원을 펼치면 파동: 삼각함수의 그래프

네 번째 토요일입니다. 도윤은 모눈종이를 들고 왔습니다. 2교시에 적은 칸 24개의 좌표표에서 높이만 골라 시간 순서로 점을 찍을 생각입니다. "칸이 15°마다 하나니까, 30초마다 점 하나씩 찍으면 되겠죠?"

은재 이모가 창밖의 하늘바퀴를 가리킵니다. "돌려 봐. 표 말고, 칸 하나를 눈으로 따라가면서 높이만 옆으로 옮겨 적는다고 생각해 봐." 도윤이 칸 하나를 골라 눈으로 따라갑니다. 바닥에서 출발한 칸이 오른쪽으로 돌며 천천히 올라가다가, 옆을 지날 때 가장 빨리 오르고, 꼭대기에서 잠깐 멈춘 듯하다가 다시 내려옵니다. "높이만 보면… 올라갔다 내려갔다를 되풀이하는 물결이네요."

"그 물결이 오늘의 주인공이야." 이모가 화이트보드 왼쪽에 원을, 오른쪽에 가로축을 긋습니다. 오늘은 원을 펼쳐 사인·코사인·탄젠트의 그래프를 만들고, 그래프를 늘이고 미는 네 숫자로 안내판의 식을 읽습니다.

4-1. 도는 점의 높이를 펼치면: 사인 곡선 (9분)

반지름 1인 원(단위원) 위의 점이 $(1, 0)$에서 출발해 시계 반대 방향으로 돕니다. 각 $\theta$만큼 돌았을 때 점의 높이는 $\sin\theta$입니다(2교시). 이제 가로축에 $\theta$를, 세로축에 그때의 높이 $\sin\theta$를 찍습니다. 점이 도는 동안 높이를 옆으로 옮겨 찍는 것입니다.

가로축의 $\theta$는 라디안입니다. 3교시에서 본 것처럼 라디안은 호의 길이이니, 가로축은 점이 지나온 원둘레를 곧게 펴서 깐 것과 같습니다. 원과 그래프를 같은 눈금으로 그리면 한 바퀴의 둘레 $2\pi \approx 6.28$이 그래프 가로축의 $2\pi$와 정확히 같은 길이가 됩니다.

아래 실습대의 왼쪽은 단위원이고, 주황 점이 도는 점입니다. 남색 세로 선분이 그 점의 높이 $\sin\theta$이고, 회색 수평 점선이 그 높이를 오른쪽 그래프로 옮깁니다. 오른쪽 그래프는 원과 같은 눈금이고 가로축에 $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$, $\dfrac{3\pi}{2}$, $2\pi$가 표시되어 있습니다. 원 위의 주황 호는 점이 지나온 길이고, 시간축 위의 주황 구간은 그 호를 편 것입니다. '재생'을 누르면 점이 8초에 한 바퀴를 돕니다. 'θ' 슬라이더로 원하는 각에 멈출 수 있고, '전체 곡선 미리 보기'를 켜면 한 바퀴의 곡선이 회색 점선으로 먼저 나옵니다.

이렇게 얻은 곡선 $y = \sin x$를 사인 곡선(사인 함수의 그래프)이라고 합니다. 그래프에서 읽을 것은 모두 원에서 온 것입니다.

• 값의 범위: 점이 반지름 1인 원 위에 있으니 높이는 $-1$부터 1까지입니다. $-1 \le \sin x \le 1$.
• 주기: 한 바퀴($2\pi$)를 더 돌면 같은 점에 오니 $\sin(x + 2\pi) = \sin x$입니다. 같은 모양이 $2\pi$마다 되풀이됩니다. 이렇게 되풀이되는 가장 짧은 길이를 주기(period)라 합니다. 사인 함수의 주기는 $2\pi$이고, 그 까닭은 원둘레의 길이가 $2\pi$이기 때문입니다.
• 음의 각: 시계 방향으로 돌면(2교시의 음의 각) 그래프가 왼쪽으로 이어집니다. 사인 곡선은 양쪽으로 끝없이 이어지는 물결입니다.

4-2. 옆 위치를 펼치면: 코사인 곡선 (7분)

같은 점의 옆 위치는 $\cos\theta$입니다. 이것도 시간에 따라 펼쳐 봅시다. 옆 위치는 가로 방향의 길이라서, 높이처럼 오른쪽으로 옮겨 찍기가 어색합니다. 그래서 이번에는 시간축을 원 아래쪽으로 흐르게 하고, 점에서 수직 점선을 내려 옆 위치를 찍습니다. 다 그린 다음 그 그래프를 시계 반대 방향으로 90° 돌려 눕히면 가로축이 시간인 보통 그래프가 됩니다.

아래 실습대의 청록 선분이 옆 위치 $\cos\theta$이고, 원 아래의 청록 곡선이 그것을 아래로 펼친 그래프입니다. 오른쪽에는 같은 점의 높이(남색 사인 곡선)도 함께 그려집니다. 한 바퀴를 다 그린 뒤 '눕히기'를 누르면 아래 그래프가 90° 돌아 오른쪽 시간축에 눕습니다. '다시 세우기'로 되돌립니다.

눕힌 코사인 곡선은 사인 곡선을 왼쪽으로 $\dfrac{\pi}{2}$ 민 것과 같습니다. 원에서 보면 당연합니다. 지금 점의 옆 위치는, 90° 더 돈 점의 높이와 같습니다. 옆 위치를 재는 일은 원을 90° 돌려 놓고 높이를 재는 일이기 때문입니다.

그래서 코사인 함수도 값의 범위가 $-1 \le \cos x \le 1$, 주기가 $2\pi$입니다. 다른 점은 출발점뿐입니다. 사인은 가운데(0)에서 올라가며 출발하고, 코사인은 꼭대기(1)에서 출발합니다. 이것 하나만 기억하면 두 그래프를 언제든 다시 그릴 수 있습니다.

4-3. 네 숫자로 읽는 파동: 진폭·주기·위상·세로 이동 (10분)

실제 놀이기구의 높이는 $-1$부터 1까지가 아니고, 한 바퀴가 $2\pi$분도 아닙니다. 사인 곡선을 늘이고 밀어서 맞춥니다. 쓰는 숫자는 네 개입니다.

네 숫자는 각각 "어떤 바퀴를 돌리고 있나"의 한 가지 사실입니다.

$B$에 대해 한 번 더 봅니다. 괄호 안 $B(x - C)$가 "지금까지 돈 각"입니다. 가로축이 1 늘 때 각이 $B$씩 늘어나니, 한 바퀴($2\pi$)를 도는 데 가로축으로 $\dfrac{2\pi}{B}$가 걸립니다. $B = 2$이면 두 배 빨리 돌아 주기가 $\pi$로 줄고, $B = \dfrac{1}{2}$이면 주기가 $4\pi$로 늘어납니다.

$C$의 부호를 조심합니다. $x - C$에서 $C$가 양수이면 그래프는 오른쪽으로 갑니다. $x = C$일 때 괄호 안이 0, 곧 출발점이 되기 때문입니다.

코사인도 똑같이 $y = A\cos\big(B(x - C)\big) + D$로 씁니다. 이때 $x = C$는 "꼭대기에 있는 때"입니다.

4-4. 하늘바퀴의 식을 읽다 (8분)

안내판의 식으로 돌아옵니다. $t$는 분, $h$는 m입니다.

$A\cos\big(B(t - C)\big) + D$ 꼴로 보면 $A = -30$, $B = \dfrac{\pi}{6}$, $C = 0$, $D = 32$입니다. 하나씩 바퀴의 말로 옮깁니다.

• 32 (D): 바퀴 중심의 높이 32 m. 그래프의 가운데 줄입니다.
• 30 (|A|): 반지름 30 m. 칸은 중심보다 30 m 높은 62 m(꼭대기)부터 30 m 낮은 2 m(바닥)까지 오르내립니다.
• $\dfrac{\pi}{6}$ (B): 3교시에 구한 각속도 $\dfrac{\pi}{6}$ rad/분. 주기는 $\dfrac{2\pi}{\pi/6} = 12$분, 곧 한 바퀴 12분입니다.
• 앞의 마이너스 (A < 0): 코사인은 꼭대기에서 출발합니다. 칸은 바닥에서 출발하니 위아래를 뒤집었습니다.

(소수 둘째 자리까지.) 같은 곡선을 다른 식으로도 쓸 수 있습니다.

• 사인으로: 사인은 가운데를 올라가며 출발합니다. 칸이 중심 높이 32 m를 올라가며 지나는 때는 $t = 3$(오른쪽 옆을 지날 때)이니 $C = 3$입니다.

• 뒤집지 않은 코사인으로: 코사인은 꼭대기에서 출발합니다. 꼭대기는 $t = 6$이니

세 식은 모든 $t$에서 같은 값을 냅니다(위 표를 어느 식으로 계산해도 같습니다). 식은 여러 개, 곡선은 하나입니다. 어떤 식을 고를지는 "언제를 출발점으로 볼까"의 문제입니다. 바닥에서 출발한다는 사실이 가장 잘 보이는 첫 식이 안내판에 맞습니다.

아래 실습대의 회색 점선이 목표인 하늘바퀴 높이(두 바퀴, 24분)이고, 남색 곡선이 네 숫자로 만든 내 곡선입니다. 오른쪽 'A', 'B', 'C', 'D' 슬라이더로 숫자를 바꿉니다. B는 $\dfrac{\pi}{24}$ 단위로 움직입니다. '식의 꼴' 칩으로 sin 꼴과 cos 꼴을 고릅니다. 조작판에 지금의 식, 주기, 최고·최저 높이, 두 곡선의 어긋남(m)이 나옵니다. 막히면 '하나씩 맞추기'의 '재생'(또는 '다음')을 누르세요. D → A → B → C 순서로 한 숫자씩 맞추며 그래프 위에 주황 안내선으로 그 까닭을 보여 줍니다.

4-5. 대칭은 원에서 읽는다 (5분)

삼각함수 단원에는 $\sin(\pi - x)$, $\cos(-x)$ 같은 공식이 줄지어 나옵니다. 외우지 말고 원에 점 두 개를 찍어 읽습니다. $x$를 첫째 사분면의 작은 각이라 생각하고 그리면 충분합니다.

그래프로는 이렇게 보입니다. 사인 곡선은 원점을 중심으로 180° 돌려도 겹칩니다($\sin(-x) = -\sin x$, 원점 대칭). 코사인 곡선은 세로축을 거울로 비쳐도 겹칩니다($\cos(-x) = \cos x$, $y$축 대칭). 사인 곡선은 꼭대기 $x = \dfrac{\pi}{2}$를 지나는 세로선을 거울 삼아 좌우 대칭이라 $\sin(\pi - x) = \sin x$입니다.

4-6. 탄젠트 그래프와 점근선 (5분)

2교시에서 $\tan\theta$는 동경을 늘여 접선 $x = 1$과 만나는 점의 높이였습니다. 이것도 펼쳐 봅니다. 아래 실습대의 보라 세로 직선이 접선 $x = 1$이고, 회색 점선이 동경을 늘인 선입니다. 둘이 만나는 높이(보라 선분)가 $\tan\theta$이고, 그 높이를 오른쪽으로 옮겨 찍습니다. 세로축은 $-3$부터 3까지이고 회색 세로 점선이 점근선입니다.

• 점근선: $\theta = \dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{3\pi}{2}$, …에서 동경이 수직이 되어 접선과 만나지 않습니다. $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$의 분모 $\cos\theta$가 0인 곳입니다. 그래프는 그 세로선에 한없이 가까워지기만 하고 닿지 않습니다. 이런 직선을 점근선(asymptote)이라 합니다. $\tan 1.5 \approx 14.10$, $\tan 1.55 \approx 48.08$, $\tan 1.57 \approx 1255.77$처럼 $\dfrac{\pi}{2} \approx 1.5708$ 바로 앞에서 값이 폭발합니다.
• 주기는 $\pi$: 정반대편의 두 점(각 $\theta$와 $\theta + \pi$)은 같은 직선 위에 있어서 접선과 같은 점에서 만납니다. 그래서 $\tan(\theta + \pi) = \tan\theta$이고, 탄젠트의 주기는 사인·코사인의 절반인 $\pi$입니다.
• 값의 범위: 접선 위의 높이는 얼마든지 크거나 작을 수 있습니다. 모든 실수입니다.

기호 읽는 법

교과서에서는

• 교과서는 '수학 I'(2022 개정 '대수') 삼각함수 단원에서 y = sin x, y = cos x, y = tan x의 그래프를 단위원과 함께 그립니다. 핵심 낱말은 주기함수, 주기, 최댓값·최솟값, 점근선입니다.
• 시험에는 y = a sin(bx + c) + d 꼴이 많이 나옵니다. 주기 2π/|b|, 최댓값 |a| + d, 최솟값 −|a| + d로 공식처럼 외우기 쉽지만, 밀린 양은 반드시 b로 묶어서(bx + c = b(x + c/b)) 읽어야 합니다. 예제 4-4가 그 함정입니다.
• tan의 주기는 π/|b|입니다. sin·cos와 달리 2π가 아니라는 것이 자주 나옵니다.
• 그래프의 일부를 보여 주고 a, b, c, d를 구하라는 문제는 예제 4-5처럼 D → A → B → C 순서로 풉니다.

자주 하는 착각 (3분)

• "$y = \sin(2x - \pi)$는 오른쪽으로 $\pi$ 민 것이다." 2로 묶으면 $\sin\left(2\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)\right)$이라 $\dfrac{\pi}{2}$입니다.
• "$B$가 크면 주기도 길다." 거꾸로입니다. $B$는 도는 빠르기라서 클수록 주기 $\dfrac{2\pi}{B}$가 짧아집니다.
• "$\sin(x - C)$에서 $C > 0$이면 왼쪽으로 간다." $x = C$에서 괄호 안이 0이 되니 출발점이 오른쪽 $x = C$로 갑니다.
• "탄젠트의 주기도 $2\pi$다." 정반대편 점이 같은 직선 위에 있어서 주기는 $\pi$입니다.
• "$h(t)$의 식은 하나뿐이다." 같은 곡선을 sin으로도, cos으로도, $A$의 부호를 바꿔서도 쓸 수 있습니다. 값이 모든 $t$에서 같으면 같은 함수입니다.

연습 문제 (3분)

1. $y = 2\sin 3x - 1$의 진폭, 주기, 최댓값, 최솟값을 구하세요.
2. $y = 4\cos\left(\dfrac{\pi}{2}(x - 1)\right) + 5$의 주기를 구하고, $0 \le x \le 4$에서 최댓값과 최솟값, 그때의 $x$를 구하세요.
3. 반지름 10 m, 중심 높이 12 m, 한 바퀴 8분인 관람차의 칸이 바닥에서 출발합니다. 높이 $h(t)$의 식을 쓰고, 3분 뒤의 높이를 구하세요. (소수 둘째 자리까지)
4. (서술형) $y = \sin x$의 주기가 $2\pi$이고 최댓값이 1인 이유를 단위원으로 설명하세요.
5. $y = \tan 2x$의 주기를 구하고, $0 \le x \le \pi$에서 점근선을 모두 쓰세요.

풀이

1. $A = 2$, $B = 3$, $D = -1$입니다. 진폭 2, 주기 $\frac{2\pi}{3}$, 최댓값 $-1 + 2 = 1$, 최솟값 $-1 - 2 = -3$. 답: 2, $\frac{2\pi}{3}$, 1, $-3$
2. 주기 $\frac{2\pi}{\pi/2} = 4$. 코사인은 괄호 안이 0일 때 꼭대기이니 $x = 1$에서 최댓값 $4 + 5 = 9$이고, 반 주기 뒤인 $x = 3$에서 최솟값 $-4 + 5 = 1$입니다. 답: 주기 4, 최댓값 9($x = 1$), 최솟값 1($x = 3$)
3. $D = 12$, 반지름 10, 각속도 $\frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ rad/분이고 바닥에서 출발하니 뒤집은 코사인입니다. $h(t) = 12 - 10\cos\frac{\pi t}{4}$. $h(3) = 12 - 10\cos\frac{3\pi}{4} = 12 + 10 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 19.07$ m. 답: $h(t) = 12 - 10\cos\dfrac{\pi t}{4}$, 약 19.07 m
4. $\sin x$는 단위원 위에서 각 $x$만큼 돈 점의 높이입니다. 점은 반지름 1인 원 위에만 있으므로 높이는 꼭대기(1)보다 클 수 없고, 꼭대기에 있는 $x = \frac{\pi}{2}$에서 최댓값 1이 됩니다. 또 $2\pi$는 정확히 한 바퀴라서, $x$에 $2\pi$를 더하면 점은 같은 자리로 돌아와 높이가 같습니다. $2\pi$보다 짧게 돌아서는 모든 점이 같은 자리로 돌아오지 않으므로(예를 들어 $\pi$만큼 돌면 꼭대기가 바닥으로 갑니다) 주기는 $2\pi$입니다.
5. $\tan$의 주기는 $\pi$이고 $B = 2$이니 주기는 $\frac{\pi}{2}$입니다. 점근선은 $2x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, 곧 $x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$입니다. 답: 주기 $\frac{\pi}{2}$, 점근선 $x = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{3\pi}{4}$

안내판 시안에 그래프가 들어갑니다. 가로축은 0–12분, 세로축은 높이, 가운데 32 m에 점선, 그 아래 한 줄. "중심 높이 32 m, 반지름 30 m, 12분에 한 바퀴. 바닥에서 출발합니다." 오 팀장이 시안을 보고 고개를 끄덕이더니 메일 하나를 읽어 줍니다.

"손님 의견함에 이런 게 왔대. '50 m보다 높은 데서 사진을 찍고 싶은데, 출발하고 몇 분부터 몇 분까지예요?' 그리고 하나 더. 구름길 도면에 기울기가 '높이 차 210 m, 수평 거리 840 m'라고만 돼 있어. 그래서 그게 몇 도야?" 도윤이 오늘 그린 그래프에 50 m 높이로 가로줄을 긋습니다. 줄이 물결을 두 번 자릅니다. "거꾸로네요. 높이를 주고 시간을 묻는 거예요." 5교시에서는 그래프와 원을 거꾸로 읽어 삼각방정식을 풀고, 각을 되찾는 함수인 역삼각함수를 만납니다.