회전을 곱셈으로: 복소수와 오일러 공식

열한 번째 토요일입니다. 도윤은 노트 한 쪽을 펼쳐 놓고 은재 이모를 기다립니다. 지난주 파도배를 계산하며 적은 테일러 다항식 두 줄이 있고, 그 위에 겨울방학 미분 노트에서 옮겨 적은 eˣ의 줄이 있습니다.

"이모, 이거 이상해요. eˣ는 1 + x + x²/2! + x³/3! + …이잖아요. cos x는 그 가운데 짝수 차수만, sin x는 홀수 차수만 있어요. 부호만 +, −로 번갈아 바뀌고요. 둘을 더하면 eˣ랑 거의 같은데, 부호가 안 맞아요."

은재 이모가 웃습니다. "부호를 맞춰 주는 수가 있어. 두 번 곱하면 −1이 되는 수." 도윤이 고개를 젓습니다. "그런 수가 어디 있어요. 양수끼리 곱해도, 음수끼리 곱해도 양수인데." 이모가 화이트보드에 수직선을 하나 긋고, 그 위에 원을 그립니다. "수직선 위에는 없지. 평면으로 나가 봐. 돌려 봐."

그때 오 팀장이 회오리 점검표를 들고 들어옵니다. 자리의 위치를 식 한 줄로 쓰라는 칸이 있습니다. 9교시에 그린 꽃잎 세 장, 원판 위에서 도는 컵을 떠올리면 원 두 개를 합친 식이 필요합니다. 오늘은 회전을 곱셈 한 번으로 해내는 수, 복소수를 만납니다. 그 끝에서 도윤의 노트에 적힌 세 줄이 하나로 합쳐집니다.

이 교시의 복소평면, 곱셈의 그림, 오일러 공식은 고등학교 교과서 밖의 이야기입니다. 허수 i와 a + bi 꼴의 계산은 고등학교 1학년 수학(2015 개정 '수학', 2022 개정 '공통수학1')에서 배웁니다. 이 교시는 거기서 한 걸음 더 나가 그 수를 평면 위의 회전으로 봅니다. 미분 이야기가 조금 나옵니다. 필요한 사실은 그 자리에서 한 줄로 다시 짚습니다.

11-1. i는 90° 돌리기다 (8분)

−1을 곱하면 뒤집힌다. 수직선 위의 수에 $-1$을 곱하면 $3$은 $-3$으로, $-2$는 $2$로 갑니다. 원점을 중심으로 수직선을 반 바퀴(180°) 돌린 것과 같습니다. $(-1) \times (-1) = 1$은 "반 바퀴 돌리고 또 반 바퀴 돌리면 제자리"라는 뜻입니다.

두 번 해서 반 바퀴가 되는 것. 그러면 "두 번 곱하면 $-1$"인 수는 "두 번 하면 반 바퀴"인 돌리기입니다. 그런 돌리기는 90° 돌리기입니다. 수직선 위에서 1을 90° 돌리면 수직선을 벗어나 위쪽으로 갑니다. 그 자리의 수를 $i$라고 부릅니다.

$i$를 허수 단위(imaginary unit) 라고 합니다. 이름은 '상상의 수'지만 그림은 분명합니다. $i$를 곱하는 것은 원점 둘레로 90° 돌리는 것입니다.

복소평면. 수가 수직선을 벗어났으니 평면이 필요합니다. 가로축을 실수축, 세로축을 허수축으로 둔 평면을 복소평면(complex plane) 이라고 합니다. $a + bi$ 꼴의 수, 곧 복소수(complex number) 는 이 평면의 점 $(a, b)$입니다. $2 + i$는 오른쪽으로 2, 위로 1인 점입니다.

$i$를 곱해 봅시다. $i^2 = -1$만 쓰면 됩니다.

점 $(a, b)$가 점 $(-b, a)$로 갔습니다. 7교시의 회전 규칙에 $\theta = 90°$를 넣은 것($\cos 90° = 0$, $\sin 90° = 1$)과 똑같습니다. 정말로 90° 돌리기입니다.

음수의 제곱근은 1545년 카르다노(Gerolamo Cardano)가 삼차방정식의 풀이를 다룬 책 『아르스 마그나』에서 계산 중간에 썼습니다. 그때는 "쓸모는 있지만 뜻은 모르는 수"였습니다. 이런 수를 평면의 점으로 보는 그림은 19세기 초에 자리 잡았고, '복소수'라는 이름은 가우스(Carl Friedrich Gauss)가 붙였습니다.

아래 실습대는 복소평면입니다. 가로가 실수축, 세로가 허수축이고, 회색 점선은 반지름 1인 원(단위원)입니다. 청록 점 $z$(처음에는 1)는 끌어서 옮길 수 있습니다(키보드 화살표도 됩니다). '× i'를 누를 때마다 주황 화살표가 90°씩 돌고, 지나온 자리가 회색 점과 이름($iz$, $i^2z$ …)으로 남습니다. 남색 호는 처음부터 지금까지 돈 각입니다. 오른쪽에는 지금 화살표 끝의 값이 나옵니다.

11-2. 곱셈은 길이를 곱하고 각을 더한다 (9분)

$i$는 길이가 1이고 각이 90°인 수였습니다. 다른 복소수도 길이와 각으로 읽을 수 있습니다. 원점에서 점 $z = a + bi$까지의 거리를 $z$의 절댓값 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, 실수축에서 시계 반대 방향으로 잰 각을 편각 $\arg z$라고 합니다. 길이 $r$, 각 $\theta$인 점은 2교시의 단위원을 $r$배 한 것이므로

로 쓸 수 있습니다. 이것을 극형식(polar form) 이라고 합니다. 예를 들어 $1 + i$는 길이 $\sqrt2$, 각 45°입니다.

길이 1인 수 둘을 곱해 봅시다. $(\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta)$를 전개하고 $i^2 = -1$을 씁니다.

마지막 줄은 7교시의 덧셈정리입니다. 곱한 결과는 각이 $\alpha + \beta$인 단위원 위의 점입니다. "α만큼 돌린 것을 β만큼 더 돌리면 α + β만큼 돌린 것"이라는 7교시의 문장이 복소수에서는 곱셈 한 번이 됩니다. 길이가 1이 아니면 길이는 그냥 곱해집니다.

복소수의 곱 = 길이는 곱하고, 각은 더한다. 외울 것은 이 한 문장입니다. $i$를 곱하면 길이 1배, 각 +90°이니 90° 돌리기였던 것도 이 규칙의 한 경우입니다.

아래 실습대에서 청록 화살표가 $z$, 남색 화살표가 $w$, 주황 화살표가 곱 $zw$입니다. 두 화살표의 끝(손잡이)을 끌어 옮길 수 있습니다. 원점 근처의 호는 각입니다. 안쪽 남색 호가 $w$의 각, 바깥쪽 호는 $z$의 각(청록)에 $w$의 각(남색)을 이어 붙인 것입니다. 바깥 호의 끝이 늘 $zw$ 화살표를 가리킵니다. '곱하기 재생'을 누르면 $z$를 $w$의 각만큼 돌리면서 $|w|$배로 늘이는 길이 주황 점선으로 그려집니다. 오른쪽에 세 수의 값과 길이·각, 그리고 "길이: 곱", "각: 합"의 계산이 나옵니다.

첫 화면의 수를 직접 곱해 봅시다.

길이는 $\sqrt2 \times 2 = 2\sqrt2 \approx 2.828$, 각은 $45° + 30° = 75°$입니다. 그러니 이 점은 $2\sqrt2(\cos 75° + i\sin 75°)$이기도 합니다. 실수부끼리, 허수부끼리 맞추면

7교시에 레이저 빔으로 구한 값이 곱셈 한 번에 나왔습니다.

드무아브르 공식. 같은 수를 $n$번 곱하면 각이 $n$번 더해집니다. 길이 1인 수에 대해

입니다. 이 식에는 드무아브르(Abraham de Moivre)의 이름이 붙어 있습니다. 배각·3배각 공식을 외우지 않고 꺼내는 도구로 씁니다(예제 11-4).

11-3. 1의 n제곱근: 원 위의 정n각형 (6분)

$z^n = 1$을 푸는 일도 길이와 각으로 하면 그림이 됩니다.

• 길이: $|z|^n = 1$이므로 $|z| = 1$. 해는 모두 단위원 위에 있습니다.
• 각: $z$를 $n$번 곱하면 각이 $n$배가 됩니다. 그 각이 $0°$, $360°$, $720°$ … 가운데 하나여야 1에 닿습니다. 그러니 $z$의 각은 $\dfrac{360°}{n}$의 정수배입니다.

여기서 $k = 0, 1, \ldots, n-1$입니다. $k = n$부터는 같은 점이 되풀이되므로 해는 정확히 $n$개입니다. 이 $n$개는 단위원 위에 $\frac{360°}{n}$ 간격으로 놓여 정n각형을 이룹니다. $k = 1$인 해를 $\omega$(오메가)라 하면, 해는 $1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{n-1}$입니다. $\omega$를 곱할 때마다 다음 꼭짓점으로 한 칸 돕니다.

아래 실습대에서 남색 점이 $z^n = 1$의 해입니다(처음에는 $n = 6$). 회색 점선은 단위원, 점 사이의 회색 화살표는 "$\omega$를 한 번 곱하면 다음 점"이라는 표시입니다. 'n제곱 해 보기'를 누르면 해마다 $z, z^2, z^3, \ldots, z^n$으로 거듭제곱해 가는 점(주황)이 움직이고 지나간 자리가 옅게 남습니다. 'n' 슬라이더로 2–12를, '오른쪽 수 c' 칩으로 $z^n = -1$이나 $z^n = i$를 고를 수 있습니다. '모두 더해 보기'를 켜면 해를 화살표로 보고 머리–꼬리로 이어 붙인 사슬(청록)이 나옵니다.

해를 모두 더하면 0이 되는 이유는 사슬 그림에 있습니다. 길이 1인 화살표를 $\frac{360°}{n}$씩 꺾으면서 $n$개 이으면, 한 바퀴를 다 꺾고 정n각형의 둘레를 돌아 출발점으로 돌아옵니다. 출발점으로 돌아왔으니 화살표의 합은 0입니다. 식으로 쓰면 $n \ge 2$일 때 $1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{n-1} = 0$입니다.

11-4. 오일러 공식: e^(iθ)는 원을 돈다 (10분)

이제 도윤의 노트로 돌아갑니다. 지수함수 $e^x$는 미분해도 자기 자신이고, $e^{kx}$를 미분하면 $k$배가 됩니다(미분 6교시).

그러면 $k$ 자리에 $i$를 넣은 $e^{i\theta}$는 무엇이어야 할까요? 같은 규칙을 지킨다면 미분하면 $i$배가 되는 함수입니다. 이것을 세 가지 길로 따라가 봅니다. 셋 다 같은 곳에 닿습니다.

첫째 길: 속도가 늘 수직. $\theta$를 시간이라 하고, 복소평면 위를 움직이는 점 $P(\theta) = e^{i\theta}$를 생각합니다. 출발점은 $e^0 = 1$입니다.

• 미분하면 $i$배이므로, 속도 = $i$ × 지금 위치입니다.
• $i$를 곱하면 90° 돌아가고 길이는 그대로입니다. 그러니 속도는 늘 위치 화살표(반지름)에 수직이고, 크기는 원점까지의 거리와 같습니다.
• 반지름에 늘 수직으로 움직이면 원점까지의 거리는 변하지 않습니다. 출발점이 1이니 점은 단위원 위를 속력 1로 돕니다.
• 속력 1로 $\theta$만큼 가면 호의 길이 $\theta$, 곧 각 $\theta$ 라디안만큼 돈 자리에 있습니다. 그 자리는 $\cos\theta + i\sin\theta$입니다.

10교시에 원을 도는 점의 속도가 반지름에 수직이라 $(\cos\theta)' = -\sin\theta$, $(\sin\theta)' = \cos\theta$가 나온다고 했습니다. 같은 그림을 거꾸로 읽은 것입니다.

이것이 오일러 공식(Euler's formula) 입니다. 오일러(Leonhard Euler)가 1748년 『무한 해석 입문』에서 이 관계를 썼습니다. 여기서 $\theta$는 라디안입니다. 호의 길이로 잰 각이어야 속력 1로 $\theta$만큼 간 것이 각 $\theta$가 됩니다.

둘째 길: 아주 작은 걸음을 n번. $e^x$는 $\left(1 + \dfrac{x}{n}\right)^n$에서 $n$을 한없이 키울 때 다가가는 값이기도 합니다($x = 1$이면 $e$). 여기에 $x = i\theta$를 넣어 봅니다.

$1 + \frac{i\theta}{n}$은 1에서 위로 $\frac{\theta}{n}$만큼 올라간 점입니다. 길이는 1보다 아주 조금 길고, 각은 약 $\frac{\theta}{n}$ 라디안입니다. 이 수를 곱하는 것은 "지금 위치에서 반지름에 수직으로 (지금 길이 × $\frac{\theta}{n}$)만큼 한 걸음 가기"입니다($z \times (1 + \frac{i\theta}{n}) = z + \frac{\theta}{n} \cdot iz$). 첫째 길의 "속도가 수직"을 $n$번의 걸음으로 쪼갠 것입니다.

아래 실습대가 그 걸음들을 그립니다. 1에서 출발해 $1 + \frac{i\theta}{n}$을 한 번 곱할 때마다 남색 점을 하나씩 찍고 잇습니다. 주황 점이 $n$번 곱한 끝점, 회색 고리가 목표 $e^{i\theta}$, 회색 점선이 단위원, 원 위의 옅은 회색 굵은 호는 1에서 각 $\theta$까지입니다. 옅은 회색 직선은 원점에서 각 점까지의 반지름입니다. 걸음마다 반지름에 거의 수직인 것을 볼 수 있습니다. '두 배로'를 누르면 $n$이 두 배가 되고 새 꺾은선이 1부터 한 걸음씩 그려집니다. 그림은 꺾은선과 원이 모두 들어오도록 저절로 확대·축소됩니다. $\theta$는 슬라이더나 칩으로 고릅니다. 오른쪽 표에 $n$마다 끝점의 길이, 각, 목표까지의 거리가 쌓입니다.

$\theta = \pi$일 때 실습대의 값을 표로 모으면 이렇습니다. (소수 넷째 자리까지. 각은 도.)

길이는 $\left(1 + \frac{\pi^2}{n^2}\right)^{n/2}$이라 $n$이 커지면 1로, 각은 $n$ 곱하기 (한 걸음의 각)이라 $\pi$ 라디안 = 180°로 다가갑니다. 끝점은 $-1$입니다.

반 바퀴 돌면 $-1$이라는, 그림으로는 당연한 문장입니다. 이 식 하나에 $e$, $i$, $\pi$, 1, 0이 다 들어 있어서 가장 아름다운 식으로 자주 꼽힙니다.

셋째 길: 테일러 급수. 10교시에서 본 급수에 $x = i\theta$를 넣고, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$을 차례로 씁니다.

도윤의 노트에서 맞지 않던 부호를 $i$가 맞춰 주었습니다. 짝수 차수 항은 $i^2 = -1$ 때문에 부호가 번갈아 바뀌며 실수부(cos)로, 홀수 차수 항은 $i$가 하나 남아 허수부(sin)로 갑니다. $\theta = \pi$를 넣고 $\theta^8$의 항까지 더하면 $-0.976 - 0.075i$, $\theta^{12}$의 항까지 더하면 $-0.9999 - 0.0004i$로 $-1$에 다가갑니다.

지수법칙 = 덧셈정리. 이제 $e^{i\alpha}e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}$는 지수법칙이면서 동시에 11-2절의 "각을 더한다"입니다. 덧셈정리 두 개가 지수법칙 한 줄에 들어갑니다(연습 문제 4).

cos와 sin을 지수로. $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$(반대로 도는 점)입니다. 두 식을 더하고 빼면

입니다. 같은 빠르기로 반대 방향으로 도는 화살표 두 개를 더하면 위아래 성분이 서로 지워져 늘 실수축 위에 있습니다. 그 그림자가 실수축 위를 오가는 $2\cos\theta$입니다. 이 꼴은 12교시에 다시 씁니다.

11-5. 회오리와 교류: 도는 것을 한 줄로 (7분)

회오리. 시간 $t$를 초로 잽니다. 원판 중심을 복소평면의 원점에 두고 위에서 내려다봅니다.

• 원판은 1분에 6바퀴, 곧 1초에 $2\pi \times \frac{6}{60} = \frac{\pi}{5}$ 라디안 돕니다. 컵 중심은 원판 중심에서 4 m이므로 컵 중심의 위치는 $4e^{i\pi t/5}$입니다.
• 컵은 원판 위에서 원판 한 바퀴에 3바퀴, 1분에 18바퀴 같은 방향으로 돕니다. 땅에서 보면 원판이 도는 것까지 더해 1분에 $6 + 18 = 24$바퀴, 1초에 $\frac{4\pi}{5}$ 라디안입니다(9교시와 같은 설정).
• 자리는 컵 중심에서 1 m이므로 컵 중심에 $1 \cdot e^{i4\pi t/5}$를 더합니다. 화살표를 머리–꼬리로 잇는 것이 복소수의 덧셈입니다.

오 팀장이 원한 "한 줄"입니다. 9교시의 원 두 개가 그대로 두 항입니다. 원판이 돈 각 $\theta = \frac{\pi t}{5}$로 쓰면 $z = 4e^{i\theta} + e^{4i\theta}$로 더 짧아집니다. 컵이 땅에서 원판보다 4배 빨리 돈다는 뜻입니다(24 ÷ 6 = 4). $t = 2.5$초이면 $\frac{\pi t}{5} = \frac{\pi}{2}$, $\frac{4\pi t}{5} = 2\pi$이므로 $z = 4i + 1$, 원판 중심에서 $\sqrt{17} \approx 4.12$ m 떨어진 곳입니다.

미분도 곱셈이 됩니다. 각 항을 미분하면 $\frac{\pi}{5}i$배, $\frac{4\pi}{5}i$배가 되므로

입니다. 괄호 안은 길이 1인 화살표 두 개의 합입니다. 두 화살표가 같은 방향이면 길이 2, 반대 방향이면 0입니다. 그래서 자리의 속력은 $0$부터 $\frac{8\pi}{5} \approx 5.03$ m/s 사이를 오갑니다. 반대 방향이 되는 순간($t = \frac53$, 5, $\frac{25}{3}$초)에는 땅에서 본 속력이 0입니다. 9교시의 꽃잎 사이 뾰족한 곳입니다.

교류. 놀이기구 전기는 교류 220 V, 60 Hz입니다. 220 V는 실효값이고 최댓값은 $220\sqrt2 \approx 311.13$ V입니다. 1초에 60번 오가므로 $\omega = 2\pi \times 60 = 120\pi \approx 376.99$ rad/s이고, 전압은

입니다. 이것은 길이 311.13인 화살표 $311.13\,e^{i120\pi t}$가 1초에 60바퀴 도는 동안, 그 화살표 끝의 세로 성분(허수부) 입니다. 전기팀이 화살표로 계산하는 이유는 세 가지입니다.

1. 진동수가 같은 교류 둘을 더하는 일은 화살표 두 개를 더하는 일입니다(8교시의 합성). 덧셈 한 번이면 끝납니다.
2. 미분은 $i\omega$를 곱하는 일, 곧 90° 돌리고 $\omega$배 하는 일입니다. 축전기나 코일에서 전류가 전압보다 90° 앞서거나 뒤처지는 것이 이 곱셈입니다.
3. 모든 화살표가 같은 빠르기로 도니, 돌기를 멈춘 사진 한 장(페이저, phasor)만 보고 계산하면 됩니다.

기호 읽는 법

공대·물리에서는

• 전기공학은 교류 회로를 페이저와 임피던스(저항을 복소수로 넓힌 것)로 계산합니다. 전류의 기호 i와 헷갈리지 않게 허수 단위를 j로 씁니다.
• 신호 처리의 푸리에 변환은 sin, cos 대신 e^(iωt)를 씁니다. 9교시의 '원 위의 원'이 식으로는 e^(iωt)의 합입니다.
• 양자역학의 파동함수는 복소수 값을 가집니다. 시간이 흐르면 e^(−iEt/ħ) 꼴로 돕니다.
• 컴퓨터 그래픽에서 평면의 회전은 복소수 곱셈 한 번입니다. 3차원 회전에는 해밀턴(William Rowan Hamilton)이 1843년에 만든 사원수를 씁니다.

자주 하는 착각 (3분)

• "i는 상상 속의 수라 그림이 없다." $i$는 복소평면에서 위쪽 1인 점이고, 곱하면 90° 돌리기입니다. 그림이 가장 분명한 수입니다.
• "$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$는 언제나 맞다." 둘 다 음수이면 틀립니다. $\sqrt{-4}\sqrt{-9} = 2i \cdot 3i = -6$입니다. $i$를 먼저 꺼냅니다.
• "$(a + bi)(c + di) = ac + bdi$이다." 성분끼리 곱하지 않습니다. 네 항을 모두 전개하고 $i^2 = -1$을 씁니다. 실수부는 $ac - bd$, 허수부는 $ad + bc$입니다.
• "$e^{i\theta}$는 $\theta$가 클수록 커진다." 길이는 언제나 1입니다. $\theta$가 커지면 원을 더 돌 뿐입니다.
• "$e^{i\theta}$에 도를 넣는다." $\theta$는 라디안입니다. $e^{i\pi} = -1$이고, $e^{180i}$은 다른 점입니다.

연습 문제 (7분)

1. $(2 + i)(1 - 3i)$를 $a + bi$ 꼴로 계산하세요. 그리고 곱의 길이가 두 수의 길이의 곱과 같은지 확인하세요.
2. $z = 2(\cos 20° + i\sin 20°)$일 때 $z^3$을 $a + bi$ 꼴로 나타내세요.
3. $z^6 = 1$의 해 여섯 개를 $a + bi$ 꼴로 모두 쓰세요. 그 가운데 $z^3 = 1$도 만족하는 것은 어느 것입니까?
4. (서술형) 오일러 공식과 지수법칙 $e^{i\alpha}e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}$를 써서 $\cos(\alpha + \beta)$와 $\sin(\alpha + \beta)$의 덧셈정리를 이끌어 내는 과정을 쓰세요.
5. 전기팀이 묻습니다. "교류 220 V, 60 Hz를 화살표로 보면, 화살표는 1초에 몇 바퀴 돌아? $t = \frac{1}{360}$초에는 출발할 때보다 몇 도 돌아 있고, 그때 순간 전압은?" ($v(t) = 311.13\sin(120\pi t)$, 소수 둘째 자리까지)

풀이

1. 전개하면 $2 - 6i + i - 3i^2 = 2 - 5i + 3 = 5 - 5i$입니다. 길이: $|2 + i| = \sqrt5$, $|1 - 3i| = \sqrt{10}$이고 곱은 $\sqrt{50} = 5\sqrt2 \approx 7.07$입니다. $|5 - 5i| = \sqrt{50} = 5\sqrt2$로 같습니다. 답: $5 - 5i$, 길이 $5\sqrt2$로 같다
2. 길이는 $2^3 = 8$, 각은 $20° \times 3 = 60°$입니다. $z^3 = 8(\cos 60° + i\sin 60°) = 4 + 4\sqrt3\,i \approx 4 + 6.93i$입니다. 답: $4 + 4\sqrt3\,i$
3. 단위원 위에 60° 간격으로 놓인 정육각형의 꼭짓점입니다. 각 $0°$, $60°$, $120°$, $180°$, $240°$, $300°$에서 차례로 $1$, $\frac12 + \frac{\sqrt3}{2}i$, $-\frac12 + \frac{\sqrt3}{2}i$, $-1$, $-\frac12 - \frac{\sqrt3}{2}i$, $\frac12 - \frac{\sqrt3}{2}i$입니다. $z^3 = 1$이려면 각의 3배가 360°의 정수배여야 하므로 각이 $0°$, $120°$, $240°$인 셋입니다. 답: 여섯 개는 위와 같고, $z^3 = 1$도 만족하는 것은 $1$, $-\frac12 \pm \frac{\sqrt3}{2}i$
4. 왼쪽을 오일러 공식으로 쓰고 전개합니다. $(\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta) = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + i(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)$. 오른쪽은 오일러 공식으로 $\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)$입니다. 두 복소수가 같으면 실수부끼리, 허수부끼리 같습니다($\alpha$, $\beta$가 실수이므로 cos, sin 값은 실수). 따라서 $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$, $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$입니다. 외울 것은 $e^{i\alpha}e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}$ 하나이고, 덧셈정리는 거기서 꺼낼 수 있습니다.
5. 60 Hz이므로 1초에 60바퀴입니다. $t = \frac{1}{360}$초이면 $120\pi \times \frac{1}{360} = \frac{\pi}{3}$ 라디안, 곧 60° 돌아 있습니다(한 바퀴의 $\frac16$). 순간 전압은 $311.13 \times \sin 60° \approx 311.13 \times 0.8660 \approx 269.44$ V입니다. 답: 1초에 60바퀴, 60°, 약 269.44 V

오 팀장이 점검표의 빈칸에 도윤이 불러 준 식을 옮겨 적습니다. "z(t) = 4e^(iπt/5) + e^(i4πt/5). 10초에 세 번, 3 m 지점에서 한순간 멈춘다… 이거 안전 문구로도 쓸 수 있겠는데." 전기팀에 보낼 한 문단도 메일로 나갑니다.

오 팀장이 서류철을 덮으며 말합니다. "다음 주 토요일이 구름길 정식 개통 전날이야. 다 같이 시승하자. 그 전에 하나만 확인해 줘. 중간 지지탑 두 개 사이에서 케이블이 가운데가 8 m 처져. 도면에는 포물선으로 그려 놨던데, 진짜 그 모양이야? 케이블 길이는 몇 m야?"

도윤이 노트에 오늘 식을 다시 씁니다. cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ))/2. 은재 이모가 그 옆에 한 줄을 덧붙입니다. "θ 자리에 허수를 넣어 봐. cos(ix)." 도윤이 계산해 봅니다. i·ix = −x이니 (e^(−x) + eˣ)/2. "허수 각의 코사인이 1보다 큰 실수예요." 이모가 웃습니다. "원 말고 다른 곡선 위를 돌면 그 수가 나와." 12교시에서는 원 대신 쌍곡선 위를 도는 또 하나의 삼각함수 cosh, sinh를 만나고, 매달린 케이블의 모양을 풉니다.