회전을 합치면: 덧셈정리

일곱 번째 토요일입니다. 지난주에 계곡 건너 구름길 두 역 사이를 840 m로 재고 나서, 설계실 화이트보드는 아직 삼각형으로 가득합니다. 오늘은 회의 탁자에 처음 보는 사람이 앉아 있습니다. 목에 큼직한 헤드폰을 건 사람입니다. 오 팀장이 소개합니다. "별빛 축제 조명·음향을 맡은 민지호 감독님. 축제 준비하는 동안 몇 주 같이 일할 거야."

민 감독이 노트북을 돌려 보입니다. 위에서 내려다본 메인 무대 도면입니다. 무대 바닥은 통째로 도는 원판이고, 가운데에 레이저 헤드가 있습니다. 헤드는 무대 위에서 따로 한 번 더 돌 수 있습니다. "지난 축제 때는 감으로 쐈다가 빔이 객석 지붕을 쳤어요. 저는 숫자는 잘 몰라요. 그래도 눈으로 보면 1°만 틀어져도 알아요. 20 m 앞이면 35 cm쯤 벗어나거든요."

도윤이 종이에 그려 봅니다. "30° 더하기 45°면 75°니까, 빔 끝은 (20 cos 75°, 20 sin 75°)예요. 그런데 cos 75°가 얼마예요? 30°랑 45°는 아는데." 은재 이모가 화이트보드에 화살표 두 개를 그립니다. "돌려 봐. 30° 돌린 점을 45° 더 돌리는 규칙만 있으면 75°는 몰라도 돼. 그 규칙이 오늘 배울 전부야."

오늘은 먼저 점 하나를 원점 둘레로 돌리는 규칙을 그림에서 읽어 냅니다. 그 규칙을 두 번 쓰면 덧셈정리가 나옵니다. 교과서에서 가장 외울 것이 많아 보이는 공식들이 사실은 "두 번 돌리기 = 한 번에 더 돌리기"라는 한 문장이라는 것을 확인합니다.

7-1. 축 두 개를 돌리면 점이 돈다 (10분)

이 교시의 좌표는 이렇게 둡니다. 무대 중심이 원점입니다. 무대를 돌리기 전 빔이 가리키는 방향이 $x$축, 거기서 왼쪽으로 직각인 방향이 $y$축입니다(위에서 내려다본 그림). 각은 2교시처럼 시계 반대 방향이 양(+)입니다.

한 점만 돌리기는 어렵지 않습니다. 점 $(1, 0)$을 $\theta$만큼 돌리면 단위원 위의 점 $(\cos\theta, \sin\theta)$가 됩니다. 2교시의 정의 그대로입니다. 그러면 점 $(2, 1)$처럼 축 위에 있지 않은 점은 어떻게 돌릴까요?

은재 이모의 답은 "점을 돌리지 말고 축 두 개를 돌려라"입니다. 점 $(2, 1)$은 "오른쪽으로 2칸, 위로 1칸"이라는 길 안내입니다.

종이 전체를 돌린다고 생각해 봅시다. 길 안내는 그대로 "첫째 축 방향으로 $x$칸, 둘째 축 방향으로 $y$칸"입니다. 바뀌는 것은 두 축의 방향뿐입니다.

• 첫째 축 화살표 $(1, 0)$은 $(\cos\theta, \sin\theta)$로 갑니다.
• 둘째 축 화살표 $(0, 1)$은 첫째 축보다 늘 $90°$ 앞서 있습니다. 화살표 $(a, b)$를 $90°$ 돌리면 $(-b, a)$가 됩니다(직각삼각형을 옆으로 눕혀 보면 가로와 세로가 바뀌고 한쪽 부호가 바뀝니다). 그래서 $(-\sin\theta, \cos\theta)$로 갑니다.

이제 돌아간 축으로 같은 길 안내를 따르면 됩니다.

숫자로 한 번. $P = (2, 1)$을 $\theta = 30°$ 돌립니다. $\cos 30° = \dfrac{\sqrt3}{2} \approx 0.866$, $\sin 30° = \dfrac12$이므로

입니다. 원점에서의 거리는 돌리기 전과 같습니다. $1.232^2 + 1.866^2 \approx 5$이고, 돌리기 전에도 $2^2 + 1^2 = 5$였습니다. 돌리기는 모양과 크기를 바꾸지 않습니다.

아래 실습대에서 청록 화살표는 돌아간 첫째 축 $(\cos\theta, \sin\theta)$, 남색 화살표는 돌아간 둘째 축 $(-\sin\theta, \cos\theta)$입니다. 회색 점선 화살표와 회색 점선 F는 돌리기 전의 축과 도형, 주황으로 칠한 F와 주황 점 $P'$은 돌린 뒤입니다. 원점에서 흐린 청록 화살표($x$배)를 따라간 뒤 흐린 남색 화살표($y$배)를 이어 붙이면 정확히 $P'$에 닿습니다. 오른쪽 표의 세 줄이 그 덧셈입니다. 옅은 주황 격자는 함께 돌아간 모눈입니다.

7-2. 두 번 돌리기는 한 번에 더 돌리기: 덧셈정리 (12분)

이제 민 감독의 무대입니다. 처음 빔 끝은 $(20, 0)$입니다. 무대를 $30°$ 돌리면 빔 끝은 $(20\cos 30°,\ 20\sin 30°) = (10\sqrt3,\ 10) \approx (17.32,\ 10)$으로 갑니다. 이 점을 회전 규칙으로 $45°$ 더 돌립니다. $\cos 45° = \sin 45° = \dfrac{\sqrt2}{2} \approx 0.7071$이므로

입니다. 빔 끝은 약 $(5.18,\ 19.32)$ m입니다. 75°의 삼각비를 한 번도 쓰지 않고 구했습니다.

그런데 $30°$ 돌리고 $45°$ 더 돌린 것은 한 번에 $75°$ 돌린 것과 같습니다. 그러니 빔 끝은 $(20\cos 75°,\ 20\sin 75°)$이기도 합니다. 두 답을 맞대면 덤으로 $\cos 75° \approx 5.176 \div 20 \approx 0.2588$, $\sin 75° \approx 19.319 \div 20 \approx 0.9659$를 얻습니다.

일반 각으로. 같은 일을 $\alpha$, $\beta$로 합니다. 점 $(1, 0)$을 $\alpha$만큼 돌리면 $(\cos\alpha, \sin\alpha)$입니다. 이 점을 회전 규칙($x = \cos\alpha$, $y = \sin\alpha$, $\theta = \beta$)으로 $\beta$만큼 더 돌립니다.

한편 두 번 돌린 결과는 한 번에 $\alpha + \beta$만큼 돌린 점 $(\cos(\alpha+\beta),\ \sin(\alpha+\beta))$와 같습니다. 가로는 가로끼리, 세로는 세로끼리 같아야 합니다.

이것이 삼각함수의 덧셈정리(addition formula)입니다. 새로 외운 사실은 하나도 없습니다. "두 번 돌리기 = 한 번에 더 돌리기"를 회전 규칙으로 적었을 뿐입니다.

아래 실습대는 위와 같은 실습대를 '두 번 돌리기' 보기로 띄운 것입니다. 점 P는 $(2, 0)$에 있고, 한 칸을 10 m로 보면 처음 빔 끝 $(20, 0)$입니다. 주황 호는 첫 번째 회전 $\alpha$, 보라 호는 두 번째 회전 $\beta$입니다. 회색 점선 원은 처음부터 한 번에 $\alpha + \beta$만큼 돌린 자리입니다. 흐린 주황 원 $P_1$은 첫 번째 회전이 끝난 자리입니다.

7-3. 그림으로 한 번 더: 직사각형 속 두 삼각형 (6분)

많은 책은 덧셈정리를 회전 규칙 없이 그림 한 장으로도 보입니다. 직사각형 안에 직각삼각형 두 개를 쌓는 그림입니다. 회전으로 얻은 식이 이 그림에서도 똑같이 나오는지 봅시다.

아래 실습대의 주황 선분 OB는 길이 1이고, 가로축과 $\alpha + \beta$를 이룹니다. 우리가 원하는 것은 B의 높이 $\sin(\alpha+\beta)$와 가로 $\cos(\alpha+\beta)$입니다. 남색 굵은 선은 높이 쪽 조각, 청록 굵은 선은 가로 쪽 조각입니다. 회색 점선은 단위원과 직사각형입니다. 오른쪽 '다음'을 누를 때마다 한 단계씩 쌓이고, 표에 조각의 길이가 채워집니다.

1. O의 각이 $\beta$이고 A가 직각인 삼각형 OAB를 세웁니다. 빗변이 1이므로 $\text{OA} = \cos\beta$, $\text{AB} = \sin\beta$입니다.
2. OA는 가로축과 $\alpha$를 이룹니다. 빗변 $\cos\beta$인 아래 삼각형에서 밑변 $\cos\alpha\cos\beta$, 높이 $\sin\alpha\cos\beta$입니다.
3. A에서 위로 그은 세로선과 AB 사이의 각도 $\alpha$입니다. OA와 AB가 직각이기 때문입니다.
4. 빗변 $\sin\beta$인 위 삼각형에서 세로 $\cos\alpha\sin\beta$, 가로 $\sin\alpha\sin\beta$입니다.
5. 높이는 두 조각을 쌓은 것, 가로는 긴 조각에서 짧은 조각을 뺀 것입니다.

그림에서 덧셈정리의 모양이 왜 그런지가 보입니다. $\sin(\alpha+\beta)$는 높이 두 조각의 합이고, $\cos(\alpha+\beta)$는 가로 두 조각의 차입니다. 각을 더할수록 B는 위로 올라가고 왼쪽으로 물러나기 때문입니다. 그리고 조각마다 삼각비가 두 개씩 곱해져 있습니다. 빗변이 1이 아닌 삼각형의 변을 구하느라 빗변 길이($\cos\beta$ 또는 $\sin\beta$)를 한 번 더 곱했기 때문입니다.

7-4. 빼기와 탄젠트 (7분)

빼기는 반대로 돌리기입니다. $\alpha - \beta = \alpha + (-\beta)$입니다. $-\beta$만큼 돌린 점은 $\beta$만큼 돌린 점을 $x$축에 대해 뒤집은 자리라서 $\cos(-\beta) = \cos\beta$, $\sin(-\beta) = -\sin\beta$입니다. 덧셈정리에 넣으면 $\sin\beta$가 들어간 항의 부호만 바뀝니다.

탄젠트. $\tan = \dfrac{\sin}{\cos}$이므로 덧셈정리 두 줄을 나눕니다. 분자와 분모를 모두 $\cos\alpha\cos\beta$로 나누면 탄젠트만 남습니다.

탄젠트는 기울기입니다(1교시). 그러니 이 식은 "기울기가 $m_1$, $m_2$인 두 직선의 각을 더하면 기울기가 얼마인가"에 답합니다. 예를 들어 기울기 $\dfrac12$인 직선과 기울기 $\dfrac13$인 직선의 각을 더하면

로 기울기 1, 곧 정확히 $45°$입니다. 각을 하나도 재지 않고 알아냈습니다. 분모가 0이 되면($\tan\alpha\tan\beta = 1$) 두 각의 합이 $90°$라 기울기가 없다는(세로선) 뜻입니다.

7-5. 같은 각을 두 번: 배각과 반각 (7분)

덧셈정리에 $\beta = \alpha$를 넣으면 "같은 각을 두 번 돌리기"가 됩니다. 이것이 배각 공식입니다.

$\cos 2\alpha$의 세 가지 꼴은 따로 외울 것이 아닙니다. $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$(1교시)로 $\sin^2$이나 $\cos^2$ 하나를 지운 것입니다.

숫자로 한 번. $\alpha$가 예각이고 $\sin\alpha = \dfrac35$이면 $\cos\alpha = \dfrac45$입니다(3 : 4 : 5 직각삼각형). $\sin 2\alpha = 2 \times \dfrac35 \times \dfrac45 = \dfrac{24}{25} = 0.96$, $\cos 2\alpha = \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25} = \dfrac{7}{25} = 0.28$입니다.

반각 공식. $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$을 거꾸로 풀면 제곱을 없애는 식이 됩니다.

$\alpha$ 자리에 $\dfrac{\alpha}{2}$를 넣으면 반각의 값을 구하는 식입니다. 그래프로 읽으면 더 분명합니다. $\cos^2 x$는 0과 1 사이를 오가는 파동입니다. 가운데 높이가 $\dfrac12$이고, $\cos x$가 한 번 출렁이는 동안 두 번 출렁입니다. 그래서 "높이 $\dfrac12$ + 진폭 $\dfrac12$인 $\cos 2x$"입니다. 이 꼴은 10교시와 적분에서 제곱을 없앨 때 다시 씁니다.

외울 것과 꺼낼 것. 오늘 진짜로 외울 것은 회전 규칙 하나, 아니 그것도 "축 두 개를 돌린다"는 그림 하나입니다. 덧셈정리는 그 규칙을 두 번 쓴 것, 빼기는 반대로 돌린 것, 탄젠트는 나눈 것, 배각은 같은 각을 넣은 것, 반각은 배각을 거꾸로 푼 것입니다.

기호 읽는 법

교과서에서는

• 덧셈정리와 배각 공식은 2015 개정 '미적분'(2022 개정 '미적분 II')의 "삼각함수의 덧셈정리"에서 배웁니다. 삼각함수를 미분하기 위한 준비로 나옵니다.
• 교과서는 보통 단위원 위의 두 점 사이 거리로 $\cos(\alpha - \beta)$를 먼저 증명하고, 나머지 공식을 거기서 끌어냅니다. 이 교시의 출발점인 "점을 돌리는 규칙(회전변환)"은 지금 교과서 밖의 이야기입니다. 그래도 덧셈정리가 왜 그런 모양인지 가장 짧게 보여 줍니다.
• 시험에는 $\sin 75°$, $\cos 105°$, $\tan 15°$ 같은 값 구하기, 그리고 "$\sin\alpha = \dfrac35$일 때 $\sin 2\alpha$" 같은 배각 문제가 자주 나옵니다.

공대와 물리에서는 회전 규칙의 네 수를 네모 칸에 모아 회전 행렬(rotation matrix)이라고 부릅니다. 이 교시에서는 이름만 알아 둡니다.

왼쪽 세로 줄은 청록 화살표 $(\cos\theta, \sin\theta)$, 오른쪽 세로 줄은 남색 화살표 $(-\sin\theta, \cos\theta)$입니다. 실습대의 두 화살표가 그대로 들어 있습니다.

자주 하는 착각 (3분)

• "$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha + \sin\beta$이다." 각을 더한다고 높이가 더해지지 않습니다. $\sin 30° + \sin 45° \approx 1.207$은 1을 넘으니 불가능합니다.
• "cos 덧셈정리도 가운데가 더하기다." $\cos(\alpha+\beta)$는 빼기, $\cos(\alpha-\beta)$가 더하기입니다. $\alpha = \beta = 45°$를 넣어 $\cos 90° = 0$이 나오는지로 확인합니다.
• "$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha$이다." 각을 두 배로 해도 높이는 두 배가 되지 않습니다. $\sin 60° \approx 0.866$이지만 $2\sin 30° = 1$입니다.
• "$\cos^2\alpha$는 $\cos(\alpha^2)$이다." $\cos^2\alpha$는 $(\cos\alpha)^2$입니다.
• "반각 공식에서 근호를 씌우면 끝이다." $\pm$ 중 어느 쪽인지는 그 각이 어느 사분면에 있는지 원에서 보고 정합니다.

연습 문제 (5분)

1. $105° = 60° + 45°$를 이용해 $\sin 105°$와 $\cos 105°$의 값을 근호로 구하세요.
2. 점 $(4, 2)$를 원점 둘레로 $90°$ 돌린 점과 $-90°$ 돌린 점을 구하세요.
3. $\alpha$, $\beta$가 예각이고 $\sin\alpha = \dfrac35$, $\cos\beta = \dfrac{5}{13}$일 때 $\sin(\alpha+\beta)$와 $\cos(\alpha+\beta)$를 구하세요. $\alpha + \beta$는 $90°$보다 클까요, 작을까요?
4. (서술형) 기울기가 $\dfrac12$인 직선과 $\dfrac13$인 직선이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 $\alpha$, $\beta$라 할 때 $\alpha + \beta = 45°$임을 보이세요.
5. 민 감독의 셋째 곡: 빔(길이 20 m)을 어떤 각 $\theta$만큼 돌렸더니 빔 끝이 $(16, 12)$에 닿았습니다. 같은 각만큼 한 번 더 돌리면 빔 끝은 어디일까요? 회전 규칙과 배각 공식 두 가지로 구해 맞는지 확인하세요.

풀이

1. $\sin 105° = \sin 60°\cos 45° + \cos 60°\sin 45° = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0.9659$. $\cos 105° = \cos 60°\cos 45° - \sin 60°\sin 45° = \dfrac{\sqrt2 - \sqrt6}{4} \approx -0.2588$. $105°$는 2사분면이라 cos가 음수인 것이 맞습니다. 답: $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$, $\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$
2. $90°$ 돌리기는 $(a, b) \to (-b, a)$이므로 $(-2, 4)$. $-90°$ 돌리기는 $\cos(-90°) = 0$, $\sin(-90°) = -1$을 넣어 $(a, b) \to (b, -a)$, 곧 $(2, -4)$입니다. 답: $(-2, 4)$, $(2, -4)$
3. 예각이므로 $\cos\alpha = \dfrac45$, $\sin\beta = \dfrac{12}{13}$입니다. $\sin(\alpha+\beta) = \dfrac35\cdot\dfrac{5}{13} + \dfrac45\cdot\dfrac{12}{13} = \dfrac{15 + 48}{65} = \dfrac{63}{65}$, $\cos(\alpha+\beta) = \dfrac45\cdot\dfrac{5}{13} - \dfrac35\cdot\dfrac{12}{13} = \dfrac{20 - 36}{65} = -\dfrac{16}{65}$. cos가 음수이니 $\alpha + \beta$는 $90°$보다 큽니다(약 $104.25°$). 답: $\dfrac{63}{65}$, $-\dfrac{16}{65}$, $90°$보다 크다
4. $\tan\alpha = \dfrac12$, $\tan\beta = \dfrac13$입니다. 탄젠트 덧셈정리로 $\tan(\alpha+\beta) = \dfrac{\frac12 + \frac13}{1 - \frac16} = \dfrac{\frac56}{\frac56} = 1$입니다. 두 기울기가 모두 양수이고 1보다 작으므로 $\alpha$, $\beta$는 모두 $0°$와 $45°$ 사이이고, $\alpha + \beta$는 $0°$와 $90°$ 사이입니다. 그 범위에서 탄젠트가 1인 각은 $45°$ 하나뿐이므로 $\alpha + \beta = 45°$입니다.
5. 빔 끝이 $(16, 12) = 20(0.8,\ 0.6)$이므로 $\cos\theta = 0.8$, $\sin\theta = 0.6$입니다. 회전 규칙: $(16 \times 0.8 - 12 \times 0.6,\ 16 \times 0.6 + 12 \times 0.8) = (12.8 - 7.2,\ 9.6 + 9.6) = (5.6,\ 19.2)$. 배각 공식: $\cos 2\theta = 0.8^2 - 0.6^2 = 0.28$, $\sin 2\theta = 2 \times 0.6 \times 0.8 = 0.96$이므로 $(20 \times 0.28,\ 20 \times 0.96) = (5.6,\ 19.2)$. 두 방법이 같습니다. 답: $(5.6,\ 19.2)$ m

오후에 민 감독이 무대 바닥에 테이프로 안개 기둥 자리를 표시합니다. 무대 중심에서 앞으로 5.18 m, 왼쪽으로 19.32 m. 리허설에서 빔이 기둥 한가운데를 뚫고 지나가자 민 감독이 박수를 칩니다. "이게 계산으로 되는 거였네요."

돌아가던 민 감독이 문 앞에서 멈춥니다. "아, 다음 주엔 소리 차례예요. 메인 스피커 두 대를 같이 틀면 '웅–웅–웅' 하고 소리가 울렁거려요. 두 대 다 '라' 음(440 Hz)으로 맞춰 놨다는데요. 그리고 조명 콘솔에서 밝기 출렁임 채널 두 개를 섞으면 100%를 넘을까 봐 무서워요." 은재 이모가 고개를 끄덕입니다. "둘 다 파동 두 개를 더하는 문제네." 8교시에서는 사인 파동 두 개를 더합니다. 박자가 같으면 화살표 두 개를 더하는 문제가 되고, 박자가 조금 다르면 '웅웅'거리는 맥놀이가 됩니다.