원 말고 쌍곡선을 돌면: 쌍곡선함수와 케이블카

열두 번째 토요일, 5월의 마지막 토요일입니다. 내일이면 구름길이 손님을 태우기 시작합니다. 설계실 창밖으로 아랫역에서 윗역까지 이어진 케이블이 보입니다. 3월 첫 토요일에 줄자 없이 드롭타워의 높이를 재던 날부터 토요일마다 한 교시씩, 오늘이 열두 번째입니다.

도윤이 지난주 노트의 마지막 줄을 가리킵니다. "cos(ix) = (e^(−x) + eˣ)/2. 허수 각의 코사인이 1보다 큰 실수라니, 아직도 이상해요." 은재 이모가 창밖의 케이블을 턱으로 가리킵니다. "그 식이 저기 매달려 있어."

오 팀장이 도면을 펼칩니다. 중간 지지탑 두 개 사이의 케이블이 포물선으로 그려져 있습니다. "협력 업체 도면이야. 포물선으로 계산해도 되는 거면 그냥 넘어가고, 아니면 오늘 안에 고쳐야 해." 도윤이 묻습니다. "줄을 늘어뜨리면 포물선 아니에요? 공 던질 때처럼." 이모가 고개를 젓습니다. "비슷해 보이지만 달라. 이번에는 원으로 가져가지 말고, 쌍곡선으로 가져가 봐."

오늘은 원 대신 쌍곡선 위를 도는 "또 하나의 삼각함수", 쌍곡선함수(hyperbolic function) cosh와 sinh를 만듭니다. 그 함수로 매달린 케이블의 모양을 풀고, 마지막에 이 강의 전체를 지도 한 장으로 모은 뒤 시승을 떠납니다. 쌍곡선함수와 현수선은 고등학교 교과서 밖의 이야기입니다. 공대·물리 1학년에서 만납니다.

12-1. 각을 넓이로 다시 재기 (8분)

원에서 각은 넓이의 2배다. 3교시에 반지름 $r$, 중심각 $\theta$(라디안)인 부채꼴의 넓이가 $\dfrac{r^2\theta}{2}$라고 했습니다. 단위원($r = 1$)이면 넓이는 $\dfrac{\theta}{2}$입니다. 거꾸로 읽으면 이렇습니다.

$$\theta = 2 \times (\text{단위원에서 칠한 부채꼴의 넓이})$$

각을 "얼마나 돌았나"가 아니라 "얼마나 칠했나" 로 잴 수도 있다는 뜻입니다. 칠한 넓이가 $\frac{u}{2}$가 되는 곳까지 칠하고, 그 끝의 점을 $(\cos u, \sin u)$라고 불러도 2교시의 정의와 똑같습니다.

같은 방법을 쌍곡선에. 이번에는 원 $x^2 + y^2 = 1$ 대신 쌍곡선 $x^2 - y^2 = 1$의 오른쪽 가지를 씁니다. 꼭짓점 $A(1, 0)$에서 출발해 곡선을 따라 점 $P$까지 갑니다. 원점 $O$와 $A$, $P$를 잇고 그 사이(선분 $OA$, 곡선 $AP$, 선분 $PO$로 둘러싸인 곳)를 칠합니다. 칠한 넓이가 $\frac{u}{2}$가 되는 곳의 점을 이렇게 부릅니다.

$$P = (\cosh u,\ \sinh u)$$

$\cosh$는 '하이퍼볼릭 코사인(hyperbolic cosine)', $\sinh$는 '하이퍼볼릭 사인'이라고 읽습니다. 원 위에서 $\cos$, $\sin$을 만든 요리법을 그대로 쌍곡선에 쓴 것입니다. 점이 쌍곡선 위에 있으니 바로 이 식이 나옵니다.

$$\cosh^2 u - \sinh^2 u = 1$$

원의 $\cos^2 + \sin^2 = 1$에서 더하기가 빼기로 바뀌었습니다. 곡선의 식에서 바뀐 부호 하나가 그대로 옮겨 온 것입니다.

아래 실습대는 왼쪽에 단위원, 오른쪽에 쌍곡선 $x^2 - y^2 = 1$을 같은 눈금으로 그립니다. 옅은 주황이 칠한 넓이(양쪽 모두 $\frac{u}{2}$), 주황 점이 $P$, 청록 선분이 가로 성분($\cos u$, $\cosh u$), 남색 선분이 세로 성분($\sin u$, $\sinh u$)입니다. 쌍곡선 그림의 회색 점선은 점근선 $y = \pm x$입니다. 첫 화면은 $u = 1$입니다. '재생'을 누르면 $u$가 0에서 1.4까지 커지고, 'u' 슬라이더로는 −1.4–1.4를 고릅니다. 오른쪽에 칠한 넓이와 두 점의 좌표, 그리고 쌍곡선 쪽 넓이를 그림의 다각형으로 직접 잰 값이 나옵니다. 아래 그래프는 $u$에 따른 $\cosh u$(청록), $\sinh u$(남색)입니다.

12-2. 45° 돌리면 반비례 그래프: cosh와 sinh를 e로 (9분)

$\cosh u$와 $\sinh u$를 계산기로 구하려면 식이 필요합니다. 은재 이모의 말대로 돌려 봅니다. 쌍곡선 그림 전체를 원점 둘레로 시계 반대 방향 45° 돌리면, 점근선 $y = -x$는 가로축에, $y = x$는 세로축에 눕습니다. 돌린 좌표를 $(X, Y)$라 하면

$$\begin{gathered} X = \dfrac{x - y}{\sqrt2}, \qquad Y = \dfrac{x + y}{\sqrt2} \\ XY = \dfrac{x^2 - y^2}{2} = \dfrac12 \end{gathered}$$

입니다. 쌍곡선이 반비례 그래프 $Y = \dfrac{1}{2X}$가 되었습니다. 돌려도 넓이는 변하지 않습니다.

이제 칠한 넓이를 다시 봅니다. 돌린 그림에서 $A'$과 $P'$에서 가로축으로 수선을 내리면 직각삼각형이 두 개 생깁니다. 두 삼각형의 넓이는 모두 $\frac12 XY = \frac14$로 같습니다. 그래서 칠한 넓이는 반비례 그래프 아래, 두 수선 사이의 넓이와 같습니다(한쪽 삼각형을 더하고 다른 쪽을 빼는데, 둘이 같아서 지워집니다). 반비례 그래프 아래 넓이는 로그입니다(적분 4교시의 $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x$).

$$\text{칠한 넓이} = \int_{X_P}^{X_A} \dfrac{1}{2X}\,dX = \dfrac12 \ln\dfrac{X_A}{X_P} = \dfrac{u}{2}$$

$A$는 $(1, 0)$이므로 $X_A = \frac{1}{\sqrt2}$입니다. 위 식에서 $\dfrac{X_A}{X_P} = e^u$, 곧 $X_P = \dfrac{e^{-u}}{\sqrt2}$이고, $XY = \frac12$에서 $Y_P = \dfrac{e^{u}}{\sqrt2}$입니다. 원래 좌표로 돌아가면

$$x - y = e^{-u}, \qquad x + y = e^{u}$$

입니다. 두 식을 더하고 빼서 2로 나누면 점 $P$의 좌표가 나옵니다.

$$\cosh u = \dfrac{e^u + e^{-u}}{2}, \qquad \sinh u = \dfrac{e^u - e^{-u}}{2}$$

$e$가 왜 여기 나오는지가 이것으로 설명됩니다. 쌍곡선은 돌리면 반비례 그래프이고, 반비례 그래프 아래 넓이가 로그이기 때문입니다. 실습대에서 '쌍곡선을 45° 돌려 보기'를 켜면 이 그림을 볼 수 있습니다. 쌍곡선 그림이 1.2초 동안 돌아 반비례 그래프가 되고, 그래프 아래 넓이(옅은 남색)와 두 수선(회색 점선)이 나타납니다. 오른쪽 아래 그래프에서는 $\cosh u$(청록)가 회색 점선 $\frac{e^u}{2}$와 $\frac{e^{-u}}{2}$의 합, $\sinh u$(남색)가 그 차라는 것도 보입니다.

숫자로 한 번 확인합니다. $u = 1$이면 $e \approx 2.7183$, $e^{-1} \approx 0.3679$이므로

$$\begin{aligned} \cosh 1 &= \dfrac{2.7183 + 0.3679}{2} \approx 1.5431 \\ \sinh 1 &= \dfrac{2.7183 - 0.3679}{2} \approx 1.1752 \end{aligned}$$

입니다. 실습대 첫 화면의 값과 같습니다.

$u$	0	0.5	1	2
$\cosh u$	1	1.1276	1.5431	3.7622
$\sinh u$	0	0.5211	1.1752	3.6269
$\cos u$	1	0.8776	0.5403	−0.4161
$\sin u$	0	0.4794	0.8415	0.9093

(소수 넷째 자리까지.) $\cos$, $\sin$은 $-1$과 1 사이를 오가지만, $\cosh$와 $\sinh$는 $u$가 커지면 $\frac{e^u}{2}$를 따라 빠르게 커집니다. 원은 닫혀 있고 쌍곡선은 열려 있기 때문입니다.

12-3. 원의 삼각함수와 부호 하나 차이 (7분)

쌍곡선함수의 성질은 원의 삼각함수 성질과 거의 같고, 부호 하나가 다릅니다. 정의 $\cosh u = \frac{e^u + e^{-u}}{2}$, $\sinh u = \frac{e^u - e^{-u}}{2}$에서 바로 확인할 수 있습니다.

	원	쌍곡선
점	$(\cos u, \sin u)$, $x^2 + y^2 = 1$	$(\cosh u, \sinh u)$, $x^2 - y^2 = 1$
기본 관계	$\cos^2 u + \sin^2 u = 1$	$\cosh^2 u - \sinh^2 u = 1$
미분	$(\sin u)' = \cos u$, $(\cos u)' = -\sin u$	$(\sinh u)' = \cosh u$, $(\cosh u)' = \sinh u$
대칭	$\cos$ 짝함수, $\sin$ 홀함수	$\cosh$ 짝함수, $\sinh$ 홀함수
배각	$\cos 2u = \cos^2 u - \sin^2 u$	$\cosh 2u = \cosh^2 u + \sinh^2 u$
지수로	$\cos u = \dfrac{e^{iu} + e^{-iu}}{2}$	$\cosh u = \dfrac{e^{u} + e^{-u}}{2}$

미분. $(e^u)' = e^u$, $(e^{-u})' = -e^{-u}$이므로 $(\cosh u)' = \frac{e^u - e^{-u}}{2} = \sinh u$, $(\sinh u)' = \cosh u$입니다. 원에서는 미분할 때 $-$가 하나 붙어 네 번 미분해야 제자리였지만(10교시), 쌍곡선함수는 두 번 미분하면 바로 제자리입니다. 그래서 $y'' = -y$는 출렁이는 진동(cos, sin)이 되고, $y'' = y$는 지수처럼 커지는 모양(cosh, sinh)이 됩니다.

오일러 공식과 잇기. 맨 아래 줄을 나란히 보면 $\cos$의 지수 자리에 $i$가 있고 $\cosh$에는 없습니다. 11교시의 식에 $\theta = ix$를 넣으면 $i \cdot ix = -x$이므로

$$\begin{aligned} \cos(ix) &= \dfrac{e^{-x} + e^{x}}{2} = \cosh x \\ \sin(ix) &= \dfrac{e^{-x} - e^{x}}{2i} = i\sinh x \end{aligned}$$

입니다. 쌍곡선함수는 허수 각의 삼각함수입니다. 원과 쌍곡선은 서로 다른 곡선이 아니라, 복소수의 세계에서 한 함수의 두 얼굴입니다. 지난주 도윤이 이상하다고 한 "1보다 큰 코사인"이 $\cosh$였습니다.

$\tanh u = \dfrac{\sinh u}{\cosh u}$도 씁니다. 늘 $-1$과 1 사이에 있고, $u$가 커지면 1에 다가갑니다.

12-4. 현수선: 매달린 케이블의 모양 (11분)

두 지지탑 사이에 케이블을 걸면 케이블은 자기 무게로 처집니다. 그 모양을 현수선(catenary) 이라고 합니다. 여기서는 케이블 자체의 무게만 생각합니다(시승 때 매달리는 객차의 무게는 뺍니다).

힘의 균형. 케이블의 가장 낮은 점(바닥)을 원점으로 두고, 바닥에서 어떤 점 $P$까지의 한 토막을 떼어 생각합니다. 이 토막은 움직이지 않으니 세 힘이 맞아떨어집니다.

• 바닥에서 왼쪽으로 당기는 힘: 바닥에서 케이블은 수평이므로 이 힘도 수평입니다. 크기를 $H$라 합니다.
• $P$에서 케이블 방향으로 당기는 힘: 수평 성분과 수직 성분으로 나눕니다.
• 토막의 무게: 1 m당 무게를 $w$, 토막의 길이를 $s$라 하면 $ws$입니다(아래쪽).

가로로는 $P$에서 당기는 힘의 수평 성분이 $H$와 같아야 합니다. 그러니 수평 성분은 케이블 어디서나 $H$ 입니다. 세로로는 $P$의 수직 성분이 무게 $ws$를 받쳐야 합니다. 그 힘은 케이블 방향이므로, $P$에서의 기울기는 (수직 성분) ÷ (수평 성분)입니다.

$$\text{기울기} = \dfrac{ws}{H} = \dfrac{s}{a}, \qquad a = \dfrac{H}{w}$$

$a$는 길이의 단위(m)를 가집니다. "케이블 $a$ m의 무게만큼의 힘으로 수평으로 당기고 있다"는 뜻입니다. 정리하면 현수선은 기울기가 바닥에서 잰 케이블 길이에 비례하는 곡선입니다.

답은 cosh. 그 곡선은

$$y = a\cosh\dfrac{x}{a} - a$$

입니다. 확인해 봅시다. 기울기는 $y' = \sinh\frac{x}{a}$입니다. 길이는 이렇게 셉니다. $x$가 아주 조금($\Delta x$) 늘 때 곡선은 피타고라스 정리로 $\Delta s \approx \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} = \Delta x\sqrt{1 + (y')^2}$만큼 늘어납니다. 그런데 $\cosh^2 - \sinh^2 = 1$이므로

$$\sqrt{1 + \sinh^2\dfrac{x}{a}} = \cosh\dfrac{x}{a}$$

입니다. 길이가 늘어나는 빠르기가 $\cosh\frac{x}{a}$이고, 미분해서 $\cosh\frac{x}{a}$가 되는 함수는 $a\sinh\frac{x}{a}$입니다(바닥에서 0). 그러니 바닥에서 잰 길이는 $s = a\sinh\frac{x}{a}$이고, $y' = \sinh\frac{x}{a} = \frac{s}{a}$가 맞습니다. 쌍곡선의 피타고라스 관계 $\cosh^2 - \sinh^2 = 1$이 근호를 풀어 주는 것이 이 곡선이 cosh인 이유입니다. 매달린 사슬의 모양은 갈릴레이가 1638년에 포물선에 가깝다고 썼고, 정확한 답은 1691년 라이프니츠, 하위헌스, 요한 베르누이가 각각 구했습니다.

포물선은 언제? 하중이 수평 1 m마다 똑같이 걸리면(무거운 다리 상판을 케이블에 매단 현수교처럼) 토막이 받치는 무게가 $s$가 아니라 $x$에 비례합니다. 그러면 기울기가 $x$에 비례해서 포물선이 됩니다. 케이블 자기 무게는 케이블 길이를 따라 고르게 걸리므로 현수선입니다.

구름길. 지지탑 사이 $L = 200$ m, 처짐 $d = 8$ m입니다. 지지탑은 $x = \pm 100$에 있고 높이가 8 m이므로 $a\cosh\frac{100}{a} - a = 8$을 풀면 됩니다. 이 식은 손으로 풀리지 않아서 값을 넣어 가며 맞춥니다. 답은 $a \approx 626.33$ m입니다. 케이블 길이는 양쪽을 합쳐

$$\begin{aligned} 2a\sinh\dfrac{100}{a} &\approx 2 \times 626.33 \times 0.16034 \\ &\approx 200.85 \ \text{m} \end{aligned}$$

입니다. 같은 두 끝과 같은 바닥을 지나는 포물선 $y = 0.0008x^2$의 길이는 약 200.850 m로, 차이가 0.7 mm밖에 안 됩니다. 두 곡선이 가장 많이 벌어지는 곳도 $x \approx \pm 71$ m에서 약 4.2 mm입니다. 처짐이 거리의 4%로 얕으면 현수선과 포물선은 사실상 같습니다. 이때는 길이를 어림하는 식 $L + \dfrac{8d^2}{3L}$도 잘 맞습니다($200 + \frac{8 \times 64}{600} \approx 200.853$ m).

아래 실습대에서 회색 기둥이 지지탑, 청록 곡선이 현수선, 보라 점선이 같은 처짐의 포물선입니다. 처짐이 얕아서 처음에는 세로를 5배로 늘려 그립니다(체크를 끄면 실제 비율). 오른쪽 지지탑 꼭대기(검은 손잡이)를 끌면 지지탑 거리와 처짐이 바뀝니다. 아래 작은 그래프는 두 곡선의 높이 차이(포물선 − 현수선)를 확대한 것입니다. '사슬 놓기'를 누르면 같은 길이의 사슬(주황 구슬 41개)을 한쪽으로 치우친 V자 모양에서 놓습니다. 사슬은 흔들리다 4초쯤 뒤에 멈춥니다. '장면' 칩의 '깊게 처진 사슬'은 거리 200 m, 처짐 100 m입니다.

12-5. 강의를 마치며: 삼각함수 한 장 지도 (5분)

열두 교시 동안 한 문장, "삼각함수는 회전의 함수다"를 여러 방향에서 봤습니다. 한 장으로 모으면 이렇습니다. 오른쪽 칸이 공식을 잊었을 때 원에서 다시 꺼내는 법입니다.

교시	한 줄	원에서 다시 꺼내는 법
1	닮은 직각삼각형의 비는 각만의 함수	정사각형·정삼각형을 반으로 잘라 30°, 45°, 60°
2	단위원 위의 점 = (cos θ, sin θ)	점이 어느 사분면에 있나로 부호를 읽는다
3	라디안 = 호의 길이 ÷ 반지름	반지름을 원둘레에 감는다. π rad = 180°
4	원을 시간축에 펼치면 파동	높이는 sin, 옆 위치는 cos. 주기·진폭·위상·이동
5	거꾸로 각 찾기: 해는 원 위에 둘	수평선이 원을 자르는 두 점. arcsin은 범위를 자른 것
6	사인법칙·코사인법칙	외접원의 지름 2R, 직각이면 피타고라스
7	두 번 돌리기 = 한 번에 더 돌리기	축 두 개를 돌린다 → 덧셈정리
8	같은 빠르기의 파동을 더하면 화살표 덧셈	화살표를 머리–꼬리로 잇는다 → R sin(x + φ)
9	모든 주기 신호는 원들의 합	원 위에 원을 얹는다
10	도는 점의 속도는 반지름에 수직	미분할 때마다 90° 돈다 → y″ = −y
11	회전 = 복소수 곱셈, e^(iθ) = cos θ + i sin θ	길이는 곱하고 각은 더한다
12	쌍곡선 위를 돌면 cosh, sinh	부호 하나만 바꾼다. cos(ix) = cosh x

외울 것은 많지 않습니다. 단위원 그림 하나, "돌려 봐", 그리고 e^(iθ) = cos θ + i sin θ 한 줄이면 나머지는 대부분 꺼낼 수 있습니다.

기호 읽는 법

기호	읽는 법	뜻
cosh u	하이퍼볼릭 코사인 u, 쌍곡코사인 u	(eᵘ + e⁻ᵘ)/2. 쌍곡선 x² − y² = 1 위 점의 가로 좌표
sinh u	하이퍼볼릭 사인 u, 쌍곡사인 u	(eᵘ − e⁻ᵘ)/2. 세로 좌표
tanh u	하이퍼볼릭 탄젠트 u	sinh u ÷ cosh u. −1과 1 사이
a	현수선의 매개변수	수평 장력 ÷ 1 m당 무게. 바닥의 휘어진 정도를 정한다

공대·물리에서는

• 송전선, 케이블카, 출렁다리의 케이블 계산에 현수선이 나옵니다. 처짐이 얕으면 포물선으로 어림하고, 깊으면 cosh를 그대로 씁니다. 현수선을 뒤집으면 무게를 압축력만으로 버티는 아치 모양이 됩니다.
• 특수상대성이론에서 속도를 빛의 속력 c의 몇 배인지로 쓰고 v/c = tanh φ로 놓으면, 빠르기(rapidity) φ는 그냥 더해집니다. 같은 방향으로 0.6c 두 번이면 φ = ln 2 + ln 2 = ln 4이고, 합친 속도는 tanh(ln 4) = 15/17 ≈ 0.882c입니다(0.6c + 0.6c = 1.2c가 아닙니다). 좌표를 바꾸는 로런츠 변환은 쌍곡선 위의 "회전"입니다.
• 인공신경망에서 tanh는 값을 −1과 1 사이로 눌러 주는 활성화 함수로 쓰입니다.
• 미분방정식 y″ = y의 해가 cosh, sinh(또는 eˣ, e⁻ˣ)이고, y″ = −y의 해가 cos, sin입니다. 진동하느냐 커지느냐가 부호 하나로 갈립니다.

자주 하는 착각 (3분)

• "$\cosh^2 u + \sinh^2 u = 1$이다." 점이 쌍곡선 위에 있으므로 $\cosh^2 u - \sinh^2 u = 1$입니다. 더하면 $\cosh 2u$입니다.
• "$(\cosh u)' = -\sinh u$이다." $-$는 원을 돌 때만 붙습니다. $(\cosh u)' = \sinh u$입니다.
• "$u$는 쌍곡선 위 점의 각도다." $u$는 원점과 $P$를 잇는 선의 각이 아니라 칠한 넓이의 2배입니다. $u = 1$이면 선분 $OP$의 각은 $\arctan\frac{1.1752}{1.5431} \approx 37.3°$입니다.
• "매달린 줄은 포물선이다." 자기 무게로 처지면 현수선입니다. 처짐이 얕으면 포물선과 거의 같을 뿐입니다(구름길은 4.2 mm 차이).
• "cos 값은 언제나 −1과 1 사이다." 실수 각에서만 그렇습니다. $\cos i = \cosh 1 \approx 1.5431$입니다.

연습 문제 (7분)

1. $\cosh 2$와 $\sinh 2$를 소수 넷째 자리까지 구하세요. ($e^2 \approx 7.3891$, $e^{-2} \approx 0.1353$) 그리고 지수 정의로 $\cosh^2 2 - \sinh^2 2 = 1$을 보이세요.
2. $\sinh u = \dfrac{12}{5}$일 때 $\cosh u$와 $u$를 구하세요.
3. (서술형) 지수 정의를 써서 $\cosh 2u = \cosh^2 u + \sinh^2 u$와 $\sinh 2u = 2\sinh u\cosh u$를 보이고, 원의 배각 공식과 무엇이 다른지 쓰세요.
4. 지지탑 사이 100 m, 처짐 4 m인 케이블(구름길 구간을 절반으로 줄인 모양)의 $a$와 길이를 구하세요. 구름길의 값($a \approx 626.33$ m, 길이 약 200.85 m)에서 바로 얻는 방법을 쓰세요.
5. 특수상대성이론에서 $v/c = \tanh\varphi$로 쓰면 같은 방향의 빠르기 $\varphi$는 더해집니다. 0.6c로 달리는 우주선에서 앞으로 (우주선에 대해) 0.6c로 쏜 탐사선은 땅에서 보면 몇 c입니까? ($\tanh\varphi = 0.6$이면 $\varphi = \ln 2$이고, $\tanh u = \dfrac{e^u - e^{-u}}{e^u + e^{-u}}$입니다.)

풀이

1. $\cosh 2 = \frac{7.3891 + 0.1353}{2} = 3.7622$, $\sinh 2 = \frac{7.3891 - 0.1353}{2} = 3.6269$입니다. 지수 정의로 $\cosh^2 2 - \sinh^2 2 = \frac{(e^2 + e^{-2})^2 - (e^2 - e^{-2})^2}{4} = \frac{4e^2e^{-2}}{4} = 1$입니다. (반올림한 값을 제곱해 빼면 0.9997처럼 끝자리가 어긋나니, 정확히 보이려면 식으로 합니다.) 답: 3.7622, 3.6269
2. $\cosh^2 u = 1 + \sinh^2 u = 1 + \frac{144}{25} = \frac{169}{25}$이고 $\cosh u > 0$이므로 $\cosh u = \frac{13}{5}$입니다. $e^u = \cosh u + \sinh u = \frac{25}{5} = 5$이므로 $u = \ln 5 \approx 1.6094$입니다. 5 : 12 : 13의 쌍곡선판입니다. 답: $\cosh u = \frac{13}{5}$, $u = \ln 5 \approx 1.6094$
3. $\cosh^2 u + \sinh^2 u = \frac{(e^u + e^{-u})^2 + (e^u - e^{-u})^2}{4} = \frac{2e^{2u} + 2e^{-2u}}{4} = \frac{e^{2u} + e^{-2u}}{2} = \cosh 2u$. 또 $2\sinh u\cosh u = 2 \cdot \frac{(e^u - e^{-u})(e^u + e^{-u})}{4} = \frac{e^{2u} - e^{-2u}}{2} = \sinh 2u$. 원에서는 $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$로 빼기였는데 쌍곡선에서는 더하기입니다. $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$와 $\sinh 2u = 2\sinh u\cosh u$는 모양이 같습니다. 차이는 $\sin^2$ 자리의 부호 하나이고, 그것은 $\sin(ix) = i\sinh x$를 제곱할 때 $i^2 = -1$이 붙는 데서 옵니다.
4. 가로와 세로를 모두 절반으로 줄인 모양이므로 현수선도 절반 크기입니다. $y = a\cosh\frac{x}{a} - a$에서 $x$와 $y$를 모두 절반으로 하면 $a$도 절반이 됩니다. $a \approx 313.16$ m, 길이 약 $100.43$ m(200.85의 절반)입니다. 확인: 어림식 $100 + \frac{8 \times 16}{300} \approx 100.427$ m. 답: $a \approx 313.16$ m, 길이 약 100.43 m
5. 빠르기는 $\ln 2 + \ln 2 = \ln 4$입니다. $\tanh(\ln 4) = \dfrac{4 - \frac14}{4 + \frac14} = \dfrac{15}{17} \approx 0.882$입니다. 1.2c가 아니라 약 0.882c로, 빛의 속력을 넘지 않습니다. 답: 약 0.882c

오전 열한 시, 아랫역 승강장입니다. 오 팀장이 도면의 포물선 옆에 "차이 4.2 mm, 그대로 승인"이라고 적고 서명합니다. 첫 객차의 문이 닫히고, 도윤과 은재 이모, 오 팀장이 탄 객차가 미끄러지듯 출발합니다. 윗역까지 수평으로 840 m, 높이로 210 m. 840 m는 6교시에 계곡 건너편에서 삼각측량으로 잰 거리이고, 기울기 약 14.04°는 5교시에 역삼각함수로 구한 각입니다.

첫 번째 지지탑을 지날 때 객차가 살짝 출렁입니다. 창밖으로 다음 지지탑까지 케이블이 아주 얕은 곡선을 그리며 늘어져 있습니다. "저게 cosh네요." 아래로 놀이공원이 펼쳐집니다. 하늘바퀴는 12분에 한 바퀴씩 돌고 있고, 회오리 위에서는 컵들이 꽃잎 세 장을 그리고, 파도배는 8초 남짓마다 한 번씩 흔들립니다. 민 감독이 레이저를 쏘던 별빛 축제 무대도 광장 한쪽에 보입니다.

도윤이 창에 이마를 대고 중얼거립니다. "다 원이네요. 도는 것도, 흔들리는 것도, 소리도." 은재 이모가 웃습니다. "그러니까 원으로 가져가 보라고 했잖아. 그리고 안 되면…" 도윤이 이어 말합니다. "돌려 봐." 객차가 윗역에 닿습니다. 솔바람 언덕 꼭대기에서 보니, 하늘바퀴의 칸 하나가 꼭 62 m 꼭대기를 지나고 있습니다.

이것으로 「돌고 도는 삼각함수」를 마칩니다. 다시 볼 때는 위의 한 장 지도에서 막히는 줄을 골라 그 교시의 실습대부터 돌려 보세요. 미분과 적분이 낯설었다면 같은 설계실의 롤러코스터 설계실의 미분과 적분에서 도윤의 겨울방학을 따라가 볼 수 있습니다.