, 그것과 다른 이야기입니다.

연습 문제 (5분)

1. $\int xe^{2x}\,dx$를 구하세요.
2. $\int_1^e x\ln x\,dx$의 값을 구하세요. (소수 셋째 자리까지)
3. $\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx$의 값을 구하고, 실습대의 'x·cos x (0–π/2)' 칩에서 남색 조각의 넓이와 비교하세요.
4. (서술형) $\int xe^x\,dx$에서 $u = e^x$, $v' = x$로 놓으면 어떻게 되는지 식으로 보이고, 왜 $u = x$로 놓는 것이 나은지 설명하세요.
5. 표로 하는 부분적분으로 $\int x^2\cos x\,dx$를 구하세요.

풀이

1. $u = x$, $v' = e^{2x}$로 놓으면 $u' = 1$, $v = \dfrac{1}{2}e^{2x}$입니다. $\int xe^{2x}\,dx = \dfrac{x}{2}e^{2x} - \int \dfrac{1}{2}e^{2x}\,dx = \dfrac{x}{2}e^{2x} - \dfrac{1}{4}e^{2x} + C$. 답: $\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}\right)e^{2x} + C$. 미분하면 $\dfrac{1}{2}e^{2x} + (x - \dfrac{1}{2})e^{2x} = xe^{2x}$입니다.
2. 로그가 앞이므로 $u = \ln x$, $v' = x$입니다. $u' = \dfrac{1}{x}$, $v = \dfrac{x^2}{2}$이고 $\int x\ln x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\ln x - \int \dfrac{x}{2}\,dx = \dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + C$입니다. $x = e$에서 $\dfrac{e^2}{2} - \dfrac{e^2}{4} = \dfrac{e^2}{4}$, $x = 1$에서 $0 - \dfrac{1}{4}$이므로 답: $\dfrac{e^2 + 1}{4} \approx 2.097$.
3. 예제 9-1의 원시함수 $x\sin x + \cos x$를 씁니다. $\Big[x\sin x + \cos x\Big]_0^{\pi/2} = \left(\dfrac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 1) = \dfrac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$. 실습대의 남색 조각도 0.571입니다. 직사각형 $\dfrac{\pi}{2} \times 1 \approx 1.571$에서 청록 $\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx = 1$을 뺀 값입니다.
4. $u = e^x$이면 $u' = e^x$, $v = \dfrac{x^2}{2}$이므로 $\int xe^x\,dx = \dfrac{x^2}{2}e^x - \int \dfrac{x^2}{2}e^x\,dx$가 됩니다. 남은 적분에 $x^2$이 들어 있어 처음보다 차수가 올라갔습니다. 부분적분은 $u$를 미분해 단순하게 만드는 방법인데, $e^x$는 미분해도 단순해지지 않고 $x$는 적분하면 오히려 복잡해집니다. $u = x$로 놓으면 $u' = 1$이 되어 남은 적분이 $\int e^x\,dx$로 바로 풀립니다. 그래서 다항함수를 $u$로 놓는 것이 낫습니다(로다삼지에서 다항이 지수보다 앞).
5. 왼쪽 열: $x^2$, $2x$, $2$, $0$. 오른쪽 열: $\cos x$, $\sin x$, $-\cos x$, $-\sin x$. 부호 $+, -, +$로 대각선을 곱하면 $x^2\sin x - 2x(-\cos x) + 2(-\sin x)$입니다. 답: $x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$. 미분하면 $2x\sin x + x^2\cos x + 2\cos x - 2x\sin x - 2\cos x = x^2\cos x$입니다.

퇴근 무렵, 오 팀장이 서류 두 장을 들고 들어옵니다. "내일이 혜성 정식 개장이야. 아침에 마지막 점검 운행 기록이 들어오는데, 이번엔 브레이크 구간 속도계 숫자만 1초 간격으로 와. 식은 없어. 그리고 물방울 슬라이드에 새로 놓을 터널 도면. 콘크리트가 몇 m³인지, 레미콘을 몇 대 불러야 하는지." 도윤이 도면을 펼칩니다. 입구는 넓고 출구로 갈수록 좁아지는 둥근 관입니다. "넓이도 아니고 부피네요." 은재 이모가 웃습니다. "잘게 잘라서 더해 봐. 이번엔 얇은 판으로." 도윤이 달력을 봅니다. 다음 주면 개학이라, 내일이 설계실의 마지막 날입니다. 10교시에서는 단면을 쌓아 부피를 구하고, 식 없이 기록 숫자만 있을 때 쓰는 사다리꼴 공식과 심프슨 공식을 배운 뒤, 미분과 적분을 한 장으로 정리합니다.