오늘의 1억, 30년 뒤의 1억: 현재 가치와 물가

3월 셋째 일요일 저녁입니다. 수진이 장바구니를 들고 직접 왔습니다. 찌개가 끓는 동안 식탁 위 노트북 옆에 복권 한 장이 놓여 있습니다. 태오가 편의점에서 거스름돈으로 산 것입니다.

태오가 뒷면의 작은 글씨를 읽습니다. "1등이면 일시불 8억, 아니면 20년 동안 해마다 6천만 원. 이거 봐, 나눠 받으면 12억이야! 4억을 더 받는데 고민할 게 있어?" 민서가 웃습니다. "당첨될 리는 없지만… 그래서 우리는 뭘 고르면 돼?"

수진이 숟가락을 내려놓습니다. "그 12억은 언제 돈이야? 20년째에 받는 6천만 원으로 오늘 뭘 살 수 있을까? 그리고 8억을 오늘 받으면, 너희는 그 돈으로 뭘 할 거야?"

먼저 밝혀 둡니다. 이 당첨 조건은 이 교시를 위해 지어낸 숫자입니다. 실제 복권의 지급 방식과 세금은 상품마다 다르고, 이 교시의 논점도 아닙니다. 여기서는 두 금액 모두 세금을 이미 뗀 돈이라고 가정합니다. 오늘 계산할 것은 오직 하나, 언제 받는 돈이냐의 값입니다. 복리를 거꾸로 돌려 미래의 돈을 오늘 값으로 바꾸고, 같은 계산으로 물가가 돈의 가치를 얼마나 깎는지 봅니다.

3-1. 현재 가치: 복리를 거꾸로 돌리기 (8분)

1교시에서 오늘의 돈 $P$를 연 $r$로 $t$년 굴리면 $P(1+r)^t$가 된다고 했습니다. 이 식을 거꾸로 읽으면 이렇습니다. $t$년 뒤에 받을 돈 $F$는 오늘의 $F \div (1+r)^t$와 값어치가 같다. 오늘 그만큼을 연 $r$로 굴리면 $t$년 뒤에 꼭 $F$가 되기 때문입니다.

미래의 돈을 오늘 값으로 바꾼 것을 현재 가치(present value, PV), 이때 쓰는 연 수익률 $r$을 할인율(discount rate) 이라고 합니다. '할인'은 복리를 거꾸로 돌리는 계산입니다. 채권 가격을 이 식으로 구한 경제 뉴스 4교시와 같은 식이고, 여기서는 우리 집 돈에 씁니다.

태오의 복권으로 계산해 봅시다. 할인율은 2교시에서 본 예금 금리 연 3.5%로 둡니다(만 원 단위 반올림).

• 1년 뒤의 6,000만 원: $6{,}000\text{만} \div 1.035 \approx 5{,}797\text{만 원}$
• 20년 뒤의 6,000만 원: $1.035^{20} \approx 1.9898$이므로 $6{,}000\text{만} \div 1.9898 \approx 3{,}015\text{만 원}$

같은 6,000만 원이 받는 해에 따라 오늘 값이 거의 두 배 차이 납니다. 멀리 있는 돈일수록 많이 깎입니다. 30년 뒤의 1억 원으로 바꿔 보면 할인율이 조금만 달라도 오늘 값이 크게 달라집니다.

미래의 돈이 오늘 돈보다 값이 작은 까닭은 세 가지입니다.

1. 오늘 받으면 그동안 굴릴 수 있다. 오늘의 5,797만 원을 3.5% 예금에 넣으면 1년 뒤 6,000만 원이 됩니다.
2. 물가가 오른다. 같은 6,000만 원으로 살 수 있는 양이 줄어듭니다. 3-4절에서 봅니다.
3. 정말 받을지 모른다. 약속한 쪽이 지키지 못할 위험이 있습니다.

3-2. 나눠 받는 돈의 현재 가치: 연금 현가 (12분)

나눠 받는 당첨금은 6,000만 원짜리 미래의 돈 20개입니다. 하나하나를 오늘 값으로 바꿔 더하면 됩니다. 첫 회는 당첨 1년 뒤에 받는다고 가정합니다. 할인율을 $r$, 해마다 받는 돈을 $C$, 횟수를 $n$이라 하면

입니다. 항마다 $\frac{1}{1+r}$을 곱해 가는 등비수열의 합입니다. 양변에 $\frac{1}{1+r}$을 곱한 식을 원래 식에서 빼면 가운데 항이 모두 지워지고, 정리하면 한 줄로 줄어듭니다.

이것을 연금 현가(present value of an annuity) 공식이라고 합니다. 여기서 '연금'은 노후 연금만이 아니라 같은 돈을 정해진 간격으로 여러 번 받는 흐름을 모두 가리킵니다. 오른쪽 분수는 "1원씩 $n$번 받는 돈의 오늘 값"입니다. 다음 주 4교시에서 대출 월 상환액 공식이 바로 이 식에서 나옵니다.

손 계산: 할인율 3.5%, 20회

1. $(1.035)^{20} \approx 1.98979$이므로 $(1.035)^{-20} = 1 \div 1.98979 \approx 0.502566$
2. $\dfrac{1 - 0.502566}{0.035} = \dfrac{0.497434}{0.035} \approx 14.2124$
3. $6{,}000\text{만} \times 14.2124 \approx 8\text{억 } 5{,}274\text{만 원}$

1원씩 20번 받는 돈의 오늘 값이 약 14.2원입니다. 그래서 '총 12억 원'의 오늘 값은 8억 5,274만 원입니다. 할인율 3.5%로 보면 일시불 8억 원보다 5,274만 원 많습니다. 태오가 말한 "4억 더"는 아닙니다.

아래 실습대의 위 그림에서 옅은 남색 막대는 그해에 받을 돈이고, 그 안의 진한 남색 막대는 그 돈의 오늘 값입니다. 아래 가로 막대는 세 줄입니다. 회색은 받을 돈을 그냥 더한 값, 남색은 나눠 받기의 오늘 값, 청록은 일시불이고, 회색 점선은 일시불의 자리입니다. 오른쪽 슬라이더로 할인율과 나눠 받는 횟수를 바꿉니다. 횟수를 바꿔도 총액은 12억 원으로 같고, 한 번에 받는 돈이 12억 ÷ 횟수가 됩니다. '오늘 값으로 바꾸기'를 누르면 1년째 막대부터 차례로 줄어들고, 줄어든 오늘 값이 아래 남색 줄에 쌓입니다.

할인율에 따라 나눠 받기의 오늘 값을 표로 정리하면 이렇습니다(20회, 첫 회는 1년 뒤, 만 원 단위 반올림).

두 값이 같아지는 할인율은 약 4.22% 입니다(실습대 읽기 칸의 '두 값이 같아지는 할인율'). 이것을 손익분기 할인율이라고 부르겠습니다. 결정은 이 한 문장으로 줄어듭니다. 우리 집이 8억 원을 받아 해마다 4.22%보다 높은 수익을 꾸준히 낼 수 있으면 일시불, 아니면 나눠 받기가 앞선다. "4억 더"라는 말은 할인율이 0%일 때만 맞습니다.

나눠 받는 횟수를 늘리면 총액이 같아도 오늘 값이 빠르게 줄어듭니다. 3.5%에서 12억 원을 10회로 나누면 9억 9,799만 원, 20회면 8억 5,274만 원, 40회면 6억 4,065만 원입니다. 돈이 늦게 올수록 할인을 많이 받기 때문입니다.

3-3. 할인율은 누가 정하나 (6분)

민서가 묻습니다. "그럼 우리 할인율은 몇 %야?" 수진이 되묻습니다. "8억을 오늘 받으면 너희는 그 돈으로 뭘 할 건데?"

할인율은 정해진 숫자가 아니라 그 돈을 지금 받았다면 할 수 있었던 일의 연 수익률입니다. 지금 받은 돈으로 할 수 있었던 일을 포기하는 값이라서 기회비용(opportunity cost) 이라고도 부릅니다. 민서네 식탁에 오른 후보는 둘입니다.

• 예금에 넣는다 (연 3.5%). 할인율 3.5%로 보면 나눠 받기의 오늘 값이 8억 5,274만 원으로 일시불보다 많습니다.
• 전세자금 대출 1억 4천만 원(연 4.2%)을 먼저 갚는다. 대출을 갚으면 해마다 4.2%의 이자를 내지 않으니, 그 돈은 4.2%를 버는 것과 같습니다. 할인율 4.2%로 보면 8억 117만 원 대 8억 원으로 거의 같습니다.

할인율을 정할 때 함께 따질 것이 있습니다.

1. 받지 못할 위험. 20년 동안 약속이 지켜질지 덜 확실하다면, 그만큼 할인율을 높여 생각합니다. 할인율이 높을수록 일시불 쪽이 유리해집니다.
2. 명목은 명목끼리. 6,000만 원이 해마다 물가만큼 늘어나는 약속이 아니라면, 은행 금리처럼 물가가 섞인 할인율(명목 할인율)로 할인합니다. 3-5절에서 이 구분을 봅니다.
3. 큰돈을 한 번에 받으면 다 굴린다는 전제가 맞는가. 일시불이 앞선다는 계산은 8억 원을 쓰지 않고 그 수익률로 계속 굴린다는 가정 위에 있습니다.

3-4. 물가가 깎는 돈의 가치 (10분)

이번에는 할인율 자리에 물가 상승률(inflation rate) 을 넣어 봅니다. 물가 상승률은 장바구니 값이 1년에 몇 % 오르는지입니다. 물가가 해마다 $\pi$씩 오르면 오늘 1억 원어치 장바구니는 $t$년 뒤에 $1\text{억} \times (1+\pi)^t$가 됩니다. 거꾸로 $t$년 뒤의 1억 원으로는 오늘 돈으로 쳐서 이만큼만 살 수 있습니다.

3-1절의 현재 가치와 같은 모양입니다. 물가 3%로 30년이면 $1.03^{30} \approx 2.4273$이므로 1억 원은 오늘 돈 4,120만 원어치밖에 사지 못합니다. 한국은행이 목표로 삼는 물가 상승률 2%로 계산해도 5,521만 원어치입니다(만 원 단위 반올림). 1교시의 72의 법칙을 거꾸로 쓰면 물가 3%에서는 $72 \div 3 = 24$, 약 24년(정확히는 23.45년)마다 돈의 구매력이 반으로 줄어듭니다.

아래 실습대는 오늘의 1억 원을 두 가지로 둘 때를 비교합니다. 위 그래프에서 회색 점선은 현금으로 둔 1억 원의 통장 숫자로, 끝까지 1억 원입니다. 빨간 선은 그 1억 원을 오늘 돈으로 친 값입니다. 남색 선은 같은 돈을 예금에 넣고 해마다 이자까지 다시 맡겼을 때의 통장 숫자, 청록 선은 그 예금을 오늘 돈으로 친 값입니다. 아래 장바구니 두 개에서 칸 하나는 오늘 돈 100만 원어치 물건입니다. 100칸이 오늘의 1억 원어치입니다. 물가가 가져간 칸은 빨간 점선 테두리만 남습니다. 오른쪽에서 물가 상승률·예금 금리·기간을 끌고, '이자에서 세금 15.4% 떼기'를 켜고 끌 수 있습니다. '재생'을 누르면 0년부터 해마다 장바구니가 바뀝니다.

실습대에서 본 것을 정리합니다.

1. 현금의 통장 숫자는 그대로인데 장바구니는 줄어든다. 원금이 깎이는 위험은 없지만, 물가가 오르는 만큼 구매력이 조용히 줄어듭니다. 이것도 손실입니다.
2. 통장 숫자가 늘어도 장바구니가 줄 수 있다. 세후 이자율이 물가 상승률보다 낮으면 그렇습니다. 남색 선은 올라가는데 청록 선은 1억 원 아래로 내려가는 경우입니다.
3. 복권 당첨금의 6,000만 원도 마찬가지다. 물가 3%라면 20년째 받는 6,000만 원은 오늘 돈 3,322만 원어치입니다(만 원 단위 반올림). '총 12억 원'은 서로 다른 해의, 서로 다른 값어치의 돈을 그냥 더한 숫자입니다.

이자소득세 15.4%는 2026년 11월 기준 일반 과세 세율입니다. 2교시에서 세후 이자를 계산할 때 쓴 숫자와 같습니다.

3-5. 명목과 실질: 피셔 근사 (8분)

통장에 찍히는 수익률을 명목 수익률(nominal rate), 물가를 빼고 구매력으로 본 수익률을 실질 수익률(real rate) 이라고 합니다. 경제 뉴스 2교시에서 "실질 금리 ≈ 명목 금리 − 물가 상승률"로 맛보기를 했습니다. 여기서는 그 식이 어디서 오는지 봅니다.

1년 동안 돈은 $(1 + \text{명목})$배가 되고, 장바구니 값은 $(1 + \text{물가})$배가 됩니다. 살 수 있는 양은 그 비율만큼 늘어나니

입니다. 이것을 경제학자 어빙 피셔(Irving Fisher)의 이름을 따 피셔 방정식이라고 부릅니다. 명목과 물가가 둘 다 작은 수이면 분수를 풀어 쓴 결과가 거의 빼기와 같아서

로 어림합니다. 이것이 피셔 근사입니다.

우리 집 예금으로

예금 연 3.5%, 물가 3%라면

• 정확히: $1.035 \div 1.03 - 1 \approx 0.485\%$
• 어림: $3.5\% - 3\% = 0.5\%\text{p}$

입니다. 세금을 떼면 이야기가 달라집니다. 이자의 15.4%를 떼면 세후 이자율은 $3.5\% \times 0.846 = 2.961\%$이고, 실질은 $1.02961 \div 1.03 - 1 \approx -0.04\%$입니다. 세후로는 물가를 겨우 따라가는 정도입니다. 실습대에서 세금을 켜면 청록 선이 1억 원 아래로 내려간 까닭입니다.

근사가 틀어질 때

숫자가 크면 빼기 어림의 오차가 커집니다. 명목 10%, 물가 8%라면 어림은 2%p이지만 정확히는 $1.10 \div 1.08 - 1 \approx 1.85\%$입니다. 물가가 높은 시기나 긴 기간을 계산할 때는 나누기 식을 씁니다.

현금으로만 들고 있으면

결혼하며 합친 4,000만 원을 이자가 거의 없는 입출금 통장에 그냥 둔다고 해 봅시다. 물가가 3% 오르면 1년 뒤 그 돈은 오늘 돈 $4{,}000\text{만} \div 1.03 \approx 3{,}883\text{만 } 4{,}951\text{원}$어치입니다. 통장 숫자는 그대로인데 116만 5,049원어치의 구매력이 사라집니다(원 단위 반올림). 10년 동안 두면 오늘 돈 2,976만 원어치로 줄어듭니다(만 원 단위 반올림). 실질 수익률로 쓰면 $1 \div 1.03 - 1 \approx -2.9\%$입니다. 현금은 '수익률 0%'가 아니라 '실질 수익률 마이너스 물가' 입니다.

용어 정리

광고에서는

• "총 12억 원!" 총액은 서로 다른 해의 돈을 그냥 더한 숫자입니다. 몇 번에 나눠, 언제부터 받는지 확인하고 할인율 표를 만들어 오늘 값으로 다시 읽습니다.
• "10년 뒤 원금의 120%를 돌려드립니다." 한 번에 넣은 돈이 10년 뒤 1.2배가 된다면 연 복리로 약 1.84%입니다($1.2$의 10제곱근 − 1). 물가가 2%라면 실질 수익률은 마이너스입니다. 여러 번 나눠 넣는 상품이라면 돈마다 머문 기간이 짧아 실제 연 수익률은 이보다 높게 나오니, 넣는 시점까지 따져 봅니다.
• "물가 상승률을 뛰어넘는 수익" 세금을 떼기 전인지 후인지 확인합니다. 3.5% 예금은 세전으로는 물가 3%를 넘지만 세후로는 넘지 못합니다.

자주 하는 착각 (3분)

• "총액이 크면 더 많이 받는 것이다." 12억 원과 8억 원은 받는 때가 다릅니다. 할인율 4.22%를 넘으면 8억 원 일시불이 더 값집니다.
• "현재 가치는 물가만 빼는 계산이다." 할인율에는 굴릴 수 있었던 수익(기회비용), 받지 못할 위험, 물가가 함께 들어 있습니다. 은행 금리 같은 명목 할인율을 쓰면 물가는 이미 그 안에 섞여 있습니다.
• "통장 숫자가 늘었으니 부자가 됐다." 세후 3.5% 예금은 물가 3%에서 30년 동안 통장 숫자가 2.4배가 돼도 장바구니는 오히려 조금 줄었습니다.
• "실질 = 명목 − 물가는 정확한 식이다." 빼기는 근사입니다. 정확한 식은 $(1 + \text{명목}) \div (1 + \text{물가}) - 1$이고, 숫자가 클수록 차이가 커집니다.
• "현금은 안전하다." 원금 숫자가 줄어들 위험은 없지만, 물가 3%라면 해마다 구매력이 약 2.9%씩 줄어듭니다.

연습 문제 (3분)

1. 10년 뒤에 받을 2,000만 원의 현재 가치를 할인율 4%로 구하세요. 원 단위로 반올림합니다.
2. 1년 뒤부터 해마다 1,000만 원씩 세 번 받습니다. 할인율 5%로 오늘 값은 얼마일까요? 만 원 단위로 반올림하세요.
3. 복권의 나눠 받기 조건이 '총 12억 원을 30년 동안 해마다 4,000만 원씩(첫 회는 1년 뒤)'이라면, 할인율 3.5%로 오늘 값은 얼마일까요? 일시불 8억 원과 비교하세요. 만 원 단위로 반올림합니다.
4. 예금 금리가 연 4%, 물가 상승률이 2.5%입니다. 실질 수익률을 피셔 근사와 정확한 식으로 각각 구하세요. 이자에서 15.4%를 떼면 정확한 실질 수익률은 얼마일까요?

풀이

1. $1.04^{10} \approx 1.48024$이므로 $2{,}000\text{만} \div 1.48024 \approx 1{,}351\text{만 } 1{,}283\text{원}$입니다.
2. 하나씩 할인해 더합니다. $1{,}000\text{만} \div 1.05 \approx 952\text{만}$, $1{,}000\text{만} \div 1.05^2 \approx 907\text{만}$, $1{,}000\text{만} \div 1.05^3 \approx 864\text{만}$, 합계 약 2,723만 원입니다. 연금 현가 공식으로는 $1{,}000\text{만} \times \frac{1 - 1.05^{-3}}{0.05} \approx 1{,}000\text{만} \times 2.7232$로 같은 값이 나옵니다.
3. $1.035^{30} \approx 2.80679$이므로 $1.035^{-30} \approx 0.356278$이고, 분수 부분은 $\frac{1 - 0.356278}{0.035} \approx 18.3920$입니다. $4{,}000\text{만} \times 18.3920 \approx 7\text{억 } 3{,}568\text{만 원}$으로, 일시불 8억 원보다 4,432만 원 적습니다. 20회일 때(8억 5,274만 원)와 총액은 같은데, 돈이 늦게 들어오는 만큼 결론이 뒤집힙니다. 실습대에서 횟수를 30회로 옮겨 확인해 보세요.
4. 근사는 $4\% - 2.5\% = 1.5\%\text{p}$, 정확히는 $1.04 \div 1.025 - 1 \approx 1.46\%$입니다. 세후 이자율은 $4\% \times 0.846 = 3.384\%$이고, 실질은 $1.03384 \div 1.025 - 1 \approx 0.86\%$입니다.

설거지를 하며 민서가 정리합니다. "우리가 그 돈으로 할 수 있는 일 중에 제일 확실한 건 대출 갚기인데, 그게 4.2%라서 거의 비기네." 태오는 복권을 냉장고 자석 밑에 끼워 둡니다. 현관에서 신발을 신던 수진이 돌아봅니다. "4.2% 얘기가 나왔으니 말인데, 그 1억 4천만 원은 지금 어떻게 갚고 있어? 다음 주엔 내가 못 오니까 영상 통화로 대출 서류 같이 보자." 4교시에서는 오늘 배운 연금 현가를 뒤집어 대출 월 상환액 공식을 만들고, 원리금균등·원금균등·만기일시 세 방식의 총이자를 계산합니다.