각도로 높이를 재다: 닮음에서 나온 삼각비

3월 첫째 토요일 아침입니다. 봄 학기가 시작됐고, 도윤은 이제 고3입니다. 수능 범위인 삼각함수를 이번에는 "제대로" 하고 싶어서, 토요일 오전마다 설계실에 나오기로 했습니다. 정문 쪽에서 레미콘 트럭이 줄지어 들어옵니다. 겨울방학에 도윤이 부피를 계산한 물방울 터널의 콘크리트입니다.

오 팀장의 과제를 듣고 도윤이 자신 있게 말합니다. "sin은 높이 나누기 빗변이잖아요. 그건 알아요." 그러다 멈칫합니다. "근데 그걸로 어떻게 높이를 재요? 빗변 길이도 모르는데."

은재 이모가 창밖의 번개를 가리킵니다. "삼각형은 네가 만들면 돼. 땅, 탑, 그리고 꼭대기를 보는 네 시선." 이모가 서랍에서 각도기에 추를 단 도구를 꺼냅니다. 측각기입니다. "그 전에 하나만 묻자. 높이 나누기 빗변이 왜 각만 알면 정해지는 값이야? 삼각형이 크면 높이도 빗변도 크잖아." 도윤은 대답하지 못합니다.

오늘은 그 질문에서 출발합니다. 닮은 삼각형에서 비율이 각만의 값이 되는 이유를 보고, 그 비율에 sin, cos, tan이라는 이름을 붙입니다. 30°, 45°, 60°의 값은 외우지 않고 그림에서 꺼냅니다. 그다음 측각기로 번개의 높이를 재고, 오후에 펜스가 쳐진 뒤에는 두 지점에서 다시 잽니다.

1-1. 닮은 직각삼각형은 비가 같다 (9분)

맑은 날 같은 시각에는 햇빛이 모든 곳에 같은 각도로 들어옵니다. 땅에 수직으로 세운 막대와 탑은 각자 그림자를 만듭니다. 막대·그림자·햇빛이 만드는 직각삼각형과 탑·그림자·햇빛이 만드는 직각삼각형은 크기는 달라도 각이 같습니다. 그래서 두 삼각형은 닮았고, 닮은 도형은 대응하는 변의 비가 같습니다.

막대 쪽은 줄자로 잴 수 있으니, 탑의 그림자만 재면 높이가 나옵니다. 기원전 6세기 그리스의 탈레스가 피라미드의 높이를 이렇게 쟀다는 이야기가 전해집니다.

이것을 일반적으로 말하면 이렇습니다. 직각삼각형은 한 각이 이미 90°입니다. 그러니 예각 하나만 같으면 나머지 한 각도 $180° - 90° - \theta$로 같아집니다. 세 각이 같으면 닮음입니다. 한 예각이 같은 직각삼각형은 크기와 상관없이 모두 닮았습니다. 그러니 변의 비율은 삼각형의 크기가 아니라 각 하나만으로 정해집니다.

아래 실습대에서 확인해 봅시다. 꼭짓점 A의 각이 $\theta$이고 B가 직각인 삼각형입니다. 남색 변이 각 $\theta$의 맞은편 $a$, 청록 변이 $\theta$에 붙은 이웃 변 $b$, 진한 회색 변이 빗변 $c$입니다. 회색 점선은 같은 각에 빗변이 2, 4, 6, 8인 삼각형들입니다. 모두 같은 빗변 직선을 나눠 쓰는 사다리 모양입니다. 주황 점 C를 끌면 빗변 방향으로만 움직여 크기만 바뀝니다. 각은 오른쪽의 '각 θ' 슬라이더나 30°·45°·60° 칩으로 바꿉니다. 오른쪽에는 비율 세 개와, 빗변이 2, 4, 6, 8일 때의 $a$, $b$, $a \div c$ 표가 있습니다.

첫 화면은 $\theta = 40°$, 빗변 4입니다. 표를 옮기면 이렇습니다.

길이는 빗변을 따라 두 배, 세 배로 커지는데 비율은 그대로입니다. 그러니 "40°일 때 맞은편 ÷ 빗변은 0.6428"이라고 각에 이름표를 붙여 말할 수 있습니다. 각을 넣으면 비율이 하나 나오는 대응, 곧 각의 함수입니다. 이것이 삼각비의 출발점입니다.

1-2. 각의 맞은편과 이웃: sin, cos, tan (8분)

직각삼각형에서 예각 $\theta$ 하나를 정하면 세 변에 이름이 붙습니다.

• 빗변: 직각의 맞은편 변. 가장 깁니다.
• 맞은편 변: 각 $\theta$와 마주 보는 변.
• 이웃 변: 각 $\theta$에 붙어 있는 두 변 가운데 빗변이 아닌 것.

그리고 세 비율에 이름을 붙입니다.

차례로 사인(sine), 코사인(cosine), 탄젠트(tangent)라고 읽습니다. 셋을 묶어 삼각비라고 합니다. 교과서는 $\angle C = 90°$인 삼각형 ABC에서 꼭짓점의 맞은편 변을 소문자로 써서 $\sin A = \frac{a}{c}$, $\cos A = \frac{b}{c}$, $\tan A = \frac{a}{b}$로 씁니다.

"높이 ÷ 빗변"이 아닌 이유. 흔히 sin을 "높이 ÷ 빗변"으로 외웁니다. 그런데 높이는 삼각형을 어떻게 놓느냐에 따라 바뀝니다. 기준은 언제나 각입니다. 같은 삼각형에서 다른 예각 $90° - \theta$의 입장이 되면 맞은편과 이웃이 서로 바뀝니다. 그래서

입니다. 합해서 90°가 되는 두 각을 서로의 여각(complement)이라고 합니다. 코사인(co-sine)이라는 이름이 바로 "여각의 사인"이라는 뜻입니다. 3-4-5 삼각형으로 보면 한 각의 sin이 0.6이고 다른 각의 cos도 0.6입니다(예제 1-3).

tan은 기울기입니다. 이웃 변을 가로, 맞은편 변을 세로로 놓으면 $\tan\theta$는 "가로로 1 갈 때 세로로 얼마 오르나", 곧 기울기입니다. 도로 표지판의 경사도(%)는 기울기에 100을 곱한 값입니다. 가로 100 m에 10 m 오르면 경사도 10%이고, $\tan\theta = 0.1$입니다.

1-3. 30°, 45°, 60°는 그림에서 꺼낸다 (7분)

특별한 세 각의 값은 표로 외우는 대신 두 도형에서 꺼냅니다.

45°: 정사각형을 대각선으로 자르기. 한 변이 1인 정사각형을 대각선으로 자르면 직각이등변삼각형이 됩니다. 두 예각은 45°이고 빗변은 피타고라스 정리로 $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$입니다.

30°와 60°: 정삼각형을 반으로 접기. 한 변이 2인 정삼각형을 꼭짓점에서 수직으로 반 접으면 각이 30°, 60°, 90°인 직각삼각형이 나옵니다. 빗변 2, 밑변 1, 높이는 $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$입니다. 짧은 변 1은 30°의 맞은편이고, $\sqrt{3}$은 60°의 맞은편입니다.

($\frac{1}{\sqrt{2}}$은 분모를 유리화하면 $\frac{\sqrt{2}}{2}$입니다. 같은 수입니다.)

외울 것은 아홉 개의 숫자가 아니라 두 장의 그림입니다. 시험장에서 막히면 정사각형과 반 접은 정삼각형을 구석에 그리고, 원하는 각의 입장에서 맞은편·이웃·빗변을 읽으면 됩니다. 표를 세로로 보면 sin은 각이 커질수록 커지고 cos는 작아집니다. 30°의 sin과 60°의 cos가 같은 것은 두 각이 여각이기 때문입니다. 실습대의 30°·45°·60° 칩을 눌러 표의 소수 값을 확인해 보세요.

1-4. 올려본각으로 높이 재기 (9분)

눈높이에서 수평으로 본 방향과, 위의 물체를 올려다본 시선이 이루는 각을 올려본각이라고 합니다. 반대로 높은 곳에서 아래를 내려다본 시선과 수평선이 이루는 각은 내려본각입니다. 둘 다 눈높이의 수평선에서 잽니다.

측각기(클리노미터)는 이 각을 재는 도구입니다. 각도기에 추를 매단 단순한 것도 있고, 기울기 센서로 0.1° 단위까지 읽는 디지털 측각기도 있습니다. 설계실 것은 디지털입니다.

탑까지의 수평 거리가 $x$이고 올려본각이 $\theta$이면, 눈높이의 수평선·탑·시선이 직각삼각형을 만듭니다. $\theta$의 이웃 변이 $x$, 맞은편 변이 '눈높이 위의 탑 높이' $h'$이므로

입니다. 눈높이를 더하는 것을 잊지 마세요. 측각기는 땅이 아니라 눈에서 각을 잽니다.

아래 실습대의 가로축은 탑까지의 거리(m), 세로축은 높이(m)이고 두 축의 눈금 간격이 같습니다. 오른쪽이 번개, 왼쪽의 주황 점이 관측자의 눈(높이 1.5 m)입니다. 관측자를 끌어 자리를 옮길 수 있습니다(키보드 ←→도 됩니다). '재 보기'를 누르면 주황 시선이 수평(회색 점선)에서 꼭대기까지 들려 올라가며 올려본각을 재고, 이어서 청록 가로 $x$와 남색 세로 $h'$, 회색 눈높이가 그려집니다. 오른쪽에 계산 과정이 나옵니다. '눈높이 1.5 m 더하기'를 끄면 무엇이 달라지는지도 보세요.

오전 10시, 도윤은 번개에서 40 m 떨어진 곳에 섰습니다. 거리는 땅에 줄자를 깔아 쟀습니다. 땅 위의 거리는 줄자로 잴 수 있고, 잴 수 없는 것은 높이뿐입니다. 측각기는 53.2°를 가리켰습니다.

도면 55 m와 0.03 m 차이입니다. 측각기가 0.1° 단위로 읽으니 이 정도는 눈금의 오차 안입니다. 실제로 53.1°와 53.3°로 계산하면 54.77–55.16 m입니다. 각을 1° 잘못 읽으면(54.2°) 56.96 m로 2 m 가까이 틀어집니다. 각 1°가 그만큼 큰 차이를 만듭니다.

1-5. 탑 밑까지 갈 수 없을 때: 두 지점에서 재기 (8분)

오후 1시, 탑 둘레 25 m에 공사 펜스가 쳐졌습니다. 이제 탑 밑까지의 거리 $x$를 잴 수 없습니다. 은재 이모가 말합니다. "모르는 게 하나 늘었으면 잰 것도 하나 늘리면 돼."

펜스 밖, 탑과 일직선 위의 두 지점 A, B에서 각을 잽니다. A가 탑에 더 가깝고, A와 B 사이 거리 $d$는 줄자로 잽니다. A에서의 올려본각을 $\alpha$, B에서를 $\beta$라 하고, 모르는 A–탑 거리를 $x$, 눈높이 위의 높이를 $h'$라고 합니다. 직각삼각형이 두 개 생깁니다.

둘 다 '이웃 = 맞은편 ÷ tan' 꼴로 바꾸면 $x = \dfrac{h'}{\tan\alpha}$, $x + d = \dfrac{h'}{\tan\beta}$입니다. 아래 식에서 위 식을 빼면 $x$가 사라집니다.

모르는 거리를 몰라도 높이가 나옵니다. 높이를 알면 $x = h' \div \tan\alpha$로 거리도 덤으로 나옵니다.

아래 실습대는 같은 그림에 펜스(진홍 빗금)를 친 것입니다. 관측점 A와 B를 각각 끌 수 있고, '재 보기'를 누르면 A에서 먼저, B에서 다음으로 각을 잰 뒤 두 직각삼각형으로 높이를 계산합니다.

실습대의 숫자를 옮기면 이렇습니다. 측각기는 A에서 56.8°, B에서 44.2°를 읽었고 $d = 20$ m입니다.

눈높이를 더하면 54.98 m입니다. 오전에 잰 54.97 m와 거의 같고, 도면 55 m와도 맞습니다. A에서 탑 밑까지는 $53.48 \div \tan 56.8° \approx 35.00$ m였습니다.

다만 두 지점 측량은 각의 작은 오차에 더 민감합니다. 두 각을 각각 0.1°씩 나쁜 쪽으로 잘못 읽으면 높이가 54.13–55.87 m까지 흔들립니다. 한 지점에서 거리를 직접 잴 때(54.77–55.16 m)보다 범위가 4배 넘게 넓습니다. $d$가 작아 두 각이 비슷하면 더 나빠집니다. 그래서 측량에서는 두 지점을 충분히 떨어뜨립니다.

1-6. sin² + cos² = 1, 그리고 2000년 전의 표 (4분)

빗변이 $c$, 맞은편이 $a$, 이웃이 $b$인 직각삼각형에서 피타고라스 정리 $a^2 + b^2 = c^2$의 양변을 $c^2$으로 나눕니다.

$\sin^2\theta$는 $(\sin\theta)^2$을 줄여 쓴 것입니다. 그리고 $\tan\theta = \frac{a}{b} = \frac{a/c}{b/c}$이므로

입니다. 셋 가운데 하나만 알면 나머지 둘이 나옵니다. 40°로 확인하면 $0.6428^2 + 0.7660^2 \approx 0.4132 + 0.5868 = 1$입니다.

역사 한 줄. 각을 넣으면 비율이 나오는 표는 아주 오래됐습니다. 기원전 2세기 그리스의 히파르코스가 처음으로 '현(chord)의 표'를 만들었다고 알려져 있고, 2세기 프톨레마이오스는 『알마게스트』에 반지름 60인 원에서 0.5°마다 현의 길이를 적은 표를 실었습니다. 각 $\theta$의 현은 $2R\sin\frac{\theta}{2}$, 곧 sin의 두 배입니다. 그들은 별과 행성의 위치를 계산하려고 이 표를 만들었습니다. 오늘 우리는 같은 일을 계산기의 sin 버튼으로 합니다.

기호 읽는 법

교과서에서는

• 삼각비(sin, cos, tan)와 30°, 45°, 60°의 값, 높이·거리 구하기는 중학교 3학년 '삼각비' 단원에서 처음 배웁니다. 고등학교 '수학 I'(2022 개정 '대수')의 삼각함수는 이 정의를 원 위로 넓혀서 시작합니다(2교시).
• 중학교 교과서는 0°–90°의 '삼각비의 표'를 부록으로 싣고, 표에서 sin 53° 같은 값을 읽게 합니다. 계산기가 하는 일과 같습니다.
• 시험에는 "두 지점에서 잰 올려본각으로 높이 구하기"가 30°·45°·60°로 자주 나옵니다. 예제 1-7처럼 이등변삼각형이 숨어 있는 경우가 많습니다.
• 교과서의 그림은 늘 직각이 오른쪽 아래에 있습니다. 그림을 돌려 놓아도 각의 입장에서 맞은편·이웃을 읽을 수 있어야 합니다.

자주 하는 착각 (2분)

• "sin은 높이 ÷ 빗변이다." 높이는 놓는 방법에 따라 바뀝니다. 기준은 각입니다. 각의 맞은편 ÷ 빗변입니다.
• "sin은 각에 비례한다." $\sin 60°$는 $2\sin 30° = 1$이 아니라 약 0.866입니다. 각을 두 배로 해도 비율은 두 배가 되지 않습니다.
• "경사도 100%는 수직이다." 100%는 $\tan\theta = 1$, 곧 45°입니다.
• "올려본각에서 나온 $x\tan\theta$가 높이다." 눈높이를 더해야 합니다. 각은 눈에서 잽니다.
• "$\sin^2\theta$는 $\sin(\theta^2)$이다." $\sin^2\theta = (\sin\theta)^2$입니다. 각을 제곱하는 것이 아니라 비율을 제곱합니다.

연습 문제 (3분)

1. 빗변이 10이고 한 예각이 30°인 직각삼각형에서, 30°의 맞은편 변과 이웃 변의 길이를 구하세요.
2. 예각 $\theta$에 대하여 $\tan\theta = 0.75$일 때 $\sin\theta$와 $\cos\theta$를 구하세요.
3. 경사도 20%인 도로는 수평과 몇 도를 이루나요? 거꾸로, 수평과 20°를 이루는 도로의 경사도는 몇 %인가요? ($\tan 11.31° \approx 0.2$, $\tan 20° \approx 0.3640$)
4. (서술형) 크기가 다른 두 직각삼각형에서 한 예각의 크기가 같으면 그 각의 sin 값이 같습니다. 그 이유를 닮음을 써서 설명하세요.
5. 펜스가 걷힌 다음 주, 도윤이 1-5절의 관측점 A에서 탑 밑까지 줄자로 재 보니 35 m였습니다. A에서의 올려본각 56.8°($\tan 56.8° \approx 1.5282$)로 높이를 다시 계산하세요. (눈높이 1.5 m, 소수 둘째 자리까지)

풀이

1. 맞은편 $= 10\sin 30° = 10 \times \frac{1}{2} = 5$, 이웃 $= 10\cos 30° = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66$. 답: 5와 $5\sqrt{3}$
2. $\tan\theta = \frac{3}{4}$이므로 맞은편 3, 이웃 4인 삼각형을 그리면 빗변은 5입니다. $\sin\theta = \frac{3}{5} = 0.6$, $\cos\theta = \frac{4}{5} = 0.8$. 답: 0.6, 0.8
3. 경사도 20%는 $\tan\theta = 0.2$이므로 $\theta \approx 11.31°$입니다. 20°의 경사도는 $\tan 20° \times 100 \approx 36.40\%$입니다. 각과 경사도는 비례하지 않습니다(각을 1.77배쯤 하자 경사도는 1.82배). 답: 약 11.31°, 약 36.40%
4. 직각삼각형은 한 각이 90°이므로, 한 예각이 같으면 나머지 예각도 $90°$에서 그 각을 뺀 값으로 같습니다. 세 각이 같으므로 두 삼각형은 닮음(AA 닮음)이고, 닮은 도형은 대응변의 길이의 비가 일정합니다. 큰 삼각형의 변이 작은 삼각형 변의 $k$배라면 맞은편도 빗변도 $k$배이므로, 맞은편 ÷ 빗변은 $\frac{ka}{kc} = \frac{a}{c}$로 같습니다. 그러니 sin 값은 크기가 아니라 각만으로 정해집니다.
5. $35 \times 1.5282 \approx 53.49$ m에 눈높이 1.5 m를 더하면 약 54.99 m입니다. 두 지점 측량으로 구한 54.98 m, 거리 35.00 m와 맞습니다.

퇴근 전, 오 팀장이 보고서를 훑어보고 고개를 끄덕입니다. "55 m 맞네. 다음은 하늘바퀴야. 칸마다 위치 센서를 단대. 바퀴 중심을 기준으로 칸 24개의 좌표를 각도별로 표로 만들어 줘. 오른쪽 옆 칸이 0°, 시계 반대 방향으로 15°씩." 도윤이 노트에 원을 그리고 칸을 찍어 봅니다. 15°, 30°, 45°까지는 오늘 배운 직각삼각형이 바로 보입니다. 그런데 꼭대기를 넘은 105°, 바닥 근처의 255°에서 손이 멈춥니다. "90°가 넘으면… 직각삼각형에 그런 각이 들어갈 수가 없잖아요." 은재 이모가 노트의 원을 톡 칩니다. "그러니까 원으로 가져가 봐." 2교시에서는 반지름 1인 원 위의 점으로 sin과 cos를 다시 정의하고, 90°를 넘는 각과 음의 각까지 다룹니다.