강의 개요

삼각함수라고 하면 많은 분이 직각삼각형 하나를 떠올립니다. "sin은 높이 나누기 빗변, cos은 밑변 나누기 빗변, tan은 높이 나누기 밑변." 여기까지는 외웠는데, 그다음부터는 공식이 쏟아집니다. 150°의 사인, 라디안, 덧셈정리, 합성, 그리고 대학에 가면 갑자기 나타나는 $e^{i\theta}$와 $\cosh$. 삼각형 하나로는 이 공식들이 왜 그런 모양인지 설명이 안 됩니다.

이 강의는 관점 하나를 바꿉니다. 삼각함수는 삼각형의 함수가 아니라 회전의 함수입니다. 원 위를 도는 점의 가로 위치가 cos, 세로 위치가 sin입니다. 이렇게 보면 그다음이 차례로 풀립니다.

1. 원을 시간축에 펼치면 파동이 됩니다. 소리, 빛, 교류 전기가 모두 이 모양입니다.
2. 두 번 돌리기는 한 번에 더 돌리기와 같습니다. 이 당연한 사실을 식으로 쓰면 덧셈정리입니다.
3. 도는 점의 속도는 늘 반지름에 수직입니다. 그래서 sin을 미분하면 cos이 됩니다.
4. 회전을 곱셈 한 번으로 해내는 수가 복소수입니다. 그 끝에 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$가 있습니다.
5. 원 대신 쌍곡선 위를 돌면 쌍곡선함수 cosh, sinh가 나옵니다. 매달린 케이블이 그 모양입니다.

아래 실습대가 이 강의의 첫 그림이자 마지막 그림입니다.

이런 분께 맞습니다

• 삼각함수를 "높이 나누기 빗변"에서 멈춘 채 공식만 외우고 넘어간 분
• 삼각함수 단원(그래프, 삼각방정식, 사인·코사인법칙)에서 막힌 고등학생
• 공대·물리에서 복소수와 오일러 공식을 "그냥 외워서" 써 온 대학생과 직장인
• 자녀에게 삼각함수를 설명해야 하는 부모님

중학교 수학(닮음, 피타고라스 정리, 좌표평면)만 알면 1–9교시를 따라올 수 있습니다. 10–12교시는 미분과 지수함수 $e^x$를 조금 씁니다. 필요한 사실은 그 자리에서 한 줄로 다시 짚고, 롤러코스터 설계실의 미분의 해당 교시를 연결해 둡니다.

교과서로 치면 2015 개정 교육과정의 '수학 I'(삼각함수, 사인법칙·코사인법칙)과 '미적분'(덧셈정리, 삼각함수의 미분), 2022 개정 교육과정의 '대수'와 '미적분 II'에 걸칩니다. 푸리에 급수, 복소수와 오일러 공식, 쌍곡선함수(9·11·12교시)는 교과서 밖의 이야기입니다. 그 교시에서 따로 밝힙니다.

한 교시는 이렇게 진행됩니다

1. 오늘의 설계 과제: 설계실에 들어온 과제와 오늘 구할 것으로 시작합니다.
2. 실습대: 원을 돌리고, 펼치고, 화살표를 이어 붙여 봅니다. 교시마다 둘 이상 있고, 대부분 움직이는 그림입니다.
3. 정의와 식: 본 것에 이름을 붙이고, 식이 나오면 바로 숫자를 넣어 한 번 계산합니다. 외울 것과 원에서 다시 꺼낼 것을 구분해 드립니다.
4. 직접 풀어 보기: 개념 하나를 배울 때마다 예제를 직접 풉니다. 교시마다 5–8개입니다. 풀이는 접혀 있으니 먼저 종이에 풀어 보고 펼치세요.
5. 교과서에서는: 그 개념을 교과서와 시험이 어떤 말과 기호로 묻는지 이어 줍니다. 교과서 밖 교시에서는 공대·물리에서 어떻게 쓰는지 이어 줍니다.
6. 마무리: 자주 하는 착각, 연습 문제와 풀이, 도윤의 노트로 마칩니다.

강의 지도

부	교시	설계실의 과제	배우는 것
1부 · 삼각형에서 원으로	1–3	드롭타워 번개의 높이, 하늘바퀴 칸 24개의 좌표, 칸의 속력	삼각비, 단위원과 일반각, 라디안
2부 · 원에서 파동으로	4–6	하늘바퀴 높이 그래프, 50 m보다 높은 시간대, 계곡 건너 케이블카 측량	삼각함수의 그래프, 삼각방정식과 역삼각함수, 사인법칙·코사인법칙
3부 · 회전을 계산하다	7–9	별빛 축제의 레이저 회전, 웅웅거리는 스피커, 소리의 음색과 바닥 그림	덧셈정리, 파동의 합성과 맥놀이, 푸리에 급수
4부 · 미분, 복소수, 그리고 원 밖으로	10–12	파도배 점검, 회오리 컵과 교류 전기, 케이블카 케이블의 처짐	삼각함수의 미분과 진동, 복소수와 오일러 공식, 쌍곡선함수

순서대로 보기를 권합니다. 뒤 교시의 공식은 모두 앞 교시의 그림에서 나옵니다. 특히 2교시의 단위원은 이 강의의 모든 교시가 다시 돌아오는 자리입니다.

11교시의 실습대 하나를 미리 보여 드립니다. 복소수 $1 + \dfrac{i\theta}{n}$을 $n$번 곱한 결과를 꺾은선으로 그립니다. $n$이 커질수록 꺾은선이 원에 달라붙습니다. 지금은 무슨 뜻인지 몰라도 괜찮습니다. 11교시에 다시 오면 이 그림이 "오일러 공식이 왜 원인가"에 대한 답이 되어 있을 것입니다.

준비물

• 종이와 연필. 예제를 풀 때, 그리고 단위원을 직접 그려 볼 때 씁니다.
• 실습대는 모두 브라우저 안에서 돌아갑니다. 마우스·손가락이나 키보드(Tab과 화살표 키)로 조작합니다. 8·9교시 실습대에는 소리를 들어 보는 버튼이 있습니다(눌렀을 때만, 작은 소리로 2초쯤 납니다).
• 계산은 휴대폰 계산기면 충분합니다. 계산기가 도(DEG)인지 라디안(RAD)인지는 3교시에서 꼭 확인합니다.

등장인물

이야기는 롤러코스터 설계실의 미분·적분과 같은 솔바람랜드 놀이기구 설계실에서 이어집니다. 앞 강의를 보지 않았어도 괜찮습니다.

이름	누구
도윤	고등학교 3학년. 겨울방학에 설계실에서 미분과 적분을 익혔다. 삼각함수는 "높이 나누기 빗변"과 공식 암기에서 멈춰 있어서, 봄 학기 토요일 오전마다 설계실에 나온다.
은재 이모	놀이기구 설계 엔지니어. 이번 강의에서 늘 하는 말은 "원으로 가져가 봐."와 "돌려 봐."다.
오 팀장	설계팀장. 과제와 마감을 들고 온다. "그래서 몇 도야? 몇 미터야?"
민 감독	5월 별빛 축제의 조명·음향 감독. 수식은 모르지만 귀와 눈이 예민하다. 7–9교시에 나온다.