위험의 수학: 평균의 함정과 분산

4월 넷째 일요일 저녁, 이번에는 수진이 직접 왔습니다. 딸기 한 상자를 식탁에 내려놓자마자 태오가 휴대폰을 내밉니다. 지난주부터 들고 다니던 광고입니다. "최근 1년 수익률 +40%." 어느 주식형 펀드입니다. "예금 4,000만 원 중에 1,000만 원만 옮기자. 작년처럼만 되면 1년에 400만 원이야. 월세 얘기할 때 337만 원 아깝다고 했잖아."

민서가 딸기를 집으며 묻습니다. "작년에 40% 올랐으면 올해도 잘 되는 거 아냐? 그래서 넣어, 말아?" 수진은 의자를 당겨 앉습니다. "넣을지 말지는 너희가 정해. 나는 질문만 할게. 첫째, 그 40%는 몇 해 가운데 한 해야? 둘째, 지난주에 물은 거. 50% 떨어진 다음 50% 오르면 제자리야?"

태오가 바로 답합니다. "당연히 제자리지. 빼기 50, 더하기 50." 수진이 냅킨에 숫자를 적습니다. 1,000만 원, 500만 원, 750만 원. "제자리가 아니라 250만 원이 사라졌어. 평균 수익률은 0%인데. 오늘은 이 250만 원이 어디로 갔는지 찾는 날이야."

이번 교시에서는 수익률의 두 가지 평균, 변동성이 복리를 깎는 원리, 같은 평균으로 굴린 미래 200개의 끝값, '작년 40%'를 다시 읽는 법, 그리고 두 자산을 섞을 때 흔들림이 줄어드는 원리를 봅니다. 무엇을 사라는 이야기는 하지 않습니다. 결정 전에 무엇을 계산해야 하는지까지만 갑니다.

8-1. 산술 평균과 기하 평균 (8분)

1,000만 원을 넣었는데 첫해에 40% 오르고 이듬해에 20% 내렸다고 해 봅시다.

• 첫해: 1,000만 × 1.4 = 1,400만 원
• 이듬해: 1,400만 × 0.8 = 1,120만 원

두 해 수익률을 더해 2로 나누면 $(40\% - 20\%) \div 2 = 10\%$입니다. 이것이 산술 평균 수익률입니다. 그런데 해마다 10%씩 올랐다면 1,210만 원이 되어야 합니다. 실제로는 1,120만 원입니다.

실제 결과를 내는 한 해 수익률은 '곱해서 같은 결과가 나오는 수익률'입니다. 이것이 기하 평균 수익률이고, 연평균 복리 수익률(CAGR)이라고도 부릅니다.

위의 예에서는 $\sqrt{1.4 \times 0.8} - 1 = \sqrt{1.12} - 1 \approx 5.83\%$입니다(소수 둘째 자리 반올림). 해마다 5.83%씩 두 해 오르면 정확히 1,120만 원이 됩니다. 산술 평균 10%와 기하 평균 5.83%, 같은 두 해를 두고 4%p 넘게 차이가 납니다.

수진의 냅킨 문제도 같은 식으로 풉니다.

반 토막 난 돈은 50% 올라서는 돌아오지 않습니다. 500만 원의 50%는 250만 원뿐이기 때문입니다. 제자리로 돌아오려면 100%가 올라야 합니다. 손실을 되찾는 데 필요한 수익률은 9교시에서 따로 그려 봅니다.

돈이 실제로 따라가는 것은 기하 평균입니다. 산술 평균은 '한 해를 무작위로 골랐을 때 기대되는 수익률'이고, 기하 평균은 '여러 해를 이어 붙였을 때 내 통장이 자란 속도'입니다. 둘은 수익률이 해마다 같을 때만 같아집니다.

8-2. 변동성이 복리를 깎는다: σ²/2 (10분)

두 평균의 차이는 어디서 올까요? 가장 단순한 예를 봅니다. 해마다 +20%와 −20%를 번갈아 하는 자산입니다. 산술 평균은 0%입니다.

두 해마다 4%를 잃습니다. 한 해로는 $\sqrt{0.96} - 1 \approx -2.02\%$입니다. 평균은 0%인데 흔들리기만 해도 해마다 약 2%씩 줄어듭니다.

수익률이 평균에서 얼마나 흩어지는지를 변동성(volatility) 이라 하고, 흔히 그리스 문자 $\sigma$(시그마)로 씁니다. 해마다 수익률의 표준편차입니다. 위의 예는 평균 0%에서 위아래로 20%씩 벗어나니 $\sigma = 20\%$입니다. 그리고 해마다 잃은 2%는 정확히 $\sigma^2 / 2 = 0.2^2 \div 2 = 0.02$와 거의 같습니다. 우연이 아닙니다.

평균 $\mu$(뮤)에서 $+\sigma$와 $-\sigma$를 번갈아 하는 경우로 일반화해 봅니다. 두 해를 곱하면

이고, $\sigma$가 크지 않을 때 한 해의 기하 평균은 대략 다음과 같습니다.

곱셈 $(1+\mu+\sigma)(1+\mu-\sigma)$에서 $+\sigma$와 $-\sigma$는 서로 지워지지만 $-\sigma^2$은 남습니다. 흔들림이 위아래로 같아도 곱하기에서는 아래쪽이 조금 더 아픕니다. 이 $\sigma^2/2$를 변동성 손실(volatility drag) 이라고 합니다.

손 계산 한 번: 평균 7%, 변동성 20%라면 정확한 값은 $\sqrt{1.07^2 - 0.2^2} - 1 = \sqrt{1.1049} - 1 \approx 5.11\%$이고, 어림셈은 $7\% - 2\% = 5\%$입니다.

변동성이 두 배가 되면 손실은 네 배가 됩니다. 제곱이기 때문입니다. 다만 $\sigma$가 30%를 넘으면 어림셈이 실제 손실을 조금 작게 잡습니다.

우리 집 숫자로 옮겨 봅니다. 1,000만 원이 20년 동안 해마다 꼭 7%씩 자라면 $1{,}000\text{만} \times 1.07^{20} \approx 3{,}870\text{만 원}$입니다. 같은 평균 7%라도 변동성이 20%면 통장이 따라가는 속도는 약 5%이고, $1{,}000\text{만} \times 1.05^{20} \approx 2{,}653\text{만 원}$ 근처입니다(만 원 단위 반올림). 평균은 같은데 1,200만 원 넘게 차이가 납니다.

8-3. 미래 200개: 같은 평균, 다른 결과 (10분)

공식은 '대략'을 말합니다. 실제로는 어떤 해가 좋고 어떤 해가 나쁠지 모릅니다. 그래서 수진이 늘 하는 일을 해 봅니다. 미래를 하나만 상상하지 않고 수백 개를 실제로 굴려 보는 것입니다.

아래 실습대는 1,000만 원을 미래 200개에 굴립니다. 해마다 수익률은 평균 7%, 변동성 20%인 정규분포에서 무작위로 뽑습니다. 난수는 시드(씨앗)를 고정해서 같은 설정이면 언제나 같은 그림이 나옵니다. 위 그림의 옅은 남색 선 하나가 미래 하나입니다. 청록 선은 해마다 200개의 평균, 주황 선은 중앙값(200개를 줄 세웠을 때 한가운데 값), 회색 점선은 해마다 꼭 7%씩 올랐다면의 선, 회색 가로선은 원금입니다. 아래 그림은 20년 뒤 끝값의 분포입니다. 빨간 막대는 원금보다 적게 끝난 미래입니다. 오른쪽 슬라이더로 평균·변동성·기간을 바꾸고, '재생'을 누르면 200개의 미래가 한 해씩 퍼져 나가며, '다시 뽑기'는 새 시드로 다른 200개를 뽑습니다.

실습대에서 본 것을 정리합니다.

1. 평균은 몇 개의 큰 미래가 끌어올린다. 가장 좋은 미래는 2억 4,596만 원, 가장 나쁜 미래는 274만 원입니다. 오른쪽으로 길게 늘어진 꼬리 몇 개가 평균을 3,949만 원으로 올려놓았습니다. 그래서 평균적인 결과는 평균보다 낮습니다. 200개 중 70%인 140개가 평균에 못 미칩니다.
2. 중앙값은 기하 평균을 따라간다. 중앙값 2,683만 원은 해마다 약 5.1%씩 자란 값입니다. 8-2에서 어림한 '약 5%, 2,653만 원 근처'와 맞습니다. 산술 평균 7%와 중앙값의 성장률 사이의 틈이 변동성 손실입니다.
3. 이론값과도 맞는다. 이론적으로 끝값의 평균은 해마다 꼭 7%씩 오른 3,870만 원과 같습니다. 200개로 낸 3,949만 원은 표본이 200개뿐이라 생긴 차이입니다. 평균은 소수의 큰 값에 흔들려서, 중앙값보다 표본마다 더 크게 출렁입니다. '다시 뽑기'를 몇 번 눌러 보면 보입니다.
4. 흔들림이 커지면 평균과 중앙값이 반대로 간다. 변동성 30%에서 평균은 4,146만 원으로 오르는데 중앙값은 1,618만 원으로 내려가고, 원금보다 적게 끝난 미래는 72개로 늘어납니다.

광고의 "평균 수익률"은 이 그림의 청록 선 쪽 이야기입니다. 내가 겪을 가능성이 가장 큰 결과는 주황 선 쪽입니다.

8-4. '작년 40%'를 다시 읽기 (5분)

이제 태오의 광고로 돌아갑니다. 평균 7%, 변동성 20%인 자산이라면 한 해에 40% 넘게 오르는 일은 얼마나 흔할까요? 40%는 평균보다 33%p 높고, 이것은 변동성 20%의 1.65배입니다. 정규분포에서 평균보다 1.65σ 넘게 높은 값이 나올 확률은 약 4.9%, 20년에 한 번꼴입니다.

실습대 기본 화면의 오른쪽 아래에 이 숫자가 있습니다. 미래 200개 × 20년 = 4,000개의 해 가운데 40% 넘게 오른 해가 213번(약 5.3%) 나왔습니다. 그 가운데 20년째가 아니라서 그다음 해가 있는 206번을 보면, 그다음 해 수익률의 평균은 약 5.8%였습니다. 전체 평균 7%보다 높지 않습니다. 이 모형에서는 해마다의 수익률이 서로 상관없이 뽑히기 때문입니다. 표본이 206개라 7%와 1%p 남짓 차이는 우연으로도 충분히 생깁니다.

실제 시장이 이 모형과 똑같이 움직인다는 뜻은 아닙니다. 다만 여기서 배울 것은 하나입니다. 한 해의 수익률은 평균을 알려 주기에 너무 시끄러운 숫자입니다. 변동성이 20%이면 한 해 수익률은 평균에서 위아래로 20%p쯤은 쉽게 벗어납니다. 20년 기록을 다 모아도 평균의 불확실성은 $20\% \div \sqrt{20} \approx 4.5\%\text{p}$나 남습니다.

광고에 실리는 펀드는 대개 잘된 해를 보낸 펀드라는 점도 함께 읽습니다. 수많은 펀드 가운데 작년에 잘된 것을 골라 광고하면, 그 숫자는 평균보다 운을 더 많이 담고 있습니다.

결정 전에 계산할 것은 이렇습니다.

1. 그 상품의 여러 해 수익률과 그 흔들림(변동성)
2. 산술 평균이 아니라 기하 평균(연평균 복리 수익률)
3. 1,000만 원이 나쁜 쪽으로 흔들렸을 때 우리 집이 견딜 수 있는가. 실습대에서 원금 아래로 끝난 미래가 200개 중 24개였습니다.

8-5. 분산투자와 상관관계 (8분)

수진이 딸기 두 개를 집어 듭니다. "흔들림을 줄이는 방법 하나는 흔들리는 것 두 개를 섞는 거야. 둘이 따로 흔들린다면." 여러 자산에 나눠 담는 것을 분산투자(diversification) 라고 합니다. 경제 뉴스 7교시에서 맛보기로 본 내용을 여기서는 숫자로 잽니다.

두 자산 A와 B의 흔들림이 얼마나 함께 움직이는지를 상관(correlation) $\rho$(로)로 나타냅니다. $+1$이면 늘 같이 움직이고, $0$이면 서로 상관없이, $-1$이면 늘 반대로 움직입니다. A의 비중이 $w$일 때 묶음의 변동성은

입니다. A와 B가 둘 다 평균 7%, 변동성 20%이고 반반 섞는다면($w = 0.5$) 상관에 따라 이렇게 바뀝니다(소수 첫째 자리 반올림).

평균은 어느 경우나 7% 그대로입니다. 줄어드는 것은 흔들림뿐이고, 흔들림이 줄면 변동성 손실이 줄어 통장이 실제로 자라는 속도는 빨라집니다. 같이 움직이는 것끼리는($\rho = 1$) 아무리 섞어도 흔들림이 줄지 않습니다.

아래 실습대의 위 그림은 1,000만 원을 20년 굴린 미래 하나입니다. 청록은 A만, 회색은 B만, 굵은 남색은 해마다 비중을 다시 맞춘 묶음입니다. '다른 미래'를 누르면 200개 중 다음 미래를 봅니다. 아래 그림은 A의 비중에 따른 묶음의 변동성입니다. 남색 곡선이 지금 상관일 때, 회색 점선은 상관이 1일 때이고, 주황 점이 지금 비중입니다. 오른쪽 슬라이더로 상관, 비중, 두 자산의 변동성을 바꿉니다. '상관 내리기'를 누르면 상관이 +1에서 −1까지 천천히 내려갑니다.

8-6. 오래 들고 있으면 위험이 사라질까 (3분)

태오가 묻습니다. "그래도 20년, 40년 들고 있으면 결국 오르잖아?" 8-3의 실습대에서 기간만 바꿔 보면 답이 나옵니다(평균 7%, 변동성 20%, 기본 시드).

기간이 길수록 원금 아래로 끝날 확률은 줄어듭니다. 그러나 40년에도 0이 되지 않습니다. 게다가 이것은 물가를 빼기 전의 숫자입니다(3교시의 실질 가치). 그리고 실습대 그림에서 보듯 기간이 길수록 좋은 미래와 나쁜 미래의 금액 차이는 오히려 벌어집니다.

분산투자로도 다 없앨 수 없는 위험이 있습니다. 금리나 경기처럼 모든 자산에 함께 닿는 흔들림은 섞어도 상쇄되지 않습니다. 실습대에서 상관이 1에 가까우면 곡선이 직선에서 거의 내려오지 않던 그 모습입니다.

용어 정리

광고에서는

• "최근 1년 수익률 40%": 한 해의 숫자입니다. 몇 년 중의 어느 해인지, 여러 해의 기하 평균과 변동성을 함께 찾습니다.
• "연평균 수익률 12%": 산술 평균인지 기하 평균(연평균 복리)인지 확인합니다. 흔들림이 큰 상품일수록 둘의 차이가 큽니다.
• "과거의 수익률이 미래의 수익을 보장하지 않습니다": 광고 아래 작은 글씨로 붙는 이 문장이 오늘 실습대의 내용입니다. 같은 평균으로도 미래 200개는 274만 원에서 2억 4,596만 원까지 흩어졌습니다.
• "분산투자로 안정적": 무엇과 무엇을 섞었는지, 둘이 얼마나 함께 움직이는지 물어봅니다. 함께 움직이면 섞어도 흔들림이 거의 줄지 않습니다.

자주 하는 착각 (2분)

• "−50% 뒤에 +50%면 제자리다." 1,000만 원이 750만 원이 됩니다. 반 토막을 되찾으려면 +100%가 필요합니다.
• "평균 7%면 20년 뒤 3,870만 원쯤은 된다." 그건 평균의 이야기입니다. 변동성 20%로 굴린 미래 200개의 중앙값은 2,683만 원이고, 140개가 평균에 못 미쳤습니다.
• "작년에 40% 올랐으니 올해도 잘될 것이다." 이 모형에서 40% 넘게 오른 다음 해의 평균은 전체 평균과 다르지 않았습니다. 한 해의 숫자는 평균을 알려 주기에 너무 시끄럽습니다.
• "여러 개에 나눠 담으면 위험이 없어진다." 함께 움직이는 것끼리는 섞어도 흔들림이 줄지 않습니다. 모두에게 닿는 위험은 남습니다.
• "오래 들고 있으면 손해 볼 일이 없다." 20년 뒤에도 200개 중 24개는 원금 아래였습니다. 물가를 빼면 더 많습니다.

연습 문제 (4분)

1. 어느 해 +25%, 이듬해 −20%였습니다. 산술 평균과 기하 평균을 구하세요.
2. 평균 8%, 변동성 25%인 자산의 기하 평균을 어림셈 $\mu - \sigma^2/2$로 구하세요(소수 첫째 자리까지).
3. 1,000만 원이 −30% 뒤 +30%가 되면 얼마일까요? −30%가 된 돈이 원금으로 돌아오려면 몇 %가 올라야 할까요?
4. 변동성이 둘 다 30%이고 상관이 0.2인 두 자산을 반반 섞으면 묶음의 변동성과 변동성 손실은 얼마일까요?

풀이

1. 산술 평균은 (25 − 20) ÷ 2 = 2.5%입니다. 그런데 1.25 × 0.8 = 1.0이므로 두 해 뒤에는 정확히 제자리이고, 기하 평균은 0%입니다.
2. 0.25² ÷ 2 = 0.03125이므로 8% − 3.125% = 4.875%, 약 4.9%입니다. 흔들림 하나로 평균의 40% 가까이가 깎입니다.
3. 1,000만 × 0.7 × 1.3 = 910만 원으로 9%를 잃습니다. 700만 원이 1,000만 원이 되려면 1 ÷ 0.7 − 1 ≈ 42.86%가 올라야 합니다(소수 둘째 자리 반올림).
4. 묶음 변동성의 제곱은 0.25 × 0.09 + 0.25 × 0.09 + 2 × 0.25 × 0.2 × 0.09 = 0.054이고, 제곱근은 약 23.2%입니다. 변동성 손실은 0.054 ÷ 2 = 2.7%p로, 하나만 들고 있을 때의 4.5%p보다 1.8%p 줄어듭니다.

수진이 가방을 챙기는데 태오가 휴대폰을 다시 내밉니다. "언니, 그럼 이건? 그 펀드랑 같은 지수를 하루에 3배씩 따라가는 상품이 있더라. 작년에 40%였으면 3배니까 120%잖아!" 수진이 현관에서 신발을 신으며 돌아봅니다. "그 3배는 날마다 다시 맞춰. 오늘 본 걸로 생각해 봐. 흔들림이 3배가 되면 σ²/2는 몇 배가 될까? 다음 주엔 영상 통화로, 같은 지수 경로에 1배·2배·3배를 굴려 보자." 9교시에서는 가상의 3배 레버리지 상품을 놓고 일간 리셋 구조, 제자리 장에서 녹아내리는 이유, 손실을 되찾는 데 필요한 수익률을 계산합니다.