파동을 더하면: 합성과 맥놀이

여덟 번째 토요일입니다. 별빛 축제가 몇 주 앞으로 다가와서, 오늘 회의는 설계실이 아니라 야외 무대에서 열립니다. 민 감독이 무대 양옆의 스피커 두 대를 켭니다. 한 대씩 틀면 깨끗한 '라' 음입니다. 그런데 두 대를 함께 틀자 소리가 "웅–웅–웅" 하고 울렁거립니다. 도윤이 손가락으로 박자를 세어 봅니다. "1초에… 세 번쯤이요?"

"두 대 다 '라'에 맞췄다는데 이래요." 민 감독이 측정기 화면을 보여 줍니다. 한 대는 440 Hz, 다른 한 대는 443 Hz입니다. 1초에 440번 떠는 소리와 443번 떠는 소리입니다. "3 Hz 차이면 귀로는 거의 같은 높이예요. 그런데 왜 이렇게 울렁거리죠?"

민 감독의 걱정은 하나 더 있습니다. 조명 콘솔 화면에 밝기 채널 두 개가 떠 있습니다. "바탕 밝기 50%에 채널 A를 30만큼, 채널 B를 40만큼 출렁이게 하고 싶어요. 그러면 50 + 30 + 40 = 120%까지 올라가는 거 아니에요? 콘솔이 100%를 넘으면 조명이 꺼져요." 오 팀장이 끼어듭니다. "그래서 넘어, 안 넘어? 몇 %까지 가?"

은재 이모가 무대 바닥에 분필로 원을 그립니다. "둘 다 파동 두 개를 더하는 문제야. 사인 파동은 도는 화살표의 높이라고 했지? 파동을 더하는 건 화살표를 더하는 거야. 돌려 봐." 오늘은 박자(진동수)가 같은 두 파동의 합에서 시작해, 박자가 조금 다른 두 파동의 합인 맥놀이까지 갑니다.

8-1. 사인 파동은 도는 화살표의 높이 (10분)

4교시에서 원 위를 도는 점의 높이를 시간축에 펼쳐 사인 곡선을 그렸습니다. 이것을 반대로 읽으면 이렇습니다. $A\sin(x + \varphi)$는 길이 $A$인 화살표가 각 $x + \varphi$를 가리킬 때 그 끝의 높이입니다. $x$가 커지면 화살표가 시계 반대 방향으로 돌고, 높이가 출렁입니다. $\varphi$(파이)는 $x = 0$일 때 화살표가 이미 돌아가 있던 각, 곧 위상입니다. 공학에서는 이렇게 도는 화살표를 페이저(phasor)라고 부릅니다.

이제 박자가 같은 두 파동 $A_1\sin(x + \varphi_1)$과 $A_2\sin(x + \varphi_2)$를 더합니다.

• 두 화살표는 같은 $x$로 돕니다. 같은 빠르기로 함께 도니까 둘 사이의 각 $\varphi_2 - \varphi_1$은 변하지 않습니다.
• 화살표 두 개를 머리–꼬리로 이어 붙이면 합 화살표가 됩니다. 높이는 높이끼리 더해지므로, 합 화살표 끝의 높이가 곧 두 파동의 합입니다.
• 두 화살표가 한 덩어리로 굳은 채 돌기 때문에 합 화살표의 길이 $R$도 변하지 않고, 같은 빠르기로 돕니다.

결론은 한 문장입니다. 박자가 같은 사인 파동 두 개를 더하면 같은 박자의 사인 파동 하나가 됩니다. 진폭만 $R$로 바뀌고, 위상이 어딘가로 옮겨 갑니다.

$R$은 두 화살표와 합 화살표가 만드는 삼각형에서 6교시의 코사인법칙으로 구합니다. 두 화살표 사이의 각이 $\varphi_2 - \varphi_1$이면 삼각형의 끼인각은 $180° - (\varphi_2 - \varphi_1)$이라 부호가 바뀝니다.

$$R^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)$$

세 가지 경우가 특히 중요합니다.

두 화살표 사이의 각	합의 진폭 $R$	이름
$0$ (같은 방향)	$A_1 + A_2$	보강 간섭
$90°$ ($\frac{\pi}{2}$)	$\sqrt{A_1^2 + A_2^2}$	피타고라스
$180°$ ($\pi$, 반대 방향)	$\lvert A_1 - A_2 \rvert$	상쇄 간섭

아래 실습대의 왼쪽은 화살표, 오른쪽은 $0 \le x \le 2\pi$(라디안)의 파동입니다. 두 그림은 세로 눈금이 같아서 화살표 끝의 높이가 수평 점선으로 곡선 위의 점과 이어집니다. 남색은 파동 1, 청록은 파동 2, 주황은 합입니다. 흐린 점선 화살표는 더하는 순서를 바꾼 평행사변형의 나머지 두 변이고, 회색 점선 원은 합 화살표의 끝이 도는 원(반지름 $R$)입니다. 첫 화면은 $3\sin x + 4\cos x$입니다.

8-2. a sin x + b cos x를 사인 하나로 (12분)

민 감독의 조명은 $\sin$과 $\cos$을 섞은 꼴입니다. 4교시에서 본 대로 코사인 곡선은 사인 곡선을 $\frac{\pi}{2}$만큼 앞당긴 것입니다.

$$\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$$

그러니 $a\sin x + b\cos x$는 서로 직각인 화살표 두 개의 합입니다. 길이 $a$인 화살표가 각 $x$를, 길이 $b$인 화살표가 그보다 $90°$ 앞선 각을 가리킵니다. 직각이니 합 화살표의 길이는 피타고라스로 나옵니다.

$$\begin{aligned} a\sin x + b\cos x &= R\sin(x + \varphi) \\ R &= \sqrt{a^2 + b^2} \end{aligned}$$

$\varphi$는 원으로 가져가서 꺼냅니다. 7교시의 덧셈정리로 오른쪽을 풀어 봅시다.

$$\begin{aligned} R\sin(x + \varphi) &= (R\cos\varphi)\sin x \\ &\quad + (R\sin\varphi)\cos x \end{aligned}$$

왼쪽과 맞추면 $a = R\cos\varphi$, $b = R\sin\varphi$입니다. 이것은 2교시의 단위원 정의 그대로입니다. 점 $(a, b)$를 좌표평면에 찍으면, 원점에서의 거리가 $R$이고 방향각이 $\varphi$입니다. 외울 것이 없습니다. $(a, b)$를 찍기만 하면 됩니다.

숫자로 한 번. $3\sin x + 4\cos x$는 점 $(3, 4)$를 찍습니다. $R = \sqrt{9 + 16} = 5$이고, $\cos\varphi = \dfrac35$, $\sin\varphi = \dfrac45$입니다. 점이 1사분면에 있으므로 $\varphi = \arctan\dfrac43 \approx 0.9273$ rad($\approx 53.13°$)입니다(5교시의 역삼각함수).

$$3\sin x + 4\cos x = 5\sin(x + 0.9273)$$

$x = 0$에서 확인합니다. 왼쪽은 $0 + 4 = 4$, 오른쪽은 $5\sin 0.9273 = 5 \times 0.8 = 4$입니다.

8-3. 최댓값: 조명은 100%를 넘을까 (5분)

$\sin$은 $-1$과 $1$ 사이를 오가므로 $R\sin(x + \varphi)$는 $-R$과 $R$ 사이를 오갑니다. 그래서 $a\sin x + b\cos x$의 최댓값과 최솟값은

$$\begin{aligned} \text{최댓값} &= \sqrt{a^2 + b^2} \\ \text{최솟값} &= -\sqrt{a^2 + b^2} \end{aligned}$$

입니다. $a + b$가 아닙니다. 두 화살표가 직각이라 끝까지 같은 방향을 가리키는 순간이 없기 때문입니다.

민 감독의 조명. 시각 $t$초의 밝기(%)는 이렇습니다. 2초에 한 번 출렁이도록 $\pi t$를 넣었습니다.

$$L(t) = 50 + 30\sin(\pi t) + 40\cos(\pi t)$$

점 $(30, 40)$을 찍으면 $R = \sqrt{900 + 1600} = 50$이고, 방향각은 $3\sin x + 4\cos x$와 같은 $\varphi \approx 0.9273$입니다.

$$L(t) = 50 + 50\sin(\pi t + 0.9273)$$

밝기는 $50 - 50 = 0\%$에서 $50 + 50 = 100\%$ 사이를 오갑니다. 120%까지 가지 않습니다. 정확히 100%에서 멈춥니다. 가장 밝은 때는 $\pi t + 0.9273 = \dfrac{\pi}{2}$일 때입니다.

$$t = \dfrac{\frac{\pi}{2} - 0.9273}{\pi} \approx 0.2048 \ \text{초}$$

그 뒤 2초마다 다시 100%가 되고, 가장 어두운 때(0%)는 그 1초 뒤인 약 1.2048초입니다. $t = 0$에서는 $50 + 0 + 40 = 90\%$로 시작합니다.

8-4. 박자가 다른 두 파동: 합을 곱으로 (8분)

이제 스피커입니다. 440 Hz 소리는 1초에 440번 떠는 파동 $\sin(2\pi \cdot 440\,t)$이고, 443 Hz 소리는 $\sin(2\pi \cdot 443\,t)$입니다. 화살표로 보면 두 화살표가 조금 다른 빠르기로 돕니다. 443 Hz 화살표가 1초에 3바퀴씩 더 돌아 앞서 나갑니다. 둘 사이의 각이 계속 변하니, 8-1절과 달리 합 화살표의 길이가 시간에 따라 바뀝니다.

• 두 화살표가 같은 방향일 때: 합의 길이 2 (보강)
• 정반대일 때: 합의 길이 0 (상쇄)

이것을 식으로 보이는 공식이 덧셈정리에서 바로 나옵니다. 덧셈정리와 뺄셈 공식을 더하면 $\cos u\sin v$ 항이 지워집니다.

$$\begin{aligned} \sin(u + v) &= \sin u\cos v + \cos u\sin v \\ \sin(u - v) &= \sin u\cos v - \cos u\sin v \end{aligned}$$ $$\sin(u + v) + \sin(u - v) = 2\sin u\cos v$$

$A = u + v$, $B = u - v$로 두면 $u = \dfrac{A + B}{2}$(평균), $v = \dfrac{A - B}{2}$(반차)입니다.

$$\sin A + \sin B = 2\sin\dfrac{A + B}{2}\cos\dfrac{A - B}{2}$$

이것을 합을 곱으로 바꾸는 공식이라고 합니다. 읽는 법은 "평균의 사인 × 반차의 코사인, 그리고 2배"입니다. 거꾸로 읽은 $2\sin u\cos v = \sin(u+v) + \sin(u-v)$는 곱을 합으로 바꾸는 공식입니다. 코사인끼리도 같은 방법으로 $\cos A + \cos B = 2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$가 나옵니다. 따로 외울 필요는 없습니다. 덧셈정리 두 줄을 더하거나 빼면 언제든 다시 나옵니다.

8-5. 맥놀이: 웅웅거림의 정체 (8분)

스피커 두 대의 소리에 공식을 씁니다. $A = 2\pi \cdot 443\,t$, $B = 2\pi \cdot 440\,t$이면 평균은 $2\pi \cdot 441.5\,t$, 반차는 $2\pi \cdot 1.5\,t$입니다.

$$\begin{aligned} &\sin(2\pi \cdot 440\,t) + \sin(2\pi \cdot 443\,t) \\ &\quad = 2\cos(2\pi \cdot 1.5\,t) \cdot \sin(2\pi \cdot 441.5\,t) \end{aligned}$$

두 부분을 나누어 읽습니다.

• 빠른 떨림 $\sin(2\pi \cdot 441.5\,t)$: 1초에 441.5번 떠는 소리입니다. 귀는 이것을 소리의 높이로 듣습니다. 440과 443의 평균이니 여전히 '라'입니다.
• 천천히 변하는 크기 $2\cos(2\pi \cdot 1.5\,t)$: 빠른 떨림을 감싸는 껍질, 포락선(envelope)입니다. 소리의 크기는 이 값의 절댓값 $2\lvert\cos(2\pi \cdot 1.5\,t)\rvert$입니다.

$\cos(2\pi \cdot 1.5\,t)$ 자체는 1초에 1.5번 출렁이지만, 크기는 절댓값이라 $+$쪽 봉우리와 $-$쪽 봉우리가 모두 "큰 소리"입니다. 그래서 소리가 커지는 횟수는 1초에 $1.5 \times 2 = 3$번입니다. 이것이 맥놀이(beat)입니다.

$$\begin{aligned} \text{1초 맥놀이 횟수} &= \lvert f_2 - f_1 \rvert \\ &= 443 - 440 = 3 \end{aligned}$$

소리가 가장 큰 때는 $t = 0, \dfrac13, \dfrac23, 1$초…(보강), 거의 사라지는 때는 $t = \dfrac16, \dfrac12, \dfrac56$초…(상쇄)입니다. 화살표로 말하면 443 Hz 화살표가 440 Hz 화살표를 1초에 3번 따라잡을 때마다 소리가 커집니다. 도윤이 센 "1초에 세 번"이 정확했습니다.

아래 실습대의 위 그림은 지금 시각 근처를 확대한 것입니다. 청록은 440 Hz, 남색은 443 Hz, 주황은 합입니다. 아래 그림은 0–1초 전체의 합(촘촘한 주황 띠)과 포락선(회색 점선)이고, 주황 상자가 위 그림이 확대한 구간입니다. '들어 보기'는 두 소리를 함께 2초 동안 작게 들려주고, '한 대만'은 440 Hz 하나만 들려줍니다. '느린 예' 칩은 귀에 들리지 않는 8 Hz와 10 Hz로 바꿔서 떨림 하나하나와 포락선을 한눈에 보여 줍니다.

보강·상쇄 간섭과 노이즈 캔슬링. 진동수가 같고 진폭도 같은 두 소리가 정반대 위상(화살표가 정반대)으로 만나면 합이 늘 0입니다. 소음을 마이크로 듣고 정반대 위상의 소리를 만들어 더하는 노이즈 캔슬링 헤드폰이 이 원리입니다. 같은 스피커 두 대에서 나온 같은 소리라도, 두 스피커까지의 거리가 반 파장(440 Hz면 공기 중 약 0.39 m)만큼 다른 자리에서는 위상이 정반대가 되어 소리가 작아집니다.

기호 읽는 법

기호	읽는 법	뜻
$\varphi$	파이	위상. $x = 0$일 때 화살표가 이미 돌아가 있던 각
$R$	알	합 화살표의 길이 = 합의 진폭
Hz	헤르츠	1초에 떠는 횟수(진동수)
$\lvert f_2 - f_1 \rvert$	에프 투 빼기 에프 원의 절댓값	진동수 차이 = 1초 맥놀이 횟수

교과서에서는

• $a\sin x + b\cos x$를 사인 하나로 바꾸는 것을 삼각함수의 합성이라고 부릅니다. 덧셈정리를 배운 뒤 최댓값·최솟값을 구하는 문제로 자주 나옵니다. 교육과정에 따라 본문 대신 활용 문제로만 나오기도 합니다.
• 합을 곱으로(곱을 합으로) 바꾸는 공식과 맥놀이는 지금 수학 교과서 본문 밖의 이야기입니다. 맥놀이와 간섭은 물리의 파동에서 다시 만납니다.
• 시험에서는 "$y = \sin x + \sqrt3\cos x$의 최댓값"처럼 묻습니다. 점 $(1, \sqrt3)$을 찍으면 $R = 2$이고, 그것이 최댓값입니다. 그때 $x$를 물으면 $\varphi = \dfrac{\pi}{3}$이므로 $x + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}$, $x = \dfrac{\pi}{6}$입니다.

자주 하는 착각 (3분)

• "$a\sin x + b\cos x$의 최댓값은 $a + b$다." 두 파동의 봉우리는 같은 때 오지 않습니다. 최댓값은 $\sqrt{a^2 + b^2}$입니다. 조명은 120%가 아니라 100%까지만 갑니다.
• "$\varphi = \arctan\dfrac{b}{a}$로 끝이다." 점 $(a, b)$가 2·3사분면이면 $\pi$만큼 틀립니다. 점을 찍어 사분면을 먼저 봅니다.
• "맥놀이는 차이의 절반, 1초에 1.5번이다." 포락선 $\cos$는 1.5번 출렁이지만 소리의 크기는 그 절댓값이라 1초에 3번($\lvert f_2 - f_1\rvert$) 커집니다.
• "진동수가 다른 두 사인 파동을 더해도 사인 파동 하나다." 같은 박자일 때만 그렇습니다. 박자가 다르면 크기가 출렁이는 파동(맥놀이)이 됩니다.
• "같은 소리 두 개를 더하면 언제나 두 배로 커진다." 위상에 따라 0에서 2배 사이 어디든 됩니다.

연습 문제 (4분)

1. $2\sin x + 2\sqrt3\cos x$를 $R\sin(x + \varphi)$ 꼴로 나타내세요. ($R > 0$, $0 \le \varphi < 2\pi$)
2. $y = 6\sin x + 8\cos x + 3$의 최댓값과 최솟값을 구하세요.
3. $5\sin x - 12\cos x = R\sin(x + \varphi)$일 때 $R$과 $\varphi$를 구하세요. $\varphi$는 몇 사분면의 각인가요? ($\varphi$는 도 단위로 소수 둘째 자리까지)
4. (서술형) 262 Hz 소리굽쇠와 피아노의 '도' 건반을 함께 울렸더니 1초에 2번 맥놀이가 들렸습니다. 피아노 줄의 진동수로 가능한 값 두 개를 쓰고, 줄을 조금 조여서(진동수를 조금 올려서) 둘 중 어느 쪽인지 가리는 방법을 설명하세요.
5. 같은 진폭 1, 같은 진동수의 스피커 두 대 소리가 위상 $120°$ 차이로 만납니다. 합의 진폭은 얼마인가요? 한 대만 틀 때와 비교하세요.

풀이

1. 점 $(2, 2\sqrt3)$을 찍습니다. $R = \sqrt{4 + 12} = 4$, $\cos\varphi = \dfrac12$, $\sin\varphi = \dfrac{\sqrt3}{2}$, 1사분면이므로 $\varphi = \dfrac{\pi}{3}$. 답: $4\sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)$
2. $6\sin x + 8\cos x = 10\sin(x + \varphi)$ ($R = \sqrt{36 + 64} = 10$)이므로 $-10$과 $10$ 사이를 오갑니다. 3을 더하면 최댓값 13, 최솟값 $-7$.
3. 점 $(5, -12)$를 찍습니다. $R = \sqrt{25 + 144} = 13$. $\cos\varphi = \dfrac{5}{13} > 0$, $\sin\varphi = -\dfrac{12}{13} < 0$이므로 4사분면입니다. $\varphi = -\arctan\dfrac{12}{5} \approx -67.38°$ (약 $-1.176$ rad). 답: $R = 13$, $\varphi \approx -67.38°$, 4사분면
4. 맥놀이 횟수는 $\lvert f - 262 \rvert = 2$이므로 $f = 264$ Hz 또는 $260$ Hz입니다. 줄을 조금 조이면 진동수가 조금 올라갑니다. 원래 264 Hz였다면 262에서 더 멀어지므로 맥놀이가 빨라집니다. 원래 260 Hz였다면 262에 가까워지므로 맥놀이가 느려집니다. 맥놀이의 빠르기가 어느 쪽으로 변하는지 들으면 가릴 수 있습니다.
5. $R^2 = 1 + 1 + 2\cos 120° = 2 - 1 = 1$이므로 $R = 1$입니다. 두 대를 틀어도 한 대만 틀 때와 진폭이 같습니다. 화살표 두 개가 $120°$로 벌어져 정삼각형의 두 변을 이루고, 합 화살표가 나머지 한 변(길이 1)이 되기 때문입니다. 답: 1 (한 대와 같다)

민 감독이 443 Hz 스피커를 다시 맞춥니다. 손잡이를 돌릴수록 울렁거림이 느려지다가, 어느 순간 소리가 하나로 합쳐져 매끈해집니다. "와, 이제 진짜 한 소리네요." 조명 콘솔의 두 채널도 그대로 두기로 합니다. 화면의 밝기 그래프는 0%와 100% 사이를 2초에 한 번씩 오가며, 한 번도 100%를 넘지 않습니다.

정리하던 민 감독이 휴대폰으로 소리 두 개를 번갈아 틉니다. 하나는 피아노의 '라', 하나는 방금 스피커에서 나온 시험 신호음 '라'입니다. "둘 다 440 Hz잖아요. 그런데 왜 이렇게 다르게 들려요? 피아노는 둥글고, 신호음은 삐— 하고 밋밋해요." 그리고 하나 더 있습니다. "회오리 컵에 LED를 달고 위에서 오래 찍으면 꽃 모양이 나온대요. 그 무늬를 축제 바닥 조명으로 깔고 싶은데, 모양을 미리 알 수 있어요?" 은재 이모가 웃습니다. "오늘은 박자가 같거나 거의 같은 파동 두 개를 더했지. 다음 주엔 박자가 2배, 3배인 파동을 여러 개 더해 볼 거야." 9교시에서는 정수배 진동수의 사인 파동을 쌓아 소리의 음색을 만들고, 도는 원 위에 원을 얹어 꽃 모양을 그립니다.