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롤러코스터 설계실의 적분: 넓이로 쌓아 올리는 변화

강의 개요

속도만 남은 기록: 넓이로 거리를 되찾다

잘게 자를수록: 리만 합과 정적분의 정의

넓이를 함수로: 미적분의 기본정리

거꾸로 미분: 부정적분과 적분 공식

넓이에도 부호가 있다: 정적분의 계산과 성질

두 곡선 사이: 넓이 구하기

움직인 만큼, 쌓인 만큼: 속도·거리와 누적

연쇄법칙을 거꾸로: 치환적분

곱의 미분을 거꾸로: 부분적분

잘라서 쌓으면 부피: 입체의 부피, 수치적분, 그리고 정리

롤러코스터 설계실의 적분: 넓이로 쌓아 올리는 변화

4교시

강의 시간 2:30–3:20

거꾸로 미분: 부정적분과 적분 공식

오늘의 설계 과제

#04 · 열차 세 대

속도 식은 하나, 위치 식은 셋

과제

오 팀장: "정비 선로 시험이야. 열차 세 대를 한 줄로 세우고 같은 제어 프로그램으로 동시에 출발시켜. 속도는 셋 다 v(t) = 0.12t² + 2 m/s, 10초 동안. 출발 위치는 선로 입구에서 0 m, 30 m, 60 m. 관제 화면에 띄울 위치 식 세 개 줘. 아, 한 대는 기록이 꼬여서 '5초에 75 m'만 남았어. 그게 몇 번 열차야?"

오늘 구할 것

미분하면 주어진 식이 되는 함수를 모두 찾는 법(부정적분)과 적분상수 C의 뜻을 익힌다. 다항·지수·로그·삼각함수의 적분 공식으로 위치 식을 쓰고, 처음 값 조건으로 C를 정해 세 열차를 구별한다.

솔바람랜드 놀이기구 설계실 · 겨울방학

3주차 목요일 아침, 정비 선로 옆 관제실입니다. 모니터에는 아직 아무 선도 그려져 있지 않습니다. 도윤이 어제 배운 대로 종이에 적습니다. "미분해서 $0.12t^2 + 2$ 가 되는 함수. $0.04t^3$ 을 미분하면 $0.12t^2$ 이고, $2t$ 를 미분하면 2니까… $0.04t^3 + 2t$ . 끝!"

은재 이모가 모니터를 가리킵니다. "열차는 세 대야." 도윤이 종이를 다시 봅니다. "아. 세 대 다 속도 식이 같은데 출발점이 달라요. 그런데 위치 식을 미분하면 출발점은 사라지잖아요. 상수니까." "그래. 미분은 상수를 지워. 그러니 거꾸로 갈 때는 지워진 상수를 다시 붙여야 해. 그 상수를 무엇으로 정할지는 식만 봐서는 몰라. 기록을 봐야 알지."

어제는 정적분을 계산하려고 원시함수를 하나 찾았습니다. 오늘은 원시함수를 모두 모은 것, 부정적분을 다룹니다. 그리고 자주 쓰는 함수들의 적분 공식을 미분 공식에서 거꾸로 얻습니다.

4-1. 미분하면 f가 되는 함수: 원시함수와 부정적분 (8분)

3교시에서 정의한 말을 다시 씁니다. $F'(x) = f(x)$ 이면 $F$ 를 $f$ 의 원시함수(antiderivative)라고 합니다. $2x$ 의 원시함수를 찾아봅시다.

\begin{gathered} (x^2)' = 2x \\ (x^2 + 5)' = 2x \\ (x^2 - \pi)' = 2x \end{gathered}

셋 다 원시함수입니다. 상수항은 미분하면 0이 되니, $x^2$ 에 어떤 상수를 더해도 원시함수입니다. 거꾸로, $2x$ 의 원시함수는 이것뿐일까요? 3교시에 본 사실이 답합니다. 도함수가 같은 두 함수는 차이가 상수입니다. 그러므로 $2x$ 의 원시함수는 모두 $x^2 + C$ ( $C$ 는 상수) 꼴입니다.

이 원시함수 전체를 한 기호로 씁니다.

$F$ 가 $f$ 의 원시함수 하나일 때, $f$ 의 원시함수 전체를

\int f(x)\,dx = F(x) + C

로 쓰고 $f$ 의 부정적분(indefinite integral)이라 한다. $C$ 를 적분상수(constant of integration)라 한다. 부정적분을 구하는 것을 " $f$ 를 적분한다"고 한다.

정적분 $\int_a^b f(x)\,dx$ 에는 위끝과 아래끝이 있고 값은 숫자 하나입니다. 부정적분 $\int f(x)\,dx$ 에는 끝이 없고 값은 함수의 가족입니다. 이름이 비슷하지만 다른 것을 가리킵니다. 둘을 잇는 것이 3교시의 기본정리입니다. 부정적분에서 아무 원시함수 하나를 골라 $F(b) - F(a)$ 를 계산하면 정적분이 나옵니다.

숫자로 한 번 확인합니다. $\int 2x\,dx = x^2 + C$ 입니다. $C = 5$ 인 $x^2 + 5$ 를 골라 $\int_1^3 2x\,dx$ 를 계산하면 $(9 + 5) - (1 + 5) = 8$ 입니다. $C$ 를 무엇으로 골라도 빼는 순간 사라지고 3교시 예제 3-5의 답 8이 나옵니다.

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예제 4-1

다음 중 $2x$ 의 원시함수를 모두 고르세요.

(가) $x^2$ (나) $x^2 + 5$ (다) $2x^2$ (라) $x^2 - \pi$ (마) $(x + 1)^2$

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방법: 하나씩 미분해서 $2x$ 가 나오는지 본다. 원시함수인지 확인하는 가장 확실한 방법입니다.

(가) $(x^2)' = 2x$ . 맞습니다.
(나) $(x^2 + 5)' = 2x + 0 = 2x$ . 맞습니다.
(다) $(2x^2)' = 4x$ . 아닙니다. 계수가 두 배입니다.
(라) $\pi$ 는 상수이므로 $(x^2 - \pi)' = 2x$ . 맞습니다.
(마) $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ 이므로 미분하면 $2x + 2$ . 아닙니다. 상수만 다른 것이 아니라 $2x$ 라는 항이 더 붙어 있습니다.

답: (가), (나), (라). 셋은 모두 $x^2 + C$ 꼴이고 $C$ 만 0, 5, $-\pi$ 로 다릅니다.

4-2. +C: 위아래로 옮긴 곡선 가족 (9분)

$C$ 가 무엇인지 그림으로 봅시다. $F'(x) = f(x)$ 라는 조건은 "곡선 $y = F(x)$ 위의 점 $(x, y)$ 에서 접선의 기울기가 $f(x)$ "라는 뜻입니다. 그래서 평면의 점마다 "여기를 지나는 곡선은 이 기울기로 지나가야 한다"는 짧은 선분을 그려 둘 수 있습니다. 이 그림을 기울기 장(slope field)이라고 부릅니다.

아래 실습대의 남색 짧은 선분들이 $f(x) = 2x$ 의 기울기 장입니다. 가로축은 $x$ , 세로축은 $y$ 입니다. 회색 가는 곡선들은 $x^2 + C$ 가족( $C = -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8$ )이고, 청록 굵은 곡선이 그 가운데 고른 곡선입니다. 고른 곡선은 주황 점을 지납니다. 점을 끌거나 화살표 키로 옮기면 그 점을 지나는 원시함수로 바뀌고, 오른쪽에 식 $y = x^2 + C$ 와 $C$ 값이 나옵니다. 'C' 슬라이더로 바꿔도 됩니다. '그려 보기'를 누르면 고른 곡선이 왼쪽 끝에서부터 기울기 장을 따라 자랍니다. 칩으로 $\cos x$ , $e^x$ , 열차 속도도 고를 수 있습니다.

기울기 장 (기울기 f(x))
F(x) + C 가족
고른 곡선
지나는 점 · 자라는 끝

f (미분하면 나올 함수)

f(x) = 2x

고른 곡선

y = x²

지나는 점 (x₀, y₀) = (1, 1)
그 점의 기울기 f(x₀) = 2

기울기 장의 선분은 세로줄마다 기울기가 같습니다. 높이 y와 상관없이 x만 보고 정해지기 때문입니다.

C = 0: 곡선 y = x². 점을 끌어 다른 곡선을 골라 보세요. 모양은 같고 위아래로만 옮겨집니다.

먼저 남색 선분을 세로줄 하나만 따라 위아래로 훑어보세요. 같은 세로줄에서는 높이와 상관없이 기울기가 모두 같습니다. 그다음 주황 점을 위아래로 끌어 보세요. 곡선의 모양은 그대로이고 통째로 위아래로만 옮겨집니다. 점을 (1, 3)에 두면 C = 2입니다. '그려 보기'를 누르면 곡선이 선분의 방향을 따라 자랍니다.

실습대에서 본 것을 정리합니다.

기울기 장의 선분은 세로줄마다 기울기가 같습니다. 기울기 $f(x)$ 가 $x$ 만으로 정해지고 높이 $y$ 와는 상관이 없기 때문입니다.
그래서 기울기 장을 따라가는 곡선 하나를 위아래로 평행이동해도 여전히 기울기 장을 따라갑니다. 원시함수 가족 $F(x) + C$ 는 한 곡선을 위아래로 옮긴 곡선들입니다.
가족 가운데 하나를 고르려면 점 하나가 필요합니다. 점 $(x_0, y_0)$ 을 지나야 한다면 $F(x_0) + C = y_0$ 에서 $C = y_0 - F(x_0)$ 입니다.

같은 $x$ 에서 두 원시함수의 높이 차이는 언제나 같습니다. 오늘의 과제에 대입하면, 속도 식이 같은 열차 두 대는 처음 간격을 끝까지 그대로 지킵니다.

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예제 4-2

$f(x) = 2x$ 의 원시함수 가운데 점 $(1, 3)$ 을 지나는 것과 점 $(-2, 1)$ 을 지나는 것을 각각 구하세요. 두 곡선의 높이 차이는 $x$ 에 따라 달라질까요? 실습대에서 점을 옮겨 확인해 보세요.

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1단계: 가족을 쓴다. $\int 2x\,dx = x^2 + C$ 입니다.

2단계: 점을 넣어 $C$ 를 정한다.

$(1, 3)$ 을 지나려면 $1^2 + C = 3$ 이므로 $C = 2$ . 곡선은 $y = x^2 + 2$ .
$(-2, 1)$ 을 지나려면 $(-2)^2 + C = 1$ 이므로 $C = -3$ . 곡선은 $y = x^2 - 3$ .

3단계: 차이를 본다. $(x^2 + 2) - (x^2 - 3) = 5$ 입니다. $x$ 가 사라지므로 어디서나 5입니다.

답: $y = x^2 + 2$ 와 $y = x^2 - 3$ . 높이 차이는 어느 $x$ 에서나 5로 같다. 두 곡선은 서로를 5만큼 위아래로 옮긴 것입니다.

4-3. 다항함수의 적분 공식 (10분)

적분 공식은 미분 공식을 거꾸로 읽으면 나옵니다. 미분 4교시의 거듭제곱 공식은 $(x^{n+1})' = (n+1)x^n$ 입니다. 양변을 $n + 1$ 로 나누면

\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = x^n

이므로 다음 공식을 얻습니다.

\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \ne -1)

지수를 하나 올리고, 올린 지수로 나눈다.

$n = -1$ 이면 $n + 1 = 0$ 으로 나누게 되어 공식을 쓸 수 없습니다. 이 경우는 4-4절에서 따로 봅니다. 몇 가지 $n$ 에 넣어 보면 이렇습니다.

$f(x)$	$n$	$\int f(x)\,dx$	미분해서 확인
$1$	0	$x + C$	$(x)' = 1$
$x$	1	$\dfrac{x^2}{2} + C$	$\dfrac{2x}{2} = x$
$x^2$	2	$\dfrac{x^3}{3} + C$	$\dfrac{3x^2}{3} = x^2$
$\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$	−2	$\dfrac{x^{-1}}{-1} = -\dfrac{1}{x} + C$	$(-x^{-1})' = x^{-2}$
$\sqrt{x} = x^{1/2}$	$\frac{1}{2}$	$\dfrac{x^{3/2}}{3/2} = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + C$	$\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2}x^{1/2} = \sqrt{x}$

미분처럼 적분도 상수배와 합·차를 따로따로 할 수 있습니다. 미분해서 확인하면 바로 보입니다.

\int k f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx

\begin{aligned} &\int \{f(x) \pm g(x)\}\,dx \\ &= \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx \end{aligned}

예를 들어

\begin{aligned} &\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx \\ &= 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} - 4 \cdot \dfrac{x^2}{2} + 5x + C \\ &= x^3 - 2x^2 + 5x + C \end{aligned}

입니다. 미분하면 $3x^2 - 4x + 5$ 가 그대로 돌아옵니다. 항마다 생기는 상수는 모두 합쳐 $C$ 하나로 씁니다.

오늘의 과제도 같은 계산입니다.

\begin{aligned} \int (0.12t^2 + 2)\,dt &= 0.12 \cdot \dfrac{t^3}{3} + 2t + C \\ &= 0.04t^3 + 2t + C \end{aligned}

다만 곱과 몫은 따로 적분할 수 없습니다. $\int x \cdot x\,dx$ 는 $\dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{x^2}{2}$ 이 아니라 $\int x^2\,dx = \dfrac{x^3}{3} + C$ 입니다. 미분에서도 곱은 따로 미분하지 않았습니다(곱의 미분법). 곱을 적분하는 방법은 9교시의 부분적분에서 다룹니다. 지금은 곱을 전개해서 합으로 바꾼 뒤 적분합니다.

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예제 4-3

다음을 적분하세요. 답을 미분해서 확인까지 하세요.

(1) $\int (6x^2 + 2x - 1)\,dx$ (2) $\int \sqrt{x}\,dx$ (3) $\int \dfrac{1}{x^2}\,dx$

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(1) 항마다 지수를 하나 올리고 그 수로 나눕니다.

\begin{aligned} &6 \cdot \dfrac{x^3}{3} + 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} - x + C \\ &= 2x^3 + x^2 - x + C \end{aligned}

확인: $(2x^3 + x^2 - x)' = 6x^2 + 2x - 1$ .

(2) 거듭제곱 꼴로 바꿉니다. $\sqrt{x} = x^{1/2}$ 이므로 지수는 $\frac{3}{2}$ 로 올라가고, $\frac{3}{2}$ 로 나누는 것은 $\frac{2}{3}$ 을 곱하는 것입니다.

\int x^{1/2}\,dx = \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + C

확인: $\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = \sqrt{x}$ .

(3) $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$ 이므로 지수는 $-1$ 이 되고 $-1$ 로 나눕니다.

\int x^{-2}\,dx = \dfrac{x^{-1}}{-1} + C = -\dfrac{1}{x} + C

확인: $(-x^{-1})' = -(-1)x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}$ .

답: (1) $2x^3 + x^2 - x + C$ (2) $\frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$ (3) $-\frac{1}{x} + C$ . 근호와 분수는 먼저 $x^n$ 꼴로 바꾸는 것이 요령입니다.

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예제 4-4

도윤은 $\int (2x + 1)^2\,dx$ 를 이렇게 풀었습니다. 틀린 곳을 모두 찾고 바르게 고치세요.

거듭제곱 공식대로 지수를 하나 올리고 나누면 $\int (2x+1)^2\,dx = \dfrac{(2x + 1)^3}{3}$ 이다.

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틀린 곳 1: 미분해서 확인하지 않았다. 연쇄법칙(미분 5교시)으로 미분하면 속미분 2가 곱해집니다.

\begin{aligned} \left(\dfrac{(2x + 1)^3}{3}\right)' &= \dfrac{3(2x + 1)^2 \times 2}{3} \\ &= 2(2x + 1)^2 \end{aligned}

원래 함수의 두 배입니다. 거듭제곱 공식은 $x^n$ 에만 쓸 수 있고, 괄호 안이 $x$ 가 아니면 그대로 쓸 수 없습니다.

틀린 곳 2: 적분상수 $C$ 가 없다. 부정적분은 함수의 가족이므로 $+ C$ 를 붙여야 합니다.

바르게 풀기: 전개한 뒤 적분한다. $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ 이므로

\begin{aligned} &\int (4x^2 + 4x + 1)\,dx \\ &= \dfrac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C \end{aligned}

덧붙임: 틀린 답을 2로 나눈 $\dfrac{(2x + 1)^3}{6} + C$ 도 맞는 답입니다. 미분하면 $(2x + 1)^2$ 이 나옵니다. 전개하면 $\dfrac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + \dfrac{1}{6}$ 이라 위의 답과 상수 $\frac{1}{6}$ 만 다르고, 그 차이는 $C$ 에 들어갑니다. 이런 꼴을 바로 다루는 방법이 8교시의 치환적분입니다.

답: 거듭제곱 공식을 괄호에 잘못 썼고 $C$ 를 빠뜨렸다. 바른 답은 $\dfrac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C$ .

4-4. 지수·로그·삼각함수의 적분 (9분)

미분 6교시의 미분 공식을 왼쪽에 놓고 거꾸로 읽으면 오른쪽의 적분 공식이 됩니다.

미분 공식	적분 공식
$(e^x)' = e^x$	$\int e^x\,dx = e^x + C$
$(e^{kx})' = ke^{kx}$	$\int e^{kx}\,dx = \dfrac{1}{k}e^{kx} + C \quad (k \ne 0)$
$(a^x)' = a^x \ln a$	$\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0,\ a \ne 1)$
$(\ln\lvert x\rvert)' = \dfrac{1}{x}$	$\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$
$(\sin x)' = \cos x$	$\int \cos x\,dx = \sin x + C$
$(\cos x)' = -\sin x$	$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

몇 가지를 짚습니다.

$\frac{1}{x}$ 에는 절댓값이 붙습니다. $\ln x$ 는 $x > 0$ 에서만 정의됩니다. 그런데 $\frac{1}{x}$ 은 $x < 0$ 에서도 정의됩니다. $x < 0$ 일 때 $\ln(-x)$ 를 연쇄법칙으로 미분하면 $\dfrac{1}{-x} \times (-1) = \dfrac{1}{x}$ 입니다. 그래서 두 경우를 합쳐 $\ln\lvert x\rvert$ 로 씁니다. 이것이 4-3절에서 빠진 $n = -1$ 의 경우입니다.
$\sin$ 의 적분에는 빼기가 붙습니다. $\cos x$ 를 미분하면 $-\sin x$ 이므로, 미분해서 $\sin x$ 가 되는 것은 $-\cos x$ 입니다. 부호는 외우기보다 미분해서 확인하는 편이 안전합니다.
$e^{kx}$ 는 $k$ 로 나눕니다. 미분할 때 속미분 $k$ 가 곱해졌으니 적분할 때는 $k$ 로 나눕니다. 예를 들어 $\int e^{2x}\,dx = \dfrac{1}{2}e^{2x} + C$ 입니다.

앞의 실습대에서 칩 ' $\cos x$ '를 고르면 $\sin x + C$ 가족이, ' $e^x$ '를 고르면 $e^x + C$ 가족이 보입니다. $e^x$ 의 기울기 장은 오른쪽으로 갈수록 가팔라지고, 가족의 곡선들은 왼쪽 끝에서 각자 높이 $C$ 에 수평으로 다가갑니다.

은재 이모의 한마디

적분 공식이 헷갈리면 외운 걸 믿지 말고 미분해 봐. 미분은 너 이제 잘하잖아. 미분해서 원래 함수가 나오면 맞는 거야.

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예제 4-5

$\int \left(e^x + \dfrac{1}{x} - 2\cos x\right)dx$ 를 구하세요. ( $x \ne 0$ )

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1단계: 항마다 공식을 고른다. $e^x$ 에는 $e^x$ , $\frac{1}{x}$ 에는 $\ln\lvert x\rvert$ , $\cos x$ 에는 $\sin x$ 입니다. 상수배 $-2$ 는 그대로 둡니다.

\begin{aligned} &\int \left(e^x + \dfrac{1}{x} - 2\cos x\right)dx \\ &= e^x + \ln\lvert x\rvert - 2\sin x + C \end{aligned}

2단계: 미분해서 확인한다. $(e^x)' = e^x$ , $(\ln\lvert x\rvert)' = \frac{1}{x}$ , $(-2\sin x)' = -2\cos x$ 입니다. 원래 식이 돌아옵니다.

답: $e^x + \ln\lvert x\rvert - 2\sin x + C$ .

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예제 4-6

2교시의 자기 브레이크 기억나나요? 브레이크 구간에서 열차의 속도는 $v(t) = 25e^{-0.3t}$ m/s였습니다. $\int 25e^{-0.3t}\,dt$ 를 구하고, 미분해서 확인하세요.

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1단계: 공식 $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ 에서 $k = -0.3$ . 상수배 25는 앞에 그대로 둡니다.

\begin{aligned} &\int 25e^{-0.3t}\,dt \\ &= 25 \times \dfrac{1}{-0.3}e^{-0.3t} + C \\ &= -\dfrac{250}{3}e^{-0.3t} + C \end{aligned}

$\dfrac{250}{3} \approx 83.33$ 입니다.

2단계: 미분해서 확인한다. 연쇄법칙으로 속미분 $-0.3$ 이 곱해집니다.

\begin{aligned} &\left(-\dfrac{250}{3}e^{-0.3t}\right)' \\ &= -\dfrac{250}{3} \times (-0.3)e^{-0.3t} \\ &= 25e^{-0.3t} \end{aligned}

답: $-\dfrac{250}{3}e^{-0.3t} + C$ . 2교시에는 브레이크 거리를 리만 합으로 어림만 했습니다. 이제 원시함수가 있으니 정확한 값을 구할 수 있습니다. 그 계산은 7교시에 속도와 거리를 다룰 때 합니다.

4-5. 처음 값 조건으로 C 정하기: 열차 세 대 (7분)

이제 오 팀장의 과제를 끝냅니다. 위치 $s(t)$ 를 미분하면 속도이므로, 위치는 속도의 부정적분입니다.

s(t) = \int (0.12t^2 + 2)\,dt = 0.04t^3 + 2t + C

$t = 0$ 을 넣으면 $s(0) = C$ 입니다. 이 문제에서 $C$ 는 출발 위치입니다. 식만으로는 정할 수 없고, 기록(출발 위치)이 정해 줍니다. 이렇게 $C$ 를 정하는 정보를 처음 값 조건(초기 조건)이라고 합니다. 세 열차의 위치 식은 이렇습니다.

열차	출발 위치	위치 식 $s(t)$ (m)	5초	10초
1	0 m	$0.04t^3 + 2t$	15	60
2	30 m	$0.04t^3 + 2t + 30$	45	90
3	60 m	$0.04t^3 + 2t + 60$	75	120

세 열차 모두 10초 동안 60 m씩 움직였고, 간격 30 m는 처음부터 끝까지 그대로입니다. 4-2절에서 본 "같은 $x$ 에서 높이 차이가 일정하다"는 성질이 그대로 보입니다. 10초에 속도는 $v(10) = 0.12 \times 100 + 2 = 14$ m/s입니다.

아래 실습대는 같은 실습대를 열차 속도로 띄운 것입니다. 가로축은 시각 $t$ (초), 세로축은 선로 입구에서 잰 위치(m)입니다. 회색 곡선 세 개가 열차 1, 2, 3의 위치 그래프입니다. 주황 점을 끌어 "5초에 75 m"인 점에 놓아 보세요.

기울기 장 (기울기 v(t))
F(x) + C 가족
고른 곡선
지나는 점 · 자라는 끝

f (미분하면 나올 함수)

v(t) = 0.12t² + 2

고른 곡선

s = 0.04t³ + 2t

지나는 점 (t₀, s₀) = (0, 0)
그 점의 기울기 v(t₀) = 2

기울기 장의 선분은 세로줄마다 기울기가 같습니다. 높이 y와 상관없이 x만 보고 정해지기 때문입니다.

C = 0: 출발 위치(t = 0)가 0 m인 열차의 위치 식은 s = 0.04t³ + 2t입니다. 같은 속도 식이라 세 열차의 간격은 끝까지 그대로입니다.

주황 점을 시각 5초, 위치 75 m로 끌어 보세요(화살표 키로도 옮길 수 있습니다). 오른쪽의 C가 60이 되고, 청록 곡선이 '열차 3'의 회색 곡선과 겹칩니다. '그려 보기'를 누르면 기울기 장(속도)을 따라 위치 그래프가 자라는 모습을 볼 수 있습니다.

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예제 4-7

오늘의 설계 과제. 기록이 꼬인 열차에는 "출발 5초 뒤 선로 입구에서 75 m"라는 값만 남아 있습니다. 이 열차의 위치 식을 쓰고, 몇 번 열차인지 답하세요. 그 열차는 10초에 어디에 있을까요?

풀이 보기

1단계: 가족을 쓴다. 속도 식이 같으니 위치 식은 $s(t) = 0.04t^3 + 2t + C$ 꼴입니다.

2단계: 처음 값 조건 대신 '5초의 값'을 넣는다. 조건은 $t = 0$ 이 아니어도 됩니다. 한 시각의 값만 알면 $C$ 가 정해집니다.

\begin{aligned} s(5) &= 0.04 \times 125 + 2 \times 5 + C \\ &= 15 + C = 75 \end{aligned}

이므로 $C = 60$ 입니다.

3단계: 뜻을 읽는다. $C = s(0)$ 은 출발 위치이므로 이 열차는 60 m에서 출발한 열차 3입니다.

4단계: 10초의 위치. $s(10) = 0.04 \times 1000 + 20 + 60 = 120$ m입니다.

답: $s(t) = 0.04t^3 + 2t + 60$ . 열차 3이고, 10초에 120 m 지점에 있다.

도윤이 관제 화면에 식 세 개를 입력하자 모니터에 나란한 곡선 세 개가 그려집니다. 오 팀장이 화면을 봅니다. "세 줄이 똑같이 생겼네. 위아래로만 비켜서." "속도가 같으니까요. 다른 건 C 하나, 출발 위치뿐이에요." 은재 이모가 덧붙입니다. "적분하고 나서 C를 안 붙이면, 세 대가 한 자리에 겹쳐서 출발하는 거야. 관제 화면에서는 충돌이지."

기호 읽는 법

기호	읽는 법	뜻
$\int f(x)\,dx$	인테그럴 f(x) dx	$f$ 의 부정적분. 원시함수 전체
$C$	적분상수	원시함수 가족에서 하나를 고르는 상수
$\ln\lvert x\rvert$	엘엔 절댓값 x	$\frac{1}{x}$ 의 원시함수 ( $x \ne 0$ )
$s(0)$	에스 영	처음 값. 위치 문제에서는 출발 위치

교과서에서는

교과서는 " $F'(x) = f(x)$ 일 때 $F(x)$ 를 $f(x)$ 의 부정적분이라 하고 $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ 로 나타낸다. $C$ 를 적분상수라 한다"고 씁니다. 원시함수와 부정적분을 같은 뜻으로 쓰는 교과서도 있습니다.
답에 $C$ 가 빠지면 틀린 답으로 봅니다. "단, $C$ 는 적분상수"라는 말이 문제에 없어도 붙입니다.
자주 나오는 꼴은 " $f'(x) = 6x^2 - 2x$ 이고 $f(1) = 4$ 일 때 $f(2)$ 의 값"입니다. 적분하고, 주어진 값으로 $C$ 를 정하고, 원하는 값을 넣습니다(연습 문제 2).
미분과 적분의 순서를 바꾼 식도 자주 나옵니다. $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int f(x)\,dx = f(x)$ 이지만 $\displaystyle\int \left\{\dfrac{d}{dx}f(x)\right\}dx = f(x) + C$ 입니다. 미분을 나중에 하면 $C$ 가 지워지고, 적분을 나중에 하면 $C$ 가 생깁니다.
지수·로그·삼각함수의 적분은 2015 개정 교육과정의 '미적분', 2022 개정 교육과정의 '미적분 II'에서 다룹니다. 다항함수의 적분은 '수학 II'('미적분 I')입니다.

자주 하는 착각 (3분)

"+C는 붙여도 그만, 안 붙여도 그만이다." 부정적분은 함수 하나가 아니라 가족입니다. $C$ 를 빠뜨리면 열차 세 대가 한 식으로 겹칩니다.
"곱은 따로 적분해서 곱하면 된다." $\int x \cdot x\,dx \ne \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{x^2}{2}$ 입니다. 곱은 전개하거나 9교시의 부분적분을 씁니다.
" $\int \frac{1}{x}\,dx = \dfrac{x^0}{0}$ 이다." $n = -1$ 에서는 거듭제곱 공식을 쓸 수 없습니다. 답은 $\ln\lvert x\rvert + C$ 입니다.
" $\int \sin x\,dx = \cos x + C$ 다." 미분해 보면 $-\sin x$ 가 나옵니다. 바른 답은 $-\cos x + C$ 입니다.

연습 문제 (4분)

$\int \left(x^3 - \dfrac{2}{x} + e^x\right)dx$ 를 구하세요. ( $x \ne 0$ )
$f'(x) = 6x^2 - 2x$ 이고 $f(1) = 4$ 일 때 $f(x)$ 와 $f(2)$ 를 구하세요.
곡선 $y = F(x)$ 위의 모든 점 $(x, y)$ 에서 접선의 기울기가 $\cos x$ 이고, 이 곡선은 점 $(0, 2)$ 를 지납니다. $F(x)$ 와 $F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ 를 구하세요.
(서술형) $\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$ 입니다. 절댓값이 왜 필요한지, $x < 0$ 일 때 미분해서 확인하는 과정을 쓰세요.
$F'(x) = \sin x$ 이고 $F(0) = 0$ 인 $F(x)$ 를 구하세요. 그리고 3교시의 기본정리로 $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$ 를 구하세요.

풀이

항마다 적분합니다. $\dfrac{x^4}{4} - 2\ln\lvert x\rvert + e^x + C$ . 미분하면 $x^3 - \dfrac{2}{x} + e^x$ 로 돌아옵니다.
$f(x) = \int (6x^2 - 2x)\,dx = 2x^3 - x^2 + C$ 입니다. $f(1) = 2 - 1 + C = 4$ 에서 $C = 3$ 이므로 $f(x) = 2x^3 - x^2 + 3$ , $f(2) = 16 - 4 + 3 = 15$ .
기울기가 $\cos x$ 이므로 $F(x) = \int \cos x\,dx = \sin x + C$ 입니다. $(0, 2)$ 를 지나므로 $\sin 0 + C = 2$ , $C = 2$ . $F(x) = \sin x + 2$ , $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 2 = 3$ . 실습대의 칩 ' $\cos x$ '에서 점을 $(0, 2)$ 에 두면 같은 곡선이 나옵니다.
$x > 0$ 이면 $\lvert x\rvert = x$ 이고 $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ 입니다. $x < 0$ 이면 $\ln x$ 는 정의되지 않지만 $\frac{1}{x}$ 은 정의되므로 원시함수가 따로 필요합니다. $\lvert x\rvert = -x > 0$ 이고, 연쇄법칙으로 $(\ln(-x))' = \dfrac{1}{-x} \times (-1) = \dfrac{1}{x}$ 입니다. 두 경우 모두 미분하면 $\frac{1}{x}$ 이므로, 하나로 합쳐 $\ln\lvert x\rvert + C$ 로 씁니다. 절댓값이 없으면 $x < 0$ 인 범위의 원시함수를 놓칩니다.
$F(x) = \int \sin x\,dx = -\cos x + C$ 이고 $F(0) = -1 + C = 0$ 에서 $C = 1$ 이므로 $F(x) = 1 - \cos x$ . 기본정리 2로 $\int_0^{\pi} \sin x\,dx = F(\pi) - F(0) = (1 - (-1)) - 0 =$ 2. $y = \sin x$ 의 언덕 한 개 아래 넓이가 정확히 2입니다.

도윤의 미분 노트

F′ = f이면 F는 f의 원시함수. 원시함수 전체가 부정적분 ∫f(x)dx = F(x) + C이고, C는 적분상수다.
원시함수 가족은 한 곡선을 위아래로 옮긴 곡선들이다. 기울기 장은 세로줄마다 기울기가 같다. 하나를 고르려면 점 하나(처음 값)가 필요하다.
∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1), ∫1/x dx = ln|x| + C, ∫eˣdx = eˣ + C, ∫e^(kx)dx = e^(kx)/k + C, ∫cos x dx = sin x + C, ∫sin x dx = −cos x + C.
상수배·합·차는 따로 적분한다. 곱은 따로 적분할 수 없다(전개하거나 부분적분).
열차 세 대: s(t) = 0.04t³ + 2t + C, C = 출발 위치(0, 30, 60). '5초에 75 m'는 C = 60, 열차 3.
시험에서 이걸 만나면: 적분하고 C를 붙인 뒤, 주어진 값으로 C를 정하고, 마지막에 답을 미분해서 확인한다.

저녁 무렵, 오 팀장이 서류철을 하나 더 들고 옵니다. "하늘바퀴 안전 점검이야. 칸의 높이가 올라가는 빠르기 기록을 받아서 한 바퀴(12분) 동안 정적분해 봤대. 그런데 0이 나왔다는 거야. 칸은 12분 내내 쉬지 않고 움직였는데 말이야. 안전팀은 승객이 오르내린 높이를 다 합친 값이 필요하대." 도윤이 고개를 젓습니다. "적분은 넓이잖아요. 내내 움직였는데 넓이가 0일 리가 없어요." 은재 이모가 말합니다. "그래프 아래를 봐. x축 아래에도 넓이가 있어." 5교시에서는 F(b) − F(a)로 정적분을 계산하는 법을 익히고, x축 아래의 음의 넓이와 정적분의 성질을 하늘바퀴로 확인합니다.

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3교시 · 넓이를 함수로: 미적분의 기본정리

5교시 · 넓이에도 부호가 있다: 정적분의 계산과 성질

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