소리는 떨림이다: 진동수, 옥타브, 배음

화요일 저녁 일곱 시. 오래된 상가 계단을 3층까지 올라가면 작은 간판이 보입니다. 레슨실 반음. 문을 열면 낡은 업라이트 피아노 한 대와 의자 몇 개가 전부입니다. 주인은 마경희 선생입니다. 재즈 클럽에서 30년을 연주하고 은퇴한 피아니스트로, 다들 마 선생이라고 부릅니다. 평일 저녁에는 직장인 반을 엽니다.

오늘 처음 온 해솔은 30대 회사원입니다. 기타 가방을 메고, 밴드 친구 소리를 데려왔습니다. 소리는 보컬입니다. 둘의 목표는 하나, 자작곡을 한 곡 끝까지 만드는 것입니다. 해솔이 털어놓습니다. "코드는 열 개쯤 외워서 쳐요. 그런데 왜 그게 그 소리인지는 하나도 몰라요. 오다가 궁금한 게 생겼어요. 기타 5번 줄이 A잖아요. 피아노에도 A가 있고요. 같은 A인데 왜 소리가 달라요?"

마 선생은 대답 대신 피아노 왼쪽의 A 건반을 하나 누릅니다. 그리고 해솔에게 5번 줄을 그냥 튕겨 보라고 합니다. 두 소리가 레슨실에 차례로 울립니다. 소리가 먼저 말합니다. "높이는 똑같은데요. 피아노는 둥글고, 기타는 좀 쨍해요."

"이름은 나중에. 일단 들어 봐." 마 선생이 웃으며 휴대폰 튜너를 켭니다. 두 소리 모두 화면에 A2 · 110 Hz가 뜹니다. "같은 건 '얼마나 빨리 떠느냐'야. 다른 건 '어떻게 떠느냐'고. 오늘은 그 두 가지를 보러 가자."

1-1. 소리는 공기의 떨림이다 (8분)

기타 줄을 튕기면 줄이 앞뒤로 아주 빠르게 떱니다. 줄은 옆의 공기를 밀었다 당겼다 합니다. 공기가 빽빽해진 곳과 성겨진 곳이 번갈아 생기고, 그 무늬가 사방으로 퍼져 나갑니다. 이 무늬가 귀에 닿으면 고막이 같은 리듬으로 떨고, 우리는 그것을 소리로 듣습니다. 소리는 공기의 떨림입니다.

떨림에서 가장 중요한 수는 1초에 몇 번 떠느냐입니다. 이것을 진동수(frequency) 라고 하고, 단위는 헤르츠(Hz) 입니다. 1초에 110번 떨면 110 Hz입니다. 진동수가 클수록 높은 음으로 들립니다.

음 이름 뒤의 숫자는 몇 번째 옥타브인지를 뜻합니다(1-2절). 피아노 건반 한가운데 있는 도가 C4이고, 이 강의는 이 번호를 씁니다.

오늘날 대부분의 악기는 A4 = 440 Hz에 맞춥니다. 튜너 화면 구석에 대개 '440'이 적혀 있는 이유입니다. 나머지 음의 진동수는 모두 이 기준에서 계산합니다(2교시).

한 번 떠는 데 걸리는 시간을 주기(period) 라고 합니다. 주기와 진동수는 서로 뒤집은 값입니다.

A4는 1초에 440번 떠니 한 번에 $1/440$초, 약 2.27밀리초(1000분의 1초)가 걸립니다. A3(220 Hz)는 그 두 배인 약 4.55밀리초입니다. 음이 높을수록 주기가 짧습니다.

1-2. 줄 길이와 음높이: 반으로 줄이면 옥타브 (10분)

기타를 칠 때 왼손으로 줄을 누르면 음이 높아집니다. 누른 자리부터 브리지(줄을 받치는 오른쪽 끝)까지만 떨기 때문입니다. 떠는 줄이 짧을수록 빨리 떨고, 빨리 떨수록 높은 음입니다.

아래 실습대에서 직접 해 봅시다. 소리가 납니다. 음량을 먼저 확인하세요. 소리는 버튼을 누를 때만 납니다.

맨 위 그림이 줄입니다. 왼쪽 끝이 줄감개, 오른쪽 끝이 브리지이고, 주황 점이 줄을 누른 손가락입니다. 손가락부터 브리지까지 남색 부분이 떠는 부분입니다. 가운데 여덟 칸은 1-3절에서 쓸 배음 칸입니다. 맨 아래 그래프는 귀에 닿는 공기 압력의 변화입니다. 가로축은 시간(밀리초), 세로축은 압력이고, 회색 점선 사이가 한 주기입니다. 오른쪽 조작판에서 줄 길이와 음색, 기준음(줄 전체의 음)을 고릅니다.

들어 본 것을 표로 정리합니다. 기준음은 실습대의 첫 화면처럼 A3 = 220 Hz입니다.

규칙은 단순합니다. 줄 길이에 곱한 수를 뒤집으면 진동수에 곱하는 수가 됩니다. 길이를 1/2로 하면 진동수는 2배, 2/3로 하면 3/2배입니다.

진동수가 정확히 2배인 두 음의 사이를 옥타브(octave) 라고 합니다. 옥타브 차이인 두 음은 너무 잘 어울려서 거의 같은 음처럼 들립니다. 그래서 이름도 같습니다. A3 다음 옥타브의 A가 A4, 그다음이 A5입니다. 진동수는 220, 440, 880 Hz로 옥타브마다 두 배씩 늘어납니다. 남자와 여자가 같은 노래를 함께 부르면 보통 한 옥타브 떨어져 부르는데, 그래도 '같은 멜로디'로 들리는 것도 이 때문입니다.

이 관계는 기타 지판에 그대로 새겨져 있습니다.

• 12번 프렛은 줄의 정확히 한가운데에 있습니다. 누르면 줄 길이가 1/2, 개방현보다 한 옥타브 높은 음이 납니다.
• 7번 프렛을 누르면 남는 길이가 약 0.667, 거의 2/3입니다. 개방현보다 완전5도 높습니다.
• 5번 프렛을 누르면 남는 길이가 약 0.749, 거의 3/4입니다. 완전4도 높습니다.

'거의'인 이유는 2교시에 나오는 평균율 때문입니다. 줄 길이의 단순한 비로 음정을 설명하는 생각은 아주 오래되었습니다. 고대 그리스의 피타고라스 학파가 줄 하나를 걸어 놓은 악기로 1/2, 2/3, 3/4의 관계를 설명했다고 전해집니다.

길이만 음높이를 정하는 것은 아닙니다. 줄을 팽팽하게 조일수록 높아지고(튜닝할 때 줄감개를 돌리는 이유), 굵고 무거운 줄일수록 낮아집니다. 기타 6번 줄이 가장 굵은 이유입니다.

1-3. 배음: 줄은 한 번에 여러 모양으로 떤다 (12분)

이제 해솔의 질문, "어떻게 떠느냐"로 갑니다. 줄을 튕기면 줄 전체가 활 모양으로 크게 떱니다. 이것이 기음(fundamental) 이고, 우리가 '이 음'이라고 부르는 높이를 정합니다. 그런데 줄은 동시에 다른 모양으로도 떱니다. 반으로 나뉘어 두 덩어리로, 셋으로 나뉘어 세 덩어리로, 넷으로 나뉘어서도 떱니다.

반으로 나뉜 떨림은 길이가 1/2인 줄과 같습니다. 그래서 진동수가 2배입니다. 셋으로 나뉜 떨림은 3배, 넷은 4배입니다. 이렇게 기음의 정수배로 함께 떠는 성분을 배음(harmonic) 이라고 합니다. 기음을 1번 배음으로 셉니다. 나뉜 덩어리 사이에는 전혀 떨지 않는 점이 생기는데, 이것을 마디(node) 라고 합니다. k번 배음은 줄을 k덩어리로 나누고, 마디가 k−1개입니다.

위 실습대의 가운데 여덟 칸이 1번부터 8번 배음의 떨림 모양입니다. 주황 점이 마디입니다. 칸을 눌러 켜고 끌 수 있습니다. 2번 칸을 켜고 '튕기기'를 눌러 보세요. 맨 위 줄의 움직임이 한쪽으로 기울어지고, 아래 파형이 둥근 물결에서 찌그러진 모양으로 바뀝니다. 음높이는 그대로입니다. '소리 없이 계속 떨기'를 누르면 줄의 움직임을 천천히 오래 볼 수 있습니다.

A3(220 Hz) 줄의 배음을 건반 위에 놓아 보면 놀라운 것이 보입니다.

한 음 안에 옥타브(2번, 4번, 8번), 완전5도(3번, 6번), 장3도(5번)가 이미 들어 있습니다. 4·5·6번 배음인 A, C♯, E를 함께 누르면 A 장3화음(A 코드)이 됩니다. 2교시의 '어울리는 음정'과 5교시의 3화음이 여기서 출발합니다. 자연이 먼저 화음을 품고 있었던 셈입니다.

옥타브가 '같은 음'처럼 들리는 이유도 배음으로 설명됩니다. A4(440 Hz)의 배음은 440, 880, 1,320 … Hz입니다. 이 수들은 모두 A3의 짝수 번 배음과 겹칩니다. 위 음의 성분이 아래 음 안에 이미 다 있으니 둘이 하나로 녹아듭니다.

기타를 친다면 배음을 손으로 꺼내 볼 수 있습니다. 12번 프렛 바로 위의 줄을 손가락으로 살짝 대기만 하고 튕긴 뒤 손을 떼면, 맑고 높은 종소리 같은 음이 납니다. 줄 한가운데를 막았기 때문에 그 자리에 마디가 있는 떨림(2번, 4번, 6번 … 배음)만 살아남은 것입니다. 이것을 하모닉스(harmonics) 주법이라고 부릅니다. 7번 프렛 위(줄의 약 1/3 자리)에서 하면 3번 배음, 즉 1옥타브 + 완전5도 위의 음이 납니다.

1-4. 음색: 배음의 세기가 소리의 얼굴이다 (10분)

음높이와 크기가 같아도 피아노와 기타는 다르게 들립니다. 이 차이를 음색(timbre) 이라고 합니다. 음색을 정하는 가장 큰 요인은 어떤 배음이 얼마나 센가입니다. 기음이 같으면 음높이는 같습니다. 그 위에 얹힌 배음의 조합이 다르면 소리의 얼굴이 달라집니다.

아래 실습대는 위와 같은 실습대를 배음 8개가 모두 켜진 '현 비슷' 상태로 연 것입니다. 배음 칸 아래 남색 막대가 각 배음의 세기입니다. 오른쪽 '음색'에서 네 가지 조합을 고를 수 있습니다.

네 가지 조합을 정리하면 이렇습니다. 실습대의 소리는 실제 악기를 흉내 낸 단순한 모형입니다. '비슷'이라고 붙인 이유입니다.

클라리넷 같은 관은 한쪽 끝이 막혀 있어 짝수 번 배음이 잘 생기지 않습니다. 특히 낮은 음역에서 그렇습니다. 그래서 같은 음을 불어도 플루트와 다른, 특유의 굵고 어두운 소리가 납니다.

이제 해솔의 질문에 답할 수 있습니다. 피아노와 기타는 같은 A2를 낼 때 기음은 같습니다(110 Hz). 다른 것은 두 가지입니다.

1. 배음의 조합. 피아노는 망치가 줄을 때리고, 기타는 손가락이나 피크가 줄을 뜯습니다. 줄의 어디를 어떻게 건드리느냐에 따라 살아나는 배음이 달라집니다. 기타도 브리지 가까이에서 튕기면 높은 배음이 많아져 쨍하고, 줄 가운데 쪽에서 튕기면 둥글어집니다. 같은 기타 안에서도 음색이 바뀝니다. 악기 몸통이 어떤 진동수를 더 크게 울리느냐도 배음의 세기를 바꿉니다.
2. 소리가 시작하고 사라지는 모양. 피아노는 망치가 때리는 순간 확 커졌다가 천천히 사라집니다. 바이올린은 활을 그으면 서서히 커지고, 그동안 소리가 유지됩니다. 녹음된 피아노 소리에서 처음 순간을 잘라 내면 피아노인지 알아맞히기가 꽤 어려워집니다.

소리가 말한 "피아노는 둥글고, 기타는 쨍해요"는 정확한 관찰이었습니다. 쨍하다는 것은 높은 배음이 상대적으로 세다는 뜻입니다.

이름 정리

실제 곡에서는

오케스트라는 연주 전에 오보에가 내는 A음 하나에 모든 악기를 맞춥니다. 기준음 하나에서 나머지를 정하는 방식이 무대 위에서 그대로 보입니다. «작은 별»을 남녀가 함께 부르면 대개 한 옥타브 떨어진 채로 부르게 되는데, 듣는 사람은 한 멜로디로 듣습니다. 기타리스트는 5번 프렛과 7번 프렛의 하모닉스를 이웃 줄끼리 맞춰 보며 튜닝하기도 합니다. 배음끼리 같은 높이인지 귀로 확인하는 방법입니다.

자주 하는 착각 (4분)

• "높은 음은 큰 소리다." 높이와 크기는 다릅니다. 높이는 1초에 몇 번 떠느냐(진동수), 크기는 얼마나 크게 떠느냐(떨림의 폭)입니다. 낮고 큰 소리도, 높고 작은 소리도 있습니다.
• "줄을 반으로 줄이면 음도 '반쯤' 높아진다." 진동수가 2배가 되어 한 옥타브, 건반으로 12칸이나 올라갑니다.
• "옥타브 위의 음은 다른 음이다." 진동수가 2배일 뿐 이름이 같고, 거의 같은 음처럼 녹아듭니다. 위 음의 배음이 아래 음의 배음 안에 모두 들어 있기 때문입니다.
• "배음은 악기가 따로 내는 다른 음이다." 한 음 안에 이미 들어 있는 성분입니다. 따로 들리지 않고 음색으로 들립니다.
• "음색은 악기의 재료로만 정해진다." 재료도 영향을 주지만, 결국 귀에 닿는 것은 배음의 조합과 소리가 시작하고 사라지는 모양입니다. 같은 기타도 튕기는 자리에 따라 음색이 바뀝니다.

연습 문제 (6분)

1. A4는 440 Hz입니다. A5와 A2의 진동수는 각각 얼마일까요?
2. 기타 6번 줄(개방현)은 E2, 약 82.4 Hz입니다. 12번 프렛을 누르면 진동수는 얼마이고, 음 이름은 무엇일까요?
3. 110 Hz로 떠는 줄(A2)의 3번 배음은 몇 Hz일까요? 가장 가까운 건반은 무엇이고, 기음과 어떤 관계일까요?
4. 실습대에서 220 Hz 줄을 '사인파'로 한 번, '클라리넷 비슷'으로 한 번 냈습니다. 두 소리의 음높이와 음색은 각각 같을까요, 다를까요? 아래 파형에서는 무엇이 같고 무엇이 다를까요?

풀이

1. 옥타브마다 진동수가 2배입니다. A5는 440 × 2 = 880 Hz, A2는 440 ÷ 2 ÷ 2 = 110 Hz입니다. 기타 5번 줄이 바로 A2입니다.
2. 12번 프렛은 줄의 한가운데라서 길이가 1/2, 진동수는 2배인 약 164.8 Hz입니다. 한 옥타브 위의 E, 즉 E3입니다.
3. 110 × 3 = 330 Hz입니다. 가장 가까운 건반은 E4(약 329.63 Hz)이고, 기음보다 1옥타브 + 완전5도 위입니다. 줄 길이 2/3의 음(165 Hz, E3)보다 정확히 한 옥타브 위이기도 합니다.
4. 음높이는 같습니다. 기음이 둘 다 220 Hz라서 파형의 한 주기(회색 점선 간격, 약 4.55밀리초)가 같습니다. 음색은 다릅니다. 사인파는 매끈한 물결이고, 클라리넷 비슷한 소리는 3·5·7번 배음이 더해져 네모에 가까운 모양입니다. 주기는 같고 한 주기 안의 모양이 다릅니다.

레슨이 끝날 무렵, 해솔은 피아노 앞에 앉아 건반을 처음으로 가만히 내려다봅니다. 흰 건반 사이사이에 검은 건반이 두 개, 세 개씩 무리 지어 있습니다. 그런데 어떤 흰 건반 사이에는 검은 건반이 없습니다. "선생님, 이건 왜 빠져 있어요? 고장 난 건 아니죠?" 마 선생이 가방을 챙기며 말합니다. "목요일에 건반 지도를 펼쳐 보자." 2교시에서는 한 옥타브를 반음 12개로 나눈 건반의 지도와, 두 음 사이의 거리인 음정을 다룹니다.