회전의 속도: 삼각함수의 미분과 진동

열 번째 토요일 아침, 파도배 앞입니다. 배 모양의 놀이기구가 회전축에 매달려 앞뒤로 크게 흔들립니다. 오늘은 손님을 태우지 않고 점검만 합니다. 도윤이 초시계를 들고 배가 끝에 닿을 때마다 누릅니다. "8.3초쯤이요. 도면이랑 비슷해요."

오 팀장이 점검표를 내밉니다. "비슷한 건 안 돼. 계산으로 맞춰 봐. 그리고 가장 빠른 데 속력도." 도윤이 은재 이모를 봅니다. "이건 도는 게 아니라 왔다 갔다 하는 거잖아요. 삼각함수랑 무슨 상관이에요?"

은재 이모가 바닥에 원을 하나 그립니다. "돌려 봐. 원을 일정하게 도는 점을 옆에서 보면 그림자가 어떻게 움직여?" 도윤이 손가락으로 원을 따라 돌려 봅니다. 그림자는 한쪽 끝에서 멈칫했다가 가운데에서 가장 빨리 지나가고, 반대쪽 끝에서 다시 멈칫합니다. "파도배랑 똑같네요."

오늘은 도는 점의 속도를 봅니다. 그 속도에서 삼각함수의 미분 공식이 나오고, 그 공식이 흔들리는 모든 것(용수철, 진자, 파도배)의 식이 됩니다. 미분은 「롤러코스터 설계실의 미분」에서 배운 "아주 조금 움직이면 얼마나 변하나"를 그대로 씁니다. 필요한 사실은 그 자리에서 다시 짚습니다.

10-1. 도는 점의 속도: sin과 cos의 미분 (10분)

반지름 1인 원 위의 점 $P = (\cos\theta, \sin\theta)$를 생각합니다. 각 $\theta$(라디안)가 1초에 1씩 커진다고 합시다. 3교시에서 본 대로 라디안은 호의 길이이므로, P는 1초에 호의 길이 1만큼, 곧 속력 1로 원을 돕니다.

원을 도는 점은 언제나 반지름에 수직인 방향(접선 방향)으로 움직입니다. 반지름 방향 $(\cos\theta, \sin\theta)$를 시계 반대 방향으로 90° 돌리면 됩니다. 7교시에서 본 대로 점 $(x, y)$를 90° 돌리면 $(-y, x)$이므로

입니다. 속도의 가로 성분은 가로 위치 $\cos\theta$가 변하는 빠르기이고, 세로 성분은 높이 $\sin\theta$가 변하는 빠르기입니다. 그러니

입니다. 미분 강의에서도 같은 그림으로 이 공식을 얻었습니다(미분 6교시). 외울 필요가 없습니다. 원을 그리고 "속도는 반지름을 90° 돌린 것"만 떠올리면 다시 꺼낼 수 있습니다.

확인. $\theta = 0$에서 P는 오른쪽 끝 $(1, 0)$에 있고 똑바로 위로 움직입니다. 높이의 변화율 $\cos 0 = 1$이 가장 크고, 가로의 변화율 $-\sin 0 = 0$입니다. $\theta = \frac{\pi}{2}$(꼭대기)에서는 왼쪽으로 움직이니 높이의 변화율은 $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, 가로의 변화율은 $-1$입니다.

라디안이어야 하는 이유. 속력이 1이 된 것은 각을 호의 길이로 쟀기 때문입니다. 각을 도로 재면 1°에 호의 길이 $\frac{\pi}{180}$만 움직이므로 모든 공식에 $\frac{\pi}{180} \approx 0.01745$가 붙습니다.

빨리 도는 점. 점이 1초에 $\omega$ 라디안씩 돌면(각속도 $\omega$, 3교시) 속도도 $\omega$배입니다. 미분으로는 연쇄법칙입니다.

예를 들어 하늘바퀴 칸의 높이 $h(t) = 32 - 30\cos\frac{\pi t}{6}$(m, $t$는 분)를 미분하면 $h'(t) = 30 \cdot \frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi t}{6} = 5\pi\sin\frac{\pi t}{6}$이고, 가장 빠를 때 $5\pi \approx 15.71$ m/분입니다. 3교시의 칸 속력 $v = r\omega = 30 \times \frac{\pi}{6}$와 같은 수입니다.

아래 실습대의 왼쪽은 반지름 1인 원입니다. 주황 점이 P, 청록 선분이 $\cos\theta$(가로), 남색 선분이 $\sin\theta$(세로), 주황 화살표가 P의 속도, 주황 점선 화살표가 속도의 가로·세로 성분입니다. 오른쪽 위 그래프는 $\sin\theta$(남색)와 그 변화율(주황, 지나온 만큼 그려짐), 아래 그래프는 $\cos\theta$(청록)와 그 변화율입니다. 회색 점선은 참값 $\cos\theta$와 $-\sin\theta$입니다. 곡선 위의 주황 짧은 선은 그 점의 접선입니다.

10-2. 미분할 때마다 90° 돈다 (8분)

속도는 반지름을 90° 돌린 것이었습니다. 그러면 속도의 속도(가속도)는 속도를 또 90° 돌린 것, 곧 반지름을 180° 돌린 $(-\cos\theta, -\sin\theta)$입니다. 늘 원의 중심을 향합니다.

미분을 거듭하면 sin과 cos이 차례로 돌아갑니다.

네 번 미분하면 제자리입니다. 네 번 90° 돌리면 한 바퀴이기 때문입니다. 그래프로 보면 미분 한 번은 곡선을 왼쪽으로 $\frac{\pi}{2}$ 미는 것입니다. $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$이니까요(4교시). 그래서

입니다($n$번 미분). 가장 중요한 것은 두 번 미분한 결과입니다.

두 번 미분하면 −1배. 빠르기 $\omega$로 돌면 두 번 미분할 때 $\omega$가 두 번 곱해집니다. $y = A\cos\omega t$이면

입니다. 거꾸로 읽으면 더 쓸모가 있습니다. 가속도가 위치에 비례하고 방향이 반대인(늘 가운데로 끌려가는) 움직임은, 원을 도는 점의 그림자처럼 사인 곡선을 따라 움직입니다. 이런 움직임을 단진동(simple harmonic motion) 이라고 합니다. 주기는 원 한 바퀴 시간 $\frac{2\pi}{\omega}$입니다.

아래 실습대는 위와 같은 실습대에서 '가속도(두 번 미분) 보기'를 켠 것입니다. 보라 화살표가 가속도입니다.

10-3. y″ = −ω²y: 용수철과 진자 (10분)

용수철. 용수철에 매단 추를 $x$만큼 당기면 용수철은 $-kx$의 힘으로 되돌립니다($k$는 용수철 상수, 단위 N/m). 힘 = 질량 × 가속도($F = ma$)이므로

입니다. $y'' = -\omega^2 y$ 꼴이니 단진동이고, $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$, 주기는 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$입니다. 질량 2 kg인 추를 $k = 50$ N/m인 용수철에 달면 $\omega = \sqrt{25} = 5$ rad/s, $T = \frac{2\pi}{5} \approx 1.26$초입니다. 얼마나 크게 당겼는지는 주기에 들어 있지 않습니다.

진자. 길이 $L$인 줄에 매달린 추가 수직에서 $\theta$(라디안)만큼 기울었습니다. 추가 움직인 호의 길이는 $L\theta$입니다. 중력 $mg$를 줄 방향과 호 방향으로 나누면, 호를 따라 되돌리는 성분은 $mg\sin\theta$입니다(기울기 $\theta$인 비탈에서 미끄러지게 하는 성분과 같은 그림). 그러므로

입니다. 아깝게도 $y'' = -\omega^2 y$ 꼴이 아닙니다. 오른쪽이 $\theta$가 아니라 $\sin\theta$입니다. 여기서 3교시의 작은 각 근사 $\sin\theta \approx \theta$(라디안)를 씁니다.

파도배에 넣기. $L = 15$ m, $g = 9.8$ m/s²이면

입니다. (파도배를 무게가 배 중심에 모인 진자로 본 첫 어림입니다.) 질량도, 흔들림의 크기도 식에 없습니다. 작은 각에서는 크게 흔들어도 작게 흔들어도 주기가 같습니다. 진자의 이 성질은 갈릴레이가 처음 주목했다고 알려져 있습니다.

그런데 도면은 약 8.3초이고 도윤이 잰 값도 그쯤입니다. 0.5초 넘게 차이가 납니다. 60°는 "작은 각"이 아니기 때문입니다. 다음 절에서 이 차이를 봅니다.

10-4. 큰 각에서는 느려진다: 파도배 점검 (8분)

60°는 $\frac{\pi}{3} \approx 1.0472$ 라디안이고, $\sin 60° \approx 0.8660$입니다. 실제로 배를 되돌리는 힘($\sin\theta$에 비례)은 단진동 모형($\theta$에 비례)의 $\frac{0.8660}{1.0472} \approx 0.83$배, 곧 17%쯤 약합니다. 끝으로 갈수록 덜 세게 끌려오니 돌아오는 데 시간이 더 걸립니다. 그래서 큰 각에서는 주기가 길어집니다.

정확한 주기는 교과서 밖의 적분(타원 적분)으로 구합니다. 숫자로 계산하면 이렇습니다($L = 15$ m).

60°에서 약 8.34초입니다. 도면의 "약 8.3초"가 맞습니다. 계산기로 할 수 있는 어림식 $T \approx 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\left(1 + \frac{\theta_0^2}{16}\right)$($\theta_0$은 라디안)을 쓰면 $7.77 \times 1.0685 \approx 8.31$초로 꽤 가깝습니다.

가장 빠른 곳. 배는 끝에서 한순간 멈추고, 가장 낮은 곳(한가운데)을 지날 때 가장 빠릅니다. 원을 도는 점의 그림자가 가운데에서 가장 빠른 것과 같습니다. 속력은 높이에서 나옵니다. 60°에서 가장 낮은 곳까지 배 중심이 내려오는 높이는

입니다. 높이 $h$를 내려온 물체의 속력은 $\sqrt{2gh}$입니다(에너지 보존). 미분 강의에서 혜성이 첫 낙하 44.1 m를 내려와 29.4 m/s가 된 것도 $\sqrt{2 \times 9.8 \times 44.1} = 29.4$로 같은 계산입니다. 그러므로

입니다. 시속으로 약 43.6 km입니다. 단진동 모형으로 계산하면(가장 빠른 각속도 $\omega\theta_0$에 $L$을 곱해) $\theta_0\sqrt{gL} \approx 12.70$ m/s로 조금 크게 나옵니다. 모형이 되돌리는 힘을 크게 잡았기 때문입니다.

아래 실습대는 같은 파도배를 두 개 나란히 흔듭니다. 왼쪽 남색 배가 실제 진자($\theta'' = -\frac{g}{L}\sin\theta$), 오른쪽 청록 배가 단진동 모형($\theta'' = -\frac{g}{L}\theta$)입니다. 주황 화살표는 배의 속도입니다. 아래 그래프는 두 배의 각(도)을 0–30초 동안 그린 것이고, 옅은 선은 앞으로 그릴 모양, 그래프 위·아래 가장자리의 짧은 눈금은 한 번 왕복을 마친 때(위 청록 = 모형, 아래 남색 = 실제)입니다. 오른쪽에서 최대 각 $\theta_0$과 빠르기(1배·3배)를 바꿉니다.

10-5. 사인을 다항식으로: 테일러 다항식 (8분)

3교시에서 0 근처에서는 $\sin x \approx x$였습니다. 그래프로 보면 $y = x$는 $x = 0$에서 사인 곡선과 높이와 기울기가 같은 직선입니다. 그러면 휘는 정도(두 번 미분), 휘는 정도의 변화(세 번 미분)까지 맞추면 더 오래 붙어 가지 않을까요?

$\sin x$를 $x = 0$에서 거듭 미분한 값은 10-2절의 돌아가기 덕분에 쉽게 나옵니다.

다항식 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots$을 $n$번 미분해서 $x = 0$을 넣으면 $n! \times a_n$만 남습니다($n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$). 그러니 $n$번 미분한 값을 맞추려면 $a_n = \dfrac{(n\text{번 미분한 값})}{n!}$로 두면 됩니다. 이렇게 만든 다항식을 테일러 다항식(Taylor polynomial) 이라고 합니다.

$3! = 6$, $5! = 120$, $7! = 5040$입니다. 숫자로 확인해 봅시다.

항을 하나 더할 때마다 맞는 자리가 늘어납니다. 아래 실습대의 남색 곡선이 $\sin x$(칩으로 청록 $\cos x$), 주황이 지금의 테일러 다항식, 회색 점선이 바로 앞 단계의 다항식입니다. 옅은 주황 띠는 차이가 0.01보다 작은 구간입니다. 오른쪽 아래 $x$ 슬라이더로 고른 점에서 다항식 값과 참값, 그리고 항의 개수별 값이 표로 나옵니다.

항을 끝없이 더하면 모든 $x$에서 $\sin x$와 같아집니다. 이 끝없는 합을 테일러 급수라고 합니다. 컴퓨터는 이와 비슷한 다항식으로 사인값을 빠르게 계산합니다.

다음 교시의 준비. 미분해도 자기 자신인 $e^x$는 $x = 0$에서 몇 번을 미분해도 1이므로 $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$입니다. 같은 $\frac{1}{n!}$이 sin(홀수 차수)과 cos(짝수 차수)에 나뉘어 들어 있고, 부호만 번갈아 바뀝니다. 11교시에서 이 둘을 하나로 잇습니다.

기호 읽는 법

교과서에서는

• (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x는 2015 개정 '미적분', 2022 개정 '미적분 II'의 "여러 가지 함수의 미분"에서 배웁니다. 교과서는 덧셈정리와 lim (sin x)/x = 1로 증명합니다. 이 교시는 원을 도는 점의 속도로 보였습니다. 같은 결과입니다.
• 시험에는 삼각함수의 미분과 연쇄법칙, 접선의 기울기, 극한 lim (sin x)/x = 1이 자주 나옵니다. 각은 늘 라디안입니다.
• 단진동과 진자의 주기 2π√(L/g)는 물리 교과에서 다룹니다. 큰 각의 주기(타원 적분)와 테일러 다항식은 교과서 밖, 대학 미적분의 내용입니다.

자주 하는 착각 (2분)

• "$(\cos x)' = \sin x$이다." 부호가 빠졌습니다. 오른쪽 끝에서 위로 움직이는 점은 가로 위치가 줄어들기 시작하니 $-\sin x$입니다.
• "도 단위로 넣어도 미분 공식이 그대로 맞는다." 라디안일 때만 맞습니다. 도에서는 $\frac{\pi}{180}$이 붙습니다. 테일러 다항식도 마찬가지입니다.
• "진자의 주기는 흔들림의 크기와 상관없다." 작은 각에서만 그렇습니다. 파도배처럼 60°면 7.3% 길어집니다.
• "가장 빠른 곳은 끝이다." 끝에서는 속력이 0이고 가속도가 가장 큽니다. 가장 빠른 곳은 가장 낮은 한가운데입니다.

연습 문제 (4분)

1. $y = 2\sin 3t + \cos t$일 때 $y'(0)$을 구하세요.
2. $\sin x$를 7번 미분한 함수를 구하세요.
3. 질량 0.5 kg인 추를 용수철 상수 200 N/m인 용수철에 달았습니다. 진동의 각속도 $\omega$와 주기를 구하세요. (주기는 소수 둘째 자리까지)
4. (서술형) 진자를 크게 흔들면 작은 각 근사로 구한 주기보다 실제 주기가 길어집니다. $\sin\theta$와 $\theta$를 비교해 그 이유를 설명하세요.
5. 오 팀장이 묻습니다. "어린이 시간에는 파도배를 45°까지만 흔들어. 그때 가장 빠른 속력은? 주기는 위 표에서 읽어 줘." ($L = 15$ m, $g = 9.8$ m/s², 속력은 소수 둘째 자리까지)

풀이

1. $y' = 6\cos 3t - \sin t$이므로 $y'(0) = 6 - 0 = 6$입니다. 답: 6
2. 미분 한 번이 90° 돌리기이고 네 번이면 제자리입니다. 7번은 3번과 같으므로 $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos$, 곧 $-\cos x$입니다. 식으로는 $\sin\left(x + \frac{7\pi}{2}\right) = -\cos x$입니다. 답: $-\cos x$
3. $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0.5}} = \sqrt{400} = 20$ rad/s이고, $T = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10} \approx 0.31$초입니다. 답: $\omega = 20$ rad/s, 약 0.31초
4. 진자를 되돌리는 힘은 $\sin\theta$에 비례하는데, 단진동 모형은 이것을 $\theta$로 바꿔 썼습니다. 단위원에서 각 $\theta$의 호의 길이는 $\theta$이고 높이는 $\sin\theta$이며, 높이는 늘 호보다 짧습니다($\theta > 0$일 때 $\sin\theta < \theta$). 각이 클수록 그 차이가 커집니다(60°에서 약 17%). 실제 진자는 끝 쪽에서 모형보다 약하게 끌려오니 천천히 돌아오고, 한 번 왕복하는 시간이 길어집니다.
5. 내려오는 높이는 $15(1 - \cos 45°) \approx 15 \times 0.2929 \approx 4.39$ m이고, 속력은 $\sqrt{2 \times 9.8 \times 4.39} \approx 9.28$ m/s입니다. 표에서 45°의 주기는 약 8.08초입니다. 답: 약 9.28 m/s, 약 8.08초

점검표가 채워졌습니다. 가장 빠른 곳은 한가운데, 12.12 m/s. 주기 8.34초, 도면과 맞음. 오 팀장이 고개를 끄덕이고 다음 서류를 꺼냅니다. "다음 토요일은 회오리야. 지난주에 꽃잎 그린 거, 컵 자리 위치를 식 하나로 쓰고 싶어. x, y 두 줄 말고 한 줄로. 그리고 전기팀이 놀이기구 전기(교류 220 V, 60 Hz)를 화살표로 계산한다는데, 왜 그러는지도 알아 와." 도윤은 오늘 노트의 마지막 줄을 봅니다. sin과 cos의 테일러 급수를 합치면 eˣ의 급수와 거의 같은데, 부호만 번갈아 다릅니다. 은재 이모가 그 줄 옆에 i라고 적습니다. "회전을 곱셈으로 만드는 수야." 11교시에서는 복소수와 오일러 공식 e^(iθ) = cos θ + i sin θ를 만납니다.