삼각형을 다시 풀다: 사인법칙과 코사인법칙

여섯 번째 토요일 아침, 도윤은 설계실 대신 구름길 아랫역 공사장에 서 있습니다. 발밑에서 땅이 끊기고, 그 아래로 깊은 계곡이 이어집니다. 건너편 언덕 꼭대기에 윗역 철골이 보입니다. 측량팀은 이쪽 기슭을 따라 줄자를 520 m 펼쳐 놓았습니다. 줄자 양 끝에는 망원경이 달린 측각기가 하나씩 서 있습니다.

"1교시에 번개 높이를 잴 때는 직각삼각형이었잖아요." 도윤이 줄자와 윗역을 번갈아 봅니다. "이건 직각이 없어요. 그럼 sin, cos를 못 쓰는 거 아니에요?"

은재 이모가 땅바닥에 삼각형을 그리고, 꼭짓점 하나에서 맞은편 변으로 수선을 긋습니다. "봐. 높이를 하나 내리면 직각삼각형이 둘 생겨. 직각삼각형은 늘 숨어 있어." 그리고 삼각형 둘레에 원을 하나 더 그립니다. "그리고 원으로 가져가 봐. 세 꼭짓점을 지나는 원이 꼭 하나 있거든."

오늘은 직각이 없는 삼각형을 풉니다. 넓이 공식에서 시작해 외접원으로 사인법칙을, 좌표로 코사인법칙을 얻습니다. 어떤 정보가 주어지면 어느 법칙을 쓰는지 정리하고, 답이 둘이 되는 경우를 본 뒤, 측량팀의 숫자로 계곡 건너편까지의 거리를 구합니다. 오늘은 각을 도(°)로 씁니다. 측각기 눈금이 도이기 때문입니다.

6-1. 넓이: 두 변과 끼인각 (7분)

먼저 이름을 정합니다. 삼각형 $ABC$에서 꼭짓점 $A$의 맞은편 변을 $a$, $B$의 맞은편 변을 $b$, $C$의 맞은편 변을 $c$라고 씁니다. 각도 꼭짓점 이름을 그대로 $A$, $B$, $C$라고 부릅니다. 변은 맞은편 꼭짓점의 소문자입니다. 이 약속 하나로 오늘의 공식이 모두 깔끔해집니다.

넓이는 "밑변 × 높이 ÷ 2"입니다. 밑변을 $a = BC$로 잡고, $A$에서 $BC$에 수선을 내려 그 발을 $H$라고 합시다. 직각삼각형 $AHC$에서 빗변은 $b$, 각 $C$의 맞은편 변이 높이입니다. 그러니 높이는 $b\sin C$입니다.

두 변과 그 사이에 낀 각을 알면 넓이가 나옵니다. $C$가 둔각이면 $H$가 $BC$ 바깥에 떨어지고 높이는 $b\sin(180° - C)$입니다. 2교시에서 본 대로 $\sin(180° - C) = \sin C$(단위원에서 좌우 대칭인 점은 높이가 같다)이므로 같은 식이 그대로 맞습니다.

아래 실습대에서 세 꼭짓점 $A$, $B$, $C$를 끌어 삼각형을 마음대로 바꿀 수 있습니다(키보드 화살표도 됩니다). 조작판의 칩 세 개가 오늘의 세 공식을 하나씩 그림으로 보여 줍니다. 넓이 칩은 높이 $b\sin C$(남색)와 넓이(주황 칠)를, 사인법칙 칩은 외접원과 지름 $BB'$을, 코사인법칙 칩은 $b$를 $BC$ 위에 내린 그림자 $b\cos C$(청록)와 높이 $b\sin C$(남색)를 보여 줍니다. 오른쪽 표와 숫자는 끌 때마다 다시 계산됩니다.

6-2. 사인법칙: 외접원의 지름 (10분)

넓이 공식에서 바로 한 가지가 보입니다. 같은 높이를 두 가지로 쓸 수 있습니다. $A$에서 내린 높이는 직각삼각형 $AHC$에서 $b\sin C$, 직각삼각형 $AHB$에서 $c\sin B$입니다. 그러니 $b\sin C = c\sin B$, 곧 $\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$입니다. 다른 꼭짓점에서 높이를 내리면 $\dfrac{a}{\sin A}$도 같다는 것이 나옵니다.

이 공통의 값은 무엇일까요? 원으로 가져가면 답이 보입니다. 한 줄에 있지 않은 세 점을 지나는 원은 꼭 하나 있습니다. 이 원을 외접원(circumscribed circle) 이라 하고, 반지름을 $R$이라고 씁니다.

1. $B$에서 원의 중심 $O$를 지나는 지름 $BB'$을 긋습니다. 길이는 $2R$입니다.
2. 지름을 한 변으로 하는 원주각은 90°입니다(중학교 원의 성질). 그래서 각 $BCB' = 90°$이고, 삼각형 $BCB'$은 직각삼각형입니다.
3. 같은 호 $BC$ 위의 원주각은 크기가 같습니다. 그래서 각 $B'$ = 각 $A$입니다.
4. 직각삼각형 $BCB'$에서 빗변이 $2R$이고 각 $B'$의 맞은편 변이 $a$이므로 $a = 2R\sin A$입니다.

이것이 사인법칙(law of sines) 입니다. 말로 하면 "변의 길이는 맞은편 각의 sin에 비례하고, 그 비례상수가 외접원의 지름"입니다. 큰 각의 맞은편에 긴 변이 있다는 익숙한 사실이 숫자가 됩니다. ($A$가 둔각이면 $B'$이 $A$의 반대쪽에 생겨 각 $B' = 180° - A$입니다. sin 값이 같으니 식은 그대로입니다.)

위 실습대의 '사인법칙' 칩이 이 그림입니다. 회색 점선 원이 외접원, $BB'$이 지름이고, 청록 선 $B'C$와 $C$의 직각 표시, $B'$의 각 표시가 보입니다. 꼭짓점을 끌어도 표의 세 비율이 늘 지름 $2R$과 같습니다.

6-3. 코사인법칙: 일반화된 피타고라스 (10분)

두 변 $a$, $b$와 끼인각 $C$를 알 때 셋째 변 $c$는 얼마일까요? 이번에도 원으로 가져가 봅니다. 꼭짓점 $C$를 원점에 두고 변 $CB$를 $x$축 위에 눕힙니다. 그러면 $B = (a, 0)$입니다. $A$는 $C$에서 거리 $b$, 각 $C$만큼 돌린 곳에 있습니다. 반지름 $b$인 원 위의 점이므로 2교시의 정의 그대로

입니다. 이제 $c = AB$는 두 점 사이의 거리이고, 피타고라스 정리로 구합니다.

마지막 줄에서 1교시의 $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$을 썼습니다. 이것이 코사인법칙(law of cosines) 입니다.

이 식은 피타고라스 정리에 고침 항 하나를 붙인 것입니다.

• $C = 90°$이면 $\cos C = 0$이라 고침 항이 사라지고 $c^2 = a^2 + b^2$, 원래의 피타고라스 정리입니다.
• $C$가 예각이면 $\cos C > 0$이라 $c^2$가 $a^2 + b^2$보다 작습니다. 두 변을 좁게 벌렸으니 맞은편이 짧습니다.
• $C$가 둔각이면 $\cos C < 0$이라 빼는 항이 오히려 더해집니다. $c^2$가 $a^2 + b^2$보다 큽니다.

고침 항 $2ab\cos C$는 "$2 \times a \times$ ($b$를 $a$ 위에 내린 그림자 $b\cos C$)"입니다. 위 실습대의 '코사인법칙' 칩에서 청록 선이 그 그림자, 남색 선이 높이 $b\sin C$, 주황 선이 $c$입니다. 주황 $c$가 청록 그림자를 뺀 나머지 밑변 $(a - b\cos C)$와 남색 높이로 만든 직각삼각형의 빗변임을 확인해 보세요.

세 변을 다 알면 식을 거꾸로 써서 각을 구합니다.

이때는 5교시의 arccos를 씁니다. arccos의 치역이 0°–180°이고 삼각형의 각도 그 사이에 있으니, 계산기가 준 답 하나가 곧 정답입니다. 둔각이어도 헷갈릴 일이 없습니다.

6-4. 어느 법칙을 쓸까, 그리고 답이 둘인 경우 (6분)

삼각형은 변 셋과 각 셋, 여섯 개의 값으로 정해집니다. 그중 (변을 하나 이상 포함해) 셋을 알면 나머지를 구할 수 있습니다. 무엇을 아느냐에 따라 쓰는 법칙이 다릅니다.

마지막 줄이 함정입니다. 각 $A$와 변 $b$, 변 $a$를 안다고 합시다. 사인법칙으로 $\sin B = \dfrac{b\sin A}{a}$가 나옵니다. 그런데 5교시에서 보았듯이 sin 값이 같은 각은 0°–180° 안에 둘($B$와 $180° - B$) 있습니다. 둘 다 삼각형이 될 수 있습니다.

그림으로 보면 이유가 분명합니다. 각 $A$와 변 $b = AC$를 그려 놓으면, 변 $a$는 $C$에 매달린 길이 $a$인 막대입니다. 그 막대를 $C$ 둘레로 돌려 밑변과 만나는 곳이 $B$입니다. 반지름 $a$인 원이 직선과 만나는 점은 0개, 1개, 또는 2개입니다.

• $a < b\sin A$: 막대가 밑변까지 닿지 않습니다. 삼각형이 없습니다.
• $a = b\sin A$: 딱 한 점에서 스칩니다. $B = 90°$인 직각삼각형 하나.
• $b\sin A < a < b$: 두 점에서 만납니다. 삼각형이 둘입니다.
• $a \ge b$: 다른 한 점이 $A$ 뒤쪽에 생겨서 삼각형은 하나뿐입니다.

아래 실습대가 이 그림입니다. 밑변(회색 반직선) 위에 각 $A$, 길이 10인 변 $b$(검정)가 있고, $C$에서 내린 회색 점선이 높이 $b\sin A$입니다. '돌려 보기'를 누르면 주황 막대 $a$가 $C$ 둘레를 돌며 밑변에 닿는 점을 찾습니다. 찾은 삼각형은 $B$가 예각이면 청록, 둔각이면 남색입니다.

6-5. 삼각측량: 구름길 수평 거리 840 m (10분)

이제 측량팀의 숫자입니다. 아랫역을 $A$, 윗역을 $B$, 이쪽 기슭의 기준점을 $C$라고 합시다. 측량팀이 잰 것은 세 가지입니다(모두 수평면에서 잰 값입니다).

• 기준선 $AC = 520$ m (줄자로 잰 유일한 길이)
• $A$에서 $C$를 보던 망원경을 $B$까지 돌린 각: $A = 58°$
• $C$에서 $A$를 보던 망원경을 $B$까지 돌린 각: $C = 84°$

한 변과 두 각이니 사인법칙입니다. 셋째 각은 $B = 180° - 58° - 84° = 38°$입니다. 구하는 $AB$는 각 $C$의 맞은편 변이고, 아는 변 $AC$는 각 $B$의 맞은편 변입니다.

약 840 m, 도면과 맞습니다. 같은 방법으로 $CB = \dfrac{520 \sin 58°}{\sin 38°} \approx 716.28$ m도 나옵니다. 계곡을 한 번도 건너지 않고 건너편까지의 거리 두 개를 얻었습니다. 이렇게 길이 하나와 각 둘로 먼 거리를 재는 방법을 삼각측량(triangulation) 이라고 합니다. 넓은 땅의 지도를 만들 때도 오래전부터 이 방법을 썼습니다. 땅을 삼각형 그물로 덮고, 기준선 하나만 줄자로 잰 뒤 나머지는 모두 각과 사인법칙으로 계산했습니다.

높이 차도 확인합니다. $A$에서 측각기를 위로 들어 $B$를 올려본각을 재니 14.04°였습니다. 수평 거리를 알았으니 높이 차는 $840 \times \tan 14.04° \approx 210$ m입니다. 5교시에 도면의 840과 210으로 구한 기울기 각과 같은 숫자입니다. 도면과 현장이 맞았습니다.

기준선은 왜 길게 잡을까요? 측각기도 조금씩 틀립니다. 두 각이 각각 ±0.5°씩 틀릴 수 있다면, 기준선 520 m에서는 $AB$가 약 821.0–860.1 m 사이로 흔들립니다. 기준선을 100 m로 줄이면 같은 오차에도 약 726.0–998.2 m로 크게 흔들립니다. 기준선이 짧으면 $B$의 각이 6.15°로 뾰족해지고, 뾰족한 각은 $\sin B$가 작아서 나눗셈에서 작은 오차를 크게 키웁니다. 그래서 측량에서는 $B$의 각이 너무 작지 않도록 기준선을 충분히 길게 잡습니다.

아래 실습대는 위에서 내려다본 지도입니다(가로·세로 눈금이 같습니다). 회색 띠가 계곡입니다. 주황이 지금 재는 것(기준선과 망원경의 시선), 남색이 마지막에 구한 거리 $AB$입니다. 단계 버튼으로 하나씩 넘기거나 '재생'으로 이어 봅니다. 6단계에서 오른쪽 아래에 옆에서 본 그림이 나옵니다.

기호 읽는 법

교과서에서는

• 사인법칙, 코사인법칙, 넓이 공식 ½ab sin C는 '수학 I'(2022 개정 '대수')의 삼각함수 단원 마지막에 나옵니다. 사인법칙은 이 교시처럼 외접원과 원주각으로 증명합니다.
• 코사인법칙은 교과서에서 "제이 코사인법칙"이라는 이름으로 나오기도 합니다. 이 교시처럼 좌표나 수선으로 증명합니다.
• 헤론 공식은 교과서 본문에는 없거나 참고로만 나옵니다. 외울 필요는 없고, 세 변만 주어진 넓이 문제에서 확인용으로 쓸 수 있습니다.
• 시험에는 "sin A : sin B : sin C = a : b : c"를 이용해 변의 비를 구하는 문제가 자주 나옵니다. 사인법칙을 비례식으로 읽은 것입니다.

자주 하는 착각 (3분)

• "직각이 없으면 sin, cos를 못 쓴다." 수선 하나를 내리면 직각삼각형이 둘 생깁니다. 사인법칙과 코사인법칙이 그 결과를 정리한 것입니다.
• "코사인법칙에서 $\cos C$는 늘 양수다." $C$가 둔각이면 $\cos C < 0$입니다. 부호를 놓치면 둔각 맞은편 변이 오히려 짧게 나옵니다.
• "SSA도 답이 하나다." $\sin B$ 값에 맞는 각은 $B$와 $180° - B$ 둘입니다. $b\sin A < a < b$이면 삼각형이 둘입니다.
• "$\dfrac{a}{\sin A}$에서 $A$는 아무 각이나 된다." 변과 각은 마주 보는 짝이어야 합니다. 이웃한 각을 넣으면 틀립니다.
• "넓이 ½ab sin C의 C는 아무 각이나 된다." 두 변 $a$, $b$ 사이에 낀 각이어야 합니다.

연습 문제 (4분)

1. 두 변이 6, 10이고 끼인각이 135°인 삼각형의 넓이를 구하세요. (소수 둘째 자리까지)
2. $A = 75°$, $B = 45°$, $c = 12$인 삼각형에서 $a$와 외접원의 반지름 $R$을 구하세요. (소수 둘째 자리까지)
3. 세 변이 7, 8, 13인 삼각형에서 가장 큰 각을 구하세요.
4. $A = 45°$, $a = 8$, $b = 10$인 삼각형은 몇 개 있을까요? 가능한 $B$를 모두 구하세요. (소수 둘째 자리까지)
5. (서술형) 강 이쪽 기슭에 기준선 $AC = 300$ m를 잡고, 건너편 나무 $B$를 봅니다. $A$에서 잰 각이 80°, $C$에서 잰 각이 70°입니다. $AB$를 구하는 과정을 쓰고, 이 측량에서 각 $B$가 너무 작으면 안 되는 이유를 설명하세요.

풀이

1. $S = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 \times \sin 135° = 30 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2} \approx 21.21$. 135°는 45°와 높이가 같습니다. 답: $15\sqrt{2} \approx 21.21$
2. $C = 180° - 75° - 45° = 60°$이고 $2R = \dfrac{c}{\sin C} = \dfrac{12}{\sin 60°} \approx 13.86$이므로 $R \approx 6.93$입니다. $a = 2R\sin A = 13.86 \times \sin 75° \approx 13.38$입니다. 답: $a \approx 13.38$, $R \approx 6.93$
3. 가장 큰 각은 가장 긴 변(13)의 맞은편 각입니다. $\cos C = \dfrac{7^2 + 8^2 - 13^2}{2 \times 7 \times 8} = \dfrac{-56}{112} = -\dfrac{1}{2}$이므로 $C = 120°$입니다. 답: 120°
4. $b\sin A = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 7.07$이고 $7.07 < 8 < 10$이므로 두 개입니다. $\sin B = \dfrac{10\sin 45°}{8} \approx 0.8839$에서 $B \approx 62.11°$, 또는 $180° - 62.11° = 117.89°$입니다. 둘 다 $A$와 더해 180°보다 작습니다. 답: 2개, $B \approx 62.11°$ 또는 $117.89°$
5. 셋째 각은 $B = 180° - 80° - 70° = 30°$입니다. 구하는 $AB$는 각 $C$의 맞은편, 아는 $AC$는 각 $B$의 맞은편이므로 사인법칙으로 $AB = \dfrac{300 \times \sin 70°}{\sin 30°} = 600 \times 0.9397 \approx 563.82$ m입니다. 각 $B$가 작으면 $\sin B$가 0에 가까워지고, 그 작은 수로 나누기 때문에 각을 재며 생긴 작은 오차가 거리에서는 크게 부풀려집니다. 그림으로 말하면 두 시선이 거의 나란해서, 각이 조금만 틀려도 만나는 점이 멀리 미끄러집니다. 그래서 기준선을 충분히 길게 잡아 $B$가 뾰족해지지 않게 합니다. 답: 약 563.82 m

측량팀장이 야장(측량 기록장)에 "AB = 839.99 m, 도면 840 m와 일치"라고 적습니다. 도윤은 계곡 너머 윗역 철골을 다시 봅니다. 한 번도 건너가지 않고 잰 거리입니다. 설계실로 돌아오는 길에 오 팀장이 전화를 받더니 말합니다. "다음 주에 별빛 축제 조명 감독이 온대. 민 감독. 무대 위 레이저를 돌리는 장치를 짜는데, 무대를 30° 돌려 놓고 거기서 레이저를 또 45° 돌리면 빔 끝이 어디 오는지 계산해 달래." 도윤이 웃습니다. "그냥 75° 돌린 거 아니에요?" 은재 이모가 고개를 끄덕입니다. "맞아. 그런데 그 당연한 사실을 좌표로 쓰면, 외울 공식 여러 개가 한꺼번에 나와." 7교시에서는 점을 돌리는 규칙을 만들고, 돌리기를 두 번 하는 것에서 덧셈정리를 꺼냅니다.