모든 소리는 원의 합: 푸리에 급수 맛보기

아홉 번째 토요일입니다. 별빛 축제 준비가 한창이라 민 감독은 이번 주에도 설계실에 노트북을 들고 왔습니다. 화면에 파형 두 개가 떠 있습니다. 위는 조율기 신호음, 아래는 피아노의 '라'입니다. 신호음은 매끈한 물결입니다. 피아노는 울퉁불퉁한 모양이 같은 간격으로 되풀이됩니다. 되풀이되는 간격은 둘 다 1/440초입니다.

도윤이 고개를 갸웃합니다. "진동수가 같으면 같은 소리 아니에요?" 은재 이모가 지난주 화이트보드를 가리킵니다. 돌아가는 화살표 두 개를 머리–꼬리로 이어 붙인 그림이 아직 남아 있습니다. "원으로 가져가 봐. 지난주에는 화살표 두 개를 더했지. 오늘은 여러 개를 더해."

오 팀장은 다른 걱정을 합니다. "회오리에 LED 다는 건 좋은데, 바닥 조명은 지금 주문해야 축제에 맞아. 지름 몇 m야?" 회오리의 컵은 큰 원판 위에서 돌고, 원판도 돕니다. 컵 자리가 그리는 길은 원 위의 원입니다.

오늘은 푸리에 급수(Fourier series) 를 맛봅니다. 되풀이되는 모양은 모두 사인파 여러 개의 합으로 쓸 수 있다는 생각입니다. 이 내용은 교과서 밖입니다. 고등학교 교과서에는 나오지 않고 대학의 공학수학에서 배웁니다. 그래도 지금까지 배운 사인·코사인과 회전만으로 핵심을 볼 수 있습니다.

9-1. 같은 '라', 다른 소리: 배음과 음색 (8분)

소리는 공기 압력의 진동입니다. 조율기 신호음은 사인파 하나입니다. 440 Hz(헤르츠)는 1초에 440번 진동한다는 뜻입니다. 원으로 말하면 화살표가 1초에 440바퀴 돌고, 그 높이가 소리의 파형입니다.

피아노 줄은 이렇게 단순하게 떨지 않습니다. 줄 전체가 한 덩어리로 떨면서, 동시에 절반씩, 3분의 1씩 나뉘어서도 떱니다. 절반 길이로 떠는 부분은 2배 빠르고, 3분의 1 길이는 3배 빠릅니다. 그래서 피아노의 '라'에는 440 Hz와 함께 880 Hz, 1320 Hz, 1760 Hz …가 섞여 있습니다.

• 기본 진동수의 정수배인 진동을 배음(harmonic) 이라고 합니다. $n$번째 배음의 진동수는 $440n$ Hz입니다.
• 첫째 배음(440 Hz)을 기음(fundamental) 이라고 합니다. 귀가 '라'로 듣는 음높이는 기음이 정합니다.
• 배음을 모두 더해도 되풀이 간격은 기음의 주기 $\dfrac{1}{440}$초 그대로입니다. $n$번째 배음은 그 시간 동안 정확히 $n$바퀴를 돌고 제자리에 오기 때문입니다.

그러면 무엇이 다를까요? 배음마다의 크기(비율) 입니다. 신호음은 기음 하나뿐이고, 피아노는 기음 위에 점점 작아지는 배음들이 얹혀 있습니다. 바이올린, 플루트도 배음의 비율이 저마다 다릅니다. 이 비율이 소리의 색깔, 곧 음색(timbre) 입니다. 배음마다의 크기를 막대로 세운 그림을 스펙트럼(spectrum) 이라고 합니다.

배음을 더해서 실제로 파형을 만들어 봅시다. 아래 실습대의 위 그래프에서 회색 점선이 목표 파형, 남색이 지금까지 더한 배음의 합, 주황이 방금 더한 배음입니다. 가로축은 라디안이고 두 주기($0$–$4\pi$)를 보여 줍니다. 아래 막대는 스펙트럼입니다. 남색은 이미 더한 배음, 주황은 방금 더한 배음, 회색은 아직 더하지 않은 배음의 크기입니다. 오른쪽에서 목표 파형(네모파·톱니파·삼각파)을 고르고, '재생'이나 '하나 더'로 배음을 더합니다. '들어 보기 (2초)'를 누르면 지금의 합을 440 Hz '라'로 작게 들려줍니다.

9-2. 홀수 배음만 더하면 네모파 (9분)

실습대의 첫 목표는 네모파(square wave) 입니다. 반 주기 동안 $+1$, 다음 반 주기 동안 $-1$인 파형입니다. 이 모서리 많은 모양이 매끈한 사인파들의 합으로 써집니다.

규칙은 두 가지입니다. 홀수 배음만 들어 있고, $n$번째 배음의 크기는 $\dfrac{1}{n}$에 비례합니다. 계수를 숫자로 쓰면 $b_1 = \frac{4}{\pi} \approx 1.2732$, $b_3 = \frac{4}{3\pi} \approx 0.4244$, $b_5 = \frac{4}{5\pi} \approx 0.2546$입니다.

$x = \dfrac{\pi}{2}$(네모파가 $+1$인 한가운데)에서 더해 가 봅시다. $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$, $\sin\frac{5\pi}{2} = 1$ …이므로 부호가 번갈아 바뀝니다.

(소수 넷째 자리까지.) 1보다 컸다 작았다 하며 1로 다가갑니다. 덤으로 $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}$라는 유명한 식도 여기서 나옵니다.

왜 홀수만일까요? 네모파는 반 주기 뒤에 위아래가 뒤집힌 모양입니다. 원으로 가져가 보면 이유가 보입니다. 기음의 화살표가 반 바퀴 도는 동안 2번째 배음의 화살표는 꼭 한 바퀴를 돌아 제자리에 옵니다. 그러면 2번째 배음은 앞 반 주기와 뒤 반 주기에서 같은 모양을 냅니다. 위아래가 뒤집혀야 하는 파형에는 들어갈 수 없습니다. 4번째, 6번째 …도 마찬가지입니다. 3번째 배음은 반 바퀴 동안 1바퀴 반을 돌아 뒤집힌 자리에 오니 들어갈 수 있습니다.

모서리의 뿔: 깁스 현상. 실습대에서 배음을 많이 더해도 모서리 옆에 작은 뿔이 남습니다. 꼭대기는 약 1.18에서 더 내려가지 않습니다. 뿔은 점점 좁아질 뿐 높이는 그대로입니다. 이것을 깁스 현상(Gibbs phenomenon) 이라고 합니다. 끊어진 곳이 있는 파형을 사인파로 쓰면 늘 생깁니다.

다른 파형. 같은 방법으로 다른 모양도 만들어집니다.

톱니파에는 모든 배음이 $\frac{1}{n}$로 들어 있습니다. 삼각파는 홀수 배음뿐이고 크기가 $\frac{1}{n^2}$로 훨씬 빨리 작아집니다. 삼각파에는 끊어진 곳이 없고 꺾인 곳만 있기 때문입니다. 모양이 날카로울수록 높은 배음이 많이 필요합니다. 귀로 들으면 높은 배음이 많은 네모파·톱니파는 거칠고 밝게, 삼각파는 신호음에 가깝게 부드럽게 들립니다.

9-3. 계수를 고르는 법: 곱해서 평균 내기 (9분)

$\frac{4}{\pi}$와 $\frac{1}{n}$은 어디서 나왔을까요? 파형에서 $n$번째 배음의 크기만 골라내는 방법이 있습니다. 파형에 $\sin nx$를 곱하고, 한 주기 동안 평균을 낸 뒤, 2배 합니다.

이 방법이 통하는 이유는 사인파 둘을 곱한 것의 평균에 있습니다.

• 같은 진동수: 7교시 반각 공식으로 $\sin^2 nx = \dfrac{1 - \cos 2nx}{2}$입니다. $\cos 2nx$는 한 주기 동안 위아래가 같아 평균이 0이니, 남는 것은 $\dfrac{1}{2}$입니다.
• 다른 진동수: 8교시의 '곱을 합으로'를 쓰면 $\sin mx\sin nx = \dfrac{\cos(m-n)x - \cos(m+n)x}{2}$입니다. 두 코사인 모두 평균이 0입니다.

그림으로 보면 더 분명합니다. 같은 진동수끼리 곱하면 두 파형이 늘 같은 쪽으로 움직이니 곱이 0 아래로 내려가지 않습니다. 진동수가 다르면 같은 쪽일 때와 반대쪽일 때가 똑같이 섞여서 위아래 넓이가 정확히 상쇄됩니다. 이렇게 "곱의 평균이 0"인 관계를 직교(orthogonal) 라고 합니다. 서로 수직인 두 축처럼, 한 배음은 다른 배음의 몫을 조금도 가져가지 않습니다.

이제 $f(x) = b_1\sin x + b_2\sin 2x + b_3\sin 3x + \cdots$에 $\sin 3x$를 곱해 평균을 내면, $\sin 3x$끼리 곱한 항만 $\frac{1}{2}$로 살아남고 나머지는 모두 0입니다. 평균은 $\frac{b_3}{2}$이니, 2배 하면 $b_3$입니다.

네모파의 $b_1$. $0$–$\pi$에서는 $f = 1$이라 곱이 $\sin x$이고, $\pi$–$2\pi$에서는 $f = -1$, $\sin x < 0$이라 곱이 다시 양수 $|\sin x|$입니다. $|\sin x|$의 평균은 $\frac{2}{\pi}$이므로 $b_1 = 2 \times \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi}$입니다. 같은 계산으로 $b_n = \frac{4}{n\pi}$($n$ 홀수), $b_n = 0$($n$ 짝수)이 나옵니다.

아래 실습대는 같은 실습대를 '계수 재기' 보기로 띄운 것입니다. 회색 점선이 목표 파형, 청록이 $\sin nx$, 칠한 부분이 그 곱입니다. 0보다 위인 넓이는 남색, 아래인 넓이는 진홍입니다. 오른쪽에 곱의 평균과 $b_n = 2 \times$ 평균, 그리고 식으로 구한 값이 나옵니다. 아래 막대는 지금까지 잰 계수의 크기입니다.

9-4. 원 위의 원: 회오리 컵의 궤적 (10분)

8교시에서 사인파는 돌아가는 화살표의 높이였습니다. 배음을 더한다는 것은 화살표를 여러 개 머리–꼬리로 이어 붙이고 모두 돌리는 것입니다. 첫 화살표가 한 바퀴 돌 때 둘째는 3바퀴, 셋째는 5바퀴 … 돕니다. 화살표 끝마다 원을 그리면 원 위의 원이 됩니다. 이것을 주전원(epicycle) 이라고 합니다. 2세기의 천문학자 프톨레마이오스는 행성이 하늘에서 앞으로 갔다 뒤로 갔다 하는 움직임을 큰 원 위를 도는 작은 원으로 설명했습니다.

회오리가 바로 이 모양입니다. 위에서 내려다보고 원판 중심을 원점으로 둡니다.

• 원판 중심에서 컵 중심까지 4 m. 원판은 1분에 6바퀴 돕니다(10초에 한 바퀴).
• 컵 중심에서 앉은 자리까지 1 m. 컵은 원판이 한 바퀴 도는 동안 원판 위에서 3바퀴 돕니다(미분 강의 5교시와 같은 숫자). 도는 방향은 원판과 같은 시계 반대 방향으로 둡니다.
• 땅에서 보면 컵은 원판의 회전에 자기 회전이 얹혀서 원판 한 바퀴에 $1 + 3 = 4$바퀴, 1분에 $6 + 18 = 24$바퀴 돕니다.

원판이 돈 각을 $\theta$라고 하면 컵 중심은 $4(\cos\theta, \sin\theta)$, 자리는 거기에 $1(\cos 4\theta, \sin 4\theta)$를 더한 곳입니다.

꽃잎의 수. 두 화살표 사이의 각은 $4\theta - \theta = 3\theta$입니다. 원판이 한 바퀴 도는 동안 이 각이 3바퀴 돌므로, 두 화살표가 같은 쪽을 향하는 때(자리가 중심에서 $4 + 1 = 5$ m)가 3번, 반대쪽을 향하는 때($4 - 1 = 3$ m)가 3번 옵니다. 꽃잎이 3장입니다. $4$가 정수라서 원판 한 바퀴(10초)가 지나면 자리는 정확히 출발점에 돌아오고, 같은 꽃을 되풀이해 그립니다.

꽃잎 사이의 뾰족한 점. 원판이 컵 중심을 미는 빠르기는 $4 \times \frac{2\pi \times 6}{60} \approx 2.51$ m/s이고, 컵이 자리를 미는 빠르기도 $1 \times \frac{2\pi \times 24}{60} \approx 2.51$ m/s입니다. 반지름 × 회전 빠르기가 $4 \times 6 = 1 \times 24$로 같습니다. 두 화살표가 반대쪽을 향하는 순간에는 두 움직임의 방향도 반대라서, 자리가 땅에 대해 한순간 멈춥니다. 그래서 꽃잎 사이가 뾰족합니다. 가장 빠를 때는 꽃잎 끝에서 $2.51 + 2.51 \approx 5.03$ m/s입니다.

아래 실습대는 회오리를 위에서 본 그림입니다(단위 m, 가로·세로 눈금이 같습니다). 회색 원이 원판 중심에서 컵 중심까지의 원(반지름 4 m), 회색 막대가 원판의 팔, 주황 막대가 컵 중심에서 자리까지, 주황 점이 자리입니다. 남색이 자리가 지나간 길, 옅은 남색은 10초 동안 그릴 전체 모양입니다. 옅은 회색 원 두 개는 반지름 3 m와 5 m입니다. 오른쪽에서 컵의 방향과 컵 반지름을 바꿀 수 있습니다.

9-5. 원 여러 개로 그리는 그림, 그리고 푸리에 (6분)

원 두 개가 꽃을 그렸다면, 원을 더 많이 이으면 무엇이든 그릴 수 있을까요? 닫힌 그림이면 됩니다. 그림을 한 바퀴 따라가는 점의 가로·세로 위치를 각각 되풀이되는 파형으로 보고, 9-3절처럼 곱해서 평균 내면 원마다의 크기·빠르기·처음 각이 나옵니다. 큰 원부터 이어 붙이면 됩니다.

아래 실습대는 별빛 축제의 별을 원으로 그립니다. 회색 점선이 목표 그림, 회색 원과 막대가 돌고 있는 원들, 주황 점이 끝점, 남색이 끝점이 지나간 자리입니다. 오른쪽에 원의 개수 슬라이더, 목표와의 평균 차이, 원마다 한 바퀴 동안 도는 횟수(큰 원부터, +는 시계 반대 방향)가 나옵니다.

별의 원들은 한 바퀴 동안 $+1, -4, +6, -14, +16 \ldots$바퀴 돕니다. 모두 5로 나눈 나머지가 1인 수입니다. 별은 $\frac{1}{5}$바퀴 돌려도 같은 모양이라서, 그 대칭에 맞는 빠르기만 살아남습니다. 원 두 개($+1$과 $-4$)는 회오리와 같은 구조입니다. 두 화살표 사이의 각이 원판 한 바퀴에 $1 - (-4) = 5$바퀴 돌아 다섯 갈래가 됩니다.

푸리에. 프랑스의 수학자 조제프 푸리에(Joseph Fourier, 1768–1830)는 1807년 열이 금속 막대를 따라 퍼지는 문제를 연구하며 "어떤 모양의 온도 분포도 사인·코사인의 합으로 쓸 수 있다"고 주장했고, 1822년 『열의 해석적 이론』으로 펴냈습니다. 처음에는 "모서리 있는 모양을 매끈한 사인으로 어떻게 쓰나"라는 반론을 받았지만, 오늘 본 네모파처럼 정말로 됩니다(모서리의 뿔까지 포함해서). 오늘날 MP3는 소리를 진동수별로 쪼개 귀에 잘 안 들리는 부분을 덜어 내고, JPEG는 사진의 작은 조각을 코사인 무늬의 합으로 쪼개 저장합니다.

기호 읽는 법

공대·물리에서는

• 되풀이되는 신호를 사인·코사인의 합으로 쓰는 것을 푸리에 급수, 되풀이되지 않는 신호까지 넓힌 것을 푸리에 변환이라고 합니다. 공대 2학년 무렵 '공업수학'에서 배웁니다.
• 일반적인 파형에는 sin 항 말고 cos 항과 상수항도 필요합니다. f(x) = a₀ + Σ(aₙ cos nx + bₙ sin nx). 오늘의 세 파형은 원점에 대해 대칭이라 sin 항만 남았습니다. aₙ도 똑같이 cos nx를 곱해 평균 내서 구합니다.
• 오디오 장비의 이퀄라이저와 스펙트럼 분석기, 건물·다리의 진동 분석, 전기 신호의 잡음 제거가 모두 이 생각 위에 있습니다. 컴퓨터는 FFT(고속 푸리에 변환)라는 빠른 계산법으로 이 일을 합니다.
• 원 여러 개로 그림 그리기는 복소수로 쓰면 한 줄이 됩니다. 11교시에서 회오리 컵의 위치를 복소수 두 개의 합으로 다시 씁니다.

자주 하는 착각 (3분)

• "진동수가 같으면 같은 소리다." 진동수(기음)는 음높이만 정합니다. 음색은 배음들의 크기 비율이 정합니다.
• "배음을 충분히 많이 더하면 모서리 옆 뿔도 사라진다." 뿔은 좁아질 뿐 높이(약 1.18)는 그대로입니다. 깁스 현상입니다. 다만 뿔 밖에서는 차이가 0으로 줄어듭니다.
• "네모파의 배음은 모두 같은 크기로 들어 있다." $n$번째 배음의 크기는 $\frac{4}{n\pi}$로 줄어들고, 짝수 배음은 아예 없습니다.
• "서로 다른 사인파를 곱해도 평균은 $\frac{1}{2}$쯤 나온다." 진동수가 다르면 위아래 넓이가 정확히 상쇄되어 평균이 0입니다. 그래서 계수를 하나씩 골라낼 수 있습니다.
• "원 위의 원이 그리는 꽃잎 수는 반지름이 정한다." 꽃잎 수는 두 원의 빠르기 차이가 정합니다(회오리: $4 - 1 = 3$). 반지름은 꽃잎 사이가 뾰족한지, 둥근지, 고리인지를 정합니다.

연습 문제 (5분)

1. 기음이 262 Hz인 '도'의 3번째 배음과 5번째 배음의 진동수를 구하세요.
2. 네모파 식에서 7번째 배음과 8번째 배음의 계수를 구하세요. (소수 넷째 자리까지)
3. 톱니파 식 $\dfrac{2}{\pi}\left(\sin x - \dfrac{\sin 2x}{2} + \dfrac{\sin 3x}{3} - \cdots\right)$의 처음 세 항만 더한 값을 $x = \dfrac{\pi}{2}$에서 구하세요. 이 톱니파의 참값은 $x = \dfrac{\pi}{2}$에서 $\dfrac{1}{2}$입니다. (소수 넷째 자리까지)
4. (서술형) 네모파에 $\sin 2x$를 곱해 한 주기 평균을 내면 0이 됩니다. $0$–$\pi$와 $\pi$–$2\pi$ 두 구간으로 나누어 그 이유를 설명하세요.
5. 회오리 2호기는 컵 반지름(컵 중심에서 자리까지)이 0.5 m입니다(원판 쪽 4 m, 회전수는 같고 같은 방향). (가) 자리는 중심에서 몇 m부터 몇 m 사이를 다니나요? (나) 꽃잎은 몇 장이고, 자리가 멈추는 순간이 있나요?

풀이

1. $262 \times 3 = 786$ Hz, $262 \times 5 = 1310$ Hz입니다. 답: 786 Hz, 1310 Hz
2. 7은 홀수이므로 $\frac{4}{7\pi} \approx 0.1819$입니다. 8은 짝수이므로 0입니다. 답: 약 0.1819, 0
3. $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, $\sin\pi = 0$, $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$이므로 $\frac{2}{\pi}\left(1 - 0 + \frac{-1}{3}\right) = \frac{2}{\pi}\times\frac{2}{3} = \frac{4}{3\pi} \approx 0.4244$입니다. 참값 0.5보다 약 0.0756 작습니다. 톱니파는 배음이 $\frac{1}{n}$로 천천히 줄어서 항이 적으면 덜 맞습니다. 답: 약 0.4244
4. $0$–$\pi$에서 네모파는 $+1$이므로 곱은 $\sin 2x$ 자체입니다. $\sin 2x$는 이 구간에서 한 바퀴를 돌아 앞 절반은 위, 뒤 절반은 아래로 같은 넓이를 가지니 합이 0입니다. $\pi$–$2\pi$에서 네모파는 $-1$이고 $\sin 2x$는 다시 똑같이 한 바퀴를 돌므로, 곱 $-\sin 2x$도 위아래 넓이가 같아 합이 0입니다. 두 구간 모두 0이니 평균도 0이고 $b_2 = 0$입니다. 원으로 말하면, 기음이 반 바퀴 도는 동안 2번째 배음은 꼭 한 바퀴를 돌아 양쪽 반 주기에서 같은 모양을 내므로 위아래가 뒤집히는 네모파와 짝이 맞지 않습니다.
5. (가) 두 화살표가 같은 쪽이면 $4 + 0.5 = 4.5$ m, 반대쪽이면 $4 - 0.5 = 3.5$ m입니다. (나) 빠르기 차이는 그대로 $4 - 1 = 3$이므로 꽃잎은 3장입니다. 컵이 자리를 미는 빠르기는 $0.5 \times \frac{2\pi \times 24}{60} \approx 1.26$ m/s로 원판의 2.51 m/s보다 작아서, 가장 느릴 때도 약 1.26 m/s로 움직입니다. 멈추지 않고 꽃잎 사이가 둥급니다. 답: (가) 3.5–4.5 m (나) 3장, 멈추지 않는다

민 감독은 '들어 보기'를 몇 번이나 눌러 봅니다. "배음 하나는 조율기, 아홉 개는 옛날 게임기 소리네요. 축제 효과음은 이걸로 만들어야겠어요." 오 팀장은 바닥 조명 주문서에 "지름 10 m"라고 적고 나가다 돌아섭니다. "다음 토요일은 파도배 봄 점검이야. 점검표에 배가 가장 빠른 곳과 그 속력, 그리고 한 번 흔들리는 데 걸리는 시간을 적어야 해. 도면에는 약 8.3초라고 돼 있는데 맞는지 확인해 줘." 오늘 원들은 늘 같은 빠르기로 돌았습니다. 10교시에서는 그 빠르기, 곧 도는 점의 속도를 봅니다. 삼각함수를 미분하고, 흔들리는 배가 왜 사인 곡선을 따라 움직이는지 알아봅니다.