돈이 자라는 모양: 복리와 시간

3월 첫째 일요일 저녁입니다. 결혼한 지 석 달째인 민서와 태오가 식탁에 노트북을 폅니다. 오늘 처음으로 두 사람의 통장을 합쳤습니다. 가계부는 민서가 맡기로 했습니다. 숫자는 무섭지만, 결정은 빨리 하고 싶습니다.

스프레드시트의 첫 줄은 이렇습니다. 두 사람의 세후 월급은 합쳐서 620만 원입니다(민서 290만, 태오 330만). 전세 대출 이자, 관리비, 보험료, 식비 같은 고정 지출을 빼면 매달 150만 원이 남습니다. 결혼하며 합친 예금은 4,000만 원입니다.

태오가 의자를 뒤로 젖힙니다. "올해는 신혼이잖아. 여행도 한 번 더 가고, 모으는 건 내년 1월부터 하자. 1년 늦어 봤자 1,800만 원 덜 모으는 거지." 그러고는 휴대폰을 내밉니다. "그리고 이거 봐. 복리로 굴리면 금방 두 배래." 민서가 묻습니다. "그래서 우리는 뭘 고르면 돼? 이번 달부터야, 내년부터야?"

현관문이 열립니다. 저녁을 먹으러 온 민서의 언니 수진입니다. 보험사에서 계리사로 일하고, 평생 확률과 현재 가치로 먹고살았습니다. 반찬통을 내려놓은 수진이 화면을 봅니다. "1년 늦으면 넣는 돈이 1,800만 원 줄어드는 건 맞아. 그런데 30년 뒤 통장에서도 1,800만 원만 차이 날까? 그리고 '금방 두 배'에서 금방은 몇 년이야?"

이번 교시에서는 돈이 시간에 따라 자라는 모양을 봅니다. 복리가 곱셈의 반복이라는 것, 두 배가 되는 시간을 어림하는 72의 법칙, 시작이 늦을 때 생기는 차이, 그리고 같은 연 금리라도 이자를 붙이는 횟수에 따라 실제 수익이 달라지는 까닭을 실습대와 손 계산으로 확인합니다.

1-1. 단리와 복리: 더하기와 곱하기 (7분)

이자를 계산하는 방법은 두 가지입니다. 경제 뉴스 1교시에서 빵집 비상금으로 맛보기를 했고, 여기서는 우리 집 예금으로 한 번 더 짚습니다.

• 단리(單利, simple interest): 이자는 언제나 처음 원금에만 붙습니다. 해마다 같은 금액이 늘어납니다.
• 복리(複利, compound interest): 붙은 이자를 원금에 더하고, 다음 해에는 불어난 돈 전체에 이자가 붙습니다.

원금 $P$, 연 금리 $r$, 기간 $t$년이면 이렇게 씁니다.

단리는 이자를 해마다 더하고, 복리는 $(1 + r)$을 해마다 곱합니다. 차이는 이것 하나입니다.

합친 예금 4,000만 원을 연 3.5%로 맡긴다고 해 봅시다. 세금은 2교시에서 다루므로 여기서는 세금을 떼기 전 숫자로 봅니다(원 단위 반올림).

처음 몇 해는 차이가 거의 없습니다. 2년째의 4만 9,000원은 첫해 이자 140만 원에 다시 3.5%가 붙은 돈입니다($140\text{만} \times 0.035$). 그런데 30년째에는 차이가 3,000만 원을 넘습니다. 원금 4,000만 원의 4분의 3에 가까운 돈이 이자에 붙은 이자입니다.

1-2. 복리는 곱셈의 반복: 지수 곡선 (7분)

복리 원리금 $P(1+r)^t$에서 $t$는 오른쪽 위에 작게 붙은 지수(指數, exponent) 입니다. 그래서 복리로 자라는 돈의 그래프를 지수 곡선(exponential curve) 이라고 부릅니다.

지수 곡선의 성질은 한 문장입니다. 같은 시간이 지나면 같은 비율로 커집니다. 해마다 3.5%씩 커지므로, 금액으로 보면 해마다 붙는 이자가 점점 커집니다. 우리 집 예금 4,000만 원으로 확인해 봅시다(만 원 단위 반올림).

금리는 그대로 3.5%인데, 30년째에 붙는 이자는 첫해의 2.7배입니다. 이자를 받는 돈 자체가 커졌기 때문입니다. 그래서 곡선은 처음에 거의 누워 있다가 갈수록 가팔라집니다.

손으로 거듭제곱하기

$1.035^{10}$을 계산기로 구하려면 1.035를 열 번 곱해야 합니다. 제곱을 거듭하면 네 번이면 됩니다.

1. $1.035^2 = 1.071225$
2. $1.035^4 = 1.071225^2 \approx 1.147523$
3. $1.035^8 = 1.147523^2 \approx 1.316809$
4. $1.035^{10} = 1.035^8 \times 1.035^2 \approx 1.316809 \times 1.071225 \approx 1.410599$

그래서 4,000만 원은 10년 뒤 $4{,}000\text{만} \times 1.410599 \approx 5{,}642\text{만 원}$이 됩니다. 위 표의 10년째 값과 같습니다. 같은 방법으로 $1.035^{20} = (1.035^{10})^2 \approx 1.9898$입니다. 20년이면 거의 두 배입니다.

1-3. 72의 법칙은 왜 맞을까 (9분)

태오가 본 영상의 "금방 두 배"를 숫자로 바꿔 봅시다. 복리로 원금이 두 배가 되는 햇수를 어림하는 셈법이 있습니다.

이것을 72의 법칙(rule of 72) 이라고 합니다. 연 3.5%면 $72 \div 3.5 \approx 20.6$년입니다.

아래 실습대의 위 그림은 처음 돈을 1로 놓고 해마다 $(1 + \text{금리})$를 곱한 값입니다. 회색 점선이 두 배 선이고, 남색 세로선은 정확히 두 배가 되는 때, 청록 점선 세로선은 72의 법칙으로 어림한 때입니다. 아래 그림은 가로가 금리, 세로가 두 배까지 걸리는 햇수입니다. 남색 곡선이 정확한 값, 청록 점선이 72 ÷ 금리이고, 주황 점이 지금 금리입니다. 오른쪽 슬라이더로 금리를 바꾸고, '재생'을 누르면 위 그림의 곡선이 0년부터 자랍니다.

실습대의 숫자를 표로 모으면 이렇습니다(소수 둘째 자리 반올림).

마지막 열을 보세요. 금리가 2%든 15%든 금리 × 햇수가 70–74 근처에 머뭅니다. 72의 법칙은 이 곱이 거의 일정하다는 관찰입니다.

왜 거의 일정할까

정확한 햇수 $T$는 $(1 + r)^T = 2$를 푼 값입니다. 계산기의 자연로그 단추(ln)를 쓰면 이렇게 됩니다.

여기서 두 가지 사실을 씁니다. 첫째, $\ln 2 \approx 0.693$입니다. 둘째, 금리가 작으면 $\ln(1 + r)$은 $r$과 거의 같습니다. 예를 들어 $\ln 1.035 \approx 0.0344$로 0.035와 비슷합니다. 그러면

가 됩니다. 그런데 $\ln(1 + r)$은 $r$보다 조금 작고, 금리가 클수록 더 작아집니다. 분모가 작아지니 실제 햇수는 $69.3 \div \text{금리}$보다 조금 길어집니다. 그래서 위 표처럼 금리가 높을수록 곱이 커지고, 6–10% 금리에서는 71–73 사이가 됩니다. 8%에서 곱이 72.05로 72와 거의 같습니다.

72를 쓰는 이유가 하나 더 있습니다. 72는 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12로 나누어떨어져서 암산하기 좋습니다. 69.3은 그렇지 않습니다.

우리 집 숫자로

예금 4,000만 원이 연 3.5% 복리로 8,000만 원이 되려면 72의 법칙으로 약 20.6년, 정확히는 20.15년이 걸립니다. 해마다 한 번 이자를 붙이므로 20년째에는 7,959만 원으로 아직 조금 모자라고, 21년째에 8,238만 원으로 처음 두 배를 넘습니다. 태오의 "금방"은 20년입니다.

1-4. 10년 늦은 시작 (12분)

이제 태오의 질문으로 돌아갑니다. 매달 같은 돈을 넣는다면, 늦게 시작한 만큼 얼마나 손해일까요? 먼저 두 사람을 비교해 봅니다.

• 한 사람은 25세부터, 다른 사람은 35세부터 매달 30만 원씩 넣습니다.
• 두 사람 모두 60세가 될 때까지 넣습니다.
• 돈은 연 5%로 자란다고 가정합니다. 매달 초에 넣고, 이자는 달마다 붙입니다(월 이율 = 5% ÷ 12).

연 5%는 계산을 위한 가정일 뿐, 어떤 상품이 그만큼 준다는 약속이 아닙니다. 이 강의는 무엇에 넣으라고 권하지 않습니다. 금리를 바꾸면 그림이 어떻게 달라지는지를 봅니다.

아래 실습대에서 남색 곡선은 일찍 시작한 사람, 청록 곡선은 늦게 시작한 사람의 잔액입니다. 같은 색 점선은 그때까지 넣은 돈(원금)입니다. 실선과 점선 사이가 이자입니다. '재생'을 누르면 20세부터 60세까지 해마다 곡선이 자라고, 끝에서 두 잔액의 차이를 주황 괄호로 보여 줍니다. 오른쪽 슬라이더로 매달 넣는 돈, 연 수익률, 두 사람의 시작 나이를 바꿉니다. '보기' 칩의 '먼저 시작한 사람은 일찍 멈춤'을 고르면, 일찍 시작한 사람이 늦은 사람이 시작하는 나이에 넣기를 멈춥니다.

실습대에서 본 숫자를 정리합니다(만 원 단위 반올림).

넣은 돈은 3,600만 원 차이인데 잔액은 1억 6,285만 원 차이입니다. 4.5배입니다. 이 차이는 어디서 왔을까요?

두 사람이 35세부터 60세까지 넣는 돈은 똑같습니다. 그러니 그 부분의 잔액도 똑같습니다. 다른 것은 일찍 시작한 사람이 25–34세에 넣은 10년 치 돈뿐입니다. 이 돈은 35세에 4,678만 원이 되어 있고, 그 뒤 25년 동안 혼자 자랍니다.

두 곡선 사이의 간격이 정확히 이 값입니다. 그래서 '일찍 멈춤' 보기에서 10년만 넣은 사람의 60세 잔액도 1억 6,285만 원입니다. 늦은 시작의 값은 먼저 넣었을 돈이 혼자 자랄 시간을 잃는 것입니다.

'일찍 멈춤' 보기는 한 가지를 더 알려 줍니다. 연 5%에서는 25년을 넣은 사람이 10년만 넣은 사람보다 조금 앞서지만, 수익률이 약 5.64%를 넘으면 순서가 뒤집힙니다. 시간이 원금을 이기는지는 금리에 달려 있습니다. 영상에서 흔히 보는 "10년만 넣은 사람이 이긴다"는 이야기는 대개 연 7–8% 이상을 가정한 숫자입니다. 가정한 수익률을 꼭 확인하세요.

우리 집 숫자로: 이번 달부터 vs 내년부터

민서와 태오의 경우로 바꿔 봅니다. 매달 150만 원을 30년 동안 넣는 계획과, 1년 늦게 시작해 29년 동안 넣는 계획을 비교합니다. 끝나는 때는 같습니다. 금리는 지금 예금 금리 연 3.5%가 30년 내내 이어진다고 단순하게 가정하고, 매달 초에 넣고 달마다 이자를 붙입니다.

태오 말대로 넣는 돈은 1,800만 원 줄어듭니다. 그런데 30년 뒤 통장에서는 5,055만 원이 줄어듭니다. 첫해에 넣었을 1,800만 원(그해 이자를 더하면 1,834만 원)이 29년 동안 자랄 기회를 잃어서입니다. 수진의 첫 질문에 대한 답입니다.

1-5. 연복리와 월복리, 실효 금리 (7분)

같은 "연 3.5%"라도 이자를 1년에 한 번 붙이는지(연복리), 달마다 붙이는지(월복리)에 따라 1년 뒤 금액이 다릅니다. 월복리는 월 이율 $3.5\% \div 12$를 열두 번 곱합니다.

1년에 실제로 3.5567%가 붙습니다. 이렇게 이자를 붙이는 횟수까지 반영해 "1년에 실제로 몇 % 늘었나"로 바꾼 금리를 실효 금리(實效金利, effective annual rate, EAR) 라고 합니다. 1년에 $m$번 이자를 붙이면 이렇습니다.

우리 집 예금 4,000만 원으로 1년을 비교하면, 연복리는 4,140만 원, 월복리는 4,142만 2,678원입니다. 차이는 2만 2,678원으로 작습니다. 금리가 높으면 차이가 커집니다(소수 둘째 자리 반올림).

이자를 붙이는 횟수를 아무리 늘려도 실효 금리는 끝없이 커지지 않고 일정한 값에 다가갑니다. 연 5%라면 날마다 붙여도 5.13% 남짓입니다. 그래서 예금에서는 연복리와 월복리의 차이가 크지 않습니다. 하지만 6교시에서 볼 카드 할부·리볼빙처럼 금리가 높은 빚에서는 이 차이가 눈에 띄게 커집니다.

우리 집 계획 계산(1-4절)도 월복리였습니다. "연 3.5%"라고 했지만 실제로는 해마다 3.56%씩 자란 셈입니다. 숫자를 비교할 때는 같은 기준끼리 비교해야 합니다.

용어 정리

광고에서는

• "30년 뒤 10억! 복리의 마법": 먼저 가정을 찾습니다. 매달 얼마를, 연 몇 %로, 세금을 떼기 전인지 후인지 봅니다. 우리 집 계산에서 매달 150만 원을 연 3.5% 월복리로 30년 넣으면 9억 5,590만 원(세전)입니다. 10억을 넘기려면 금리나 월 납입액 가정이 더 커야 합니다.
• "연 6% 월복리": 실효 금리로 바꾸면 6.17%입니다. 다른 상품의 연복리 금리와 비교할 때는 이 숫자를 씁니다.
• "10년만 넣으면 평생 넣은 사람을 이긴다": 수익률 가정을 확인합니다. 실습대에서 봤듯이 연 5%에서는 거꾸로입니다. 가정한 수익률이 바뀌면 결론이 뒤집힐 수 있습니다.

자주 하는 착각 (4분)

• "1년 늦으면 1년 치 넣을 돈만큼 손해다." 넣는 돈은 1,800만 원 줄지만, 30년 뒤 잔액은 그 돈이 자랐을 몫까지 약 5,055만 원 줄어듭니다(연 3.5% 가정).
• "복리면 금방 두 배가 된다." 연 3.5%면 약 20년, 연 2%면 약 35년입니다. 복리의 힘은 금리보다 시간에서 나옵니다.
• "금리가 두 배면 결과도 두 배다." 복리는 곱셈이라 그렇지 않습니다. 30년 동안 연 3%면 약 2.4배, 연 6%면 약 5.7배가 됩니다. 금리가 두 배인데 결과는 두 배를 훨씬 넘습니다.
• "연 6% 월복리와 연 6% 연복리는 같다." 월복리의 실효 금리는 6.17%입니다. 예금에서는 차이가 작지만 금리가 높은 빚에서는 커집니다.
• "72의 법칙은 정확한 공식이다." 어림셈입니다. 8% 근처에서 가장 잘 맞고, 금리가 아주 낮거나 높으면 오차가 커집니다(20%에서 3.60년 대 실제 3.80년).

연습 문제 (4분)

1. 500만 원을 연 5%로 2년 맡깁니다. 복리라면 2년 뒤 원리금은 얼마일까요? 단리와의 차이는요? (세금은 빼지 않습니다.)
2. 72의 법칙으로 어림하세요. 연 9%로 원금이 두 배가 되는 데 몇 년이 걸릴까요? 물가가 해마다 3%씩 오른다면, 물건값이 두 배가 되는 데 몇 년이 걸릴까요?
3. 실습대 기본값에서 매달 넣는 돈을 30만 원에서 60만 원으로 두 배로 늘리면 60세 잔액의 차이(25세 시작 vs 35세 시작)는 어떻게 될까요? 실습대로 확인하고 까닭을 설명하세요.
4. 어느 대출 광고에 "월 1% 이자"라고 쓰여 있습니다. 매달 이자를 원금에 더한다면(월복리), 1년의 실효 금리는 몇 %일까요?

풀이

1. 1.05를 두 번 곱하면 1.1025이므로 500만 × 1.1025 = 551만 2,500원입니다. 단리는 500만 × (1 + 0.05 × 2) = 550만 원이므로 차이는 2,500원입니다. 첫해 이자 25만 원에 붙은 5%가 그 2,500원입니다.
2. 72 ÷ 9 = 8년입니다(정확히는 8.04년). 물가는 72 ÷ 3 = 24년입니다(정확히는 23.45년). 물가가 두 배가 되면 같은 돈으로 살 수 있는 양은 절반이 됩니다. 이 이야기는 3교시에서 이어집니다.
3. 차이도 정확히 두 배인 3억 2,570만 원이 됩니다(3억 2,570만 1,087원을 만 원 단위로 반올림). 매달 넣는 돈을 두 배로 하면 모든 달의 잔액이 두 배가 되기 때문입니다. 잔액은 넣는 돈에 비례하고, 시간과 금리에는 지수로 반응합니다.
4. 1.01을 열두 번 곱하면 약 1.1268이므로 실효 금리는 약 12.68%입니다. "월 1%"를 12배 한 연 12%보다 0.68%p 높습니다. 위의 실효 금리 표에서 12%의 월복리 값과 같습니다.

설거지를 마친 태오가 다시 휴대폰을 꺼냅니다. "좋아, 이번 달부터 모으자. 그럼 어디에 넣을지는 내가 찾았어. 이거 봐, 연 5% 적금이야! 예금은 3.5%밖에 안 되잖아. 1,800만 원 넣으면 1년에 90만 원이지?" 신발을 신던 수진이 웃습니다. "다음 주엔 내가 못 오니까 영상 통화로 하자. 그때까지 하나만 생각해 봐. 그 1,800만 원, 1년 내내 은행에 들어 있어?" 2교시에서는 적금 이자가 왜 광고 금리의 절반쯤인지, 이자에서 떼는 세금, 매달 넣는 돈이 몇 년 뒤 얼마가 되는지를 계산합니다.