대출의 수학 1: 상환 방식과 총이자

3월 넷째 일요일 저녁입니다. 오늘 수진은 오지 못해 노트북 화면 속 영상 통화로 함께합니다. 민서가 서랍에서 전세 계약 때 받은 대출 서류를 꺼냈습니다. 대출금 1억 4천만 원, 연 4.2%, 대출 기간 2년. 상환 방식 칸에는 '만기일시상환'이라고 적혀 있습니다. 통장 내역에는 매달 같은 날 "대출 이자 490,000원"이 찍혀 있습니다.

태오가 휴대폰을 내밉니다. "이거 봐, 원금균등이 무조건 이자가 제일 적대! 우리도 원금균등으로 바꾸자." 민서가 서류를 다시 봅니다. "바꿀 수 있는 거야? 그리고 만기일시는 뭐야? 매달 49만 원씩 내는데, 그게 원금도 갚는 거야? 그래서 우리는 뭘 고르면 돼?"

화면 속 수진이 묻습니다. "만기일시는 매달 이자만 내고, 원금은 만기에 한꺼번에 갚는 방식이야. 그럼 질문. 2년 뒤에 1억 4천만 원이 통장에 있을까? 없으면 연장하겠지. 연장하면 원금은 그대로고 이자는 계속 나가. 언젠가는 이 원금을 줄여야 한다면, 어떤 속도로 줄일래?"

전세자금 대출은 흔히 이 서류처럼 2년 만기에 만기일시로 나가고, 전세 계약을 연장할 때 대출도 함께 연장합니다. 분할상환을 고를 수 있는지, 고르면 조건이 어떻게 바뀌는지는 상품마다 다르니 실제로는 서류와 은행에 확인해야 합니다. 그래서 이번 교시는 사고 실험으로 갑니다. "같은 1억 4천만 원을 같은 연 4.2%로 10년에 걸쳐 갚아 나간다면, 세 방식은 어떻게 다를까?" 만기일시는 "같은 금리로 10년 동안 연장을 거듭한다면"으로 놓습니다. 실제 금리는 연장할 때마다 바뀔 수 있다는 것도 기억해 둡니다.

4-1. 이자는 남은 원금에 붙는다: 만기일시 (8분)

어떤 상환 방식이든 대출 이자에는 규칙이 하나뿐입니다.

월 이율은 연 금리를 12로 나눈 것입니다. $4.2\% \div 12 = 0.35\%$이므로 첫 달 이자는

입니다. 통장에 찍힌 490,000원이 바로 이것입니다. 상환 방식은 남은 원금을 어떤 속도로 줄이느냐만 다릅니다. 경제 뉴스 1교시에서 원리금균등과 원금균등을 맛보기로 비교했고, 여기서는 공식이 어디서 오는지와 우리 집 숫자까지 내려갑니다.

만기일시상환(bullet repayment) 은 원금을 전혀 줄이지 않는 방식입니다. 남은 원금이 계속 1억 4천만 원이니 이자도 매달 49만 원으로 같습니다.

• 2년(24개월) 동안 낸 이자: $49\text{만} \times 24 = 1{,}176\text{만 원}$
• 2년 뒤 남은 원금: 1억 4,000만 원 그대로. 마지막 달에는 이자 49만 원과 원금 1억 4,000만 원, 합쳐서 1억 4,049만 원을 갚거나 연장해야 합니다.
• 같은 금리로 10년 동안 연장을 거듭하면: $49\text{만} \times 120 = 5{,}880\text{만 원}$

매달 부담은 세 방식 가운데 가장 작습니다. 대신 원금이 줄지 않으니 총이자가 가장 크고, 만기에 큰돈이 한꺼번에 필요합니다.

그럼 2년 안에 다 갚아 나가면 어떨까요? 아래 4-2절의 공식으로 계산하면 원리금균등으로 매달 609만 1,959원입니다. 두 사람의 세후 월 소득 620만 원과 거의 같습니다. 짧은 기간에 큰 원금을 빌리는 전세자금 대출이 만기일시로 흔히 나가는 까닭이 여기서 보입니다. 2년 안에 원금을 다 갚기는 대부분의 집에 무리입니다.

4-2. 원리금균등 공식: 빌린 돈 = 갚을 돈들의 현재 가치 (12분)

원리금균등분할상환은 매달 내는 돈(원금 + 이자)이 처음부터 끝까지 같은 방식입니다. 그 매달의 돈 $A$는 어떻게 정할까요? 지난주의 연금 현가를 떠올리면 됩니다.

은행은 오늘 1억 4천만 원을 내주고, 앞으로 매달 $A$를 $n$번 받습니다. 은행에게 이 돈의 값은 월 이율 $i$로 할인한 현재 가치입니다. 그 현재 가치가 빌려준 돈과 꼭 같도록 $A$를 정하면, 은행은 정확히 월 $i$만큼 이자를 받는 셈입니다. 대출금을 $L$이라 하면

입니다. 3교시의 연금 현가 공식에서 해마다 받는 돈 $C$ 자리에 $A$, 연 할인율 $r$ 자리에 월 이율 $i$를 넣은 것입니다. $A$에 대해 풀면 원리금균등 월 상환액 공식이 나옵니다.

손 계산: 1억 4천만 원, 연 4.2%, 10년

$i = 0.0035$, $n = 120$입니다.

1. $(1.0035)^{120} \approx 1.520846$ (계산기의 거듭제곱 단추를 씁니다)
2. 분수 부분: $\dfrac{1.520846}{1.520846 - 1} = \dfrac{1.520846}{0.520846} \approx 2.91995$
3. $L \times i = 1\text{억 } 4{,}000\text{만} \times 0.0035 = 49\text{만 원}$ (첫 달 이자와 같습니다)
4. $A \approx 49\text{만} \times 2.91995 \approx 143\text{만 } 777\text{원}$

매달 143만 777원을 120번 내면 모두 약 1억 7,169만 3,270원이고, 그중 원금 1억 4,000만 원을 뺀 총이자는 3,169만 3,270원입니다. 첫 몇 달을 상환표로 보면 이렇습니다(원 단위 반올림).

이자가 줄어든 만큼 원금 몫이 늘어납니다. 낸 돈은 같고 나누는 비율만 바뀝니다.

4-3. 원금균등, 그리고 세 방식을 한 저울에 (10분)

원금균등분할상환은 원금을 똑같이 나눠 갚고, 이자는 그때 남은 원금에 붙여 내는 방식입니다. 10년이면 매달 원금 $1\text{억 } 4{,}000\text{만} \div 120 \approx 116\text{만 } 6{,}667\text{원}$을 갚습니다.

• 첫 달: 원금 116만 6,667원 + 이자 49만 원 = 165만 6,667원
• 마지막 달: 원금 116만 6,667원 + 이자 4,083원 = 117만 750원

남은 원금이 일정하게 줄어드니 이자도 일정하게 줄어듭니다. 총이자는 '평균 남은 원금 × 월 이율 × 개월 수'로 한 번에 구합니다. 남은 원금은 1억 4,000만 원에서 116만 6,667원까지 고르게 줄어드니 평균은 그 둘의 가운데입니다.

아래 실습대의 위 그림은 고른 방식으로 달마다 갚는 돈입니다. 남색은 원금 몫, 빨강은 이자 몫이고, 회색 점선은 우리 집이 매달 모을 수 있는 150만 원입니다. 아래 그림은 세 방식의 남은 원금입니다. 남색은 원리금균등, 청록은 원금균등, 회색 점선은 만기일시이고, 고른 방식은 굵은 선과 옅은 면으로 그립니다. 오른쪽 칩으로 방식을 고르고, 슬라이더로 대출 금액·연 금리·기간을 바꿉니다. '재생'을 누르면 첫 달부터 한 달씩 그려집니다. 그림 아래 표는 세 방식의 첫 달·마지막 달 납입액과 총이자입니다.

세 방식을 나란히 놓으면 이렇습니다(1억 4천만 원, 연 4.2%, 10년, 원 단위 반올림. 만기일시는 같은 금리로 연장을 거듭한다고 가정).

태오의 영상 말대로 원금균등의 총이자가 가장 적습니다. 원리금균등보다 204만 8,270원 적습니다. 그런데 이것은 '이득'이라기보다 빌린 돈을 덜 오래 쓴 값입니다. 원금균등은 첫 달에 22만 5,890원을 더 내서 원금을 일찍 줄입니다. 아래 그림에서 남은 원금 곡선 아래의 넓이가 곧 이자의 크기입니다. 만기일시는 그 넓이가 가장 넓고, 원금균등이 가장 좁습니다.

지난주의 눈으로 보면 더 분명합니다. 세 방식의 상환액을 모두 월 이율 0.35%로 할인하면 현재 가치는 셋 다 정확히 1억 4천만 원입니다. 은행이 매기는 값은 같습니다. 다른 것은 우리 집의 사정입니다.

• 원금을 빨리 줄이는 쪽(원금균등)이 유리한 집: 남는 돈을 다른 데 굴려도 대출 금리 4.2%만큼 벌기 어려운 집.
• 천천히 줄이는 쪽이 편한 집: 지금 매달 여유가 적거나, 같은 돈으로 4.2%보다 확실히 더 버는 길이 있는 집.

어느 쪽이 정답이라는 말은 할 수 없습니다. 결정 전에 계산할 숫자는 첫 달 부담, 만기에 필요한 돈, 총이자 세 가지입니다.

4-4. 회차마다 바뀌는 비율, 그리고 거치 기간 (6분)

원리금균등에서 원금 몫은 매달 조금씩 커집니다. 지난달 갚은 원금만큼 이번 달 이자가 줄고, 줄어든 이자만큼 원금 몫이 늘기 때문입니다. 계산해 보면 원금 몫은 매달 정확히 $(1+i)$배씩 커집니다. 1회차 94만 777원, 2회차 $94\text{만 } 777 \times 1.0035 \approx 94\text{만 } 4{,}070\text{원}$으로 상환표와 맞습니다.

기간이 길면 그림이 달라집니다. 같은 1억 4천만 원을 20년 원리금균등으로 갚으면 매달 86만 3,199원이고, 첫 달에는 그중 49만 원이 이자, 37만 3,199원만 원금입니다. 원금 몫이 낸 돈의 절반을 넘는 것은 43개월째부터입니다. 처음 3년 반은 갚는 돈의 절반 넘게가 이자인 셈입니다. 실습대에서 기간을 20년으로 늘리고 위 그림의 빨간 몫이 얼마나 오래 두꺼운지 보세요.

거치 기간

거치 기간(grace period) 은 처음 얼마 동안 이자만 내고 원금은 그 뒤부터 갚는 약속입니다. 같은 대출에 1년 거치를 두고 남은 9년 동안 원리금균등으로 갚으면 이렇습니다.

• 처음 12개월: 이자만 매달 49만 원
• 그다음 108개월: 매달 155만 8,935원 (거치 없는 10년의 143만 777원보다 12만 8,158원 많다)
• 총이자: 3,424만 4,991원 (거치 없는 10년보다 255만 1,721원 많다)

거치 기간 동안 원금이 줄지 않아 그만큼 이자가 더 붙고, 남은 기간에 원금을 몰아 갚느라 월 부담도 커집니다. 만기일시는 거치 기간이 대출 기간 전체인 극단이라고 볼 수 있습니다.

4-5. 금리 1%p의 무게, 그리고 150만 원으로 갚는다면 (6분)

금리가 연 4.2%에서 5.2%로 1%p 오르면(10년 원리금균등) 월 상환액은 149만 8,641원으로 6만 7,864원 늘고, 총이자는 3,983만 6,931원으로 814만 3,661원 늡니다. 같은 1%p가 20년이면 총이자를 1,830만 6,394원 늘립니다. 기간이 길수록 금리의 무게가 커집니다. 원금이 그대로인 만기일시는 1%p마다 매달 11만 6,667원, 1년에 140만 원이 늘어납니다.

매달 150만 원으로 갚아 나간다면

우리 집이 매달 모을 수 있는 돈은 150만 원입니다. 이 돈을 모두 대출 갚는 데 쓴다면 몇 달이 걸릴까요? 원리금균등 공식에서 $A$ = 150만 원을 넣고 $n$을 풀면 됩니다. 로그를 쓰면 이렇게 정리됩니다.

113개월을 꽉 채워 내고 114개월째(9년 6개월) 에 30만 3,219원을 내면 끝납니다. 총이자는 2,980만 3,219원입니다. 10년 원리금균등의 월 143만 777원이 150만 원과 거의 같았으니 기간도 10년에 가깝게 나옵니다.

다만 이것은 사고 실험입니다. 150만 원을 모두 대출에 넣으면 다른 저축과 비상금은 0원이 됩니다. 지금 서류의 대출은 2년 만기일시이고, 실제로 원금을 줄이는 길은 만기 전에 일부를 미리 갚는 것(중도상환)입니다. 다음 주의 주제입니다.

용어 정리

광고에서는

• "월 이자 49만 원!" 만기일시라면 맞는 말이지만, 원금 1억 4천만 원은 한 푼도 줄지 않습니다. "월 납입액"과 "그중 원금 몫"을 따로 물어봅니다.
• "최장 30년, 월 부담 뚝!" 기간을 늘리면 월 상환액은 줄지만 원금이 오래 남아 총이자가 커집니다. 같은 1억 4천만 원이 10년이면 총이자 3,169만 원, 20년이면 6,717만 원입니다(원리금균등, 만 원 단위 반올림).
• "거치 기간 최대 1년" 그동안 원금이 줄지 않고, 거치가 끝나면 월 상환액이 커집니다.
• "최저 연 ○%" '최저'는 우대 조건을 모두 채웠을 때의 금리입니다. 내 조건에서의 금리로 다시 계산합니다.

자주 하는 착각 (4분)

• "원금균등이 무조건 이득이다." 총이자가 적은 것은 원금을 일찍 갚아 빌린 돈을 덜 오래 쓰기 때문입니다. 대출 금리로 할인하면 세 방식의 값은 같습니다. 첫 달 부담이 22만 5,890원 큰 것을 감당할 수 있는지가 먼저입니다.
• "만기일시는 금리가 비싸다." 금리는 같은 4.2%입니다. 원금을 줄이지 않으니 이자가 붙는 금액이 계속 커서 총이자가 큰 것입니다.
• "원리금균등은 매달 이자가 같다." 낸 돈은 같지만 이자 몫은 49만 원에서 마지막 달 4,990원으로 줄어듭니다.
• "월 상환액이 작은 대출이 싼 대출이다." 월 상환액은 기간을 늘리면 얼마든지 작아집니다. 총이자를 함께 봅니다.
• "매달 이자를 냈으니 원금도 조금은 줄었겠지." 만기일시에서는 원금이 그대로입니다. 2년 동안 1,176만 원을 내도 1억 4천만 원이 남습니다.

연습 문제 (4분)

1. 5,000만 원을 연 4.8% 만기일시로 빌렸습니다. 매달 이자와 2년 동안의 이자는 얼마일까요?
2. 3,000만 원을 연 6%로 3년(36개월) 동안 원금균등으로 갚습니다. 첫 달에 내는 돈과 총이자는 얼마일까요?
3. 1,000만 원을 연 6%로 1년(12개월) 동안 원리금균등으로 갚습니다. 월 상환액은 얼마일까요? 원 단위로 반올림하세요.
4. 2년 뒤 우리 대출(1억 4천만 원, 만기일시)을 연장하는데 금리가 연 4.2%에서 3.7%로 내린다면, 다음 2년의 이자는 얼마 줄어들까요?

풀이

1. 월 이율은 4.8% ÷ 12 = 0.4%입니다. 매달 이자는 5,000만 × 0.004 = 20만 원, 2년이면 20만 × 24 = 480만 원입니다. 원금 5,000만 원은 그대로 남습니다.
2. 원금은 매달 3,000만 ÷ 36 ≈ 83만 3,333원, 월 이율은 0.5%입니다. 첫 달은 83만 3,333 + 3,000만 × 0.005 = 98만 3,333원입니다. 총이자는 4-3절의 평균 잔액 식대로 첫 달 이자 15만 원 × (36 + 1) ÷ 2 = 277만 5,000원입니다.
3. 월 이율 0.5%, 1.005의 12제곱 ≈ 1.061678, 분수 부분은 1.061678 ÷ 0.061678 ≈ 17.2133입니다. 1,000만 × 0.005 = 5만 원에 곱하면 약 86만 664원입니다.
4. 금리 차이 0.5%p가 원금 전체에 붙습니다. 1억 4천만 × 0.005 × 2 = 140만 원 줄어듭니다. 매달로는 5만 8,333원입니다.

민서가 서류를 덮습니다. "바꾸자는 게 아니라, 원금을 줄일지 말지를 정하는 거네." 태오가 휴대폰 달력을 보다가 소리칩니다. "아, 다음 주에 성과급 나와! 세금 떼고 500만 원." 화면 속 수진이 웃습니다. "그 500만 원을 원금 갚는 데 넣으면 이자가 얼마 줄어드는지, 미리 갚을 때 수수료는 없는지, 아니면 모아 두는 게 나은지. 다음 주엔 내가 직접 갈게." 5교시에서는 중도상환으로 줄어드는 이자와 수수료의 손익분기, 대출 갈아타기를 계산합니다.