두 곡선 사이: 넓이 구하기

4주차 월요일입니다. 설계실 벽에 혜성 두 번째 구간 도면이 다시 붙었습니다. 도윤에게는 익숙한 곡선입니다. 미분 7교시에 꼭대기(12 m 지점, 24.504 m)와 골짜기(48 m 지점, 1.176 m)를 찾았고, 미분 8교시에 휘는 방향이 바뀌는 변곡점(30 m 지점, 12.84 m)을 찾은 바로 그 레일입니다.

"가림막은 금요일에 한 거네요. 레일 그래프 아래 넓이요." 도윤이 자신 있게 말합니다. 은재 이모가 고개를 끄덕입니다. "그건 맞아. 안전망은?" 도윤이 도면 위에 자를 대고 양 끝 $(0, 15)$와 $(60, 10.68)$을 잇는 직선을 긋습니다. "보조 레일 아래 넓이를 구해서 레일 아래 넓이에서 빼면…" 그러다 손을 멈춥니다. "어, 보조 레일이 레일보다 위로 가는 데가 있네요. 골짜기 쪽에서요."

"그래프 아래를 봐. 이번엔 아래가 땅이 아니라 다른 선이야." 이모가 도면에 세로선을 몇 개 긋습니다. "얇은 띠로 잘라서 띠마다 위에서 아래를 빼. 그다음 더해. 어느 쪽이 위인지는 띠마다 확인하고."

이번 교시에서는 가림막(곡선과 가로축 사이)부터 구하고, 두 곡선 사이의 넓이로 넘어갑니다. 위아래가 바뀌는 경우, 옆으로 잘라 $y$로 적분하는 방법, 포물선과 직선 사이 넓이의 지름길 공식까지 다룹니다.

6-1. 곡선과 가로축 사이: 가림막 넓이 (8분)

가림막은 레일에서 땅까지, 즉 곡선 $y = h(x)$와 가로축 사이를 덮습니다. 레일의 가장 낮은 곳은 골짜기의 1.176 m이니, 구간 $[0, 60]$ 전체에서 $h(x) > 0$입니다. 그래프가 가로축 위에만 있으니 넓이는 정적분 그대로입니다.

항마다 원시함수를 구하면 $H(x) = \frac{x^4}{4000} - 0.03x^3 + 0.864x^2 + 15x$입니다. $H(0) = 0$이니 위끝만 넣습니다.

단위는 (m) × (m) = m²입니다. 가림막 넓이는 770.4 m²입니다. 가로 60 m로 나누면 평균 높이는 $770.4 \div 60 = 12.84$ m입니다. 변곡점의 높이 $h(30)$과 같습니다. 미분 8교시에서 본 대로 삼차함수의 그래프는 변곡점을 중심으로 점대칭이라, 30 m 지점을 기준으로 앞쪽의 남는 넓이와 뒤쪽의 모자란 넓이가 꼭 맞습니다.

그래프가 가로축 아래로 내려가는 곳이 있다면 5교시에 한 대로 $f(x) = 0$인 점에서 나눠 조각마다 양수로 더합니다.

아래 실습대는 6교시 내내 쓸 것입니다. 남색 곡선이 레일 $h(x)$, 청록 직선이 그 아래 경계입니다. 지금은 땅($y = 0$)에 놓여 있습니다. 가로축은 수평 거리(m), 세로축은 높이(m)입니다. 둘 사이는 옅은 남색으로 칠해져 있습니다. '띠 쌓기'를 누르면 폭이 같은 세로 띠가 왼쪽부터 한 장씩 쌓입니다. 띠의 높이는 띠 가운데에서 잰 (위 곡선 − 아래 곡선)입니다. 오른쪽 조작판에는 지금까지 쌓은 띠 넓이의 합, 참값인 사이 넓이, 부호를 그대로 둔 정적분이 나옵니다. '띠 수' 슬라이더로 띠를 2–60장으로 바꿀 수 있고, 직선 양 끝의 청록 손잡이는 위아래로 끌 수 있습니다.

6-2. 두 곡선 사이: 위 − 아래 (10분)

두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$ 사이를 $x$ 위치에서 폭 $dx$인 아주 얇은 세로 띠로 잘라 봅니다. 띠의 높이는 위 곡선에서 아래 곡선까지의 거리 $f(x) - g(x)$이고, 띠 하나의 넓이는 $(f(x) - g(x))\,dx$입니다. 이 띠들을 $a$부터 $b$까지 모두 더하면

입니다($f \ge g$일 때). 여기서 가로축은 아무 역할도 하지 않습니다. 두 곡선을 똑같이 $k$만큼 올리거나 내려도 $(f + k) - (g + k) = f - g$라 띠의 높이는 그대로입니다. 두 곡선이 모두 가로축 아래에 있어도, 위에서 아래를 빼면 됩니다.

순서는 셋입니다.

1. 교점을 구한다. $f(x) = g(x)$를 푼다. 구간이 주어지지 않았으면 교점이 적분 구간의 끝이 된다.
2. 위아래를 판정한다. 교점 사이의 아무 수나 하나 넣어 어느 쪽이 큰지 본다.
3. (위 − 아래)를 적분한다.

$y = 4 - x^2$(위로 볼록한 포물선)과 $y = x + 2$(직선)로 해 봅니다. $4 - x^2 = x + 2$에서 $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) = 0$이니 교점은 $x = -2$와 $x = 1$입니다. $x = 0$을 넣으면 포물선은 4, 직선은 2라서 포물선이 위입니다.

아래 실습대는 같은 실습대의 '포물선과 직선' 칩입니다. 남색이 $y = 4 - x^2$, 청록이 직선 $g(x)$이고 처음에는 $y = x + 2$입니다. 두 곡선으로 둘러싸인 부분이 옅은 남색으로 칠해지고, 검은 점이 교점입니다. 조작판에는 교점, 띠 넓이의 합, 사이 넓이와 함께 6-5절에서 다룰 공식의 값도 나옵니다.

6-3. 위아래가 바뀔 때: 안전망 넓이 (9분)

이제 안전망입니다. 보조 레일은 양 끝 $(0, 15)$와 $(60, 10.68)$을 잇는 직선입니다. 기울기는 $\frac{10.68 - 15}{60} = -0.072$이므로

입니다. 12 m 지점에서는 레일 24.504 m, 보조 레일 14.136 m로 레일이 위입니다. 48 m 지점에서는 레일 1.176 m, 보조 레일 11.544 m로 보조 레일이 위입니다. 중간 어딘가에서 위아래가 바뀝니다. 교점을 구하려고 높이 차를 정리하면

입니다. 교점은 양 끝과 $x = 30$, 바로 변곡점 $(30, 12.84)$입니다. 보조 레일이 변곡점을 지나갑니다. $[0, 30]$에서는 레일이 위, $[30, 60]$에서는 보조 레일이 위입니다.

각 조각을 적분합니다. $h - g$를 전개하면 $\dfrac{x^3 - 90x^2 + 1800x}{1000}$이니 원시함수는

입니다. $D(0) = 0$, $D(60) = 0$이고, 가운데 값은 다음과 같습니다.

$[30, 60]$에서는 보조 레일이 위이니 $(g - h)$를 적분해야 하고, 그 값이 $+202.5$입니다. 그래서

입니다. 안전망은 405 m²가 필요합니다. 만약 나누지 않고 $\int_0^{60} (h - g)\,dx$를 한 번에 계산했다면 $202.5 - 202.5 = 0$이 나왔을 것입니다. 6-1절의 수수께끼도 여기서 풀립니다. 보조 레일 아래 사다리꼴 넓이 $\frac{15 + 10.68}{2} \times 60 = 770.4$가 가림막 넓이와 똑같았던 이유입니다. 두 조각의 크기가 같은 것은 레일이 변곡점에 대해 점대칭이기 때문입니다.

안전망의 폭이 가장 넓은 곳은 어디일까요? $h - g$의 도함수가 0인 곳, 곧 $h'(x) = -0.072$인 곳입니다. 레일의 접선이 보조 레일과 평행한 곳이고, 미분 7교시의 평균값 정리에서 구한 $x = 30 \pm 10\sqrt{3}$입니다. 앞쪽 $x \approx 12.68$ m에서 폭은 약 10.39 m입니다.

아래 실습대는 같은 실습대의 '레일과 보조 레일' 칩입니다. 레일이 위인 곳은 남색, 보조 레일(청록)이 위인 곳은 진홍색으로 칠해집니다. 띠도 같은 색으로 쌓입니다.

6-4. 옆으로 자르기: y로 적분하기 (8분)

세로 띠가 늘 편한 것은 아닙니다. 곡선 $x = y^2$(오른쪽으로 누운 포물선)과 직선 $x = y + 2$로 둘러싸인 부분을 생각해 봅니다. 세로로 자르면 띠의 아래 끝이 $x = 1$을 경계로 바뀝니다. $0 \le x \le 1$에서는 띠가 포물선의 아래 가지 $y = -\sqrt{x}$에서 위 가지 $y = \sqrt{x}$까지이고, $1 \le x \le 4$에서는 직선 $y = x - 2$에서 위 가지 $y = \sqrt{x}$까지입니다. 식이 둘로 나뉘고 $\sqrt{x}$까지 적분해야 합니다.

이럴 때는 가로로 자릅니다. 높이 $y$에서 두께 $dy$인 가로 띠의 길이는 (오른쪽 경계) − (왼쪽 경계)입니다. 이 띠들을 아래에서 위로 더하면

입니다. 6-2절의 "위 − 아래"가 "오른쪽 − 왼쪽"으로 바뀌었을 뿐입니다. 고개를 왼쪽으로 90° 돌려 그림을 보면 똑같은 문제입니다.

교점은 $y^2 = y + 2$에서 $(y + 1)(y - 2) = 0$, 곧 $y = -1$과 $y = 2$입니다. $y = 0$을 넣으면 직선은 $x = 2$, 포물선은 $x = 0$이라 직선이 오른쪽입니다.

세로로 잘라 두 조각으로 계산해도 $\frac{4}{3} + \frac{19}{6} = \frac{9}{2}$로 같습니다. 답은 같고, 길이 짧을 뿐입니다. 경계가 "$x =$ ($y$의 식)" 꼴로 주어지거나, 세로로 자르면 아래·위 경계가 중간에 바뀔 때 가로 자르기를 생각합니다.

6-5. 포물선과 직선 사이 넓이 공식 (7분)

6-2절, 6-4절, 실습대의 첫 화면이 모두 $\frac{9}{2}$였습니다. 우연이 아닙니다. 포물선과 직선 사이에서는 높이 차 $f(x) - g(x)$가 이차식이고, 교점 $\alpha$, $\beta$를 근으로 가지므로

로 쓸 수 있습니다. $a$는 포물선의 $x^2$ 계수(직선은 $x^2$ 항이 없음)입니다. 그러면 넓이는 $\lvert a \rvert \int_\alpha^\beta \lvert (x - \alpha)(x - \beta) \rvert\,dx$입니다. 이 적분은 그림을 옆으로 밀어도 넓이가 그대로라는 점을 쓰면 쉽습니다. $\alpha$를 0으로 옮기고 폭을 $d = \beta - \alpha$라 하면

입니다. 그래서

입니다. $y = 4 - x^2$과 $y = x + 2$는 $a = -1$, $\beta - \alpha = 1 - (-2) = 3$이라 $\frac{1 \times 27}{6} = \frac{9}{2}$입니다. 6-4절의 가로 자르기도 (오른쪽 − 왼쪽) $= -(y + 1)(y - 2)$가 이차식이라 같은 공식으로 $\frac{9}{2}$입니다. 실습대에서 직선을 움직이면 조작판 아래의 공식 값이 사이 넓이와 늘 같습니다.

두 포물선 사이에도 씁니다. 차 $f - g$가 이차식이면 $a$ 자리에 두 $x^2$ 계수의 차를 넣습니다. 예를 들어 $y = x^2$과 $y = 8 - x^2$은 교점 $x = \pm 2$, 계수 차 $\lvert 1 - (-1) \rvert = 2$라서 $\frac{2 \times 4^3}{6} = \frac{64}{3}$입니다. 반대로 레일과 보조 레일처럼 차가 삼차식이면 이 공식을 쓸 수 없습니다.

도윤이 자재 주문서에 두 줄을 적습니다. "가림막 770.4 m². 안전망 405 m²(앞 절반 202.5 + 뒤 절반 202.5)." 오 팀장이 주문서를 받아 들고 묻습니다. "안전망은 사다리꼴로 계산하면 0이 나왔다며?" "위아래가 바뀌는 30 m 지점에서 나눴어요. 앞에선 레일이 위, 뒤에선 보조 레일이 위예요." 은재 이모가 주문서 귀퉁이에 한 줄을 보탭니다. "제작 여유분 5% 더해서 주문해."

교과서에서는

• 교과서는 넓이를 이렇게 정리합니다. 곡선 $y = f(x)$와 $x$축, 두 직선 $x = a$, $x = b$로 둘러싸인 넓이는 $S = \int_a^b \lvert f(x) \rvert\,dx$. 두 곡선 $y = f(x)$, $y = g(x)$와 두 직선 $x = a$, $x = b$로 둘러싸인 넓이는 $S = \int_a^b \lvert f(x) - g(x) \rvert\,dx$.
• '미적분' 교과서에는 $y$로 적분하는 꼴도 나옵니다. 곡선 $x = g(y)$와 $y$축, 두 직선 $y = c$, $y = d$로 둘러싸인 넓이는 $S = \int_c^d \lvert g(y) \rvert\,dy$.
• 포물선과 직선 사이의 공식 $\frac{\lvert a \rvert(\beta - \alpha)^3}{6}$은 교과서 본문보다 문제 풀이에서 많이 씁니다. 객관식에서는 시간을 아껴 주지만, 서술형에서는 적분 과정을 써야 합니다.
• 시험에 자주 나오는 꼴: "넓이를 이등분하는 직선의 기울기", "두 부분의 넓이가 같을 때 상수 구하기"(두 넓이가 같으면 부호 그대로의 정적분이 0), "함수와 그 역함수의 그래프로 둘러싸인 넓이"(두 그래프가 $y = x$에 대해 대칭이므로 $y = x$와의 넓이를 두 배).

자주 하는 착각 (4분)

• "두 곡선 사이 넓이는 $\int (f - g)$ 한 번이면 된다." 위아래가 바뀌면 조각끼리 지워집니다. 레일과 보조 레일은 0, 안전망은 405 m²였습니다. 교점에서 먼저 나눕니다.
• "가로축 아래에 있는 부분은 음수로 센다." 곡선과 가로축 사이일 때의 이야기입니다. 두 곡선 사이에서는 가로축이 어디 있든 (위 − 아래)가 늘 양수입니다.
• "차수가 높은 쪽이 위에 있다." $0 < x < 1$에서는 $x^3 < x^2$입니다. 위아래는 수를 넣어 확인합니다.
• "교점만 구하면 적분 구간이 정해진다." 구간이 따로 주어지면 그 구간 안의 교점은 나누는 점입니다. 구간의 끝은 문제에 주어진 직선입니다.
• "$\frac{\lvert a \rvert(\beta - \alpha)^3}{6}$은 어떤 곡선에나 쓴다." 높이 차가 이차식일 때만 맞습니다. 삼차 이상이면 직접 적분합니다.

연습 문제 (4분)

1. 곡선 $y = x^2 - 1$과 $x$축, 두 직선 $x = 0$, $x = 2$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하세요.
2. 곡선 $y = x^2$과 직선 $y = 2x$로 둘러싸인 부분의 넓이를 적분으로 구하고, 포물선과 직선 공식으로 확인하세요.
3. 곡선 $y = x^3$과 직선 $y = x$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하세요.
4. (서술형) 곡선 $y = 2x - x^2$과 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 직선 $y = kx$ ($0 < k < 2$)가 이등분합니다. $k$의 값을 구하는 과정을 쓰세요.
5. $0 \le x \le 2\pi$에서 $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$의 값과, 곡선 $y = \sin x$와 $x$축 사이의 넓이를 각각 구하세요.

풀이

1. $x^2 - 1 = 0$인 $x = 1$에서 나눕니다. $\int_0^1 (x^2 - 1)\,dx = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$, $\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx = \left(\frac{8}{3} - 2\right) - \left(\frac{1}{3} - 1\right) = \frac{4}{3}$입니다. 넓이는 $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$. 답: 2
2. 교점은 $x^2 = 2x$에서 $x = 0, 2$이고, $x = 1$을 넣으면 직선(2)이 곡선(1)보다 위입니다. $\int_0^2 (2x - x^2)\,dx = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$. 공식으로는 $a = 1$, $\beta - \alpha = 2$라서 $\frac{1 \times 8}{6} = \frac{4}{3}$. 답: $\frac{4}{3}$
3. 교점은 $x^3 = x$에서 $x = -1, 0, 1$입니다. $[-1, 0]$에서는 $x^3$이 위($x = -0.5$이면 $-0.125 > -0.5$), $[0, 1]$에서는 $x$가 위입니다. $\int_{-1}^{0} (x^3 - x)\,dx = 0 - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}$, $\int_0^1 (x - x^3)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$. 답: $\frac{1}{2}$
4. 전체 넓이는 $\int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \frac{4}{3}$이므로 반은 $\frac{2}{3}$입니다. 곡선과 직선 $y = kx$의 교점은 $2x - x^2 = kx$에서 $x = 0$, $x = 2 - k$이고, 그 사이에서 곡선이 위입니다. 높이 차 $(2 - k)x - x^2 = -x(x - (2 - k))$는 $x^2$ 계수가 $-1$인 이차식이므로 공식으로 넓이는 $\frac{(2 - k)^3}{6}$입니다. $\frac{(2 - k)^3}{6} = \frac{2}{3}$에서 $(2 - k)^3 = 4$, $2 - k = \sqrt[3]{4}$. 답: $k = 2 - \sqrt[3]{4} \approx 0.41$
5. $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_0^{2\pi} = -1 - (-1) = 0$. 넓이는 $\sin x = 0$인 $x = \pi$에서 나눠 $\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = 2$와 $\Big[-\cos x\Big]_{\pi}^{2\pi} = -2$의 절댓값을 더합니다. 답: 정적분 0, 넓이 4

퇴근 무렵, 오 팀장이 정비 카트 운행 기록을 들고 옵니다. "오늘 아침 정비 카트가 혜성 레일 옆 점검로를 따라 앞으로 갔다가 뒤로 돌아왔다가 했대. 그런데 위치 기록이 날아가고 속도 기록만 남았어. 지금 카트가 출발점에서 얼마나 떨어져 있는지, 그리고 배터리를 얼마나 썼는지 알아야 해. 배터리는 이동 거리만큼 닳아." 도윤이 기록을 봅니다. 속도가 양수였다가 음수였다가 다시 양수가 됩니다. "떨어진 거리는 그냥 적분하고, 이동 거리는… 절댓값이네요. 금요일 하늘바퀴랑 똑같아요." 은재 이모가 고개를 끄덕입니다. "물방울 물탱크도 같은 이야기야. 들어온 물과 나간 물." 7교시에서는 속도를 적분해 위치와 이동 거리를 구하고, 변화율을 쌓아 총 변화량을 구합니다.