잘게 자를수록: 리만 합과 정적분의 정의

겨울방학 3주차 화요일입니다. 어제 퇴근길에 받은 숙제가 도윤의 책상에 그대로 있습니다. 브레이크 구간의 속도는 25에서 시작해 점점 느리게 줄어드는 곡선입니다. 어제처럼 삼각형 하나로 끝나지 않습니다.

도윤이 어제 방법대로 0.5초 간격으로 속도를 계산하기 시작합니다. 열 개쯤 쓰다가 펜을 내려놓습니다. "이모, 간격을 0.01초로 하면 500개가 넘어요. 다 쓰고 다 더해요?" 은재 이모가 화이트보드에 Σ를 크게 씁니다. "500개를 쓰지 말고, 몇 번째 막대의 넓이가 얼마인지 규칙 하나만 써. 더하는 건 기호가 해."

오 팀장이 지나가다 화이트보드를 봅니다. "그리스 문자는 됐고, 70 m 안이야 밖이야?" 이모가 짧게 답합니다. "오후에요. 정확한 값은 아직 못 구해도, 충분한지는 오늘 말할 수 있어요."

이번 교시에서는 긴 덧셈을 짧게 쓰는 시그마 기호를 배우고, 직사각형 넓이의 합인 리만 합을 씁니다. 그 합이 다가가는 값에 정적분이라는 이름을 붙이고, 포물선 $y = x^2$ 아래 넓이가 정확히 $\frac{1}{3}$이라는 것을 계산으로 보입니다. 마지막에 브레이크 구간을 판정합니다.

2-1. 시그마(Σ): 긴 덧셈을 짧게 (8분)

1부터 100까지 더하라고 하면, "1 + 2 + 3 + ⋯ + 100"이라고 씁니다. 가운데 점이 "규칙대로 계속"을 뜻합니다. 수학은 이 규칙을 기호 하나로 씁니다.

$\Sigma$는 그리스 문자 시그마의 대문자로, '합(sum)'의 첫 글자 S에 해당합니다. 읽는 법은 "시그마 $k$는 1부터 100까지, $k$"입니다. 세 부분으로 나눠 봅니다.

• 아래의 $k = 1$: 번호 $k$를 1부터 시작한다.
• 위의 100: 번호가 100이 될 때까지 하나씩 늘린다.
• 오른쪽의 $k$: 번호가 $k$일 때 더할 항. 이 자리에 규칙을 쓴다.

예를 들어

입니다. 두 번째처럼 항에 $k$가 없으면 같은 수를 5번 더합니다. 번호 이름은 $k$ 대신 $i$나 $j$를 써도 뜻이 같습니다.

어제의 왼쪽 끝 어림도 시그마로 쓸 수 있습니다. 0.5초 칸의 $k$번째 칸(0번부터 셉니다)은 $0.5k$초에 시작하고, 그때 속도는 $9.8 \times 0.5k = 4.9k$, 막대 넓이는 $4.9k \times 0.5$입니다.

어제 표로 계산한 36.75 m와 같습니다. 이 계산에서 시그마의 성질 두 가지를 썼습니다.

모든 항에 곱해진 상수는 밖으로 꺼내고, 더한 것은 따로따로 더해도 됩니다. 그리고 오늘 꼭 필요한 공식 두 개가 있습니다.

첫 번째는 짝짓기로 보입니다. 1과 $n$, 2와 $n-1$, … 처럼 앞뒤를 짝지으면 쌍마다 합이 $n + 1$이고, 그런 쌍이 $\frac{n}{2}$개입니다. $n = 100$이면 $\frac{100 \times 101}{2} = 5050$입니다. 두 번째는 $n = 3$으로 확인해 봅니다. $1 + 4 + 9 = 14$이고, 공식은 $\frac{3 \times 4 \times 7}{6} = 14$입니다. (증명은 교과서의 수열 단원에 있습니다. 여기서는 쓰기만 합니다.)

2-2. 리만 합: 왼쪽 끝·오른쪽 끝·가운데 (9분)

어제의 방법을 아무 함수에나 쓸 수 있게 일반적인 말로 정리합니다. 함수 $f(x)$가 구간 $a \le x \le b$에서 주어져 있습니다.

1. 구간을 폭이 같은 $n$개의 작은 구간으로 나눈다. 폭은 $\Delta x = \dfrac{b - a}{n}$이다.
2. 나누는 점을 $x_0 = a,\ x_1 = a + \Delta x,\ \dots,\ x_k = a + k\Delta x,\ \dots,\ x_n = b$라 한다.
3. 작은 구간마다 점 하나를 골라 그 함숫값을 높이로 하는 직사각형을 세운다.
4. 직사각형 넓이를 모두 더한다.

이 합을 리만 합(Riemann sum) 이라고 합니다. 점을 고르는 방법에 따라 이름이 붙습니다.

$k$번째 작은 구간은 $x_{k-1}$부터 $x_k$까지입니다. 왼쪽 끝 합은 그 구간의 왼쪽 끝 $x_{k-1}$에서, 오른쪽 끝 합은 오른쪽 끝 $x_k$에서 높이를 잽니다. 어느 합이든 $f(\text{점}) \times \Delta x$, 곧 높이 × 폭을 더한 것입니다.

두 합의 차이에는 어제와 같은 규칙이 있습니다. $L_n$과 $R_n$은 $f(x_1)$부터 $f(x_{n-1})$까지를 똑같이 품고, $L_n$에만 $f(x_0)$이, $R_n$에만 $f(x_n)$이 있습니다. 그래서 함수가 오르내려도 언제나

입니다.

아래 실습대는 오르다가 내리고 끝에서 조금 다시 오르는 언덕 곡선(남색)으로 시작합니다. 증가하기만 하거나 감소하기만 하는 곡선이 아닙니다. 가로축은 $x$($0 \le x \le 4$), 세로축은 $f(x)$입니다. 옅은 남색 직사각형이 리만 합의 막대이고, 주황 점이 높이를 정한 점입니다. '두 배로'를 누르면 직사각형이 하나씩 둘로 갈라지면서 $n$이 1, 2, 4, …, 128로 늘어납니다. '끝까지 재생'은 128까지 연달아 갈라 줍니다. '높이를 정하는 점' 칩으로 왼쪽 끝·오른쪽 끝·가운데를 고르고, $n$ 슬라이더로 아무 $n$이나 고를 수도 있습니다. 오른쪽에 리만 합, 참값, 차이(합 − 참값)가 나오고, 아래 표에 $n$이 두 배가 될 때마다의 값이 쌓입니다. 이 곡선 아래 넓이의 참값은 12입니다(5교시에 직접 계산합니다).

실습대의 표를 모으면 이렇습니다(소수 넷째 자리까지).

세 가지가 보입니다. 첫째, 이 곡선은 $f(0) = 4$가 $f(4) = \frac{4}{3}$보다 높아서 $L_n - R_n = \frac{4}{n}\left(4 - \frac{4}{3}\right) = \frac{32}{3n}$이고, 왼쪽 끝 합이 늘 오른쪽 끝 합보다 큽니다. 둘째, $n$을 두 배로 하면 왼쪽·오른쪽 끝 합의 차이는 대략 절반으로, 가운데 합의 차이는 4분의 1로 줄어듭니다. 가운데 합이 훨씬 빨리 다가갑니다. 셋째, 높이를 어디서 재든 결국 모두 같은 값 12로 모입니다.

2-3. n → ∞: 정적분의 정의 (9분)

$n$을 한없이 키우면 직사각형은 한없이 가늘어지고, 리만 합은 곡선 아래 넓이에 한없이 다가갑니다. 그 다가가는 값에 이름과 기호를 붙입니다.

연속인 함수라면 왼쪽 끝을 쓰든, 오른쪽 끝을 쓰든, 가운데를 쓰든, 작은 구간 안의 아무 점을 쓰든 극한은 같습니다. 실습대에서 세 칩이 모두 12로 모인 것이 그 모습입니다. 그래서 정의에는 어느 하나(여기서는 오른쪽 끝)를 쓰면 됩니다. $f(x) \ge 0$이면 정적분은 곡선과 $x$축 사이의 넓이입니다. 함수가 음수가 되는 곳의 이야기는 5교시에서 합니다.

기호는 리만 합을 그대로 옮긴 것입니다.

그래서 $f(x)\,dx$는 "높이 $f(x)$, 아주 얇은 폭 $dx$인 막대 하나의 넓이"로 읽고, $\int_a^b$는 "그런 막대를 $a$부터 $b$까지 빈틈없이 모두 더한다"로 읽으면 됩니다. 이 기호는 17세기 후반 독일의 라이프니츠가 만들었습니다. 넓이를 잘게 잘라 더한다는 생각이 기호에 그대로 들어 있어서 지금까지 씁니다. 극한으로 정적분을 정의하는 지금의 방식은 19세기 중반 독일의 리만이 다듬었고, 리만 합이라는 이름도 거기서 왔습니다.

첫 낙하로 확인해 봅시다. 예제 2-2에서 칸 $n$개의 오른쪽 끝 합이 $44.1 \times \frac{n+1}{n}$이었습니다. 그러므로

입니다. 변수 이름이 $t$일 때는 $dt$로 씁니다. "$t$에 대해, 0초부터 3초까지 쌓는다"는 뜻입니다. 어제 0.001초 간격으로 조여 들어가던 44.1이 이제 정의에 따라 정확한 값이 되었습니다.

기호 읽는 법

2-4. 구분구적법: x²의 넓이 1/3 (10분)

정의를 손으로 끝까지 계산해 봅니다. 포물선 $y = x^2$ 아래, $0 \le x \le 1$의 넓이입니다. 한 변이 1인 정사각형 안에 들어가니 넓이는 1보다 작고, 그림으로는 절반보다도 작아 보입니다. 정확히 얼마일까요?

1단계: 나눈다. 구간 $[0, 1]$을 $n$개로 나누면 $\Delta x = \frac{1}{n}$, 오른쪽 끝 점은 $x_k = \frac{k}{n}$입니다.

2단계: 리만 합을 쓴다. $k$번째 막대의 높이는 $\left(\frac{k}{n}\right)^2$, 폭은 $\frac{1}{n}$입니다.

3단계: 공식으로 합을 없앤다. $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$이므로

4단계: $n \to \infty$. $\frac{1}{n} \to 0$이므로 $R_n \to \frac{1}{6} \times 1 \times 2 = \frac{1}{3}$입니다.

왼쪽 끝 점 $x_{k-1} = \frac{k-1}{n}$으로 계산하면 $L_n = \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}$이고, 이것도 $\frac{1}{3}$로 갑니다. 숫자로 보면 이렇습니다.

$y = x^2$은 $[0, 1]$에서 증가하니 $L_n < \frac{1}{3} < R_n$이고, 두 값의 차이는 $\frac{1}{n} \times (1 - 0) = \frac{1}{n}$입니다. 포물선 아래 넓이는 정사각형의 정확히 3분의 1입니다.

이렇게 도형을 잘게 나눠 직사각형 넓이의 합을 구하고, 그 극한으로 넓이를 구하는 방법을 교과서는 구분구적법(區分求積法: 나누어서 넓이를 구하는 법)이라고 부릅니다. 순서는 늘 같습니다. 나눈다 → $k$번째 막대의 넓이를 $k$와 $n$으로 쓴다 → 시그마 공식으로 합을 $n$만의 식으로 바꾼다 → $n \to \infty$.

아래 실습대는 같은 실습대를 $y = x^2$, $0 \le x \le 1$로 띄운 것입니다. 오른쪽 표와 참값 $\frac{1}{3}$을 비교해 보세요.

2-5. 브레이크 구간 어림 (6분)

이제 오 팀장의 질문입니다. 브레이크 구간에서 속도는 $v(t) = 25e^{-0.3t}$ (m/s)입니다($t$는 브레이크에 들어온 뒤의 초). 5 m/s가 되는 때는 $25e^{-0.3t} = 5$, 즉 $e^{-0.3t} = \frac{1}{5}$에서

입니다(미분 6교시). 그동안 간 거리는 속도 그래프 아래 넓이, 곧 정적분 $\int_0^T 25e^{-0.3t}\,dt$입니다. 이 값을 정확히 구하려면 지수함수의 원시함수(4교시)와 미적분의 기본정리(3교시)가 필요합니다. 오늘은 구할 수 없습니다. 하지만 충분한지는 판정할 수 있습니다.

브레이크 구간에서 속도는 줄어들기만 합니다. 그래서 작은 구간마다 가장 빠른 속도는 왼쪽 끝의 속도이고, 왼쪽 끝 합은 실제 거리보다 큽니다. 1교시와 거꾸로입니다.

왼쪽 끝 합이 70보다 작아지면, 그보다 작은 실제 거리도 당연히 70 m 안입니다. $n = 4$로 손으로 해 봅시다. $\Delta t = \frac{T}{4} \approx 1.3412$초이고, 나누는 점에서의 속도는 25, 16.719, 11.18, 7.477, 5입니다.

80.976은 70보다 큽니다. 실제 거리가 80.976 m보다 작다는 것은 알지만, 70 m보다 작은지는 아직 모릅니다. 더 잘게 자릅니다. 아래 실습대는 브레이크 속도 그래프로 띄운 것입니다. 이번에는 참값 대신 "참값이 들어 있는 범위"(오른쪽 끝 합–왼쪽 끝 합)가 나오고, 표에도 두 합이 나란히 쌓입니다.

$n = 32$에서 실제 거리는 65.004 m와 68.357 m 사이에 갇힙니다. 70 m 브레이크 구간이면 충분합니다. 여유가 적어도 $70 - 68.357 = 1.643$ m 있습니다. 왼쪽 끝 합과 오른쪽 끝 합의 차이는 $\Delta t \times (25 - 5) = \frac{20T}{n}$으로, $n$을 두 배로 할 때마다 절반이 됩니다. 정확한 값은 7교시에 지수함수의 정적분으로 구합니다. 그 값이 이 표의 범위 안에 들어오는지 그때 확인해 보세요.

도윤이 오후에 표를 들고 갑니다. "32개로 자르면 위로 어림한 값이 68.357 m예요. 실제 거리는 그보다 짧으니까 70 m 안이에요." 오 팀장이 표를 보다가 묻습니다. "정확히는 몇인데?" "그건… 아직요. 65.004에서 68.357 사이요." "충분한지만 알면 돼. 정확한 숫자는 나중에 줘." 은재 이모가 웃습니다. "직사각형 128개를 안 쌓고도 정확한 값을 내는 방법이 있어. 이번 주 안에 할 거야."

교과서에서는

• 교과서('미적분')는 구분구적법으로 넓이와 부피를 구한 뒤, 정적분을 리만 합의 극한으로 정의합니다. 자주 나오는 꼴은 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\!\left(a + \dfrac{(b-a)k}{n}\right)\dfrac{b-a}{n} = \int_a^b f(x)\,dx$입니다.
• 시험에서는 이 꼴을 거꾸로 읽는 문제가 많습니다. 예제 2-4처럼 "곱해진 폭 → 구간의 길이, 높이 안의 식 → 함수와 시작점" 순서로 찾습니다. 같은 극한을 $\int_1^3 (x-1)^2\,dx$처럼 다른 구간으로 읽을 수도 있습니다. 넓이가 같으면 답도 같습니다.
• $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$은 '수학 I'의 수열 단원에서 배웁니다. 구분구적법 문제에는 이 공식이 함께 나옵니다.
• 역사 한 줄: 아르키메데스는 포물선과 그 현(직선)으로 둘러싸인 넓이가 안에 그린 삼각형 넓이의 $\frac{4}{3}$배임을 보였습니다. $y = x^2$과 직선 $y = x$ 사이 넓이 $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$은, 꼭짓점이 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$인 안쪽 삼각형 넓이 $\frac{1}{8}$의 $\frac{4}{3}$배로 그 결과와 꼭 맞습니다.

자주 하는 착각 (4분)

• "리만 합은 높이를 더한 것이다." 높이 × 폭을 더한 것입니다. 폭 $\Delta x$를 빠뜨리면 $n$이 커질수록 합이 끝없이 커집니다(예제 2-5).
• "$n$이 아무리 커도 리만 합은 어림이니, 정적분도 어림값이다." 정적분은 리만 합 하나가 아니라 리만 합이 다가가는 값(극한)입니다. $\int_0^1 x^2\,dx$는 정확히 $\frac{1}{3}$입니다.
• "왼쪽 끝 합과 오른쪽 끝 합은 다른 정적분으로 간다." 연속함수라면 어느 점을 고르든 극한은 같습니다. 다른 것은 다가가는 빠르기와 방향뿐입니다.
• "$\int_a^b f(x)\,dx$의 $x$를 $t$로 바꾸면 값이 달라진다." $x$는 쌓는 방향을 가리키는 이름일 뿐입니다. $\int_0^1 x^2\,dx = \int_0^1 t^2\,dt = \frac{1}{3}$입니다.
• "정확한 값을 모르면 판정도 못 한다." 실제보다 큰 어림이 기준보다 작으면 "충분하다"고 말할 수 있습니다. 브레이크 구간이 그 예입니다.

연습 문제 (4분)

1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{20} (3k - 2)$의 값을 구하세요.
2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (k^2 + 1)$의 값을 구하세요.
3. 예제 2-4의 극한 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left(\dfrac{2k}{n}\right)^2 \cdot \dfrac{2}{n}$의 값을 구하세요.
4. $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$을 써서, 구분구적법(오른쪽 끝 점)으로 $\displaystyle\int_0^1 x^3\,dx$를 구하세요.
5. (서술형) 브레이크 구간을 $n = 8$로 나눴더니 왼쪽 끝 합이 73.597 m, 오른쪽 끝 합이 60.185 m였습니다. 도윤은 "오른쪽 끝 합이 70보다 작으니 70 m면 충분하다"고 말했습니다. 이 판단이 왜 옳지 않은지, 그리고 $n = 8$에서 말할 수 있는 것은 무엇인지 설명하세요.

풀이

1. $3\sum k - \sum 2 = 3 \times \frac{20 \times 21}{2} - 2 \times 20 = 630 - 40 =$ 590.
2. $\sum k^2 + \sum 1 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} + 10 = 385 + 10 =$ 395.
3. $\sum_{k=1}^{n} \frac{4k^2}{n^2} \cdot \frac{2}{n} = \frac{8}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{4}{3}\left(1 + \frac{1}{n}\right)\left(2 + \frac{1}{n}\right) \to \frac{4}{3} \times 2 =$ $\frac{8}{3}$. 이 값이 $\int_0^2 x^2\,dx$입니다. ($n = 10$이면 3.08, $n = 100$이면 2.7068로 2.6667에 다가갑니다.)
4. $\Delta x = \frac{1}{n}$, 높이 $\left(\frac{k}{n}\right)^3$이므로 $R_n = \frac{1}{n^4} \sum k^3 = \frac{1}{n^4} \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{(n+1)^2}{4n^2} = \frac{1}{4}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \to$ $\frac{1}{4}$. ($n = 10$이면 0.3025, $n = 100$이면 0.255025입니다.)
5. 속도가 줄어들기만 하므로 오른쪽 끝 합은 실제 거리보다 작습니다. 실제보다 작은 값이 70보다 작다는 것은 실제 거리에 대해 아무것도 말해 주지 않습니다. 실제 거리는 60.185 m보다 크다는 것만 알 수 있습니다. 충분하다고 말하려면 실제보다 큰 값, 곧 왼쪽 끝 합이 70보다 작아야 합니다. $n = 8$에서 말할 수 있는 것은 "실제 거리는 60.185 m와 73.597 m 사이" 뿐이고, 70 m가 충분한지는 아직 판정할 수 없습니다. ($n = 32$에서 왼쪽 끝 합이 68.357 m가 되어 판정됩니다.)

퇴근 전, 오 팀장이 물방울 슬라이드 쪽 서류를 들고 옵니다. "물방울 물탱크 말이야. 펌프로 물이 들어오는 빠르기는 시간마다 기록이 있어. 그런데 운영팀이 원하는 건 '지금까지 들어온 물'이 시간에 따라 어떻게 늘었는지 보여 주는 그래프야. 시각마다 오늘처럼 막대를 처음부터 다시 쌓아?" 도윤이 한숨을 쉽니다. "시각이 바뀔 때마다 새로 쌓아야 하잖아요." 은재 이모가 화이트보드의 Σ 옆에 x 하나를 씁니다. "끝을 고정하지 말고 움직여 봐. 넓이가 함수가 돼." 3교시에서는 위끝이 움직이는 넓이 함수를 만들고, 그 함수를 미분하면 원래 함수가 나온다는 미적분의 기본정리를 봅니다.