각을 길이로 재다: 라디안

세 번째 토요일입니다. 설계실 화이트보드에 정비팀이 남긴 메모가 붙어 있습니다. "칸 속력 = 30°/분 × 30 m = 900 m/분?" 물음표가 두 개나 붙어 있습니다.

도윤이 메모를 보고 웃습니다. "900 m면 바퀴 둘레보다 훨씬 길잖아요. 둘레가 60π, 190 m쯤인데요. 1분에 다섯 바퀴 가까이 도는 셈이에요." 그러다 고개를 갸웃합니다. "근데 왜 틀린 거지? 각에 반지름을 곱하면 호의 길이 아니에요?"

은재 이모가 끈 한 토막과 종이 원판을 꺼냅니다. "원으로 가져가 봐. 각에 반지름을 곱해서 길이가 나오려면, 각을 무엇으로 재야 할까?" 도윤이 겨울에 미분 6교시에서 잠깐 본 단어를 떠올립니다. "라디안이요. 그때는 'π가 180°'만 외우고 넘어갔어요."

"오늘은 그걸 손으로 만들어 보자." 이모가 끈을 원판의 반지름 길이로 자릅니다. 오늘은 도(°)가 어디서 왔는지 보고, 반지름으로 각을 재는 단위 라디안을 만듭니다. 그 단위로 호의 길이, 부채꼴 넓이, 도는 빠르기를 쓰면 식이 얼마나 짧아지는지 봅니다. 마지막으로 라디안에서만 성립하는 근사 sin x ≈ x를 봅니다.

3-1. 도(°)는 사람이 정한 단위다 (5분)

한 바퀴를 360°로 나누는 것은 자연이 정한 것이 아니라 사람이 정한 약속입니다. 고대 바빌로니아 사람들이 60을 단위로 수를 세었고, 1년이 360일에 가깝다는 데서 왔다는 설명이 널리 알려져 있습니다.

360은 고르기를 잘한 수입니다. 약수가 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360으로 24개나 됩니다. 그래서 한 바퀴를 몇 등분해도 대개 자연수 각이 나옵니다. 하늘바퀴의 칸 24개는 $360 \div 24 = 15°$ 간격입니다.

문제는 도가 길이와 아무 관계가 없다는 데 있습니다. "30°"라는 숫자 30은 원이 얼마나 큰지, 호가 몇 m인지 알려 주지 않습니다. 반지름 30 m인 바퀴에서 30°만큼의 호는 둘레 $2\pi \times 30 \approx 188.50$ m의 $\dfrac{30}{360}$이므로

입니다. 900 m가 아닙니다. 도로 잰 각에서 길이를 얻으려면 언제나 "$2\pi r \times \dfrac{\text{각}}{360}$"처럼 360과 $\pi$를 끌고 다녀야 합니다. 정비팀은 그 꼬리를 떼어 버린 것입니다.

그렇다면 처음부터 각을 길이로 재면 어떨까요? 그것이 오늘의 단위입니다.

3-2. 반지름으로 각을 재다: 라디안 (10분)

반지름이 $r$인 원이 있습니다. 반지름과 같은 길이의 끈을 원둘레에 감습니다. 끈이 덮은 호의 양 끝과 중심을 이으면 각이 하나 생깁니다. 이 각을 1 라디안(radian, 기호 rad)이라고 합니다. 반지름 두 개만큼 감으면 2 라디안, 반지름 0.5개만큼이면 0.5 라디안입니다. 곧 라디안은 "호의 길이가 반지름 몇 개인가"입니다.

원을 두 배로 키우면 호도 두 배, 반지름도 두 배라서 비는 그대로입니다. 1교시에서 닮은 삼각형의 변의 비가 크기와 상관없었던 것과 같은 이유입니다. 그래서 라디안은 원의 크기와 상관없이 각만 나타냅니다. 길이 ÷ 길이라 단위가 없는 수이고, "rad"는 "이 수는 각입니다"라는 이름표일 뿐입니다.

아래 실습대의 회색 굵은 선이 반지름 $r$이고, 주황 끈은 반지름과 같은 길이의 조각으로 되어 있습니다. '감기'를 누르면 조각이 하나씩 원 위의 끝점에 서서 원둘레에 감기고, 한 조각을 다 감을 때마다 중심에서 그 자리까지 회색 반지름 선과 번호(1, 2, 3, …)가 생깁니다. 아래쪽 막대는 끈의 길이를 반지름 단위로 잰 자입니다. 오른쪽의 '끈의 길이' 칩(1, 2, 3, π, 2π)으로 끈의 길이를 고르고, '감은 길이' 슬라이더로 원하는 만큼만 감아 볼 수 있습니다. '반지름 r' 슬라이더는 원의 크기를 1–3 m로 바꿉니다. '60°(정삼각형)와 비교'를 켜면 청록 점선 정삼각형이 나옵니다.

실습대에서 본 것을 정리합니다.

• 한 바퀴: 둘레가 $2\pi r$이니 반지름 $2\pi \approx 6.28$개가 듭니다. 한 바퀴 = $2\pi$ rad = 360°.
• 반 바퀴: 반지름 $\pi \approx 3.14$개. 그래서 $\pi$ rad = 180°. 반지름 3개(3 rad ≈ 171.89°)로는 반 바퀴에 반지름의 약 0.14배만큼 모자랍니다.
• 1 rad: $180° \div \pi \approx 57.30°$. 정삼각형의 60°보다 조금 작습니다. 60°의 호는 $r \times \dfrac{\pi}{3} \approx 1.047r$로 반지름보다 조금 길기 때문입니다(정삼각형의 곧은 변은 정확히 $r$이고, 굽은 호는 그보다 깁니다).

외울 것은 하나뿐입니다.

나머지는 여기서 꺼냅니다. 도를 라디안으로 바꿀 때는 $\dfrac{\pi}{180}$을 곱하고, 라디안을 도로 바꿀 때는 $\dfrac{180}{\pi}$을 곱합니다. 자주 쓰는 각은 "반 바퀴의 몇 분의 몇인가"로 읽으면 계산할 필요도 없습니다.

라디안에는 $\pi$가 붙는 일이 많지만, $\pi$가 라디안의 표시는 아닙니다. 1 rad, 2 rad, 0.5 rad도 모두 라디안입니다. 그리고 라디안으로 쓸 때는 단위 "rad"를 흔히 생략합니다. 각에 단위가 없으면 라디안입니다.

3-3. 호의 길이와 부채꼴의 넓이 (8분)

라디안의 정의 $\theta = \dfrac{s}{r}$에서 양변에 $r$을 곱하면 호의 길이가 바로 나옵니다.

정비팀이 하고 싶었던 "각 × 반지름"이 이것입니다. 단, $\theta$가 라디안일 때만 맞습니다.

부채꼴의 넓이도 비례로 얻습니다. 원 전체(중심각 $2\pi$)의 넓이가 $\pi r^2$이니, 중심각 $\theta$인 부채꼴은 그 $\dfrac{\theta}{2\pi}$입니다.

마지막 꼴 $\dfrac{1}{2}rs$는 그림으로도 보입니다. 부채꼴을 아주 가는 조각으로 자르면 조각 하나하나가 높이 $r$인 가는 삼각형입니다. 그 밑변을 모두 더하면 호의 길이 $s$이니, 넓이는 "밑변 $s$, 높이 $r$인 삼각형"과 같습니다.

도로 쓰면 같은 식이 $s = 2\pi r \times \dfrac{\theta°}{360}$, $A = \pi r^2 \times \dfrac{\theta°}{360}$가 됩니다. 라디안은 이 꼬리를 떼어 줍니다.

하늘바퀴의 칸 사이. 이웃한 두 칸 사이의 중심각은 15° $= \dfrac{\pi}{12}$입니다. 칸은 반지름 30 m 위에 매달려 있으니

입니다. 확인: 바퀴 전체의 넓이 $900\pi \approx 2827.43$ m²를 24로 나눠도 117.81 m²입니다. 두 칸을 곧게 이은 선분(현)은 $2 \times 30 \times \sin 7.5° \approx 7.83$ m로, 호 7.85 m보다 약 0.02 m 짧습니다. 각이 작으면 호와 현이 거의 같습니다. 이 사실은 3-5절에서 다시 씁니다.

3-4. 도는 빠르기: 각속도와 v = rω (9분)

하늘바퀴는 12분에 한 바퀴, 곧 12분에 $2\pi$ rad를 돕니다. 단위 시간에 도는 각을 각속도(angular velocity)라 하고 그리스 문자 $\omega$(오메가)로 씁니다.

도로 쓰면 1분에 30°입니다.

$t$분 동안 도는 각은 $\omega t$이고, 그동안 칸이 움직인 거리는 호의 길이 $s = r\omega t$입니다. 1분에 움직이는 거리, 곧 칸의 속력은

입니다. 초속으로는 약 0.26 m, 시속으로는 약 0.94 km입니다. 사람이 걷는 빠르기(시속 4 km쯤)의 4분의 1도 안 됩니다. 겨울에 미분 6교시에서 "둘레 ÷ 시간 $= \dfrac{2\pi \times 30}{12}$"으로 구한 $5\pi$와 같은 값입니다. 둘레 ÷ 시간을 풀어 쓰면 $r \times \dfrac{2\pi}{12} = r\omega$이니 당연합니다.

정비팀의 900은 무엇이었나. 정비팀은 $\omega$ 자리에 도로 잰 30을 넣었습니다. 그러면 $v = 30 \times 30 = 900$이 나옵니다. 이것은 1분에 30 rad를 도는 바퀴의 속력입니다. 30 rad는 $30 \div 2\pi \approx 4.77$바퀴이니, 1분에 4.77바퀴를 도는 바퀴의 속력을 계산한 셈입니다. 도윤이 처음에 "1분에 다섯 바퀴 가까이"라고 느낀 것이 이것입니다.

같은 바퀴, 다른 속력. 바퀴 위의 모든 점은 같은 각속도로 돕니다. 하지만 속력은 반지름에 비례합니다. 중심에서 10 m 떨어진 바퀴살 위의 점은 $10 \times \dfrac{\pi}{6} \approx 5.24$ m/분으로, 칸의 3분의 1 빠르기입니다.

3-5. 작은 각에서는 sin x ≈ x (8분)

반지름 1인 원(단위원)에서 각 $x$를 봅니다. 2교시에서 본 것처럼 점의 높이가 $\sin x$입니다. 라디안의 정의에 따라 그 점까지의 호의 길이는 $x$입니다. 그리고 동경을 늘여 접선 $x = 1$과 만나는 높이가 $\tan x$입니다(2교시, "탄젠트 = 접선"). 그림에서 이 세 길이를 나란히 놓으면 늘 이 순서입니다.

높이는 호보다 짧고(곧은 선이 굽은 길보다 짧으니), 접선 위의 길이는 호보다 깁니다. 그런데 각이 작아지면 호가 거의 곧아지면서 세 길이가 서로 붙습니다.

차이는 대략 $\dfrac{x^2}{6}$의 비율로 줄어듭니다. 각을 10분의 1로 줄이면 차이는 100분의 1이 됩니다. 0.1 rad(약 5.73°)만 돼도 0.17%입니다. 그래서 $x$가 작고 라디안일 때는 이렇게 씁니다.

도로 재면 성립하지 않습니다. $x = 1°$이면 $\sin 1° \approx 0.01745$인데 각의 숫자는 1입니다. 도로 잰 숫자는 호의 길이가 아니라서 비교할 대상이 아닙니다. $\dfrac{\sin x°}{x}$는 1이 아니라 $\dfrac{\pi}{180} \approx 0.01745$에 다가갑니다. 미분 6교시에서 본 $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$이 라디안에서만 맞는 이유가 이것입니다.

아래 실습대의 위 그림은 단위원의 한 조각입니다. 남색이 높이 $\sin x$, 주황이 호 $x$, 보라가 접선 위의 길이 $\tan x$입니다. 각이 작아지면 그림을 그만큼 확대해서 점 $(1, 0)$을 같은 자리에 둡니다. 아래 그래프는 $y = \sin x$(남색), $y = \tan x$(보라)와 기준선 $y = x$(회색 점선)이고, 주황 세로 점선이 지금의 $x$입니다. '확대해 보기'를 누르면 $x$가 1에서 0.02까지 줄며 창도 함께 좁아집니다. 'x' 슬라이더로 직접 고를 수도 있고, '각을 재는 단위' 칩을 '도(°)'로 바꾸면 가로축이 도로 잰 숫자가 됩니다. 오른쪽 표에는 $x$ 몇 개의 값이 있습니다.

이 근사는 설계실에서 자주 씁니다. 하늘바퀴는 1초에 $0.5° = \dfrac{\pi}{360}$ rad를 돕니다. 그동안 칸이 가는 호는 $30 \times \dfrac{\pi}{360} \approx 0.2618$ m이고, 출발점과 도착점을 곧게 이은 거리(현)는 0.26180 m로 소수 넷째 자리까지 같습니다. 작은 회전은 짧은 직선 이동으로 봐도 됩니다. 10교시에서 진자의 주기를 구할 때 이 근사를 다시 씁니다.

기호 읽는 법

교과서에서는

• 교과서는 라디안을 호도법이라는 이름으로 '수학 I' 삼각함수 단원 첫머리에서 일반각과 함께 배웁니다. 정의는 "반지름의 길이와 같은 호에 대한 중심각의 크기를 1라디안"입니다. 이 교시의 끈 감기 그대로입니다.
• 공식은 "반지름 r, 중심각 θ인 부채꼴의 호의 길이 l = rθ, 넓이 S = ½r²θ = ½rl"로 나옵니다. 시험에는 둘레가 정해진 부채꼴의 넓이가 가장 클 때를 묻는 문제가 자주 나옵니다(연습 문제 3).
• 각속도와 v = rω는 물리(원운동)에서 씁니다. 수학 교과서에는 잘 나오지 않지만, 라디안을 왜 쓰는지 가장 잘 보여 주는 예입니다.
• lim (sin x)/x = 1은 '미적분'에서 삼각함수의 극한으로 나옵니다. 그때도 x는 라디안입니다.

자주 하는 착각 (4분)

• "라디안은 π가 붙은 각이다." $\pi$는 3.14…라는 수일 뿐입니다. 2 rad, 0.5 rad처럼 $\pi$가 없는 라디안도 많습니다. 반대로 단위 없이 쓴 각은 라디안입니다.
• "$s = r\theta$에 도를 넣어도 된다." 도를 넣으면 $\dfrac{180}{\pi} \approx 57$배쯤 크게 나옵니다. 정비팀의 900 m/분과 도윤의 450 m가 그 예입니다.
• "1 rad는 60°쯤이다." 1 rad ≈ 57.30°입니다. 60°의 호는 반지름보다 조금 길어서($\approx 1.047r$) 60°가 1 rad보다 큽니다.
• "각속도가 같으면 속력도 같다." 같은 바퀴 위의 점은 각속도가 같지만, 속력 $v = r\omega$는 중심에서 멀수록 큽니다.
• "sin x ≈ x는 언제나 쓸 수 있다." $x$가 작고(대략 0.2 rad 아래) 라디안일 때만 씁니다. $x = 1$이면 $\sin 1 \approx 0.84$로 16%나 차이 납니다.

연습 문제 (6분)

1. 150°, 330°를 라디안으로, $\dfrac{7\pi}{6}$과 0.5 rad를 도로 바꾸세요. (0.5 rad는 소수 둘째 자리까지)
2. 반지름 12 cm, 중심각 $\dfrac{5\pi}{6}$인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하세요. ($\pi$를 남긴 값과 소수 둘째 자리까지)
3. 둘레(반지름 두 개 + 호)가 20 cm인 부채꼴 가운데 넓이가 가장 큰 것의 반지름, 중심각(라디안), 넓이를 구하세요.
4. (서술형) $\sin x \approx x$가 라디안에서는 성립하고 도에서는 성립하지 않는 이유를 단위원 그림을 써서 설명하세요. $x = 0.1$ rad와 $x = 1°$의 값을 하나씩 들어 보이세요.
5. 오 팀장이 묻습니다. "주말에는 하늘바퀴를 한 바퀴 10분으로 조금 빨리 돌려 볼까 해. 그러면 각속도, 칸의 속력, 구동 타이어(반지름 0.5 m)의 1분 회전수는?" (소수 둘째 자리까지)

풀이

1. 150°는 반 바퀴의 $\frac{5}{6}$이므로 $\frac{5\pi}{6}$, 330°는 $\frac{11}{6}$이므로 $\frac{11\pi}{6}$입니다. $\frac{7\pi}{6} = \frac{7 \times 180°}{6} = 210°$, $0.5 \times \frac{180°}{\pi} \approx 28.65°$. 답: $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{11\pi}{6}$, 210°, 약 28.65°
2. $s = r\theta = 12 \times \frac{5\pi}{6} = 10\pi \approx 31.42$ cm. $A = \frac{1}{2}rs = \frac{1}{2} \times 12 \times 10\pi = 60\pi \approx 188.50$ cm². 답: 호 $10\pi$ cm, 넓이 $60\pi$ cm²
3. 반지름을 $r$이라 하면 호는 $s = 20 - 2r$이고 넓이는 $A = \frac{1}{2}rs = \frac{1}{2}r(20 - 2r) = 10r - r^2$입니다. 완전제곱식으로 $A = 25 - (r - 5)^2$이므로 $r = 5$일 때 가장 크고 그때 넓이는 25 cm²입니다. 호는 $20 - 10 = 10$ cm이니 중심각은 $\theta = \frac{10}{5} = 2$ rad입니다. 답: 반지름 5 cm, 중심각 2 rad, 넓이 25 cm²
4. 단위원에서 각 $x$(라디안)는 그 각이 덮는 호의 길이이고, $\sin x$는 같은 점의 높이입니다. 각이 작으면 호가 거의 곧은 세로선이 되어 호와 높이의 길이가 거의 같아집니다. 그래서 $\sin x \approx x$입니다. 예: $\sin 0.1 \approx 0.09983$으로 0.1과 0.17%만 다릅니다. 도로 잰 숫자는 호의 길이가 아닙니다. 1°의 호의 길이는 $\frac{\pi}{180} \approx 0.01745$인데 숫자로는 1이라고 씁니다. 그래서 $\sin 1° \approx 0.01745$는 1과 전혀 가깝지 않습니다. 길이끼리 비교해야 근사가 성립하고, 각을 길이로 잰 단위가 라디안입니다.
5. 각속도 $\omega = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \approx 0.63$ rad/분. 칸의 속력 $v = 30 \times \frac{\pi}{5} = 6\pi \approx 18.85$ m/분. 타이어 각속도 $\frac{6\pi}{0.5} = 12\pi$ rad/분이고 $12\pi \div 2\pi = 6$바퀴/분입니다(반지름 비 60 : 1, 10분에 60바퀴로도 확인). 답: $\frac{\pi}{5}$ rad/분, 약 18.85 m/분, 1분에 6바퀴

정비팀 메모 아래에 도윤이 빨간 펜으로 적습니다. "ω = π/6 rad/분, v = rω = 5π ≈ 15.71 m/분. 30°/분을 그대로 곱하면 1분에 4.77바퀴 도는 바퀴가 됨. 구동 타이어: 1분에 5바퀴." 오 팀장이 메모를 사진으로 찍어 정비팀에 보냅니다.

그러고는 출력물 한 장을 내려놓습니다. 하늘바퀴 승강장에 세울 안내판 시안입니다. "디자인팀이 '칸이 지금 몇 m 높이에 있는지' 그래프를 넣자네. 식은 h(t) = 32 − 30cos(πt/6)이래. 이 그래프가 어떤 모양인지, 식의 숫자 32, 30, π/6이 각각 뭔지 다음 주에 설명해 줘." 도윤이 식을 들여다봅니다. "π/6은 알겠어요. 오늘 구한 각속도예요. 1분에 π/6 라디안씩 도는 거죠." 4교시에서는 도는 점의 높이를 시간축에 펼쳐 삼각함수의 그래프를 만들고, 이 식의 네 숫자를 읽습니다.