삼각형을 벗어나 원으로: 단위원과 일반각

두 번째 토요일입니다. 도윤은 일주일 동안 기준표를 반쯤 채워 왔습니다. 하늘바퀴는 지름 60 m, 반지름 30 m이고 중심이 땅에서 32 m 높이에 있습니다. 0°에서 90°까지는 지난주처럼 직각삼각형을 그리면 됐습니다. 30° 자리는 빗변 30, 각 30°인 삼각형이니 가로 30 cos 30°, 세로 30 sin 30°입니다.

"그런데 105°부터 막혀요." 도윤이 노트를 내밉니다. 꼭대기를 넘어간 칸에 선을 그어 봐도 직각삼각형의 예각으로 105°를 넣을 수는 없습니다. 바닥 쪽 −90°는 더 이상합니다. "삼각형도 없는데 sin 105°가 뭐예요? 계산기는 0.9659라고 하는데."

은재 이모가 노트의 원에 반지름 1짜리 작은 원을 겹쳐 그립니다. "원으로 가져가 봐. 빗변을 반지름 1로 두면 sin은 그 점의 높이고, cos는 그 점의 가로 위치야. 삼각형은 버리고 점만 남겨. 그러면 그 점은 원을 따라 어디든 갈 수 있지." 이모가 연필 끝으로 원을 따라 한 바퀴를 그립니다. "돌려 봐."

오늘은 sin과 cos를 '원 위의 점의 좌표'로 다시 정의합니다. 그러면 90°를 넘는 각도, 음의 각도, 여러 바퀴 도는 각도 모두 값을 갖습니다. 사분면마다 부호가 어떻게 바뀌는지, 대칭으로 값을 읽는 법, tan이 왜 '탄젠트(접선)'인지를 보고, 마지막에 하늘바퀴의 기준표를 완성합니다.

2-1. 반지름 1인 원 위의 점 (9분)

원점을 중심으로 반지름이 1인 원을 단위원이라고 합니다. $x$축의 양의 방향에서 시작해 시계 반대 방향으로 $\theta$만큼 돌린 반지름이 단위원과 만나는 점을 P라고 합시다.

$\theta$가 예각이면 P에서 $x$축에 수선을 내려 직각삼각형을 만들 수 있습니다. 빗변이 반지름 1이므로 1교시의 정의가 그대로 좌표가 됩니다.

이제 순서를 뒤집어 이것을 정의로 삼습니다.

각이 몇 도이든 P는 원 위 어딘가에 있으니 좌표가 있습니다. 그 $x$좌표를 $\cos\theta$, $y$좌표를 $\sin\theta$라고 부르는 것입니다. 예각에서는 1교시의 삼각비와 같은 값이고, 그 밖의 각에서는 삼각형 없이도 값이 생깁니다. 이렇게 넓힌 sin, cos를 삼각함수라고 부릅니다.

축 위의 네 점은 바로 읽힙니다. $\theta = 0°$이면 P = (1, 0)이므로 $\cos 0° = 1$, $\sin 0° = 0$입니다. $90°$이면 (0, 1), $180°$이면 (−1, 0), $270°$이면 (0, −1)입니다. 예를 들어 $\cos 180° = -1$, $\sin 270° = -1$입니다.

반지름이 $r$인 원이면 모든 길이가 $r$배이므로 점은 $(r\cos\theta, r\sin\theta)$입니다. 하늘바퀴는 $r = 30$입니다.

아래 실습대는 단위원입니다. 두 축의 눈금 간격이 같아서 원이 둥글게 보입니다. 주황 점 P를 원을 따라 끌 수 있습니다(키보드 화살표는 5°씩, Shift를 누르면 1°씩). 청록 선분이 $\cos\theta$(가로), 남색 선분이 $\sin\theta$(세로)이고, 지금 P가 있는 사분면은 옅은 주황으로 칠해집니다. 원점의 주황 나선은 지금까지 돈 각입니다. 0°를 지나 계속 끌면 나선이 한 바퀴 더 감깁니다. '재생'은 1초에 60°씩 두 바퀴를 돌고, '도는 방향' 칩으로 시계 방향(−)도 고를 수 있습니다. 조작판의 부호표에서는 지금 사분면의 열이 칠해집니다.

실습대에서 P가 원을 돌 때 청록 선분과 남색 선분의 길이는 1을 넘지 않습니다. P가 반지름 1인 원 위에 있으니 당연합니다. 그래서 모든 각에서

입니다. 그리고 P가 원 위에 있다는 말은 $x^2 + y^2 = 1$이라는 뜻이므로, 1교시의 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$은 모든 각에서 그대로 성립합니다. 피타고라스 정리가 원의 방정식으로 바뀌었을 뿐입니다.

2-2. 일반각과 동경 (8분)

각을 '두 선분 사이의 벌어진 정도'로만 보면 0°에서 180°(또는 360°)를 넘지 못합니다. 원 위의 점으로 보면 각은 얼마나 돌렸나가 됩니다. 그러면 어떤 크기든 될 수 있습니다.

• 돌리기 시작하는 고정된 반직선(보통 $x$축의 양의 방향)을 시초선이라고 합니다.
• 원점을 중심으로 돌아가는 반직선을 동경(움직이는 반지름)이라고 합니다.
• 시계 반대 방향으로 돌리면 양의 각, 시계 방향으로 돌리면 음의 각입니다.
• 한 바퀴를 넘겨 계속 돌리면 360°를 넘는 각이 됩니다.

$30°$, $390°$, $750°$, $-330°$은 모두 동경이 같은 자리에서 멈춥니다. 각은 다르지만 P가 같으니 sin과 cos도 같습니다. 그래서 동경이 같은 각은 하나의 식으로 씁니다.

이것을 일반각이라고 합니다. $750° = 360° \times 2 + 30°$이고, $-330° = 360° \times (-1) + 30°$입니다. 실습대의 '재생'으로 두 바퀴를 돌린 뒤 오른쪽에 나오는 "= 30° + 360° × 2"가 바로 이 꼴입니다.

일반각은 계산의 편의가 아니라 실제로 필요한 말입니다. 하늘바퀴 칸은 하루에 수십 바퀴를 돕니다. 출발하고 7분이 지난 칸과 19분이 지난 칸은 돈 각이 다르지만(210°와 570°) 같은 자리에 있습니다.

2-3. 사분면의 부호와 대칭으로 읽는 값 (10분)

부호는 점의 위치입니다. $\cos\theta$는 P의 $x$좌표이므로 P가 원점의 오른쪽이면 양수, 왼쪽이면 음수입니다. $\sin\theta$는 $y$좌표이므로 위쪽이면 양수, 아래쪽이면 음수입니다. $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$는 두 부호가 같으면 양수, 다르면 음수입니다.

양수인 것만 모아 1사분면부터 "모두, sin, tan, cos"를 '올사탄코'라고 외우기도 합니다. 그래도 표는 외우지 않아도 됩니다. 원을 그리고 점을 찍으면 오른쪽인지 위쪽인지 바로 보입니다.

값은 대칭으로 읽습니다. 150°의 동경을 그리면 $x$축의 음의 방향과 30°를 이룹니다. 이 점은 30°의 점과 $y$축에 대해 대칭입니다. 높이는 같고 가로만 반대입니다. 이렇게 단위원에서 대칭인 점 세 쌍을 보면 이렇습니다.

$y$축 대칭은 cos의 부호만, $x$축 대칭은 sin의 부호만, 원점 대칭은 둘 다 바꿉니다.

그러니 0°–360°의 어떤 각이든 네 단계로 값을 꺼낼 수 있습니다.

1. 동경을 그린다.
2. 동경이 $x$축과 이루는 예각을 읽는다(150°면 30°, 210°면 30°, 300°면 60°).
3. 그 예각의 값을 1교시의 두 그림에서 꺼낸다.
4. 점이 있는 사분면을 보고 부호를 붙인다.

실습대에서 P를 30°에 두고 '대칭인 점 보기'를 켜면 $180° - \theta$, $180° + \theta$, $-\theta$의 점이 회색 빈 원으로 나타납니다. P를 움직이면 네 점이 거울처럼 함께 움직입니다.

2-4. 탄젠트는 접선이다 (7분)

단위원에서 $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{y}{x}$는 원점과 P를 잇는 직선, 곧 동경의 기울기입니다. 1교시에 tan이 기울기였던 것과 같은 이야기입니다.

이 기울기를 길이로 볼 수 있는 곳이 있습니다. 점 A(1, 0)에서 단위원에 닿는 세로 직선 $x = 1$입니다. 원에 한 점에서 닿는 직선을 접선(tangent line)이라고 합니다. 동경을 늘이면 이 접선과 점 $\text{T}$에서 만납니다. 원점에서 가로로 1 가는 동안 기울기만큼 오르므로

입니다. 그림으로 보면 P 아래의 작은 직각삼각형(가로 $\cos\theta$, 세로 $\sin\theta$)과 A 위의 큰 직각삼각형(가로 1, 세로 AT)이 닮았으니 $\frac{\text{AT}}{1} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$입니다. tan θ는 접선 위의 길이입니다. 이름 탄젠트(tangent)가 라틴어로 '닿는 것', 곧 접선에서 왔습니다.

이 그림으로 tan의 성질이 한꺼번에 보입니다.

• 제2사분면에서는 동경을 뒤로(원점 너머로) 늘여야 $x = 1$과 만나고, 만나는 점이 $x$축 아래라 $\tan\theta < 0$입니다.
• 제3사분면에서는 뒤로 늘인 직선이 $x$축 위에서 만나 다시 양수입니다. 동경이 180° 돌아도 같은 직선이므로 $\tan(180° + \theta) = \tan\theta$입니다.
• $\theta = 90°$, $270°$이면 동경이 접선과 평행해서 만나지 않습니다. 그래서 $\tan 90°$는 없습니다(정의되지 않습니다). 바로 옆인 $\tan 89° \approx 57.29$, $\tan 91° \approx -57.29$처럼 90° 근처에서 한없이 커지거나 작아집니다.

실습대에서 'tan 선분 보기'를 켜면 $x = 1$ 접선(회색 점선)과 늘인 동경, 그리고 보라 선분 AT가 나타납니다. P를 90° 쪽으로 끌면 T가 화면 위로 달아나고, 90°를 넘는 순간 아래쪽에서 나타납니다.

2-5. 한 그림 속 여섯 선분 (5분)

단위원 그림에는 sin, cos, tan 말고도 이름 붙은 선분이 셋 더 있습니다. 세 값의 역수입니다.

시컨트(secant), 코시컨트(cosecant), 코탄젠트(cotangent)라고 읽습니다. 그림 속 자리는 이렇습니다(제1사분면 기준).

• $\sec\theta$: 원점에서 T까지의 길이. 이 직선은 원을 가로지르므로 할선(secant, '자르는 선')입니다. 큰 삼각형의 빗변이라 닮음으로 $\frac{\text{OT}}{1} = \frac{1}{\cos\theta}$.
• $\csc\theta$, $\cot\theta$: 위쪽 B(0, 1)의 가로 접선 $y = 1$과 동경이 만나는 점 S에서, OS가 $\csc\theta$, BS가 $\cot\theta$입니다. 이름의 'co'는 cos와 같은 뜻, '여각의'입니다. 예를 들어 $\cot\theta = \tan(90° - \theta)$입니다.

아래 실습대에서 여섯 선분을 켜고 끌 수 있습니다. 같은 색끼리 짝(역수)이고, 역수 쪽은 점선입니다. 남색 sin과 남색 점선 csc, 청록 cos와 청록 점선 sec, 보라 tan과 보라 점선 cot입니다. sec와 csc는 같은 동경 위에 있어서 조금 비켜 그렸습니다. 단계 재생을 누르면 tan, sec, csc, cot가 차례로 켜지고, 그때마다 닮은 두 삼각형이 칠해집니다. P를 끌면 10°–80°에서 각이 바뀝니다.

여섯 개를 다 외울 필요는 없습니다. sin, cos만 알면 나머지는 나눗셈입니다. $\theta = 60°$이면 $\sec 60° = \frac{1}{1/2} = 2$, $\theta = 30°$이면 $\csc 30° = 2$, $\theta = 45°$이면 $\cot 45° = 1$입니다. 이 이름들은 미적분에서 $\tan x$를 미분할 때($\sec^2 x$) 다시 만납니다.

2-6. 하늘바퀴 칸 24개의 좌표 (6분)

이제 기준표를 채웁니다. 바퀴 중심을 원점, 오른쪽을 $x$, 위쪽을 $y$로 둡니다. 칸 자리 24개는 15° 간격이고, 바닥 자리를 0번($\theta = -90°$)으로 시계 반대 방향으로 번호를 매기면 $k$번 자리의 각은

입니다. 좌표와 높이는

입니다. 필요한 값은 15°, 75°의 값뿐입니다. 나머지는 1교시의 특별한 각입니다. 계산기로 $\cos 15° = \sin 75° \approx 0.9659$, $\sin 15° = \cos 75° \approx 0.2588$입니다(정확한 값 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$는 7교시에 회전으로 얻습니다).

(소수 둘째 자리까지.) 왼쪽 절반은 대칭으로 나옵니다. $k$번과 $24 - k$번 자리의 각을 더하면 $(-90° + 15°k) + (-90° + 15°(24 - k)) = 180°$이므로 두 자리는 $y$축 대칭입니다. 높이는 같고 $x$만 부호가 바뀝니다. 예를 들어 15번 자리(135°)는 9번 자리(45°)의 거울상이라 $(-21.21, 21.21)$, 높이 53.21 m입니다.

아래 실습대는 하늘바퀴입니다. 회색 칸이 24개 자리이고 주황 칸이 고른 자리입니다. 청록 선분이 $30\cos\theta$, 남색 선분이 $30\sin\theta$이고, 맨 아래 회색 선이 땅(높이 0)입니다. '재생'을 누르면 0번(바닥) 자리부터 한 칸씩 시계 반대 방향으로 옮겨 가며 오른쪽 표에 좌표와 높이를 채웁니다. 칸을 끌어 원하는 자리를 고를 수도 있습니다.

기호 읽는 법

교과서에서는

• '수학 I'(2022 개정 '대수')의 삼각함수 단원은 일반각과 동경에서 시작합니다. 교과서는 반지름이 r인 원 위의 점 P(x, y)로 sin θ = y/r, cos θ = x/r, tan θ = y/x (x ≠ 0)라고 정의합니다. 이 교시의 단위원 정의에서 모든 길이를 r배 한 것입니다.
• 교과서는 일반각 다음에 곧바로 호도법(라디안)을 배웁니다. 이 강의는 3교시에 다룹니다.
• 사분면의 부호, θ + 360°n, −θ, 180° ± θ, 90° ± θ의 삼각함수 값이 시험에 자주 나옵니다. 공식 표로 외우게 하는 교재도 많지만, 이 교시의 네 단계(동경 → 예각 → 값 → 부호)로 모두 풀립니다.
• sec, csc, cot는 '미적분'(2022 개정 '미적분 II')에서 정식으로 나옵니다.

자주 하는 착각 (2분)

• "sin, cos는 직각삼각형이 있어야 정의된다." 단위원 위의 점의 좌표가 정의입니다. 120°, $-30°$, 750°에도 값이 있습니다.
• "대칭인 각은 값이 같다." 대칭인 점은 한 좌표만 같고 다른 좌표는 부호가 반대입니다. $\sin 120° = \sin 60°$이지만 $\cos 120° = -\cos 60°$입니다.
• "음의 각은 없는 각이다." 시계 방향으로 돌린 각입니다. $-90°$는 하늘바퀴의 바닥 자리이고 270°와 같은 동경입니다.
• "$\tan 90°$는 아주 큰 수다." 동경이 접선 $x = 1$과 평행이라 만나지 않습니다. 값이 없습니다. 90° 근처에서 한없이 커지거나 작아질 뿐입니다.
• "sin, cos는 1보다 클 수 있다." 단위원 위의 점의 좌표이므로 언제나 $-1$과 1 사이입니다. 1보다 큰 값을 갖는 것은 tan, sec, csc, cot입니다.

연습 문제 (3분)

1. 다음 값을 구하세요. (가) $\sin 225°$ (나) $\cos 300°$ (다) $\tan 150°$ (라) $\cos(-120°)$
2. $1110°$와 $-480°$의 동경을 $360° \times n + \alpha$ $(0° \le \alpha < 360°)$ 꼴로 쓰고, 몇 사분면인지 말하세요.
3. $\theta$가 제2사분면의 각이고 $\sin\theta = \frac{3}{5}$일 때 $\cos\theta$와 $\tan\theta$를 구하세요.
4. (서술형) 1교시에서 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$은 직각삼각형의 피타고라스 정리였습니다. 이 식이 120°나 $-30°$처럼 직각삼각형이 없는 각에서도 성립하는 이유를 단위원으로 설명하세요.
5. 하늘바퀴에서 높이가 정확히 47 m인 칸 자리는 몇 번과 몇 번인가요? 두 자리의 좌표도 쓰세요.

풀이

1. (가) 제3사분면, 예각 45°: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. (나) 제4사분면, 예각 60°, 오른쪽이니 양수: $\frac{1}{2}$. (다) 제2사분면, 예각 30°, tan은 음수: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. (라) $-120°$는 240°와 같은 동경, 제3사분면, 예각 60°: $-\frac{1}{2}$.
2. $1110° = 360° \times 3 + 30°$, 제1사분면. $-480° = 360° \times (-2) + 240°$, 제3사분면.
3. $\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$이고, 제2사분면은 점이 왼쪽에 있으므로 $\cos\theta = -\frac{4}{5}$입니다. $\tan\theta = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$. 답: $-\frac{4}{5}$, $-\frac{3}{4}$
4. 모든 각 $\theta$에 대해 $(\cos\theta, \sin\theta)$는 단위원 위의 점 P의 좌표로 정의됩니다. 단위원은 원점에서 거리가 1인 점들의 모임이고, 점 $(x, y)$와 원점 사이의 거리는 $\sqrt{x^2 + y^2}$입니다(좌표평면의 피타고라스 정리). 따라서 P가 원 위에 있으면 $x^2 + y^2 = 1$, 곧 $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$입니다. 이 사실은 P가 어느 사분면에 있든, 각이 음수이든 360°를 넘든 상관없이 성립합니다. 직각삼각형이 없어도 좌표의 거리 공식이 그 역할을 합니다.
5. $32 + 30\sin\theta = 47$에서 $\sin\theta = \frac{1}{2}$입니다. 단위원에서 높이가 $\frac{1}{2}$인 점은 30°와 150° 두 곳입니다. $-90° + 15°k = 30°$에서 $k = 8$, $= 150°$에서 $k = 16$. 좌표는 8번 $(25.98, 15)$, 16번 $(-25.98, 15)$입니다. 답: 8번과 16번. (높이가 같은 자리가 늘 둘씩 있다는 사실은 5교시 삼각방정식의 출발점입니다.)

센서 업체에 보낼 기준표가 완성됐습니다. 오 팀장이 표를 넘겨 보다가 하나를 더 묻습니다. "좋아. 그런데 모터 업체가 다른 걸 물어. 칸이 1분에 30° 돈다는 건 알겠는데, 그래서 칸이 실제로 1분에 몇 m를 움직이냐는 거야. 모터 회전 속도를 거기에 맞춰야 한대." 도윤이 계산기를 들었다가 내려놓습니다. 30°에 무엇을 곱해야 미터가 될까요? 은재 이모가 끈 하나를 꺼내 반지름만큼 자릅니다. "이걸 원둘레에 감아 봐." 3교시에서는 각을 길이로 재는 단위, 라디안을 만납니다.