거꾸로 각을 찾다: 삼각방정식과 역삼각함수

다섯 번째 토요일입니다. 설계실 화이트보드에는 지난주에 그린 하늘바퀴 높이 그래프가 아직 남아 있습니다. 바닥 2 m에서 출발해 6분에 꼭대기 62 m, 12분에 다시 바닥으로 오는 물결입니다.

오 팀장이 안내판 시안을 내려놓고 나갑니다. 도윤은 식부터 세웁니다. "50보다 크려면 32 − 30cos(πt/6) > 50이니까 cos(πt/6) < −0.6이고…" 계산기에서 cos⁻¹(−0.6)을 누릅니다. 126.87이 나옵니다. t = 6θ/π에 넣으니 242분이 나옵니다. "242분? 한 바퀴가 12분인데요?" 계산기가 도(°) 모드였습니다. 라디안으로 바꾸니 2.214가 나오고, t로 고치면 4.23분입니다. "4.23분부터… 언제까지요? 계산기는 답을 하나만 줘요."

은재 이모가 화이트보드의 원을 가리킵니다. "원으로 가져가 봐. 가로 위치가 −0.6인 점이 원에 몇 개 있어?" 도윤이 세로선을 하나 긋습니다. 원과 두 군데에서 만납니다. "위에 하나, 아래에 하나요. 계산기는 위쪽 것만 알려 준 거네요."

오늘은 각을 거꾸로 찾습니다. 지금까지는 각을 주면 sin 값을 구했습니다. 오늘은 sin 값을 주고 각을 묻습니다. 그 답이 원 위에서는 둘, 그래프 위에서는 끝없이 많다는 것을 먼저 보고, 그중 하나만 골라 돌려주는 함수(역삼각함수)를 만듭니다. 각은 3교시부터 쓰는 라디안을 기본으로 하고, 도(°)를 함께 적을 때는 괄호에 넣습니다.

5-1. 높이가 k인 점은 원 위에 둘 (8분)

2교시에서 $\sin\theta$를 "단위원 위의 점의 높이"로 다시 정의했습니다. 그러면 방정식 $\sin x = k$는 이렇게 읽힙니다.

높이가 $k$인 점들은 수평선 $y = k$ 위에 있습니다. 그러니 수평선 $y = k$를 긋고 원과 만나는 점을 찾으면 그것이 해입니다. $-1 < k < 1$이면 수평선은 원과 두 점에서 만납니다. 두 점은 $y$축을 사이에 두고 좌우 대칭입니다. 오른쪽 점의 각을 $\alpha$라고 하면, 왼쪽 점은 $\pi$(180°)에서 $\alpha$만큼 덜 간 곳, 즉 $\pi - \alpha$입니다.

아래 실습대의 왼쪽은 단위원, 오른쪽은 $y = \sin x$의 그래프($0 \le x \le 4\pi$, 두 바퀴)입니다. 두 그림은 같은 세로 눈금을 씁니다. 그래서 주황 수평선 한 줄이 원과 그래프를 함께 자릅니다. 주황 점이 해입니다. 원 위의 남색 세로 막대는 그 점의 높이(sin 값)입니다. 굵게 칠한 남색은 높이가 $k$보다 큰 부분입니다(5-3절에서 씁니다). 조작판의 칩으로 방정식을 바꾸고, 슬라이더로 $k$를 정합니다. '훑기'를 누르면 $k$가 저절로 오르내립니다.

cos와 tan도 같은 방법으로 읽습니다. 바뀌는 것은 원을 자르는 선의 모양뿐입니다.

이 표를 외울 필요는 없습니다. 선을 긋고 대칭을 보면 매번 다시 꺼낼 수 있습니다. $\cos x = k$의 $-\alpha$는 $0 \le x < 2\pi$ 안에서 쓰면 $2\pi - \alpha$입니다. tan은 직선이 원점을 지나므로 원의 반대편에서 한 번 더 만납니다. 그래서 두 해가 정확히 $\pi$(반 바퀴) 차이입니다.

$k$가 $-1$보다 작거나 1보다 크면 sin과 cos의 선은 원에 닿지 않습니다. 해가 없습니다. tan은 기울기라서 어떤 $k$든 해가 있습니다.

5-2. 그래프 위에서는 끝없이 많다: 일반해 (8분)

원 위의 점은 한 바퀴($2\pi$)를 돌면 제자리로 옵니다. 그래서 그래프에서는 원 위의 두 해가 $2\pi$마다 되풀이됩니다. 실습대에서 $0$부터 $4\pi$까지 두 바퀴를 그렸더니 해가 네 개였습니다. 그래프를 왼쪽·오른쪽으로 끝없이 늘이면 해도 끝없이 많습니다.

모든 해를 한꺼번에 쓴 것을 일반해(general solution) 라고 합니다. $n$은 모든 정수($\ldots, -1, 0, 1, 2, \ldots$)입니다.

tan만 $2n\pi$가 아니라 $n\pi$입니다. 두 해가 이미 반 바퀴 차이라서, 반 바퀴마다 해가 하나씩 있다고 쓰면 한 줄로 끝납니다.

범위가 좁게 주어지면 일반해에 $n = 0, 1, 2, \ldots$를 넣어 범위 안의 것만 고릅니다. 특히 $\sin 2x = k$처럼 각이 두 배가 되면 조심합니다. $x$가 $0$에서 $2\pi$까지 갈 때 $2x$는 $0$에서 $4\pi$까지, 즉 두 바퀴를 돕니다. 해도 두 배로 늘어납니다.

5-3. 삼각부등식: 하늘바퀴 50 m 위 시간대 (9분)

이제 오 팀장의 첫 질문입니다. 칸의 높이는 $h(t) = 32 - 30\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$(m, $t$는 분)입니다. 50 m보다 높으려면

입니다. $\theta = \frac{\pi t}{6}$으로 두면, 한 바퀴($0 \le t < 12$)에서 $\theta$는 $0$부터 $2\pi$까지 갑니다.

1단계: 경계(등식)부터. $\cos\theta = -0.6$인 $\theta$를 찾습니다. 세로선 $x = -0.6$이 원을 위아래로 자릅니다. 위쪽 점은 라디안 모드 계산기로 $\cos^{-1}(-0.6) \approx 2.214$(126.87°), 아래쪽 짝은 $2\pi - 2.214 \approx 4.069$(233.13°)입니다.

2단계: 어느 쪽인가. $\cos\theta < -0.6$은 "가로 위치가 $-0.6$보다 왼쪽"입니다. 원에서 세로선의 왼쪽에 있는 호, 즉 $2.214 < \theta < 4.069$입니다. 그래프로 확인하려면 가운데 한 점을 넣어 봅니다. $\theta = \pi$($t = 6$, 꼭대기)이면 $\cos\pi = -1 < -0.6$이고, 높이는 62 m입니다. 맞습니다.

3단계: 시간으로. $t = \dfrac{6\theta}{\pi}$이므로

즉 $4.23 < t < 7.77$입니다. 50 m 위에 머무는 시간은 $7.77 - 4.23 \approx 3.54$분, 3분 33초쯤입니다. 꼭대기 6분을 가운데에 두고 좌우로 1.77분씩입니다. 하늘바퀴는 계속 도니까 일반해로 쓰면 $4.23 + 12n < t < 7.77 + 12n$입니다.

그림으로도 확인해 봅시다. 50 m는 중심(32 m)보다 18 m 위입니다. 반지름이 30 m이니 그 높이의 칸은 중심에서 옆으로 $\sqrt{30^2 - 18^2} = 24$ m 떨어져 있습니다. 칸의 위치가 $(24, 18)$과 $(-24, 18)$인 두 순간 사이가 전망 구간입니다.

아래는 같은 실습대를 하늘바퀴로 띄운 것입니다. 왼쪽 원이 하늘바퀴(지름 60 m, 중심 높이 32 m), 오른쪽이 높이 그래프 $h(t)$(두 바퀴, 24분)입니다. 주황 수평선이 높이 $k$이고, 남색으로 굵게 칠한 호와 구간이 $k$보다 높은 때입니다.

5-4. 거꾸로 가는 함수: arcsin, arccos, arctan (10분)

계산기의 $\sin^{-1}$은 정확히 무엇일까요? 함수는 넣은 값 하나에 나오는 값이 하나여야 합니다. 그런데 "sin 값이 0.5인 각은?"에는 답이 끝없이 많습니다. 이대로는 거꾸로 가는 함수를 만들 수 없습니다.

해결책은 간단합니다. 사인 곡선에서 한 조각만 잘라 씁니다. 조건은 두 가지입니다.

• 그 조각 안에서 $-1$부터 $1$까지 모든 높이가 딱 한 번씩 나와야 합니다.
• 다루기 쉽도록 0을 포함하고 끊기지 않는 조각이 좋습니다.

$\sin x$에서는 $-\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2}$가 그런 조각입니다. 원으로 가져가면 오른쪽 반원입니다. 바닥(−90°)에서 출발해 $(1, 0)$을 지나 꼭대기(90°)까지 가는 동안 모든 높이를 한 번씩 지납니다. 이 조각에서 높이 $k$를 주면 각이 하나로 정해집니다. 그 각을 $\arcsin k$라고 씁니다.

cos는 가로 위치이므로 위쪽 반원($0 \le x \le \pi$)을 씁니다. 오른쪽 끝 $(1, 0)$에서 왼쪽 끝 $(-1, 0)$까지 모든 가로 위치를 한 번씩 지납니다. tan은 $-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}$(오른쪽 반원, 양 끝은 빼고)에서 모든 기울기가 한 번씩 나옵니다.

그래프는 거울에 비친 모양입니다. 역함수는 넣는 값과 나오는 값의 자리를 바꾼 것입니다. 점 $(x, y)$가 $(y, x)$로 가면 그림은 직선 $y = x$를 거울로 삼아 뒤집힙니다.

아래 실습대에서 흐린 남색이 사인 곡선 전체, 굵은 남색이 잘라 낸 조각입니다. 회색 점선은 접는 선 $y = x$입니다. 주황 수평선은 높이 $k$이고, 원래 곡선과 만나는 점이 회색(조각 밖)과 주황(조각 안)으로 찍힙니다. '접기'를 누르면 조각이 $y = x$를 축으로 뒤집혀 주황 곡선 $y = \arcsin x$가 됩니다. 칩으로 arccos(청록)·arctan(보라)도 볼 수 있습니다.

계산기의 $\sin^{-1}$은 $\arcsin$입니다. $\frac{1}{\sin x}$이 아닙니다. 기호가 헷갈리게 생겼을 뿐입니다. $\sin^{-1} 0.5 = 30°$이지만, $\frac{1}{\sin 0.5}$은 (라디안으로) 약 2.086입니다. $\frac{1}{\sin x}$에는 2교시의 이름 $\csc x$(코시컨트)가 따로 있습니다.

같은 이유로 $\sin^2 x$는 $(\sin x)^2$이지만 $\sin^{-1} x$는 $(\sin x)^{-1}$이 아닙니다. 위첨자 $-1$만 예외로 "역함수"를 뜻합니다. 헷갈리면 $\arcsin$으로 쓰는 편이 안전합니다.

한 방향은 늘 맞고, 다른 방향은 조심합니다. $\sin(\arcsin x) = x$는 $-1 \le x \le 1$이면 언제나 맞습니다. arcsin이 돌려준 각의 높이가 바로 $x$이기 때문입니다. 그러나 $\arcsin(\sin x) = x$는 $x$가 오른쪽 반원 조각 안에 있을 때만 맞습니다.

5-5. 구름길의 기울기와 방향각 (8분)

오 팀장의 두 번째 질문입니다. 새 케이블카 구름길은 정문 옆 아랫역에서 솔바람 언덕 꼭대기 윗역까지 갑니다. 도면에는 수평 거리 840 m, 높이 차 210 m가 적혀 있습니다. 기울기 각을 $\theta$라고 하면

입니다. 1교시에서 본 대로 tan은 기울기(경사도)입니다. 경사도로 말하면 25%입니다. 두 역 사이의 직선 거리는 피타고라스 정리로 $\sqrt{840^2 + 210^2} \approx 865.85$ m입니다. 이 값으로 $\arcsin\dfrac{210}{865.85}$를 구해도 같은 14.04°가 나옵니다. 아는 두 길이가 어느 비율을 만드는지 보고, 그 비율의 역함수를 고르면 됩니다. 기울기 각은 0°와 90° 사이라서 어느 역함수를 써도 범위 문제가 없습니다.

좌표로 방향각 구하기. 원점에서 점 $(x, y)$를 향한 동경의 각 $\theta$도 $\tan\theta = \frac{y}{x}$로 구합니다. 하지만 arctan은 오른쪽 반원($-90°$–$90°$)의 각만 돌려줍니다. 점이 왼쪽 반($x < 0$)에 있으면 $\pi$(180°)를 더해 반대편으로 옮겨야 합니다.

$(3, 4)$와 $(-3, -4)$는 $\frac{y}{x}$가 같습니다. 원점을 지나는 같은 직선 위에서 반대쪽에 있을 뿐입니다. 계산기는 그 직선만 알고 어느 쪽인지는 모릅니다. 점이 어느 사분면에 있는지는 사람이 보고 정합니다.

기호 읽는 법

교과서에서는

• 삼각방정식과 삼각부등식은 '수학 I'(2022 개정 '대수')의 삼각함수 단원에서 배웁니다. 교과서는 주로 그래프와 직선 y = k의 교점으로 풉니다. 이 교시처럼 단위원으로 풀어도 답은 같고, 해가 몇 개인지 세기가 쉽습니다.
• 시험 문제는 대개 범위(0 ≤ x < 2π 등)를 줍니다. 범위 안의 해를 모두 쓰는지가 채점의 핵심입니다.
• 역삼각함수(arcsin 등)는 고등학교 교육과정에서 따로 다루지 않습니다. 대학 미적분과 공학에서 바로 씁니다. 다만 계산기의 sin⁻¹ 버튼이 무엇을 돌려주는지 아는 것은 고등학생에게도 쓸모가 큽니다.
• sin² x − sin x = 0처럼 이차식 꼴이면 sin x를 한 글자로 보고 인수분해한 뒤, 각 값마다 원에서 해를 찾습니다.

자주 하는 착각 (3분)

• "$\sin x = k$의 해는 계산기가 준 하나다." 원 위에서 해는 대개 둘입니다($\alpha$와 $\pi - \alpha$). 범위가 넓으면 $2\pi$마다 더 있습니다.
• "$\sin^{-1} x = \dfrac{1}{\sin x}$." $\sin^{-1}$은 역함수 arcsin입니다. $\frac{1}{\sin x}$은 $\csc x$입니다.
• "$\arcsin(\sin x) = x$는 언제나 맞다." arcsin은 $-\frac{\pi}{2}$–$\frac{\pi}{2}$의 각만 돌려줍니다. $x$가 그 밖이면 다른 각이 나옵니다.
• "방향각은 $\arctan\dfrac{y}{x}$ 그대로다." $x < 0$이면 180°를 더해야 합니다. $(3, 4)$와 $(-3, -4)$는 $\frac{y}{x}$가 같습니다.
• "$\sin 2x = k$도 해가 두 개다." $x$가 한 바퀴 돌 때 $2x$는 두 바퀴 돕니다. 해도 두 배입니다.

연습 문제 (4분)

1. $0 \le x < 2\pi$에서 $\sin x = -\dfrac{1}{2}$의 해를 모두 구하세요.
2. 일반해를 쓰세요. (가) $\tan x = \sqrt{3}$ (나) $\cos x = 0$
3. 값을 구하세요. (가) $\arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ (나) $\arccos 0$ (다) $\arctan\sqrt{3}$ (라) $\arccos\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)$
4. $0 \le x < 2\pi$에서 $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$의 해를 모두 구하세요.
5. (서술형) 하늘바퀴 칸이 높이 47 m 이상인 시간대를 첫 바퀴($0 \le t < 12$)에서 구하고, 단위원을 써서 풀이 과정을 설명하세요.

풀이

1. 높이가 $-\frac{1}{2}$인 수평선은 원의 아래쪽 반을 자릅니다. 기준각 $\frac{\pi}{6}$을 아래로 옮기면 왼쪽 아래 $\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$, 오른쪽 아래 $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$입니다. 답: $\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$
2. (가) 기울기 $\sqrt{3}$인 동경은 $\frac{\pi}{3}$이고, tan은 반 바퀴마다 되풀이되므로 $x = \frac{\pi}{3} + n\pi$입니다. (나) 가로 위치가 0인 점은 꼭대기와 바닥, $\frac{\pi}{2}$와 $\frac{3\pi}{2}$입니다. 둘은 반 바퀴 차이라서 $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$로 한 줄에 씁니다. 답: (가) $\dfrac{\pi}{3} + n\pi$ (나) $\dfrac{\pi}{2} + n\pi$ ($n$은 정수)
3. (가) 오른쪽 반원에서 높이 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$는 $-\frac{\pi}{4}$. (나) 위쪽 반원에서 가로 위치 0은 꼭대기 $\frac{\pi}{2}$. (다) 기울기 $\sqrt{3}$은 $\frac{\pi}{3}$. (라) $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$이고, 위쪽 반원에서 가로 위치 $\frac{1}{2}$은 $\frac{\pi}{3}$입니다. $-\frac{\pi}{3}$은 arccos의 범위 밖이라 돌아오지 않습니다. 답: (가) $-\dfrac{\pi}{4}$ (나) $\dfrac{\pi}{2}$ (다) $\dfrac{\pi}{3}$ (라) $\dfrac{\pi}{3}$
4. $c = \cos x$로 두면 $2c^2 - c - 1 = (2c + 1)(c - 1) = 0$이므로 $c = 1$ 또는 $c = -\frac{1}{2}$입니다. $\cos x = 1$은 오른쪽 끝 한 점 $x = 0$. $\cos x = -\frac{1}{2}$은 세로선이 원의 왼쪽을 위아래로 잘라 $\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$. 답: $0, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}$
5. $32 - 30\cos\frac{\pi t}{6} \ge 47$이면 $\cos\frac{\pi t}{6} \le -\frac{1}{2}$입니다. $\theta = \frac{\pi t}{6}$으로 두면 $0 \le \theta < 2\pi$입니다. 단위원에서 가로 위치가 $-\frac{1}{2}$ 이하인 점은 세로선 $x = -\frac{1}{2}$의 왼쪽 호입니다. 경계는 $\frac{2\pi}{3}$(위)와 $\frac{4\pi}{3}$(아래)이고, 그 사이에 $\theta = \pi$(꼭대기, $\cos\pi = -1$)가 있으니 $\frac{2\pi}{3} \le \theta \le \frac{4\pi}{3}$입니다. $t = \frac{6\theta}{\pi}$로 바꾸면 $4 \le t \le 8$입니다. 확인: $h(4) = 32 - 30 \times\left(-\frac{1}{2}\right) = 47$ m. 답: 출발 후 4분부터 8분까지(4분 동안)

안내판 문구가 정해졌습니다. "전망 구간(높이 50 m 위): 출발 후 4분 14초부터 7분 46초까지." 도윤이 기울기 14.04°도 알려 주자 오 팀장이 고개를 젓습니다. "그건 도면 숫자야. 측량팀이 다음 주에 현장에서 다시 재야 해. 그런데 아랫역에서 윗역까지 사이에 계곡이 있어서 줄자를 못 걸쳐. 건너가지도 못하고." 은재 이모가 측각기 상자를 꺼내 옵니다. "이쪽 기슭에서 길이 하나만 재고, 나머지는 각으로 재면 돼." 6교시에서는 직각삼각형이 아닌 삼각형을 푸는 두 법칙, 사인법칙과 코사인법칙으로 건너갈 수 없는 거리를 잽니다.