레버리지: 두 배의 두 배가 아닌 이유

5월 첫째 일요일 저녁입니다. 설거지를 끝낸 태오가 휴대폰을 식탁 한가운데 세웁니다. 재테크 영상 한 편이 멈춰 있습니다. 썸네일에는 굵은 글씨로 "3배로 달리는 법"이라고 적혀 있습니다.

"지난주에 본 '작년에 40% 오른 펀드' 있잖아. 그 지수를 3배로 따라가는 상품이 있대. 작년 같으면 120%야. 모아 둔 돈에서 1,000만 원만 넣어 보자." 민서가 노트북에서 눈을 뗍니다. "그래서 우리는 뭘 고르면 돼? 넣으면 1년 뒤에 얼마가 되는데?"

노트북 화면 구석, 영상 통화 창의 수진이 찻잔을 내려놓습니다. "태오야, 하나만 묻자. 그 3배는 1년 수익률의 3배야, 하루 수익률의 3배야? 그리고 지수가 1년 내내 오르락내리락하다가 제자리로 돌아오면, 그 상품은 어디에 있을까?" 태오가 영상 설명란을 한참 내려 읽습니다. 작은 글씨로 "일일 수익률의 3배를 추구"라고 적혀 있습니다.

이번 교시에서는 빚을 내 투자하는 것과 레버리지 상품이 어떻게 다른지, 날마다 다시 맞추는(일간 리셋) 구조가 무엇인지 봅니다. 같은 지수가 오르는 장·내리는 장·흔들리는 장에서 1배·2배·3배가 어디에 닿는지 실습대로 굴려 보고, 잃은 돈을 되찾는 데 필요한 수익률을 계산합니다. 이 교시는 상품을 평가하지 않습니다. 구조를 보고, 결정 전에 계산할 숫자를 정합니다.

9-1. 빚을 내 투자하면: 레버리지의 기본 (8분)

레버리지(leverage) 는 지렛대라는 뜻입니다. 내 돈보다 큰 금액을 움직여서 수익과 손실을 함께 키우는 것을 말합니다. 가장 단순한 방법은 돈을 빌려 함께 투자하는 것입니다.

태오가 자기 돈 1,000만 원에 2,000만 원을 연 6%로 빌려 보태, 3,000만 원어치를 1년 동안 들고 있다고 해 봅시다. 1년 이자는 $2{,}000\text{만} \times 0.06 = 120\text{만 원}$입니다.

투자 대상이 10% 움직일 때 내 돈은 그 3배인 30%만큼 움직이고, 거기서 이자 12%p가 늘 빠집니다. 그래서 오를 때는 +18%, 내릴 때는 −42%로 대칭이 아닙니다. 이자 120만 원을 메우려면 투자 대상이 적어도 $120 \div 3{,}000 = 4\%$ 올라야 본전입니다. 거꾸로 $880 \div 3{,}000 \approx 29.3\%$ 내리면 내 돈은 모두 사라집니다.

증거금과 반대매매

빌려서 투자할 때 내 돈으로 넣어 두는 몫을 증거금(margin) 이라고 합니다. 빌려준 쪽은 담보가 모자라지 않은지 날마다 봅니다. 계좌의 평가액이 빌린 돈에 견주어 정해 둔 비율 아래로 내려가면, 돈을 더 넣으라고 요구하고, 넣지 않으면 주식을 강제로 팝니다. 이것이 반대매매입니다.

예를 들어 "평가액이 빌린 돈의 140% 아래면 판다"는 가상의 기준이 있다고 합시다. 처음 평가액은 빌린 돈의 $3{,}000 \div 2{,}000 = 150\%$입니다. 평가액이 $2{,}000\text{만} \times 1.4 = 2{,}800\text{만 원}$ 아래가 되면 팔리므로, 투자 대상이 겨우 $1 - 2{,}800 \div 3{,}000 \approx 6.7\%$ 내리면 강제로 팔릴 수 있습니다. 그때 내 몫은 800만 원(이자 빼기 전)으로 확정됩니다. 나중에 값이 회복돼도 이미 팔린 뒤라 따라 오르지 못합니다. 빚을 낸 투자의 가장 큰 위험은 손실이 커지는 것보다 기다릴 권리를 잃는 것입니다.

9-2. 날마다 다시 맞추는 3배: 일간 리셋 (10분)

태오가 본 상품은 빚을 직접 내는 것이 아닙니다. 상품 안에서 기초 지수(따라가는 지수)의 하루 수익률의 3배를 내도록 매일 장이 끝날 때 다시 맞춥니다. 이것을 일간 리셋(daily reset) 이라고 합니다. 오늘 지수가 +1%면 상품은 +3%, −2%면 −6%입니다. 하루 단위로는 정확히 3배입니다. 그런데 날이 쌓이면 이야기가 달라집니다.

지수가 하루는 +10%, 다음 날은 −10% 움직였다고 합시다. 시작을 100으로 놓습니다.

지수는 1% 내렸는데 3배 상품은 3%가 아니라 9% 내렸습니다. 이틀을 한 묶음으로 보면 $L$배 상품은

배가 됩니다. $r = 0.1$이면 1배는 $1 - 0.01 = 0.99$, 2배는 $1 - 0.04 = 0.96$, 3배는 $1 - 0.09 = 0.91$입니다. 손실이 배수 $L$이 아니라 배수의 제곱 $L^2$ 에 비례해 1 : 4 : 9로 커집니다.

이 묶음을 열 번(20일) 되풀이하면 차이가 더 벌어집니다(소수 둘째 자리 반올림).

"지수 수익률의 3배"를 기대했다면 $3 \times (-9.56\%) \approx -28.7\%$였을 것입니다. 실제는 −61.1%로 두 배 넘게 나쁩니다. 일간 리셋 상품의 3배는 하루의 3배이지 기간의 3배가 아닙니다.

아래 실습대가 이 장면을 그립니다. 진회색 선이 기초 지수(1배), 청록이 2배, 남색 굵은 선이 3배입니다. 남색 점선은 "기초 지수의 누적 수익률 × 3", 곧 태오가 기대한 3배이고, 회색 점선은 시작값 100입니다. '재생'을 누르면 하루씩 그려지고, 오른쪽 읽기 칸에 20일 뒤 수익률이 나옵니다.

9-3. 오르는 장, 내리는 장, 흔들리는 장 (10분)

현실의 지수는 +10%, −10%처럼 반듯하게 움직이지 않습니다. 실습대의 '무작위' 경로는 시드를 고정한 난수로 1년(거래일 250일) 동안 하루 수익률을 뽑습니다. 하루 흔들림은 하루 수익률이 보통 얼마나 출렁이는지(표준편차)이고, 기간 수익률은 기초 지수가 기간 끝에 닿는 곳입니다. 하루 흔들림 2%는 1년 변동성으로 치면 약 $2\% \times \sqrt{250} \approx 31.6\%$로, 꽤 출렁이는 지수입니다.

첫 화면은 제자리 장입니다. 기초 지수는 1년 동안 오르락내리락하다 정확히 출발점(0%)으로 돌아옵니다. 그사이 2배와 3배는 어디에 있을까요? 장 모양 칩으로 오르는 장(+30%), 내리는 장(−30%)도 골라 보세요.

실습대에서 본 것을 정리합니다.

1. 꾸준한 추세에서는 3배가 '3배보다' 좋다. 날마다 같은 방향으로 움직이면 오른 만큼을 다음 날 다시 3배로 굴리기 때문입니다. 복리가 3배로 붙는 셈입니다.
2. 흔들리면 3배가 '3배보다' 나쁘다. 9-2의 $1 - L^2 r^2$가 날마다 쌓입니다. 흔들림이 클수록, 기간이 길수록 크게 깎입니다.
3. 제자리 장에서는 녹는다. 기초 지수가 0%여도 3배는 손실입니다. 흔들림만으로 생긴 손실입니다.

왜 녹는지 식 한 줄로

8교시에서 수익률이 출렁이면 복리가 $\sigma^2/2$만큼 깎인다는 것을 봤습니다($\sigma$는 흔들림). $L$배 상품의 하루 흔들림은 $L\sigma$이므로, 하루에 깎이는 몫은

입니다. 3배면 9배로 깎입니다. 한편 기초 지수가 제자리라는 것은 지수가 하루 평균 $\sigma^2/2$쯤 벌어 그만큼의 변동성 손실을 메웠다는 뜻이고, 3배 상품은 그 평균을 3배인 $3 \cdot \sigma^2/2$만큼 법니다. 버는 것은 3배, 깎이는 것은 9배라서 하루에 대략

씩 녹습니다. 하루 흔들림 2%면 $3 \times 0.02^2 = 0.0012$, 하루 0.12%입니다. 작아 보이지만 250일이면 지수 꼴로 $e^{-250 \times 0.0012} = e^{-0.3} \approx 0.741$, 곧 약 −26%입니다. 실습대의 −26.8%와 거의 같습니다. 하루 흔들림을 3%로 올리면 $e^{-250 \times 0.0027} = e^{-0.675} \approx 0.509$, 반토막입니다.

태오의 "작년 40%의 3배"

기초 지수가 1년 동안 +40%였다면 3배 상품은 얼마였을까요? 실습대의 같은 경로에서 기간 수익률만 +40%로 맞춰 보면 답은 흔들림에 따라 크게 다릅니다(소수 첫째 자리 반올림).

120%라는 숫자는 어디에도 없습니다. 매끈하게 오른 해라면 174%, 많이 출렁이며 오른 해라면 36%입니다. 작년 지수의 수익률만으로는 3배 상품의 수익률을 알 수 없습니다.

9-4. 잃은 만큼 되찾기는 더 어렵다 (7분)

100만 원이 50만 원이 되면 50% 잃은 것입니다. 다시 100만 원이 되려면 50만 원이 50만 원을 더 벌어야 하니, +100% 가 필요합니다. 잃은 비율을 $d$라고 하면 되찾는 데 필요한 수익률 $g$는

입니다. 아래 실습대에서 진홍 막대는 아래로 떨어진 손실, 남색 막대는 되찾는 데 필요한 수익률입니다. 주황 막대는 슬라이더로 고르는 '내 손실'입니다. 세로축은 보통 눈금이라 큰 손실의 막대가 그대로 크게 보입니다. 오른쪽 '되찾는 속도'를 정하면 그 연 수익률로 되찾는 데 몇 년 걸리는지도 나옵니다.

손실이 작을 때는 되찾는 수익률도 비슷합니다(−10% → +11.1%). 손실이 커질수록 필요한 수익률은 훨씬 빨리 커집니다(−80% → +400%). 그래서 큰 손실을 피하는 것이 큰 수익을 노리는 것보다 계산상 중요합니다.

레버리지는 이 비대칭을 키웁니다. 기초 지수가 하루 −10%면 3배 상품은 −30%입니다. 이튿날 지수가 $1 \div 0.9 - 1 \approx 11.1\%$ 올라 제자리로 돌아와도, 3배 상품은 $3 \times 11.1\% \approx 33.3\%$ 올라 $0.7 \times 1.333 \approx 0.933$, 곧 −6.7% 에 머뭅니다. 3배가 되찾으려면 +42.9%가 필요했기 때문입니다. 극단적으로 지수가 하루에 33.4% 넘게 내리면 3배 상품은 이론상 그날 전부를 잃고, 그 뒤에 지수가 아무리 올라도 되찾을 것이 없습니다.

9-5. 우리 집 숫자로: 태오의 1,000만 원 (7분)

태오의 1,000만 원을 실습대 첫 화면의 제자리 장 경로(하루 흔들림 2%, 250거래일)에 그대로 넣어 봅니다.

지수가 제자리인 1년 동안 3배 상품에서 약 268만 원이 녹았습니다. 이 732만 원이 다시 1,000만 원이 되려면 $1 \div 0.732 - 1 \approx 36.6\%$ 가 필요합니다. 같은 경로에서 하루 흔들림만 3%로 올리면 3배는 약 495만 원, 반토막입니다.

민서가 표를 보고 정리합니다. 넣기 전에 계산할 숫자는 네 개입니다.

1. 무엇의 3배인가. 하루의 3배인지, 기간의 3배인지.
2. 제자리 장에서 얼마나 녹나. 하루 흔들림 $\sigma$에 대략 하루 $3\sigma^2$.
3. 최악의 하루. 지수가 하루 33.4% 넘게 내리면 3배는 이론상 0이 된다.
4. 되찾는 데 필요한 수익률. $1 \div (1 - d) - 1$. 3배로 잃으면 그만큼 더 커진다.

용어 정리

광고에서는

• "하루 수익률의 3배를 추구합니다": 핵심 단어는 '하루'입니다. 기간 수익률은 3배보다 클 수도, 훨씬 작을 수도 있습니다. 9-3의 표에서 같은 +40%가 +174%도 되고 +36%도 됐습니다.
• "장기 투자에 적합하지 않을 수 있습니다": 겁주는 문구가 아니라 9-3의 식 $3\sigma^2$을 말로 쓴 것입니다. 오래 들고 있을수록 흔들림 값이 쌓입니다.
• "상승장 수익 극대화": 꾸준히 오르는 장에서는 맞는 말입니다(예제 9-3). 어떤 장이 올지 미리 알 수 없다는 것이 빠져 있습니다.

자주 하는 착각 (4분)

• "3배 상품이면 1년 수익률도 3배다." 일간 리셋 상품은 하루의 3배입니다. 기간 수익률은 경로에 따라 정해지고, 흔들릴수록 3배보다 작아집니다.
• "지수가 제자리로 돌아오면 3배 상품도 제자리다." 하루 흔들림 2%로 1년이면 3배 상품은 약 27% 녹습니다(실습대 첫 화면). 흔들림만으로 생기는 손실입니다.
• "−50% 뒤 +50%면 본전이다." 100 → 50 → 75입니다. −50%를 되찾으려면 +100%가 필요합니다.
• "빚을 내 투자해도 결국 오르면 된다." 반대매매로 중간에 팔리면 '결국'까지 기다릴 수 없습니다. 가상의 기준 140%로는 6.7%만 내려도 팔릴 수 있었습니다.
• "레버리지는 무조건 손해다." 꾸준히 오르는 장에서는 3배보다 더 벌기도 합니다(예제 9-3). 문제는 손익의 크기가 아니라 경로에 달려 있다는 것, 그리고 그 경로를 미리 알 수 없다는 것입니다.

연습 문제 (4분)

1. 기초 지수가 +4%, −4%를 번갈아 이틀 움직였습니다. 3배 일간 리셋 상품은 몇 %가 될까요?
2. 40% 잃은 돈을 되찾으려면 몇 %가 올라야 할까요? 60% 잃었다면요?
3. 기초 지수가 하루 −20%, 다음 날 +25%로 제자리가 됐습니다. 2배 일간 리셋 상품은 이틀 뒤 몇 %일까요?
4. 제자리 장에서 하루 흔들림이 1%라면 3배 상품은 250거래일 동안 대략 몇 % 녹을까요? 9-3의 식 $3\sigma^2$으로 어림하세요.

풀이

1. $1 - 9 \times 0.04^2 = 1 - 0.0144 = 0.9856$, 곧 −1.44%입니다. 직접 곱하면 $1.12 \times 0.88 = 0.9856$입니다.
2. 40%: $1 \div 0.6 - 1 \approx 66.7\%$. 60%: $1 \div 0.4 - 1 = 150\%$.
3. 2배는 첫날 −40%, 다음 날 +50%이므로 $0.6 \times 1.5 = 0.9$, 곧 −10%입니다. 기초 지수는 제자리인데 2배는 10%를 잃었습니다.
4. 하루 $3 \times 0.01^2 = 0.0003$, 250일이면 0.075이므로 $e^{-0.075} \approx 0.928$, 곧 약 7% 녹습니다. 실습대에서 같은 경로(제자리 장, 하루 흔들림 1%)로 굴리면 −7.5%가 나옵니다. 흔들림이 2%일 때(약 26%)의 4분의 1 남짓입니다. 흔들림이 절반이면 녹는 속도는 4분의 1입니다.

수진이 통화를 끊기 전에 말합니다. "다음 주는 내가 하루 데리고 갈게. 하루가 저금통 들고 간대. 이모한테 받은 '이자'가 얼마가 됐는지 보여 준다고." 태오가 웃다가 묻습니다. "그런데 언니, 위험 없이 확실하게 받는 수익은 정말 없어요?" 수진이 대답합니다. "하나 있지. 나라가 돌려주는 돈. 세금." 10교시에서는 세금을 해마다 떼는 것과 나중에 한 번 떼는 것의 차이, 연금저축·IRP의 세액공제와 ISA의 비과세를 2026년 11월 기준 숫자로 계산하고, 우리 집 30년 계획표와 돈 결정 체크리스트로 강의를 마칩니다.